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3.2　空间向量运算的坐标表示及应用
1.已知A（3，－2，4），B（0，5，－1），若＝（O为坐标原点），则C的坐标是（　　）
A.　　　　 B.
C. D.
2.向量a＝（2，4，x），b＝（2，y，2）.若｜a｜＝6且a⊥b，则x＋y＝（　　）
A.－3 B.1
C.3或1 D.－3或1
3.已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝，若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（　　）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），A1（4，0，3），则体对角线AC1的长为（　　）
A.9 B.
C.5 D.2
5.（多选）若向量a＝（1，2，0），b＝（－2，0，1），则（　　）
A.cos＜a，b＞＝－ B.a⊥b
C.a∥b D.｜a｜＝｜b｜
6.（多选）已知空间直角坐标系中，点A的坐标为（－3，－1，4），坐标原点为O，且与＝（x，y，z）方向相反，则（　　）
A.x＋y＋z＝0 B.x＝3y
C.x＋z＝0 D.4y＋z＝0
7.如图所示的空间直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，AB＝2，PA＝4，且PD的中点为M，则向量的坐标为　　　　.
8.已知a＝（1－t，1－t，t），b＝（2，t，t），则｜b－a｜的最小值是　　　　.
9.已知向量a＝（k，1，k＋3），b＝（k＋2，k，－2），使得向量a，b的夹角为钝角的一个整数k可以是　　　　.
10.已知空间三点A（1，2，3），B（2，－1，5），C（3，2，－5）.
（1）求△ABC的面积；
（2）求△ABC中AB边上的高.
11.如图所示，在四棱锥E-ABCD中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA＝AB＝DA＝2CB，EA⊥AB，M是EC的中点，则下述结论正确的一项是（　　）
A.DM⊥EB B.DM⊥EC
C.DM⊥BM D.DM⊥BA
12.如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，若E，F分别为与线段BC的中点，圆柱的母线长为4，侧面积为8π，则异面直线EF与AC所成角的余弦值为（　　）
A. B.
C. D.
13.（多选）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A.当＝2时，B1，P，D三点共线
B.当⊥时，⊥
C.当＝3时，＝（，，－）
D.当＝5时，A1C⊥平面D1AP
14.三棱锥P-ABC各顶点的坐标分别为A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），P（0，0，3），则三棱锥P-ABC的体积为　　　　.
15.在①（＋）⊥（－）；②｜｜＝；③0＜cos＜，＞＜1这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成问题.
问题：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz.已知点D1的坐标为（0，0，2），E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点，　　　　 　，试问是否存在点E，F满足EF⊥A1C？若存在，求此时·的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
16.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？
3.2　空间向量运算的坐标表示及应用
1.B　∵＝（－3，7，－5），∴＝（－3，7，－5）＝.∴点C的坐标为.故选B.
2.D　因为a⊥b，所以a·b＝2×2＋4y＋2x＝2x＋4y＋4＝0.又｜a｜＝＝＝6，所以由解得或所以x＋y＝1或x＋y＝－3，故选D.
3.C　a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而｜a｜＝＝，所以cos＜a，c＞＝＝－，所以＜a，c＞＝120°.
4.B　由已知，可得C1（0，2，3），
所以｜｜＝＝.
5.AD　∵向量a＝（1，2，0），b＝（－2，0，1），∴｜a｜＝，｜b｜＝，a·b＝1×（－2）＋2×0＋0×1＝－2，cos＜a，b＞＝＝＝－.故A、D正确，B、C 不正确.
6.ABD　由题意，得＝（x，y，z），且＝λ＝（－3λ，－λ，4λ），其中λ＜0，则x＝－3λ，y＝－λ，z＝4λ，则x＋y＋z＝0，即选项A正确；x＝3y，即选项B正确；x＋z＝λ＜0，即选项C错误；4y＋z＝－4λ＋4λ＝0，即选项D正确.故选A、B、D.
7.　解析：由题意知PO＝＝＝，点M的坐标为，所以向量的坐标为.
8.　解析：由已知，得b－a＝（2，t，t）－（1－t，1－t，t）＝（1＋t，2t－1，0）.
∴｜b－a｜＝＝＝ .
∴当t＝时，｜b－a｜取最小值，最小值为.
9.0（答案不唯一）　解析：若向量a，b的夹角为钝角，则a·b＜0，即k（k＋2）＋k－2（k＋3）＜0，整理可得k2＋k－6＜0，解得－3＜k＜2.且当a∥b时，＝＝，解得k＝－1，所以k的取值范围是－3＜k＜2且k≠－1.
10.解：（1）由已知，得＝（1，－3，2），＝（2，0，－8），
∴｜｜＝＝，｜｜＝＝2，
·＝1×2＋（－3）×0＋2×（－8）＝－14.
∴cos＜，＞＝＝，
∴sin＜，＞＝＝.
∴S△ABC＝｜｜·｜｜·sin＜，＞＝××2×＝3.
（2）设AB边上的高为CD，
则｜｜＝＝3，即△ABC中AB边上的高为3.
11.A　以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，并设EA＝DA＝AB＝2CB＝2，则E（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），D（0，0，2），M（1，1，），所以＝（1，1，－），＝（－2，2，0），＝（－2，2，1），＝（1，－1，），＝（0，2，0），仅有·＝0，从而得DM⊥EB.
12.C　如图，分别取AB，CD的中点O，M，连接OE，OM，因为矩形ABCD是圆柱的轴截面，E为的中点，所以OE⊥平面ABCD，易知OM⊥AB，以O为坐标原点，OE所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OM所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设底面圆的半径为r，则2πr×4＝8π，所以r＝1，则E（1，0，0），F（0，1，2），A（0，－1，0），C（0，1，4），可得＝（－1，1，2），＝（0，2，4），设异面直线EF与AC所成的角为θ，则cos θ＝｜cos＜，＞｜＝｜｜＝｜｜＝，故选C.
13.ACD　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为AB＝AD＝AA1＝，所以AD＝AA1＝1，则D（0，0，0），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，，0），D1（0，0，1），B（1，，0），C1（0，，1），B1（1，，1），则＝（－1，，－1），＝（1，0，－1）.对于A选项，当＝2时，P为线段A1C的中点，则P，＝，＝（1，，1），则＝2，所以B1，D，P三点共线，正确；
对于B选项，设＝λ＝λ（－1，，－1）＝（－λ，λ，－λ）（0≤λ≤1），＝＋＝（－λ，λ，1－λ），由⊥，可得·＝5λ－1＝0，解得λ＝，所以＝（－，，），＝＋＝（1，0，－1）＋＝，所以·＝－＋－＝－≠0，所以与不垂直，错误；对于C选项，当＝3时，＝＝，又＝（－1，0，0），所以＝－＝（，，－），正确；对于D选项，当＝5时，＝＝，所以＝－＝（，，－），所以·＝－1×＋×－1×＝0，·＝－1×1＋×0＋（－1）2＝0.所以A1C⊥D1P，A1C⊥D1A，又D1P∩D1A＝D1，D1P 平面D1AP，D1A 平面D1AP，所以A1C⊥平面D1AP，正确.
14.1　解析：由A，B，C，P四点的坐标，知△ABC为直角三角形，AB⊥AC，PA⊥底面ABC.由空间两点间的距离公式，得AB＝1，AC＝2，PA＝3，所以三棱锥P-ABC的体积V＝××1×2×3＝1.
15.解：由题意，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，
则A（2，0，0），B（2，2，0），A1（2，0，2），D（0，0，0），C（0，2，0）.设E（0，a，2）（0≤a≤2），F（b，2，2）（0≤b≤2），则＝（b，2－a，0），＝（－2，2，－2），＝（－2，a，2），＝（b－2，0，2），所以·＝4－2（a＋b），·＝8－2b.
选择①：（＋）⊥（－），所以（＋）·（－）＝0，＝，得a＝b，若·＝0得4－2（a＋b）＝0，则a＝b＝1，故存在点E（0，1，2），F（1，2，2），满足·＝0，此时·＝8－2b＝6.
选择②：因为｜｜＝，所以＝，得a＝，若·＝0，即4－2（a＋b）＝0，得b＝.故存在点E，F，满足·＝0，此时·＝8－2b＝5.
选择③：因为0＜cos＜，＞＜1，所以与不共线，所以b≠2－a，即a＋b≠2，则·＝4－2（a＋b）≠0，故不存在点E，F满足·＝0.
16.解：以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
由题意知A（0，0，0），C（0，2，0），B（，1，0），B1（，1，2），M（，，0）.
又点N在CC1上，可设N（0，2，m）（0≤m≤2），
则＝（，1，2），
＝（－，，m），
所以｜｜＝2，｜｜＝，
·＝2m－1.
如果异面直线AB1和MN所成的角等于45°，那么向量和的夹角等于45°或135°.
又cos ＜，＞＝
＝.
所以＝±，解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾.
所以在棱CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.
3 / 33.2　空间向量运算的坐标表示及应用
新课程标准解读 核心素养
1.掌握空间向量的坐标表示及线性运算的坐标表示 直观想象
2.掌握空间向量数量积的坐标表示，并利用数量积判断两向量的共线与垂直 数学运算
在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1 kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为F1，F2，F3），若3根细绳两两之间的夹角均为.
【问题】　若不考虑秤盘和细绳本身的质量，你知道F1，F2，F3的大小分别是多少吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　标准正交基与空间向量的坐标
1.标准正交基
在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴，y轴，z轴　　方向作单位向量i，j，k，这三个互相　　　　的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基.
2.空间向量的坐标
（1）根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组（x，y，z），使得p＝xi＋yj＋zk，把三元有序实数组（x，y，z）叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作：p＝　　　　，其中单位向量i，j，k都叫作坐标向量.
（2）一个向量在空间直角坐标中的坐标等于表示这个向量的有向线段的　　　　　　　　　　　　　　，若点A的坐标为（x1，y1，z1），点B的坐标为（x2，y2，z2），则＝　　　　　　　　　　　　.
【想一想】
　若表示向量p的有向线段的起点与原点重合，那么向量p的坐标与有向线段的终点坐标有何关系？
知识点二　空间向量的坐标运算
1.空间向量的坐标运算法则
设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），则
（1）a＋b＝　　　　　　　　；
（2）a－b＝　　　　　　　　；
（3）λa＝　　　　　　（λ∈R）；
（4）a·b＝　　　　　　　　.
2.空间向量平行（共线）和垂直的条件
设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），则
（1）a∥b a＝λb 　　 　　，　　 　　，　　 　　（λ∈R）；
（2）a⊥b 　　　　　 　　　　　　　　.
3.空间向量长度与夹角的坐标表示
设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），点A（a1，b1，c1），点B（a2，b2，c2）.
（1）｜AB｜＝｜｜＝
；
（2）｜a｜＝＝　　　　　　　　；
（3）cos＜a，b＞＝＝
（a≠0，b≠0）.
【想一想】
空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示有何联系？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同.（　　）
（2）设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），若a∥b则＝＝.（　　）
（3）设A（0，1，－1），O为坐标原点，则＝（0，1，－1）.（　　）
（4）若A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则｜｜＝.（　　）
2.已知向量a＝（－2，x，2），b＝（2，1，2），c＝（4，－2，1），若a⊥（b－c），则x的值为（　　）
A.－2　　 B.2　　　C.3　　 D.－3
3.已知P1（1，－1，2），P2（3，1，0），P3（0，1，3），则向量与的夹角为　　　　.
题型一 空间向量的坐标运算
【例1】　（1）已知a＝（－1，2，1），b＝（2，0，1），则（2a＋3b）·（a－b）＝　　　　；
（2）若2a－b＝（2，－4，3），a＋2b＝（1，3，－1），则cos＜a，b＞＝　　　　.
尝试解答
通性通法
关于空间向量坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题：先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；
（2）由条件求向量或点的坐标：通常把向量坐标形式设出来，然后建立方程组，通过解方程组求出其坐标.
【跟踪训练】
1.已知A（1，－2，0）和向量a＝（－3，4，12），且＝2a，则点B的坐标为（　　）
A.（－7，10，24）　　 B.（7，－10，－24）
C.（－6，8，24） D.（－5，6，24）
2.已知a＝（1，1，0），b＝（0，1，1），则a·（－2b）＝　　　　，（a－b）·（2a－3b）＝　　　　.
题型二 空间向量的平行与垂直
角度1　空间向量平行和垂直的坐标表示
【例2】　已知a＝（1，5，－1），b＝（－2，3，5），分别求满足下列条件的实数k的值：
（1）（ka＋b）∥（a－3b）；
（2）（ka＋b）⊥（a－3b）.
尝试解答
角度2　空间两直线平行、垂直关系的向量法证明
【例3】　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，G，H分别是CC1，CD，A1C1的中点.求证：AB1∥GE，AB1⊥EH.
尝试解答
通性通法
1.判断空间向量垂直或平行的步骤
（1）向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；
（2）向量关系代数化：写出向量的坐标；
（3）对于a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），根据x1x2＋y1y2＋z1z2是否为0判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2（λ∈R）或＝＝（x2，y2，z2都不为0）判断两向量是否平行.
2.由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程（组）求解即可.
【跟踪训练】
正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值.
题型三 利用坐标运算解决夹角、长度问题
【例4】　如图，长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点.
（1）求证：EF⊥B1C；
（2）求FH的长；
（3）求EF与C1G所成角的余弦值.
尝试解答
通性通法
利用坐标运算解决夹角、长度问题的步骤
（1）建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
（2）求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
（3）论证、计算：结合公式进行论证、计算；
（4）转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题.
【跟踪训练】
1.若向量a＝（1，λ，0），b＝（2，－1，2），若a与b夹角的余弦值为，则实数λ＝（　　）
A.0 B.－
C.0或－ D.0或
2.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为（　　）
A.2 B.
C.2 D.1
1.已知M（5，－1，2），A（4，2，－1），O为坐标原点，若＝，则点B的坐标为（　　）
A.（－1，3，－3）　　 B.（9，1，1）
C.（1，－3，3） D.（－9，－1，－1）
2.已知向量a＝（0，－1，1），b＝（4，1，0），｜λa＋b｜＝，且λ＞0，则λ＝（　　）
A.5 B.4
C.3 D.2
3.已知向量m＝（1，1，0），n＝（－1，0，2），且km＋n与2m－n互相平行，则实数k的值是（　　）
A.－ B.
C. D.－2
4.（多选）已知向量a＝（1，－2，－2），b＝（6，－3，2），则下列结论正确的是（　　）
A.a＋b＝（7，－5，0） B.a－b＝（5，－1，4）
C.a·b＝8 D.｜a｜＝
5.已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则向量与的夹角为　　　　.
　向量概念的推广
　我们已经知道：（1）直线l以及这条直线上一个单位向量e，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时称x为向量a在直线l上的坐标，直线上的向量又称为一维向量，用该坐标x即可以表示a的方向，又可以求得｜a｜；
（2）平面向量a可以用两个实数组成的有序实数对（x，y）表示，即a＝（x，y）.（x，y）称为平面向量a的坐标，此时的向量又称为二维向量，用该坐标可以表示a的方向，也可求｜a｜；
（3）空间向量a可用三个实数组成的有序实数组（x，y，z）表示，即a＝（x，y，z）.（x，y，z）称为空间向量a的坐标，此时的向量a称为三维向量，用该向量的坐标可以表示a的方向，也可求｜a｜.
【问题探究】
　向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以再进一步推广？
结论：用n元有序实数组（a1，a2，…，an）表示n维向量，它构成了n维空间，a＝（a1，a2，…，an ）.
对于n维空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算.
设a＝（a1，a2，…，an），b＝（b1，b2，…，bn）：
那么a±b＝（a1±b1，a2±b2，…，an±bn）；
λa＝λ（a1，a2，…，an）＝（λa1，λa2，…，λan），λ∈R；
a·b＝（a1，a2，…，an）·（b1，b2，…，bn）＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn；
｜a｜＝；
n维空间中A（a1，a2，…，an），B（b1，b2，…，bn）两点间的距离｜AB｜＝.
【迁移应用】
　某班共有30位同学，则高一期末考试的五门课程成绩可以用30个5维向量表示，即ai＝（ai1，ai2，ai3，ai4，ai5）（i＝1，2，…，30），其中aij表示成绩，i不同表示不同的同学，
j不同表示不同的课程，如何用简单明了的数学表达式表示该班五门课程各自的平均成绩.
3.2　空间向量运算的坐标表示及应用
【基础知识·重落实】
知识点一
1.正　垂直　2.（1）（x，y，z）　（2）终点的坐标减去起点的坐标　（x2－x1，y2－y1，z2－z1）
想一想
　提示：相等.
知识点二
1.（1）（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2）　（2）（x1－x2，y1－y2，z1－z2）　（3）（λx1，λy1，λz1）　（4）x1x2＋y1y2＋z1z2　2.（1）x1＝λx2　y1＝λy2　z1＝λz2　（2）a·b＝0　x1x2＋y1y2＋z1z2＝0　3.（2）
想一想
　提示：空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致.
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）√
2.A　b－c＝（－2，3，1），∴a·（b－c）＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.
3.90°　解析：设向量与的夹角为θ，因为＝（3，1，0）－（1，－1，2）＝（2，2，－2），＝（0，1，3）－（1，－1，2）＝（－1，2，1），所以cos θ＝＝0.因为0°≤θ≤180°，所以θ＝90°.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）－4　（2）－
解析：（1）易得2a＋3b＝（4，4，5），a－b＝（－3，2，0），则（2a＋3b）·（a－b）＝4×（－3）＋4×2＋5×0＝－4.
（2）设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），由题设可得解得同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－1，即a＝（1，－1，1），b＝（0，2，－1），则a·b＝0－2－1＝－3，｜a｜＝，｜b｜＝，所以cos＜a，b＞＝＝－.
跟踪训练
1.D　∵a＝（－3，4，12），且＝2a，∴＝（－6，8，24）.∵A的坐标为（1，－2，0），∴＝（1，－2，0），＝＋＝（－6＋1，8－2，24＋0）＝（－5，6，24），∴点B的坐标为（－5，6，24）.故选D.
2.－2　5　解析：a·（－2b）＝－2a·b＝－2（0＋1＋0）＝－2，a－b＝（1，0，－1），2a－3b＝2（1，1，0）－3（0，1，1）＝（2，－1，－3）.∴（a－b）·（2a－3b）＝（1，0，－1）·（2，－1，－3）＝2＋3＝5.
【例2】　解：ka＋b＝（k－2，5k＋3，－k＋5），
a－3b＝（7，－4，－16）.
（1）若（ka＋b）∥（a－3b），则＝＝，解得k＝－.
（2）若（ka＋b）⊥（a－3b），则（k－2）×7＋（5k＋3）×（－4）＋（－k＋5）×（－16）＝0，解得k＝.
【例3】　证明：如图，以A为坐标原点，分别以，，为正交基建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1，则A（0，0，0），B1（1，0，1），G（，1，0），E（1，1，），H（，，1），＝（1，0，1），＝（，0，），＝（－，－，）.
因为＝2，·＝1×（－）＋0＋1×＝0，
所以∥，⊥，
所以AB1∥GE（点A 直线GE），AB1⊥EH.
跟踪训练
　解：如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A（1，0，0），E（ 0，0，），B（1，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），
由题意，可设点P的坐标为（a，a，1），
因为3 ＝，所以3（a－1，a－1，0）＝（－a，－a，0），
所以3a－3＝－a，解得a＝，
所以点P的坐标为.
由题意可设点Q的坐标为（b，b，0），
因为PQ⊥AE，所以·＝0，
所以·（ －1，0，）＝0，
即－－＝0，解得b＝，
所以点Q的坐标为，
因为＝λ，所以（－1，－1，0）＝λ，
所以＝－1，故λ＝－4.
【例4】　解：（1）证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，则有E，F（，，0），C（0，1，0），C1（0，1，1），B1（1，1，1），G，H.＝（，，0）－（0，0，）＝（，， －），
＝（0，1，0）－（1，1，1）＝（－1，0，－1）.
∴·＝×（－1）＋×0＋×（－1）＝0，
∴⊥，即EF⊥B1C.
（2）∵F，H，
∴＝，∴｜｜＝＝.
∴FH的长为.
（3）∵＝－（0，1，1）＝，
∴｜｜＝.
又·＝×0＋×＋×（－1）＝，｜｜＝，
∴cos ＜，＞＝＝.
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
跟踪训练
1.C　∵向量a＝（1，λ，0），b＝（2，－1，2），且a与b夹角的余弦值为，∴cos＜a，b＞＝＝＝，解得λ＝0或－.故选C.
2.B　在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，∴A1（2，0，2），C（0，2，0），∴A1C的中点E（1，1，1），A（2，0，0），B（2，2，0），∴AB的中点F（2，1，0），∴A1C的中点E到AB的中点F的距离为｜｜＝＝.故选B.
随堂检测
1.B　＝＝－，＝＋＝（9，1，1）.
2.C　λa＋b＝λ（0，－1，1）＋（4，1，0）＝（4，1－λ，λ），由已知得｜λa＋b｜＝＝，且λ＞0，解得λ＝3.
3.D　∵向量m＝（1，1，0），n＝（－1，0，2），∴km＋n＝（k－1，k，2），2m－n＝（3，2，－2）.∵km＋n与2m－n互相平行，∴＝＝，解得k＝－2.故选D.
4.AC　因为a＝（1，－2，－2），b＝（6，－3，2），所以a＋b＝（7，－5，0），故A正确；a－b＝（－5，1，－4），故B不正确；a·b＝1×6＋2×3－2×2＝8，故C正确；｜a｜＝＝3，故D不正确.故选A、C.
5.　解析：∵＝（0，3，3），＝（－1，1，0），∴｜｜＝3，｜｜＝，·＝0×（－1）＋3×1＋3×0＝3，∴cos＜，＞＝＝，又∵＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞＝.
拓视野　向量概念的推广
迁移应用
　解：为了得到该班五门课程各自平均成绩，只需将30个向量对应坐标分别加起来，然后再乘以，即
ai＝（ai1，ai2，ai3，ai4，ai5）即可，其中aij为第j门课程的平均成绩.
5 / 5(共90张PPT)
3.2　空间向量运算的坐标表示及应用
新课程标准解读 核心素养
1.掌握空间向量的坐标表示及线性运算的坐标表示 直观想象
2.掌握空间向量数量积的坐标表示，并利用数量积判
断两向量的共线与垂直 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.
在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品，在另一个秤盘中放入质量
为1 kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘
分担对物品的拉力（拉力分别为 F1， F2，
F3），若3根细绳两两之间的夹角均为 .
【问题】　若不考虑秤盘和细绳本身的质量，你知道 F1， F2， F3的大
小分别是多少吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　标准正交基与空间向量的坐标
1. 标准正交基
在空间直角坐标系 O - xyz 中，分别沿 x 轴， y 轴， z 轴 方向作
单位向量 i ， j ， k ，这三个互相 的单位向量就构成空间向
量的一组基{ i ， j ， k }，这组基叫作标准正交基.
正　
垂直　
2. 空间向量的坐标
（1）根据空间向量基本定理，对于任意一个向量 p ，都存在唯一的
三元有序实数组（ x ， y ， z ），使得 p ＝ xi ＋ yj ＋ zk ，把三元
有序实数组（ x ， y ， z ）叫作向量 p 在标准正交基{ i ， j ， k }
下的坐标，记作： p ＝ ，其中单位向量 i ，
j ， k 都叫作坐标向量.
（ x ， y ， z ）　
（2）一个向量在空间直角坐标中的坐标等于表示这个向量的有向
线段的 ，若点 A 的坐标为
（ x1， y1， z1），点 B 的坐标为（ x2， y2， z2），则
＝ .
终点的坐标减去起点的坐标　
（ x2－ x1， y2－ y1， z2－ z1）　
【想一想】
若表示向量 p 的有向线段的起点与原点重合，那么向量 p 的
坐标与有向线段的终点坐标有何关系？
提示：相等.
知识点二　空间向量的坐标运算
1. 空间向量的坐标运算法则
设 a ＝（ x1， y1， z1）， b ＝（ x2， y2， z2），则
（1） a ＋ b ＝ ；
（2） a － b ＝ ；
（3）λ a ＝ （λ∈R）；
（4） a · b ＝ .
（ x1＋ x2， y1＋ y2， z1＋ z2）　
（ x1－ x2， y1－ y2， z1－ z2）　
（λ x1，λ y1，λ z1）　
x1 x2＋ y1 y2＋ z1 z2　
2. 空间向量平行（共线）和垂直的条件
设 a ＝（ x1， y1， z1）， b ＝（ x2， y2， z2），则
（1） a ∥ b a ＝λ b ， ，
（λ∈R）；
（2） a ⊥ b .
x1＝λ x2　
y1＝λ y2　
z1＝λ z2　
a · b ＝0　
x1 x2＋ y1 y2＋ z1 z2＝0　
3. 空间向量长度与夹角的坐标表示
设 a ＝（ x1， y1， z1）， b ＝（ x2， y2， z2），点 A （ a1， b1，
c1），点 B （ a2， b2， c2）.
（1）｜ AB ｜＝｜ ｜＝ ；
（2）｜ a ｜＝ ＝ 　 　；
　
（3） cos ＜ a ， b ＞＝ ＝ （ a ≠0，
b ≠0）.
【想一想】
空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示有何
联系？
提示：空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示
完全一致.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）空间直角坐标系中，向量 的坐标与终点 B 的坐标相同.
（　×　）
（2）设 a ＝（ x1， y1， z1）， b ＝（ x2， y2， z2），若 a ∥ b 则 ＝
＝ . （　×　）
（3）设 A （0，1，－1）， O 为坐标原点，则 ＝（0，1，－1）.
（　√　）
×
×
√
（4）若 A （ x1， y1， z1）， B （ x2， y2， z2），则｜ ｜＝
. （　√　）
√
2. 已知向量 a ＝（－2， x ，2）， b ＝（2，1，2）， c ＝（4，－2，
1），若 a ⊥（ b － c ），则 x 的值为（　　）
A. －2 B. 2 C. 3 D. －3
解析：　 b － c ＝（－2，3，1），∴ a ·（ b － c ）＝4＋3 x ＋2＝
0，∴ x ＝－2.
3. 已知 P1（1，－1，2）， P2（3，1，0）， P3（0，1，3），则向量
与 的夹角为 .
解析：设向量 与 的夹角为θ，因为 ＝（3，1，0）－
（1，－1，2）＝（2，2，－2）， ＝（0，1，3）－（1，－
1，2）＝（－1，2，1），所以 cos θ＝ ＝0.因为
0°≤θ≤180°，所以θ＝90°.
90°　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间向量的坐标运算
【例1】　（1）已知 a ＝（－1，2，1）， b ＝（2，0，1），则（2 a
＋3 b ）·（ a － b ）＝ ；
解析：易得2 a ＋3 b ＝（4，4，5）， a － b ＝（－3，
2，0），则（2 a ＋3 b ）·（ a － b ）＝4×（－3）＋4×2＋
5×0＝－4.
－4　
（2）若2 a － b ＝（2，－4，3）， a ＋2 b ＝（1，3，－1），则 cos ＜
a ， b ＞＝ .
解析：设 a ＝（ x1， y1， z1）， b ＝（ x2， y2， z2），由题
设可得解得同理可得 y1＝－1， y2＝
2， z1＝1， z2＝－1，即 a ＝（1，－1，1）， b ＝（0，2，－
1），则 a · b ＝0－2－1＝－3，｜ a ｜＝ ，｜ b ｜＝ ，所以
cos ＜ a ， b ＞＝ ＝－ .
－ 　
通性通法
关于空间向量坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题：先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用
空间向量坐标运算公式计算；
（2）由条件求向量或点的坐标：通常把向量坐标形式设出来，然后
建立方程组，通过解方程组求出其坐标.
1. 已知 A （1，－2，0）和向量 a ＝（－3，4，12），且 ＝2 a ，则
点 B 的坐标为（　　）
A. （－7，10，24） B. （7，－10，－24）
C. （－6，8，24） D. （－5，6，24）
解析：　∵ a ＝（－3，4，12），且 ＝2 a ，∴ ＝（－6，
8，24）.∵ A 的坐标为（1，－2，0），∴ ＝（1，－2，0），
＝ ＋ ＝（－6＋1，8－2，24＋0）＝（－5，6，24），
∴点 B 的坐标为（－5，6，24）.故选D.
【跟踪训练】
2. 已知 a ＝（1，1，0）， b ＝（0，1，1），则 a ·（－2 b ）＝ ，
（ a － b ）·（2 a －3 b ）＝ .
解析： a ·（－2 b ）＝－2 a · b ＝－2（0＋1＋0）＝－2， a － b ＝
（1，0，－1），2 a －3 b ＝2（1，1，0）－3（0，1，1）＝（2，
－1，－3）.∴（ a － b ）·（2 a －3 b ）＝（1，0，－1）·（2，－
1，－3）＝2＋3＝5.
－2　
5　
题型二 空间向量的平行与垂直
【例2】　已知 a ＝（1，5，－1）， b ＝（－2，3，5），分别求满足
下列条件的实数 k 的值：
（1）（ ka ＋ b ）∥（ a －3 b ）；
若（ ka ＋ b ）∥（ a －3 b ），则 ＝ ＝ ，解得k ＝－ .
解： ka ＋ b ＝（ k －2，5 k ＋3，－ k ＋5），
a －3 b ＝（7，－4，－16）.
角度1　空间向量平行和垂直的坐标表示
（2）（ ka ＋ b ）⊥（ a －3 b ）.
解：若（ ka ＋ b ）⊥（ a －3 b ），则（ k －2）×7＋（5 k ＋3）
×（－4）＋（－ k ＋5）×（－16）＝0，解得 k ＝ .
角度2　空间两直线平行、垂直关系的向量法证明
【例3】　在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，已知 E ， G ， H 分别是
CC1， CD ， A1 C1的中点.求证： AB1∥ GE ， AB1⊥ EH .
证明：如图，以 A 为坐标原点，分别以 ，
， 为正交基建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1，则 A （0，0，0）， B1（1，
0，1）， G （ ，1，0）， E （1，1， ）， H
（ ， ，1）， ＝（1，0，1）， ＝（ ，0， ），
＝（－ ，－ ， ）.
因为 ＝2 ， · ＝1×（－ ）＋0＋1× ＝0，
所以 ∥ ， ⊥ ，
所以 AB1∥ GE （点 A 直线 GE ）， AB1⊥ EH .
通性通法
1. 判断空间向量垂直或平行的步骤
（1）向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；
（2）向量关系代数化：写出向量的坐标；
（3）对于 a ＝（ x1， y1， z1）， b ＝（ x2， y2， z2），根据 x1 x2＋ y1
y2＋ z1 z2是否为0判断两向量是否垂直；根据 x1＝λ x2， y1＝λ
y2， z1＝λ z2（λ∈R）或 ＝ ＝ （ x2， y2， z2都不为0）判
断两向量是否平行.
2. 由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程
（组）求解即可.
【跟踪训练】
正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E 是棱 D1 D 的中点， P ， Q 分别为线
段 B1 D1， BD 上的点，且3 ＝ ，若 PQ ⊥ AE ， ＝λ ，
求λ的值.
解：如图所示，以 D 为原点， ， ， 的
方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直
角坐标系，设正方体棱长为1，则 A （1，0，
0）， E ， B （1，1，0）， B1（1，1，
1）， D1（0，0，1），
由题意，可设点 P 的坐标为（ a ， a ，1），
因为3 ＝ ，所以3（ a －1， a －1，0）＝（－ a ，－ a ，0），
所以3 a －3＝－ a ，解得 a ＝ ，
所以点 P 的坐标为 .
由题意可设点 Q 的坐标为（ b ， b ，0），
因为 PQ ⊥ AE ，所以 · ＝0，
所以 · ＝0，
即－ － ＝0，解得 b ＝ ，
所以点 Q 的坐标为 ，
因为 ＝λ ，所以（－1，－1，0）＝λ ，
所以 ＝－1，故λ＝－4.
题型三 利用坐标运算解决夹角、长度问题
【例4】　如图，长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别为
D1 D ， BD 的中点， G 在棱 CD 上，且 CG ＝ CD ， H 为 C1 G 的中点.
（1）求证： EF ⊥ B1 C ；
解：证明：如图，建立空间直角坐标系
Dxyz ， D 为坐标原点，则有 E ， F
， C （0，1，0）， C1（0，1，
1）， B1（1，1，1）， G ， H
. ＝ －（0，0， ）＝ ，
＝（0，1，0）－（1，1，1）＝（－1，0，－1）.
∴ · ＝ ×（－1）＋ ×0＋ ×（－1）＝0，
∴ ⊥ ，即 EF ⊥ B1 C .
（2）求 FH 的长；
解：∵ F ， H ，
∴ ＝ ，
∴｜ ｜＝ ＝ .
∴ FH 的长为 .
（3）求 EF 与 C1 G 所成角的余弦值.
解：∵ ＝ －（0，1，1）
＝ ，
∴｜ ｜＝ .
又 · ＝ ×0＋ × ＋ ×（－
1）＝ ，｜ ｜＝ ，
∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ .
即异面直线 EF 与 C1 G 所成角的余弦值为 .
通性通法
利用坐标运算解决夹角、长度问题的步骤
（1）建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
（2）求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
（3）论证、计算：结合公式进行论证、计算；
（4）转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题.
1. 若向量 a ＝（1，λ，0）， b ＝（2，－1，2），若 a 与 b 夹角的余弦
值为 ，则实数λ＝（　　）
A. 0
【跟踪训练】
解析：　∵向量 a ＝（1，λ，0）， b ＝（2，－1，2），且 a 与 b
夹角的余弦值为 ，∴ cos ＜ a ， b ＞＝ ＝ ＝
，解得λ＝0或－ .故选C.
2. 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为2的正方体 ABCD - A1 B1 C1
D1， A1 C 的中点 E 到 AB 的中点 F 的距离为（　　）
C. 2 D. 1
解析：　在空间直角坐标系中，正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为
2，∴ A1（2，0，2）， C （0，2，0），∴ A1 C 的中点 E （1，1，
1）， A （2，0，0）， B （2，2，0），∴ AB 的中点 F （2，1，
0），∴ A1 C 的中点 E 到 AB 的中点 F 的距离为｜ ｜＝
＝ .故选B.
1. 已知 M （5，－1，2）， A （4，2，－1）， O 为坐标原点，若
＝ ，则点 B 的坐标为（　　）
A. （－1，3，－3） B. （9，1，1）
C. （1，－3，3） D. （－9，－1，－1）
解析：　 ＝ ＝ － ， ＝ ＋ ＝（9，1，1）.
2. 已知向量 a ＝（0，－1，1）， b ＝（4，1，0），｜λ a ＋ b ｜＝
，且λ＞0，则λ＝（　　）
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
解析：　λ a ＋ b ＝λ（0，－1，1）＋（4，1，0）＝（4，1－λ，
λ），由已知得｜λ a ＋ b ｜＝ ＝ ，且λ＞
0，解得λ＝3.
3. 已知向量 m ＝（1，1，0）， n ＝（－1，0，2），且 km ＋ n 与2 m
－ n 互相平行，则实数 k 的值是（　　）
D. －2
解析：　∵向量 m ＝（1，1，0）， n ＝（－1，0，2），∴ km ＋
n ＝（ k －1， k ，2），2 m － n ＝（3，2，－2）.∵ km ＋ n 与2 m －
n 互相平行，∴ ＝ ＝ ，解得 k ＝－2.故选D.
4. （多选）已知向量 a ＝（1，－2，－2）， b ＝（6，－3，2），则
下列结论正确的是（　　）
A. a ＋ b ＝（7，－5，0） B. a － b ＝（5，－1，4）
C. a · b ＝8
解析：　因为 a ＝（1，－2，－2）， b ＝（6，－3，2），所以
a ＋ b ＝（7，－5，0），故A正确； a － b ＝（－5，1，－4），故B
不正确； a · b ＝1×6＋2×3－2×2＝8，故C正确；｜ a ｜＝
＝3，故D不正确.故选A、C.
5. 已知 A （2，－5，1）， B （2，－2，4）， C （1，－4，1），则向
量 与 的夹角为 .
解析：∵ ＝（0，3，3）， ＝（－1，1，0），∴｜ ｜＝3
，｜ ｜＝ ， · ＝0×（－1）＋3×1＋3×0＝3，
∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，又∵＜ ， ＞∈[0，
π]，∴＜ ， ＞＝ .
　
　我们已经知道：（1）直线 l 以及这条直线上一个单位向量 e ，对
于直线 l 上的任意一个向量 a ，一定存在唯一的实数 x ，使得 a ＝
xe ，此时称 x 为向量 a 在直线 l 上的坐标，直线上的向量又称为一维
向量，用该坐标 x 即可以表示 a 的方向，又可以求得｜ a ｜；
（2）平面向量 a 可以用两个实数组成的有序实数对（ x ， y ）表
示，即 a ＝（ x ， y ）.（ x ， y ）称为平面向量 a 的坐标，此时
的向量又称为二维向量，用该坐标可以表示 a 的方向，也可
求｜ a ｜；
　向量概念的推广
（3）空间向量 a 可用三个实数组成的有序实数组（ x ， y ， z ）表
示，即 a ＝（ x ， y ， z ）.（ x ， y ， z ）称为空间向量 a 的坐
标，此时的向量 a 称为三维向量，用该向量的坐标可以表示 a
的方向，也可求｜ a ｜.
【问题探究】
　向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现
实生活中的实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表
示，此时向量的概念是否可以再进一步推广？
结论：用 n 元有序实数组（ a1， a2，…， an ）表示 n 维向量，
它构成了 n 维空间， a ＝（ a1， a2，…， an ）.
对于 n 维空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运
算.设 a ＝（ a1， a2，…， an ）， b ＝（ b1， b2，…， bn ）：
那么 a ± b ＝（ a1± b1， a2± b2，…， an ± bn ）；
λ a ＝λ（ a1， a2，…， an ）＝（λ a1，λ a2，…，λ an ），
λ∈R；
a · b ＝（ a1， a2，…， an ）·（ b1， b2，…， bn ）＝ a1 b1＋ a2
b2＋…＋ anbn ；
｜ a ｜＝ ；
n 维空间中 A （ a1， a2，…， an ）， B （ b1， b2，…， bn ）两
点间的距离
｜ AB ｜＝ .
【迁移应用】
　某班共有30位同学，则高一期末考试的五门课程成绩可以
用30个5维向量表示，即 ai ＝（ ai1， ai2， ai3， ai4， ai5）（ i ＝
1，2，…，30），其中 aij 表示成绩， i 不同
表示不同的同学， j 不同表示不同的课程，如何用简单明了的
数学表达式表示该班五门课程各自的平均成绩.
解：为了得到该班五门课程各自平均成绩，只需将30个向量
对应坐标分别加起来，然后再乘以 ，即
ai ＝（ ai1， ai2， ai3， ai4，
ai5）即可，其中 aij 为第 j 门课程的平均成绩.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 A （3，－2，4）， B （0，5，－1），若 ＝ （ O 为坐
标原点），则 C 的坐标是（　　）
解析：　∵ ＝（－3，7，－5），∴ ＝ （－3，7，－5）
＝ .∴点 C 的坐标为（－2， ，－ ）.故选B.
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2. 向量 a ＝（2，4， x ）， b ＝（2， y ，2）.若｜ a ｜＝6且 a ⊥ b ，则
x ＋ y ＝（　　）
A. －3 B. 1 C. 3或1 D. －3或1
解析：　因为 a ⊥ b ，所以 a · b ＝2×2＋4 y ＋2 x ＝2 x ＋4 y ＋4＝0.
又｜ a ｜＝ ＝ ＝6，所以由
解得或所以 x ＋ y ＝1或 x ＋ y
＝－3，故选D.
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3. 已知向量 a ＝（1，2，3）， b ＝（－2，－4，－6），｜ c ｜＝
，若（ a ＋ b ）· c ＝7，则 a 与 c 的夹角为（　　）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析：　 a ＋ b ＝（－1，－2，－3）＝－ a ，故（ a ＋ b ）· c ＝－
a · c ＝7，得 a · c ＝－7，而｜ a ｜＝ ＝ ，所以 cos
＜ a ， c ＞＝ ＝－ ，所以＜ a ， c ＞＝120°.
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4. 在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，若 D （0，0，0）， A （4，0，
0）， B （4，2，0）， A1（4，0，3），则体对角线 AC1的长为
（　　）
A. 9
C. 5
解析：　由已知，可得 C1（0，2，3），所以｜ ｜＝
＝ .
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5. （多选）若向量 a ＝（1，2，0）， b ＝（－2，0，1），则
（　　）
B. a ⊥ b
C. a ∥ b D. ｜ a ｜＝｜ b ｜
解析：　∵向量 a ＝（1，2，0）， b ＝（－2，0，1），∴｜
a ｜＝ ，｜ b ｜＝ ， a · b ＝1×（－2）＋2×0＋0×1＝－2，
cos ＜ a ， b ＞＝ ＝ ＝－ .故A、D正确，B、C 不正确.
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6. （多选）已知空间直角坐标系中，点 A 的坐标为（－3，－1，4），
坐标原点为 O ，且 与 ＝（ x ， y ， z ）方向相反，则（　　）
A. x ＋ y ＋ z ＝0 B. x ＝3 y
C. x ＋ z ＝0 D. 4 y ＋ z ＝0
解析：　由题意，得 ＝（ x ， y ， z ），且 ＝λ ＝（－
3λ，－λ，4λ），其中λ＜0，则 x ＝－3λ， y ＝－λ， z ＝4λ，则 x ＋ y
＋ z ＝0，即选项A正确； x ＝3 y ，即选项B正确； x ＋ z ＝λ＜0，即
选项C错误；4 y ＋ z ＝－4λ＋4λ＝0，即选项D正确.故选A、B、D.
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7. 如图所示的空间直角坐标系中，四边形 ABCD 是正方形， AB ＝2，
PA ＝4，且 PD 的中点为 M ，则向量 的坐标为 .
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解析：由题意知 PO ＝ ＝ ＝ ，点
M 的坐标为（－ ，0， ），所以向量 的坐标为（－ ，
0， ）.
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解析：由已知，得 b － a ＝（2， t ， t ）－（1－ t ，1－ t ， t ）＝（1
＋ t ，2 t －1，0）.∴｜ b － a ｜＝ ＝
＝ .∴当 t ＝ 时，｜ b － a ｜取最小
值，最小值为 .
　
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9. 已知向量 a ＝（ k ，1， k ＋3）， b ＝（ k ＋2， k ，－2），使得向量
a ， b 的夹角为钝角的一个整数 k 可以是 .
解析：若向量 a ， b 的夹角为钝角，则 a · b ＜0，即 k （ k ＋2）＋ k
－2（ k ＋3）＜0，整理可得 k2＋ k －6＜0，解得－3＜ k ＜2.且当 a
∥ b 时， ＝ ＝ ，解得 k ＝－1，所以 k 的取值范围是－3＜ k
＜2且 k ≠－1.
0（答案不唯一）　
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10. 已知空间三点 A （1，2，3）， B （2，－1，5）， C （3，2，－
5）.
（1）求△ ABC 的面积；
解：由已知，得 ＝（1，－3，2）， ＝（2，0，－8），
∴｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜＝ ＝2
，
· ＝1×2＋（－3）×0＋2×（－8）＝－14.
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∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，
∴ sin ＜ ， ＞＝ ＝ .
∴ S△ ABC ＝ ｜ ｜·｜ ｜· sin ＜ ， ＞＝ × ×2 ×
＝3 .
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（2）求△ ABC 中 AB 边上的高.
解：设 AB 边上的高为 CD ，
则｜ ｜＝ ＝3 ，即△ ABC 中 AB 边上的高为3 .
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11. 如图所示，在四棱锥 E - ABCD 中， DA ⊥平面 EAB ， CB ∥ DA ，
EA ＝ AB ＝ DA ＝2 CB ， EA ⊥ AB ， M 是 EC 的中点，则下述结论
正确的一项是（　　）
A. DM ⊥ EB
B. DM ⊥ EC
C. DM ⊥ BM
D. DM ⊥ BA
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解析：　以 A 为坐标原点建立如图所示的空
间直角坐标系，并设 EA ＝ DA ＝ AB ＝2 CB ＝
2，则 E （2，0，0）， B （0，2，0）， C
（0，2，1）， D （0，0，2）， M （1，1，
），所以 ＝（1，1，－ ）， ＝（－
2，2，0）， ＝（－2，2，1）， ＝
（1，－1， ）， ＝（0，2，0），仅有
· ＝0，从而得 DM ⊥ EB .
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12. 如图，矩形 ABCD 是圆柱的轴截面，若 E ， F 分别为 与线段 BC
的中点，圆柱的母线长为4，侧面积为8π，则异面直线 EF 与 AC 所
成角的余弦值为（　　）
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解析：　如图，分别取 AB ， CD 的中点 O ， M ，连
接 OE ， OM ，因为矩形 ABCD 是圆柱的轴截面， E 为
的中点，所以 OE ⊥平面 ABCD ，易知 OM ⊥ AB ，
以 O 为坐标原点， OE 所在直线为 x 轴， OB 所在直线
为 y 轴， OM 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直
角坐标系.设底面圆的半径为 r ，则2π r ×4＝8π，所以
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r ＝1，则 E （1，0，0）， F （0，1，2）， A （0，－1，0）， C （0，1，4），可得 ＝（－1，1，2）， ＝（0，2，4），设异面直线 EF 与 AC 所成的角为θ，则 cos θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝ ，故选C.
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13. （多选）如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ AD ＝
AA1＝ ，点 P 为线段 A1 C 上的动点，则下列结论正确的是
（　　）
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解析：　在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，
以点 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1所在直线
分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系.因为 AB ＝ AD ＝ AA1＝ ，
所以 AD ＝ AA1＝1，则 D （0，0，0）， A （1，0，0）， A1（1，0，1）， C （0， ，0）， D1（0，0，1）， B （1， ，0）， C1（0， ，1）， B1（1， ，1），则 ＝（－1， ，－1）， ＝（1，0，－1）.
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对于A选项，当 ＝2 时， P 为线段 A1 C 的中点，则 P ， ＝ ， ＝（1， ，1），则 ＝2 ，所
以 B1， D ， P 三点共线，正确；
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对于B选项，设 ＝λ ＝λ（－1， ，－1）＝（－λ， λ，－
λ）（0≤λ≤1）， ＝ ＋ ＝（－λ， λ，1－λ），由 ⊥
，可得 · ＝5λ－1＝0，解得λ＝ ，所以 ＝
， ＝ ＋ ＝（1，0，－1）＋ ＝
，所以 · ＝－ ＋ － ＝－ ≠0，所以 与 不
垂直，错误；
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对于C选项，当 ＝3 时， ＝ ＝ ，又
＝（－1，0，0），所以 ＝ － ＝（ ， ，－ ），
正确；对于D选项，当 ＝5 时， ＝ ＝ ，
所以 ＝ － ＝ ，所以 · ＝－1× ＋
× －1× ＝0， · ＝－1×1＋ ×0＋（－1）2＝0.
所以 A1 C ⊥ D1 P ， A1 C ⊥ D1 A ，又 D1 P ∩ D1 A ＝ D1， D1 P 平面 D1
AP ， D1 A 平面 D1 AP ，所以 A1 C ⊥平面 D1 AP ，正确.
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14. 三棱锥 P - ABC 各顶点的坐标分别为 A （0，0，0）， B （1，0，
0）， C （0，2，0）， P （0，0，3），则三棱锥 P - ABC 的体积
为 .
解析：由 A ， B ， C ， P 四点的坐标，知△ ABC 为直角三角形， AB
⊥ AC ， PA ⊥底面 ABC . 由空间两点间的距离公式，得 AB ＝1， AC
＝2， PA ＝3，所以三棱锥 P - ABC 的体积 V ＝ × ×1×2×3＝1.
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15. 在①（ ＋ ）⊥（ － ）；②｜ ｜＝ ；③0＜ cos
＜ ， ＞＜1这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，
并完成问题.
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注：如果选择多个条件分别解答，
则按第一个解答计分.
问题：如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，以 D 为坐标原点，建
立空间直角坐标系 D - xyz .已知点 D1的坐标为（0，0，2）， E 为棱
D1 C1上的动点， F 为棱 B1 C1上的动点， 　　　　　 　，试问是否
存在点 E ， F 满足 EF ⊥ A1 C ？若存在，求此时 · 的值；若不
存在，请说明理由.
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解：由题意，正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1棱长为2，
则 A （2，0，0）， B （2，2，0）， A1（2，0，2）， D （0，0，
0）， C （0，2，0）.设 E （0， a ，2）（0≤ a ≤2）， F （ b ，2，
2）（0≤ b ≤2），则 ＝（ b ，2－ a ，0）， ＝（－2，2，－
2）， ＝（－2， a ，2）， ＝（ b －2，0，2），所以
· ＝4－2（ a ＋ b ）， · ＝8－2 b .
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选择①：（ ＋ ）⊥（ － ），所以（ ＋
）·（ － ）＝0， ＝ ，得 a ＝ b ，若 · ＝0
得4－2（ a ＋ b ）＝0，则 a ＝ b ＝1，故存在点 E （0，1，2）， F
（1，2，2），满足 · ＝0，此时 · ＝8－2 b ＝6.
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选择②：因为｜ ｜＝ ，所以 ＝ ，得 a ＝ ，若
· ＝0，即4－2（ a ＋ b ）＝0，得 b ＝ .故存在点 E ， F ，满足 · ＝0，此时 · ＝8－2 b
＝5.
选择③：因为0＜ cos ＜ ， ＞＜1，所以 与 不共线，
所以 b ≠2－ a ，即 a ＋ b ≠2，则 · ＝4－2（ a ＋ b ）≠0，故不
存在点 E ， F 满足 · ＝0.
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16. 在正三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，所有的棱长都是2， M 是 BC 边的中
点，则在棱 CC1上是否存在点 N ，使得异面直线 AB1和 MN 所成的
角等于45°？
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解：以 A 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz .
由题意知 A （0，0，0）， C （0，2，0）， B （ ，1，0）， B1
（ ，1，2）， M .
又点 N 在 CC1上，
可设 N （0，2， m ）（0≤ m ≤2），
则 ＝（ ，1，2）， ＝ ，
所以｜ ｜＝2 ，｜ ｜＝ ，
· ＝2 m －1.
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如果异面直线 AB1和 MN 所成的角等于45°，那么向量 和 的夹角等于45°或135°.又 cos ＜ ， ＞＝ ＝ .
所以 ＝± ，解得 m ＝－ ，这与0≤ m ≤2矛盾.
所以在棱 CC1上不存在点 N ，使得异面直线 AB1
和 MN 所成的角等于45°.
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谢 谢 观 看！

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