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专题05 基本初等函数
　　　　
考点01 幂函数的图象与性质 8
考点02 指数与对数运算 11
考点03 指数函数的图象 14
考点04 对数函数的图象 17
考点05 幂、指、对函数的性质 20
了解幂函数及其图象的变化规律；掌握指数幂的运算性质，会画指数函数的图象，理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用；理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点；理解函数零点存在定理，并能简单应用．
1．幂函数
（1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
（2）常见的五种幂函数的图象．
2．对数
（1）对数：如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
（2）对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b（a>0，且a≠1）．
（3）对数的运算性质：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga（MN）＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM（n∈R）．
（4）换底公式：logab＝（a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1）．
3．指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 （0，＋∞）
性质 过定点（0，1），即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0在（－∞，＋∞）上是增函数 在（－∞，＋∞）上是减函数
y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
4．对数函数的图象与性质．
a>1 0图象
性质 定义域：（0，＋∞）
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点（1，0）
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在（0，＋∞）上是增函数 在（0，＋∞）上是减函数
5．函数的零点
（1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系．
（2）函数零点存在定理：
若①函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f（a）·f（b）<0．则函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解．
1．幂函数的图象与性质
（1）对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
（2）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
2．对数函数的性质必须弄清三个问题：
（1）定义域．
（2）底数与1的大小关系．
（3）复合函数的构成．
一、选择题（共7小题）
1．（2025 新高考Ⅰ）若实数x，y，z满足2+log2x＝3+log3y＝5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能是（　　）
A．x＞y＞z B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．y＞z＞x
【答案】B
【分析】利用特殊值验证法，求解判断即可．
【解答】解：令x＝2，则3＝2+log22＝3+log3y＝5+log5z，
可得y＝1，z，
所以x＞y＞z．A可能正确；
当z＝1时，y＝9，x＝8，所以y＞x＞z，所以C可能正确；
z＝125时，y＝243，此时x＝64，满足y＞z＞x，所以D可能正确．
故选：B．
2．（2025 北京）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N（单位：小时），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（单位：小时）（　　）
A．2 B．4 C．20 D．40
【答案】B
【分析】由题意知，klog2（1.024×109）﹣klog2106＝20，求出k，再代入计算函数求值即可．
【解答】解：由题意知，klog2（1.024×109）﹣klog2106＝20，即klog220，
所以klog21024＝20，解得k2，
所以2log2（4.096×109）﹣2log2（1.024×109）＝2log22log24＝2×2＝4．
故选：B．
3．（2025 上海）设a＞0，s∈R．下列各项中，能推出as＞a的一项是（　　）
A．a＞1，且s＞0 B．a＞1，且s＜0
C．0＜a＜1，且s＞0 D．0＜a＜1，且s＜0
【答案】D
【分析】利用特殊值法判断ABC；利用指数函数的单调性判断D．
【解答】解：对于A，取a＝2，s＝0.1，则as＝20.1＜a＝2，故A错误；
对于B，取a＝2，s＝﹣1，则as＝2﹣1＜2，故B错误；
对于C，取a＝0.1，s＝2，则as＝0.12＜0.1，故C错误；
对于D，当0＜a＜1时，y＝as是减函数，
∴s＜0时，as＞a，故D正确．
故选：D．
4．（2025 上海）幂函数y＝xa在（0，+∞）上是严格减函数，且经过（﹣1，﹣1），则a的值可能是（　　）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点（﹣1，﹣1），可排除A．
【解答】解：对于A，若，则，当x＝﹣1时，，
所以幂函数过点（﹣1，1），故A错误；
对于B，若，则，当x＝﹣1时，，
所以幂函数过点（﹣1，﹣1），故B正确，
因为幂函数y＝xa在（0，+∞）上是严格减函数，所以a＜0，故C错误，D错误．
故选：B．
5．（2024 北京）已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及对数的运算性质，即可求解．
【解答】解：（x1，y1），（x2，y2）是y＝2x上的点，
则，，
，当且仅当x1＝x2时，等号成立，
故，
两边同时取对数可得，．
故选：B．
6．（2024 天津）设a＝4.2﹣0.2，b＝4.20.2，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【答案】D
【分析】判断三者的范围，推出结果即可．
【解答】解：y＝4.2x在R上递增，且﹣0.2＜0＜0.2，
所以0＜4.2﹣0.2＜4.20＜4.20.2，所以 0＜4.2﹣0.2＜1＜4.20.2，即0＜a＜1＜b，
因为y＝log4.2x在（0，+∞）上递增，且0＜0.2＜1，
所以 log4.20.2＜log4.21＝0，
即c＜0，所以c＜a＜b，
故选：D．
7．（2023 新高考Ⅰ）设函数f（x）＝2x（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．（0，2] D．[2，+∞）
【答案】D
【分析】利用换元法转化为指数函数和二次函数单调性进行求解即可．
【解答】解：设t＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，对称轴为x，抛物线开口向上，
∵y＝2t是t的增函数，
∴要使f（x）在区间（0，1）单调递减，
则t＝x2﹣ax在区间（0，1）单调递减，
即1，即a≥2，
故实数a的取值范围是[2，+∞）．
故选：D．
二、填空题（共3小题）
8．（2024 甲卷）已知a＞1，，则a＝　64　 ．
【答案】64．
【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．
【解答】解：因为，
所以（log2a+1）（log2a﹣6）＝0，而a＞1，
故log2a＝6，解得a＝64．
故答案为：64．
9．（2024 甲卷）已知a＞1，，则a＝　64　 ．
【答案】64．
【分析】由已知结合对数的运算性质即可求解．
【解答】解：因为，
所以（log2a+1）（log2a﹣6）＝0，而a＞1，
故log2a＝6，即a＝64．
故答案为：64．
10．（2024 上海）log2x的定义域 　（0，+∞）　 ．
【答案】（0，+∞）．
【分析】结合对数函数真数的性质，即可求解．
【解答】解：log2x的定义域为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
考点01 幂函数的图象与性质
解法指导 五种幂函数的图象
【例1】　（2025 江西模拟）若直线y＝t（0＜t＜1）与幂函数y＝x3，，的图象从左到右依次交于不同的三点A，B，C，则|AC|＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得交点A，C的横坐标，比较大小可求|AC|．
【解答】解：当y＝t时，由，得．由y＝x3，得；由，得x＝t2；
因为0＜t＜1，所以y＝tx是关于x的减函数．
又，所以，所以．
故选：A．
【例2】　（2024 新县校级模拟）已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象如图所示，则（　　）
A．a＞b＞c＞d B．b＞c＞d＞a C．d＞b＞c＞a D．c＞b＞d＞a
【答案】B
【分析】根据幂函数在第一象限内的图象与性质，判断a、b、c、d的大小．
【解答】解：根据幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象知，
b＞c＞1＞d＞0＞a，
即b＞c＞d＞a．
故选：B．
【例3】　（2023 黄浦区校级模拟）如图所示是函数（m，n均为正整数且m，n互质）的图象，则（　　）
A．m，n是奇数且
B．m是偶数，n是奇数，且
C．m是偶数，n是奇数，且
D．m，n是奇数，且
【答案】B
【分析】由幂函数性质及0＜x＜1时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定m，n的特征．
【解答】解：由幂函数性质可知：与y＝x恒过点（1，1），即在第一象限的交点为（1，1），
当0＜x＜1时，，则，
又图象关于y轴对称，
∴为偶函数，
∴，
又m，n互质，
∴m为偶数，n为奇数．
故选：B．
【例4】　（2023 河东区一模）如图中，①②③④中不属于函数y＝3x，y＝2x，中一个的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据指数函数的图象的特征即可得答案．
【解答】解：由指数函数的性质可知：
①是的部分图象；③是y＝2x的部分图象；④是y＝3x的部分图象；
所以只有②不是指数函数的图象．
故选：B．
【例5】　（2025秋 寿光市校级月考）已知幂函数f（x）的图象经过点，则函数f（x）的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用幂函数的定义和性质求解．
【解答】解：幂函数f（x）＝xα的图象经过点，
∴2α，解得α＝﹣2，
∴f（x）＝x﹣2，
则函数f（x）的图象大致为：
故选：B．
考点02 指数与对数运算
解法指导 1．指数幂的运算性质 （1）aras＝ar＋s． （2）（ar）s＝ars． （3）（ab）r＝arbr（a>0，b>0，r，s∈Q）． 2．指数幂的运算 （1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． （2）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 3．对数的性质 loga1＝0，logaa＝1，＝N（a>0，且a≠1，N>0）． 4．对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 （1）loga（MN）＝logaM＋logaN． （2）loga＝logaM－logaN． （3）logaMn＝nlogaM （n∈R）． 5．对数换底公式：logab＝（a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1）． 6．解决对数运算问题的常用方法 （1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． （2）将同底对数的和、差、倍合并． （3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
【例6】　（2025 新乡二模）（　　）
A．16 B． C．32 D．
【答案】A
【分析】结合指数幂的运算法则，即可求解．
【解答】解：原式24＝16．
故选：A．
【例7】　（2025 扬州校级模拟）已知a＞0，则化为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用根式的运算性质即可得出．
【解答】解：原式．
故选：B．
【例8】　（2025 郴州模拟）计算： 　　 ．
【答案】4．
【分析】根据对数的定义和指数幂运算求解．
【解答】解：因为32＝9，
所以2+2＝4．
故答案为：4．
【例9】　（2025 海淀区校级模拟）计算（　　）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【分析】结合指数及对数运算性质即可求解．
【解答】解：log336﹣log34+1
＝log39+1＝2+1＝3．
故选：C．
【例10】　（2025 海淀区一模）已知四个数，c＝lg2，d＝lg5，其中最小的是（　　）
A．a B．b C．c D．d
【答案】C
【分析】由已知结合对数运算性质及基本不等式即可判断．
【解答】解：因为，
则a＞b，
因为c＝lg2，d＝lg5，所以dc，
因为blg2＝c，
所以b＞c，即c为最小值．
故选：C．
考点03 指数函数的图象
解法指导 指数函数的图象 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
【例11】　（2025 鲤城区校级模拟）已知a2 3a＝b 3b＝c 2c＝1，则（　　）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a
【答案】D
【分析】将a，b，c分别看成两个函数图象交点的横坐标，画出它们的图象观察即可．
【解答】解：由a2 3a＝b 3b＝c 2c＝1得，
画出的图象如下图所示，
则a是y＝x2与图象交点的横坐标，b是y＝x与图象交点的横坐标，
c是y＝x与图象交点的横坐标，
由图可知b＜c＜a．
故选：D．
【例12】　（2025 丽江校级二模）若指数函数f（x）＝ax的图象与射线3x﹣y+5＝0（x≥﹣1）相交，则（　　）
A．a∈（0，] B．a∈[，1）
C．a∈[，1）∪（1，+∞） D．a∈（0，]∪（1，+∞）
【答案】D
【分析】结合指数函数的性质，通过讨论a的范围，从而得到结论．
【解答】解：当a＞1时，必会有交点，
当a＜1时，过（﹣1，2）是临界点，当f（x）过（﹣1，2）时，a，
若要f（x）与射线有交点，其图象需在（﹣1，2）的上方，
比如过（﹣1，3）点此时a，由此可知a的取值范围为（0，]．
综上a的范围是（0，]∪（1，+∞），
故选：D．
【例13】　（2025 江西模拟）已知2a+b＝1，则（　　）
A．a＞b B．a＜b C．ab≥0 D．ab≤0
【答案】D
【分析】作差b﹣a＝1﹣2a﹣a，由函数f（a）＝1﹣2a﹣a的单调性与特殊值即可判断b，a大小，判断A，B选项；作积ab＝（1﹣2a）a，结合指数函数的性质判断ab的符合，判断C，D选项．
【解答】解：∵b＝1﹣2a，∴b﹣a＝1﹣2a﹣a，且f（a）＝1﹣2a﹣a是单调减函数，
f（0）＝0，此时a＝b能成立，选项A，B都错误；
∵ab＝（1﹣2a）a，当a＞0时，2a＞1，∴ab＝（1﹣2a）a＜0，
当a＜0时，2a＜1，∴ab＝（1﹣2a）a＜0，
当a＝0时，ab＝（1﹣2a）a＝0，
综上，ab＝（1﹣2a）a≤0，选项C错误，D正确．
故选：D．
【例14】　（2025 安顺模拟）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝ax（a＞1）的图象上两个不同的点，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据a＞1时，y＝ax是定义域R上的单调增函数，且为凸函数，得对任意x1≠x2，都有0，两边取对数即可得出选项B正确．
【解答】解：a＞1时，y＝ax是定义域R上的单调增函数，且为凸函数，
所以对任意x1≠x2，都有0，
两边取对数，得logaloga，
即loga，选项B正确，A错误；
当x1＝1，x2＝2时，logax1+x2，
当x1＝﹣1，x2＝﹣2时，logax1+x2，
所以选项C、D不确定．
故选：B．
【例15】　（2025 河北模拟）“2a＞2b﹣1”是“a＞b”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由指数函数单调性可判断必要性，由特殊值可判断充分性．
【解答】解：a＞b时，2a＞2b，且2b＞2b﹣1，所以2a＞2b﹣1，必要性成立；
2a＞2b﹣1时，a＞b不一定成立，如：a，b＝1时，2a＞2b﹣1成立，但a＜b，充分性不成立；
所以“2a＞2b﹣1”是“a＞b”的必要不充分条件．
故选：B．
考点04 对数函数的图象
解法指导 对数函数图象的识别及应用方法 （1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项． （2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【例16】　（2025 郴州模拟）函数f（x）＝log2（ax+1）的图象经过的定点是（　　）
A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（1，1）
【答案】C
【分析】根据对数函数的图象与性质，即可确定函数的图象经过的定点．
【解答】解：由题意知，f（0）＝log21＝0，
所以f（x）＝log2（ax+1）的图象过定点（0，0）．
故选：C．
【例17】　（2025 郴州模拟）函数f（x）＝log3x的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的图象与性质，分析判断即可．
【解答】解：由题意知，函数f（x）＝log3x在定义域（0，+∞）内单调递增，且过点（1，0），
所以选项ABC错误，选项D正确．
故选：D．
【例18】　（2025 郴州模拟）下列不等式正确的是（　　）
A．log34＜1 B．
C．log25＞log35 D．2﹣0.6＜0
【答案】C
【分析】选项AB，根据对数函数性质单调性分析判断；选项C，根据对数函数单调性结合中间值2分析判断；选项D，根据指数函数性质分析判断．
【解答】解：对于A，log34＞log33＝1，选项A错误；
对于B，log2log21＝0，选项B错误；
对于C，log25＞log24＝2，log35＜log39＝2，
∴log25＞2＞log35，选项C正确；
对于D，由指数函数性质可知，2﹣0.6＞0，选项D错误．
故选：C．
【例19】　（2025 长沙校级一模）已知lga+lgb＝0（a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1），则函数f（x）＝a﹣x与g（x）＝logbx的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析可知，b，再由指数函数及对数函数的性质即可得解．
【解答】解：由lga+lgb＝0可知，b，
故f（x）＝a﹣x＝bx，
故函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝logbx的单调性相同．
故选：B．
【例20】　（2025 湖北模拟）已知正数a，b满足log3a＝log4b，则a与b的关系不可能是（　　）
A．b＜a＜1 B． C．1＜a＜b D．
【答案】D
【分析】根据y＝log3x与y＝log4x的图象，得出1＜a＜b，0＜b＜a＜1；设log3a＝log4b＝k，得a＝3k，b＝4k，所以2k，画出y＝2x与y＝3x的图象，得出x＜0时3x＜2x＜1，即a1，x＞0时，3x＞2x＞1，即a1．．
【解答】解：根据函数y＝log3x与y＝log4x的图象知，
当log3a＝log4b＞0时，1＜a＜b，选项C可能；
当log3a＝log4b＜0时，0＜b＜a＜1，选项A可能；
设log3a＝log4b＝k，则a＝3k，b＝4k，所以2k，
由题意，画出函数y＝2x与y＝3x的图象，如图所示：
x＜0时，3x＜2x＜1，即a1，选项C可能；
x＞0时，3x＞2x＞1，即a1，选项D不可能．
故选：D．
考点05 幂、指、对函数的性质
解法指导 1．幂函数的性质 （1）幂函数在（0，＋∞）上都有定义． （2）当α>0时，幂函数的图象都过点（1，1）和（0，0），且在（0，＋∞）上单调递增． （3）当α<0时，幂函数的图象都过点（1，1），且在（0，＋∞）上单调递减． （4）当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 2．指数函数的性质及应用 （1）利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． （2）求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
【例21】　（2025 湖南一模）已知幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）xm+2在（0，+∞）上单调递增，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣3 C．﹣4 D．1或﹣3
【答案】A
【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于m的方程和不等式即可求解．
【解答】解：因为幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）xm+2在（0，+∞）上单调递增，
所以，
解得m＝1．
故选：A．
【例22】　（2020 郑州二模）幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm的图象关于y轴对称，则实数m＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再验证即可．
【解答】解：函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm是幂函数，
∴m2﹣3m+3＝1，
解得m＝1或m＝2；
当m＝1时，函数y＝x的图象不关于y轴对称，舍去；
当m＝2时，函数y＝x2的图象关于y轴对称；
∴实数m＝2．
故答案为：2．
【例23】　（2025 河南校级三模）设函数f（x）＝ex（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．（0，2] D．[2，+∞）
【答案】D
【分析】由已知结合复合函数的单调性即可求解．
【解答】解：函数f（x）＝ex（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，
所以g（x）＝（x﹣a）x在（0，1）上单调递减，
所以1，即a≥2．
故选：D．
【例24】　（2025 锦州模拟）已知函数，则f（2x﹣1）＜f（x﹣3）的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数的运算性质，可得，再根据奇偶性的定义可判断f（x）为偶函数，根据对勾函数的单调性以及复合函数单调性原则可得f（x）的单调性，即可求解．
【解答】解：，
函数的定义域为R，且满足，
则f（x）为偶函数，
当x＞0时，2x＞1，则在（0，+∞）单调递增，因此f（x）在（0，+∞）单调递增，
由f（2x﹣1）＜f（x﹣3） f（|2x﹣1|）＜f（|x﹣3|），可得|2x﹣1|＜|x﹣3|，解得，
即f（2x﹣1）＜f（x﹣3）的解集为（﹣2，）．
故选：A．
（多选）【例25】　（2025 南京模拟）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（　　）
A．y＝﹣2x B．y＝x3 C．y＝|x| D．y＝2x﹣2﹣x
【答案】BD
【分析】根据奇函数的定义判断函数奇偶性，利用单调性的定义和性质判断函数的增减性．
【解答】解：选项四个函数定义域都是R，
函数y＝﹣2x的斜率为﹣2，在R上单调递减，故A错误；
函数f（x）＝x3，f（x）+f（﹣x）＝x3+（﹣x）3＝0，则f（x）＝x3是奇函数，
任取x1＜x2，则，所以f（x）＝x3在R上单调递增，故B正确；
，则y＝|x|在（﹣∞，0]单调递减，在（0，+∞）单调递增，故C错误；
g（x）＝2x﹣2﹣x，则g（x）+g（﹣x）＝（2x﹣2﹣x）+（2﹣x﹣2x）＝0，
所以g（x）是奇函数，
因为y＝2x单调递增，y＝2﹣x单调递减，
所以g（x）在R上单调递增，故D正确．
故选：BD．专题05 基本初等函数
　　　　
考点01 幂函数的图象与性质 5
考点02 指数与对数运算 7
考点03 指数函数的图象 8
考点04 对数函数的图象 9
考点05 幂、指、对函数的性质 11
了解幂函数及其图象的变化规律；掌握指数幂的运算性质，会画指数函数的图象，理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用；理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点；理解函数零点存在定理，并能简单应用．
1．幂函数
（1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
（2）常见的五种幂函数的图象．
2．对数
（1）对数：如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
（2）对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b（a>0，且a≠1）．
（3）对数的运算性质：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga（MN）＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM（n∈R）．
（4）换底公式：logab＝（a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1）．
3．指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 （0，＋∞）
性质 过定点（0，1），即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0在（－∞，＋∞）上是增函数 在（－∞，＋∞）上是减函数
y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
4．对数函数的图象与性质．
a>1 0图象
性质 定义域：（0，＋∞）
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点（1，0）
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在（0，＋∞）上是增函数 在（0，＋∞）上是减函数
5．函数的零点
（1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系．
（2）函数零点存在定理：
若①函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f（a）·f（b）<0．则函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解．
1．幂函数的图象与性质
（1）对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
（2）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
2．对数函数的性质必须弄清三个问题：
（1）定义域．
（2）底数与1的大小关系．
（3）复合函数的构成．
一、选择题（共7小题）
1．（2025 新高考Ⅰ）若实数x，y，z满足2+log2x＝3+log3y＝5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能是（　　）
A．x＞y＞z B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．y＞z＞x
2．（2025 北京）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N（单位：小时），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（单位：小时）（　　）
A．2 B．4 C．20 D．40
3．（2025 上海）设a＞0，s∈R．下列各项中，能推出as＞a的一项是（　　）
A．a＞1，且s＞0 B．a＞1，且s＜0
C．0＜a＜1，且s＞0 D．0＜a＜1，且s＜0
4．（2025 上海）幂函数y＝xa在（0，+∞）上是严格减函数，且经过（﹣1，﹣1），则a的值可能是（　　）
A． B． C． D．3
5．（2024 北京）已知（x1，y1），（x2，y2）是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2024 天津）设a＝4.2﹣0.2，b＝4.20.2，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
7．（2023 新高考Ⅰ）设函数f（x）＝2x（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．（0，2] D．[2，+∞）
二、填空题（共3小题）
8．（2024 甲卷）已知a＞1，，则a＝　 　 ．
9．（2024 甲卷）已知a＞1，，则a＝　 　 ．
10．（2024 上海）log2x的定义域 　 　 ．
考点01 幂函数的图象与性质
解法指导 五种幂函数的图象
【例1】　（2025 江西模拟）若直线y＝t（0＜t＜1）与幂函数y＝x3，，的图象从左到右依次交于不同的三点A，B，C，则|AC|＝（　　）
A． B． C． D．
【例2】　（2024 新县校级模拟）已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象如图所示，则（　　）
A．a＞b＞c＞d B．b＞c＞d＞a C．d＞b＞c＞a D．c＞b＞d＞a
【例3】　（2023 黄浦区校级模拟）如图所示是函数（m，n均为正整数且m，n互质）的图象，则（　　）
A．m，n是奇数且
B．m是偶数，n是奇数，且
C．m是偶数，n是奇数，且
D．m，n是奇数，且
【例4】　（2023 河东区一模）如图中，①②③④中不属于函数y＝3x，y＝2x，中一个的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【例5】　（2025秋 寿光市校级月考）已知幂函数f（x）的图象经过点，则函数f（x）的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
考点02 指数与对数运算
解法指导 1．指数幂的运算性质 （1）aras＝ar＋s． （2）（ar）s＝ars． （3）（ab）r＝arbr（a>0，b>0，r，s∈Q）． 2．指数幂的运算 （1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． （2）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 3．对数的性质 loga1＝0，logaa＝1，＝N（a>0，且a≠1，N>0）． 4．对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 （1）loga（MN）＝logaM＋logaN． （2）loga＝logaM－logaN． （3）logaMn＝nlogaM （n∈R）． 5．对数换底公式：logab＝（a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1）． 6．解决对数运算问题的常用方法 （1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． （2）将同底对数的和、差、倍合并． （3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
【例6】　（2025 新乡二模）（　　）
A．16 B． C．32 D．
【例7】　（2025 扬州校级模拟）已知a＞0，则化为（　　）
A． B． C． D．
【例8】　（2025 郴州模拟）计算： 　　 ．
【例9】　（2025 海淀区校级模拟）计算（　　）
A．1 B．2 C．3 D．6
【例10】　（2025 海淀区一模）已知四个数，c＝lg2，d＝lg5，其中最小的是（　　）
A．a B．b C．c D．d
考点03 指数函数的图象
解法指导 指数函数的图象 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
【例11】　（2025 鲤城区校级模拟）已知a2 3a＝b 3b＝c 2c＝1，则（　　）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a
【例12】　（2025 丽江校级二模）若指数函数f（x）＝ax的图象与射线3x﹣y+5＝0（x≥﹣1）相交，则（　　）
A．a∈（0，] B．a∈[，1）
C．a∈[，1）∪（1，+∞） D．a∈（0，]∪（1，+∞）
【例13】　（2025 江西模拟）已知2a+b＝1，则（　　）
A．a＞b B．a＜b C．ab≥0 D．ab≤0
【例14】　（2025 安顺模拟）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝ax（a＞1）的图象上两个不同的点，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【例15】　（2025 河北模拟）“2a＞2b﹣1”是“a＞b”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点04 对数函数的图象
解法指导 对数函数图象的识别及应用方法 （1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项． （2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【例16】　（2025 郴州模拟）函数f（x）＝log2（ax+1）的图象经过的定点是（　　）
A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（1，1）
【例17】　（2025 郴州模拟）函数f（x）＝log3x的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【例18】　（2025 郴州模拟）下列不等式正确的是（　　）
A．log34＜1 B．
C．log25＞log35 D．2﹣0.6＜0
【例19】　（2025 长沙校级一模）已知lga+lgb＝0（a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1），则函数f（x）＝a﹣x与g（x）＝logbx的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【例20】　（2025 湖北模拟）已知正数a，b满足log3a＝log4b，则a与b的关系不可能是（　　）
A．b＜a＜1 B． C．1＜a＜b D．
考点05 幂、指、对函数的性质
解法指导 1．幂函数的性质 （1）幂函数在（0，＋∞）上都有定义． （2）当α>0时，幂函数的图象都过点（1，1）和（0，0），且在（0，＋∞）上单调递增． （3）当α<0时，幂函数的图象都过点（1，1），且在（0，＋∞）上单调递减． （4）当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 2．指数函数的性质及应用 （1）利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． （2）求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
【例21】　（2025 湖南一模）已知幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）xm+2在（0，+∞）上单调递增，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣3 C．﹣4 D．1或﹣3
【例22】　（2020 郑州二模）幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm的图象关于y轴对称，则实数m＝　　 ．
【例23】　（2025 河南校级三模）设函数f（x）＝ex（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．（0，2] D．[2，+∞）
【例24】　（2025 锦州模拟）已知函数，则f（2x﹣1）＜f（x﹣3）的解集为（　　）
A． B．
C． D．
（多选）【例25】　（2025 南京模拟）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（　　）
A．y＝﹣2x B．y＝x3 C．y＝|x| D．y＝2x﹣2﹣x

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