资源简介

专题03 不等式
　　　　
考点01 不等式的性质 7
考点02 比较大小 10
考点03 运用基本不等式求最值 12
考点04 运用“1”的代换构造基本不等式 15
考点05 不等式的求解 18
理解不等式的性质，会比较两个数的大小；会用基本不等式解决简单的最值问题；了解一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法．
1．不等关系与不等式
（1）用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．
（2）将实际的不等关系转换为对应的不等式，要注意关键的文字语言与对应的数学符号间的正确转化．
2．实数的大小比较
作差法（a，b∈R）．
3．不等式的性质
（1）对称性：a>b b（2）传递性：a>b，b>c a>c．
（3）可加性：a>b a＋c>b＋c．
（4）可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac（5）同向可加性：a>b，c>d a＋c>b＋d．
（6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd．
（7）同正可乘方性：a>b>0 an>bn（n∈N，n≥2）．
【特别提醒】
应用不等式的性质解题时需要注意以下几点：
（1）同向不等式不能相减；
（2）异向不等式不能相加；
（3）两边同乘或同除以一个负数，不等号要反向．
4．基本不等式
（1）重要不等式：，有，当且仅当时等号成立．
（2）基本不等式：如果a>0，b>0，那么，当且仅当时等号成立．
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
5．几个重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）．
（2）＋≥2（a，b同号）．
（3）ab≤（a，b∈R）．
（4）≥（a，b∈R）．
6．三个“二次”的关系
判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数的图象
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1不等式的解集 {x|xx2} {x|x≠} R
7．分式不等式与绝对值不等式
（1）>0（<0） f（x）g（x）>0（<0）．
（2）≥0（≤0） f（x）g（x）≥0（≤0）且g（x）≠0．
（3）|x|>a（a>0）的解集为（－∞，－a）∪（a，＋∞），|x|0）的解集为（－a，a）．
1．均值不等式链
（a>0，b>0，当且仅当时等号成立）
（调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数）
2．两个经典超越不等式
（1）对数形式：，当且仅当时，等号成立．
（2）指数形式：，当且仅当时，等号成立．
进一步可得到一组不等式链：（且）
上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：，
，
截取片段：，，当且仅当时，等号成立；进而，当且仅当时，等号成立．
一、选择题（共4小题）
1．（2025 新高考Ⅱ）不等式2解集是（　　）
A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|x≤﹣2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|x＞1}
【答案】C
【分析】移项通分化简后转化为一元二次不等式，求解即可．
【解答】解：因为2，所以，
所以，所以，
所以，所以﹣2≤x＜1，
所以2的解集为{x|﹣2≤x＜1}．
故选：C．
2．（2025 北京）已知a＞0，b＞0，则（　　）
A．a2+b2＞2ab B．
C．a+b D．
【答案】C
【分析】根据重要不等式及基本不等式，即可求解．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，所以a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，所以A选项错误；
取，则，而9，所以B选项错误；
因为，所以C选项正确；
因为，所以D选项错误．
故选：C．
3．（2024 上海）a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（　　）
A．a+b2＞a+c2 B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于A，若|b|＜|c|，则b2＜c2，选项不成立，故A错误；
对于B，a2＝a2，b＞c，
由不等式的可加性可知，a2+b＞a2+c，故B正确．
对于C、D，若a＝0，则选项不成立，故C、D错误．
故选：B．
4．（2023 全国）不等式的解集为（　　）
A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，）
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合不等式的解法，即可求解．
【解答】解：，
则，解得0＜x＜1，
故原不等式的解集为（0，1）．
故选：C．
二、填空题（共4小题）
5．（2025 上海）设a，b＞0，a1，则b的最小值为　　 ．
【答案】4．
【分析】根据题意，b（a）（b），展开，运用基本不等式可求出b的最小值．
【解答】解：由已知，b（a）（b）＝2+ab2+24，当且仅当ab＝1，即a，b＝2时取等号，
所以b的最小值为4．
故答案为：4．
6．（2025 上海）不等式的解集为　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】将分式不等式等价转化后，由一元二次不等式的解法求出解集即可．
【解答】解：不等式的等价于（x﹣1）（x﹣3）＜0，
解得1＜x＜3，
所以不等式的解集是（1，3）
故答案为（1，3）
7．（2024 上海）已知ab＝1，4a2+9b2的最小值为 　　 ．
【答案】12．
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：由ab＝1，4a2+9b2≥2 2a 3b＝12，当且仅当2a＝3b，即或时取最小值12，
所以4a2+9b2的最小值为12．
故答案为：12．
8．（2023 上海）已知正实数a、b满足a+4b＝1，则ab的最大值为 　　 ．
【答案】．
【分析】直接利用基本不等式求出结果．
【解答】解：正实数a、b满足a+4b＝1，则ab，当且仅当a，时等号成立．
故答案为：．
考点01 不等式的性质
解法指导 1．常用结论 （1）若ab>0，且a>b <． （2）若a>b>0，m>0 <． （3）若b>a>0，m>0 >． 2．判断不等式的常用方法 （1）利用不等式的性质逐个验证． （2）利用特殊值法排除错误选项． （3）作差法． （4）构造函数，利用函数的单调性．
【例1】　（2025 福州模拟）已知﹣3≤a+b≤﹣2，1≤a﹣b≤4，则3a+b的取值范围是（　　）
A．[﹣3，0] B．[﹣5，3] C．[﹣5，0] D．[﹣2，5]
【答案】C
【分析】根据不等式的性质求解．
【解答】解：因为3a+b＝2（a+b）+（a﹣b），
又﹣3≤a+b≤﹣2，1≤a﹣b≤4，
所以﹣6≤2（a+b）≤﹣4，
即﹣5≤2（a+b）+a﹣b≤0，
所以3a+b的取值范围是[﹣5，0]．
故选：C．
【例2】　（2025 青浦区校级模拟）下列结论正确的是（　　）
A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞b
C．若a＞b，c＜0，则ac＜bc D．若，则a＞b
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，特殊值法，以及作差法，即可求解．
【解答】解：对于A，若ac＞bc，当c＜0时，a＜b，故A错误，
对于B，令a＝﹣3，b＝1，满足a2＞b2，但a＜b，故B错误，
对于C，若a＞b，c＜0，
则ac﹣bc＝c（a﹣b）＜0，即ac＜bc，故C正确，
对于D，若，
则b＞a，故D错误．
故选：C．
【例3】　（2025 射洪市校级一模）已知a，b，c∈R，则下列结论不正确的是（　　）
A．若ac2＞bc2，则a＞b
B．若a＜b＜0，则a2＞ab
C．若c＞a＞b＞0，则
D．若a＞b＞1，则
【答案】C
【分析】根据不等式的性质逐项判断正误即可．
【解答】解：∵ac2＞bc2，∴c2＞0，∴a＞b，A正确；
∵a＜b＜0，则a2＞ab，B正确；
∵c＞a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b，0＜c﹣a＜c﹣b，
∴，且a＞b＞0，
∴，C错误；
a＞b＞1，∴ab﹣1＞0，，∴，即，D正确．
故选：C．
【例4】　（2025 湖南模拟）下列命题为真命题的是（　　）
A．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
B．若a＞b，c＞0，则ac＞bc
C．若a＞b，则
D．若a＞b＞c，则ab＞bc
【答案】B
【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：当a＝2，b＝1，c＝1，d＝0时，A显然错误；
因为a＞b，c＞0，由不等式性质可得ac＞bc，B正确；
当a＝1，b＝﹣1时，C显然错误；
当c＝0时，D显然错误．
故选：B．
（多选）【例5】　（2025 聊城二模）已知实数a，b满足ab＞0，则（　　）
A．a+b＜ab
B．
C．若a＞b，则
D．若a＜b，m＞0，则
【答案】BC
【分析】由已知结合不等式性质及基本不等式检验各选项即可判断．
【解答】解：因为实数a，b满足ab＞0，
当a＜0，b＜0时，A显然错误；
2，当且仅当a＝b时取等号，B正确；
当a＞b，ab＞0时，0，即，C正确；
若a＝﹣2，b＝﹣1，m＝2时，满足a＜b，m＞0，但2，0，D显然错误．
故选：BC．
考点02 比较大小
解法指导 1．比较大小的常用方法 （1）作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． （2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． （3）构造函数：利用函数的单调性比较大小． 2．不等式大小比较的常用方法 （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果． （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）． （3）分析法． （4）平方法． （5）分子（或分母）有理化． （6）利用函数的单调性． （7）寻找中间量或放缩法． （8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
【例6】　（2025 随州模拟）已知p∈R，M＝（2p+1）（p﹣3），N＝（p﹣6）（p+3）+10，则M，N的大小关系为（　　）
A．M＜N B．M＞N C．M≤N D．M≥N
【答案】B
【分析】作出M，N的差，变形并判断符号作答．
【解答】解：M﹣N＝（2p+1）（p﹣3）﹣[（p﹣6）（p+3）+10]＝p2﹣2p+5＝（p﹣1）2+4＞0，
所以M＞N．
故选：B．
【例7】　（2025春 高新区月考）设P＝a（2a+5），Q＝（2a+1）（a+2），则（　　）
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．P与Q的大小与a有关
【答案】C
【分析】根据作差法比较大小即可．
【解答】解：因为P﹣Q＝a（2a+5）﹣（2a+1）（a+2）＝2a2+5a﹣（2a2+5a+2）＝﹣2＜0，
所以P＜Q．
故选：C．
【例8】　（2025春 绵阳校级月考）已知P＝a2+3a+3，Q＝a+1，则P与Q的大小关系为（　　）
A．P＜Q B．P＝Q C．P＞Q D．P≤Q
【答案】C
【分析】利用作差法判断即可．
【解答】解：因为P＝a2+3a+3，Q＝a+1，
所以P﹣Q＝a2+3a+3﹣（a+1）＝a2+2a+2＝（a+1）2+1＞0，
所以P＞Q．
故选：C．
【例9】　（2025春 清远期中）已知a，b满足0＜a＜b＜e，则ab与ba的大小关系为（　　）
A．abba B．abba
C．abba D．不能确定
【答案】C
【分析】通过求对数即可得出：比较ab和ba的大小关系等价于比较与的大小关系，然后设，然后根据导数符号即可判断f（x）在（0，e）上是增函数，从而可得出，从而可得出正确的选项．
【解答】解：∵，且ab＞0，
∴比较ab和ba的大小关系等价于比较与的大小关系，
设，，
∴x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，且0＜a＜b＜e，
∴f（a）＜f（b），即，
∴．
故选：C．
【例10】　（2024秋 随州期末）已知a，b为不相等的实数，记M＝a2﹣ab，N＝ba﹣b2，则M与N的大小关系为（　　）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
【答案】A
【分析】作差即可比较大小关系．
【解答】解：∵M＝a2﹣ab，N＝ba﹣b2，
∴M﹣N＝a2﹣ab﹣ba+b2＝（a﹣b）2，
∵a，b为不相等的实数，
∴（a﹣b）2＞0，
∴M＞N．
故选：A．
考点03 运用基本不等式求最值
解法指导 1．基本不等式 （1）重要不等式：，有，当且仅当时等号成立． （2）基本不等式：如果a>0，b>0，那么，当且仅当时等号成立． 2．几个重要的不等式 （1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）． （2）＋≥2（a，b同号）． （3）ab≤（a，b∈R）． （4）≥（a，b∈R）． 3．基本不等式求最值的三种解题技巧 （1）凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值． （2）凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值． （3）换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
【例11】　（2025 白银区校级二模）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a，b，c∈R）的解集为（﹣4，1），则的取值范围为（　　）
A．[﹣6，+∞） B．（﹣∞，6） C．（﹣6，+∞） D．（﹣∞，﹣6]
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系可得b＝3a，c＝﹣4a，再由基本不等式计算即可得出结论．
【解答】解：ax2+bx+c＞0（a，b，c∈R）的解集为（﹣4，1），
可知1和﹣4是方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，且a＜0，
由韦达定理可得，即可得b＝3a，c＝﹣4a，
所以．
当且仅当时，即时等号成立；
即可得．
故选：D．
【例12】　（2025 新疆校级一模）已知x∈（0，+∞），则的最小值为（　　）
A．3 B．4 C． D．6
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值．
【解答】解：因为x∈（0，+∞），
，
当且仅当，即时取等号．
故选：A．
【例13】　（2025 合肥校级模拟）已知正实数x，y满足x+2y＝3，则的最小值为（　　）
A． B．4 C． D．6
【答案】A
【分析】由条件可得，再利用基本不等式求其最小值即可．
【解答】解：正实数x，y满足x+2y＝3，
则1≥21＝21，
当且仅当x+2y＝3，且，即，时等号成立，
即的最小值为．
故选：A．
【例14】　（2025 共和县模拟）已知x＞0，a为常数，a＞0，且的最小值为6，则的最大值为（　　）
A． B． C．﹣18 D．﹣17
【答案】D
【分析】结合基本不等式先求出a，代入到所求式子，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为x＞0，a＞0，且的最小值为6，
所以，解得a＝9，
所以（x（x）＝（x（x）＝1717+12，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为17．
故选：D．
【例15】　（2025 和平区校级模拟）已知x2+9y2＝12，x，y＞0，则的最小值为（　　）
A．﹣6 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【答案】A
【分析】对进行变形，结合x2+9y2＝12，x，y＞0，运用基本不等式计算即可．
【解答】解：因为，x2+9y2＝12，x，y＞0，
由于x（3y+2）6y+8，
当且仅当x＝3y+2，即取等号．
则．
故选：A．
考点04 运用“1”的代换构造基本不等式
解法指导 基本不等式求最值 （1）前提：“一正”“二定”“三相等”． （2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． （3）条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
【例16】　（2025 合肥模拟）已知正数a，b满足，则a+2b的最小值为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．3
【答案】A
【分析】根据给定条件结合“1”的妙用即可求出a+2b的最小值．
【解答】解：正数a，b满足，
则，
当且仅当且，即a＝3，b＝3，
故a+2b取得最小值9．
故选：A．
【例17】　（2024 全国一模）已知正实数x，y满足，则4xy﹣3x的最小值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】利用x+4y，即可得结果．
【解答】解：由x＞0，y＞0，且，可得xy＝x+y．所以4xy﹣3x＝4x+4y﹣3x＝x+4y．又因为x+4y，当且仅当，即时取等号，
所以4xy﹣3x的最小值为9．
故选：B．
【例18】　（2024 呼和浩特模拟）已知实数a＞0，b＞2，且，则2a+b的最小值是 　　 ．
【答案】24．
【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值．
【解答】解：因为a＞0，b＞2，且，
故，
所以2a+b＝[2（a+1）+b﹣2][]＝6624，
当且仅当，即b﹣2＝2（a+1），a＝5，b＝14时，等号成立，
故2a+b的最小值是24．
故答案为：24．
【例19】　（2024 樊城区校级模拟）已知正实数x，y满足4x+7y＝4，则的最小值为 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由4x+7y＝2（x+3y）+（2x+y），结合基本不等式求解即可．
【解答】解：因为4x+7y＝4，
所以，
所以，
因为x，y为正实数，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：．
【例20】　（2025 皇姑区校级四模）已知正实数a，b满足，则的最小值是　　 ．
【答案】．
【分析】由条件可得，然后利用“1”的代换构造乘积为定值，结合基本不等式代入计算，即可得到结果．
【解答】由题意，得9，
则，
当且仅当，即a，b时，等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：．
考点05 不等式的求解
解法指导 1．含参一元二次不等式的解法 （1）根据二次项系数为正、负及零进行分类． （2）根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． （3）有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 2．一元二次不等式恒成立问题 （1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
【例21】　（2025 扬州校级模拟）不等式的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞） B．[﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1] D．[﹣1，0）
【答案】D
【分析】先把分式不等式，通过移项整理后，转化为整式不等式求解即可（注意分母不为0）．
【解答】解：因为： 0，
即0，转化为：x（x+1）≤0且x≠0．
∴﹣1≤x＜0．
故选：D．
【例22】　（2022 咸阳模拟）使不等式（x+1）（x﹣2）2＞0成立的一个充分不必要条件是（　　）
A．x＞﹣1且x≠2 B．﹣1＜x＜3 C．x＜1 D．x＞3
【答案】D
【分析】先解出不等式x+1）（x﹣2）2＞0的解，在结合选项的范围，即可求解．
【解答】解：∵（x+1）（x﹣2）2＞0，
∴x＞﹣1且x≠2，
对于A，不等式（x+1）（x﹣2）2＞0成立的一个充分必要条件是x＞﹣1且x≠2，故A错误，
对于B，当x＝2时，不等式（x+1）（x﹣2）2＞0不成立，故B错误，
对于C，不等式（x+1）（x﹣2）2＞0成立的一个既不充分也不必要条件是x＜1，故C错误，
对于D，不等式（x+1）（x﹣2）2＞0成立的一个充分不必要条件是x＞3，故D正确．
故选：D．
【例23】　（2025 静安区二模）不等式0的解集为 　　 ．
【答案】（﹣2，）
【分析】将原不等式转化为（2x﹣1）（x+2）＜0，再求解即可．
【解答】解：不等式可转化为（2x﹣1）（x+2）＜0，
解得﹣2＜x，
所以不等式的解集为（﹣2，）．
故答案为：（﹣2，）．
【例24】　（2025 浦东新区校级模拟）已知函数y＝f（x）的表达式为则不等式f（x）≤1的解为 　　 ．
【答案】[﹣2，1]．
【分析】根据分段函数的解析式，分类讨论，即可求解．
【解答】解：当x≤0时，，解得x≥﹣2，
故﹣2≤x≤0，
故x＞0时，x2≤1，解得﹣1≤x≤1，
故0＜x≤1，
综上所述，不等式f（x）≤1的解为[﹣2，1]．
故答案为：[﹣2，1]．
【例25】　（2024 高碑店市校级模拟）不等式的解集用区间表示为　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】将分式不等式右边的常数移项，通分，化简后可得，再利用穿针引线法求解即可．
【解答】解：由得，即，
即，即，解得或或x＞2．
故答案为：．专题03 不等式
　　　　
考点01 不等式的性质 5
考点02 比较大小 6
考点03 运用基本不等式求最值 7
考点04 运用“1”的代换构造基本不等式 9
考点05 不等式的求解 10
理解不等式的性质，会比较两个数的大小；会用基本不等式解决简单的最值问题；了解一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法．
1．不等关系与不等式
（1）用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．
（2）将实际的不等关系转换为对应的不等式，要注意关键的文字语言与对应的数学符号间的正确转化．
2．实数的大小比较
作差法（a，b∈R）．
3．不等式的性质
（1）对称性：a>b b（2）传递性：a>b，b>c a>c．
（3）可加性：a>b a＋c>b＋c．
（4）可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac（5）同向可加性：a>b，c>d a＋c>b＋d．
（6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd．
（7）同正可乘方性：a>b>0 an>bn（n∈N，n≥2）．
【特别提醒】
应用不等式的性质解题时需要注意以下几点：
（1）同向不等式不能相减；
（2）异向不等式不能相加；
（3）两边同乘或同除以一个负数，不等号要反向．
4．基本不等式
（1）重要不等式：，有，当且仅当时等号成立．
（2）基本不等式：如果a>0，b>0，那么，当且仅当时等号成立．
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
5．几个重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）．
（2）＋≥2（a，b同号）．
（3）ab≤（a，b∈R）．
（4）≥（a，b∈R）．
6．三个“二次”的关系
判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数的图象
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1不等式的解集 {x|xx2} {x|x≠} R
7．分式不等式与绝对值不等式
（1）>0（<0） f（x）g（x）>0（<0）．
（2）≥0（≤0） f（x）g（x）≥0（≤0）且g（x）≠0．
（3）|x|>a（a>0）的解集为（－∞，－a）∪（a，＋∞），|x|0）的解集为（－a，a）．
1．均值不等式链
（a>0，b>0，当且仅当时等号成立）
（调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数）
2．两个经典超越不等式
（1）对数形式：，当且仅当时，等号成立．
（2）指数形式：，当且仅当时，等号成立．
进一步可得到一组不等式链：（且）
上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：，
，
截取片段：，，当且仅当时，等号成立；进而，当且仅当时，等号成立．
一、选择题（共4小题）
1．（2025 新高考Ⅱ）不等式2解集是（　　）
A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|x≤﹣2} C．{x|﹣2≤x＜1} D．{x|x＞1}
2．（2025 北京）已知a＞0，b＞0，则（　　）
A．a2+b2＞2ab B．
C．a+b D．
3．（2024 上海）a，b，c∈R，b＞c，下列不等式恒成立的是（　　）
A．a+b2＞a+c2 B．a2+b＞a2+c C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c
4．（2023 全国）不等式的解集为（　　）
A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（0，）
二、填空题（共4小题）
5．（2025 上海）设a，b＞0，a1，则b的最小值为　　 ．
6．（2025 上海）不等式的解集为　　 ．
7．（2024 上海）已知ab＝1，4a2+9b2的最小值为 　　 ．
8．（2023 上海）已知正实数a、b满足a+4b＝1，则ab的最大值为 　　 ．
考点01 不等式的性质
解法指导 1．常用结论 （1）若ab>0，且a>b <． （2）若a>b>0，m>0 <． （3）若b>a>0，m>0 >． 2．判断不等式的常用方法 （1）利用不等式的性质逐个验证． （2）利用特殊值法排除错误选项． （3）作差法． （4）构造函数，利用函数的单调性．
【例1】　（2025 福州模拟）已知﹣3≤a+b≤﹣2，1≤a﹣b≤4，则3a+b的取值范围是（　　）
A．[﹣3，0] B．[﹣5，3] C．[﹣5，0] D．[﹣2，5]
【例2】　（2025 青浦区校级模拟）下列结论正确的是（　　）
A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞b
C．若a＞b，c＜0，则ac＜bc D．若，则a＞b
【例3】　（2025 射洪市校级一模）已知a，b，c∈R，则下列结论不正确的是（　　）
A．若ac2＞bc2，则a＞b
B．若a＜b＜0，则a2＞ab
C．若c＞a＞b＞0，则
D．若a＞b＞1，则
【例4】　（2025 湖南模拟）下列命题为真命题的是（　　）
A．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
B．若a＞b，c＞0，则ac＞bc
C．若a＞b，则
D．若a＞b＞c，则ab＞bc
（多选）【例5】　（2025 聊城二模）已知实数a，b满足ab＞0，则（　　）
A．a+b＜ab
B．
C．若a＞b，则
D．若a＜b，m＞0，则
考点02 比较大小
解法指导 1．比较大小的常用方法 （1）作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． （2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． （3）构造函数：利用函数的单调性比较大小． 2．不等式大小比较的常用方法 （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果． （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）． （3）分析法． （4）平方法． （5）分子（或分母）有理化． （6）利用函数的单调性． （7）寻找中间量或放缩法． （8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
【例6】　（2025 随州模拟）已知p∈R，M＝（2p+1）（p﹣3），N＝（p﹣6）（p+3）+10，则M，N的大小关系为（　　）
A．M＜N B．M＞N C．M≤N D．M≥N
【例7】　（2025春 高新区月考）设P＝a（2a+5），Q＝（2a+1）（a+2），则（　　）
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．P与Q的大小与a有关
【例8】　（2025春 绵阳校级月考）已知P＝a2+3a+3，Q＝a+1，则P与Q的大小关系为（　　）
A．P＜Q B．P＝Q C．P＞Q D．P≤Q
【例9】　（2025春 清远期中）已知a，b满足0＜a＜b＜e，则ab与ba的大小关系为（　　）
A．abba B．abba
C．abba D．不能确定
【例10】　（2024秋 随州期末）已知a，b为不相等的实数，记M＝a2﹣ab，N＝ba﹣b2，则M与N的大小关系为（　　）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
考点03 运用基本不等式求最值
解法指导 1．基本不等式 （1）重要不等式：，有，当且仅当时等号成立． （2）基本不等式：如果a>0，b>0，那么，当且仅当时等号成立． 2．几个重要的不等式 （1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）． （2）＋≥2（a，b同号）． （3）ab≤（a，b∈R）． （4）≥（a，b∈R）． 3．基本不等式求最值的三种解题技巧 （1）凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值． （2）凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值． （3）换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
【例11】　（2025 白银区校级二模）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a，b，c∈R）的解集为（﹣4，1），则的取值范围为（　　）
A．[﹣6，+∞） B．（﹣∞，6） C．（﹣6，+∞） D．（﹣∞，﹣6]
【例12】　（2025 新疆校级一模）已知x∈（0，+∞），则的最小值为（　　）
A．3 B．4 C． D．6
【例13】　（2025 合肥校级模拟）已知正实数x，y满足x+2y＝3，则的最小值为（　　）
A． B．4 C． D．6
【例14】　（2025 共和县模拟）已知x＞0，a为常数，a＞0，且的最小值为6，则的最大值为（　　）
A． B． C．﹣18 D．﹣17
【例15】　（2025 和平区校级模拟）已知x2+9y2＝12，x，y＞0，则的最小值为（　　）
A．﹣6 B．﹣2 C．1 D．﹣1
考点04 运用“1”的代换构造基本不等式
解法指导 基本不等式求最值 （1）前提：“一正”“二定”“三相等”． （2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． （3）条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
【例16】　（2025 合肥模拟）已知正数a，b满足，则a+2b的最小值为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．3
【例17】　（2024 全国一模）已知正实数x，y满足，则4xy﹣3x的最小值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【例18】　（2024 呼和浩特模拟）已知实数a＞0，b＞2，且，则2a+b的最小值是 　　 ．
【例19】　（2024 樊城区校级模拟）已知正实数x，y满足4x+7y＝4，则的最小值为 　　 ．
【例20】　（2025 皇姑区校级四模）已知正实数a，b满足，则的最小值是　　 ．
考点05 不等式的求解
解法指导 1．含参一元二次不等式的解法 （1）根据二次项系数为正、负及零进行分类． （2）根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． （3）有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 2．一元二次不等式恒成立问题 （1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
【例21】　（2025 扬州校级模拟）不等式的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞） B．[﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1] D．[﹣1，0）
【例22】　（2022 咸阳模拟）使不等式（x+1）（x﹣2）2＞0成立的一个充分不必要条件是（　　）
A．x＞﹣1且x≠2 B．﹣1＜x＜3 C．x＜1 D．x＞3
【例23】　（2025 静安区二模）不等式0的解集为 　　 ．
【例24】　（2025 浦东新区校级模拟）已知函数y＝f（x）的表达式为则不等式f（x）≤1的解为 　　 ．
【例25】　（2024 高碑店市校级模拟）不等式的解集用区间表示为　　 ．

展开更多......

收起↑