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专题07 三角函数的图象与性质
　　　　
考点01 三角函数的图象与性质 11
考点02 y＝Asin（ωx＋φ）的图象与变换 14
考点03 由图象求三角函数解析式 18
熟记三角函数的图象与性质；熟记y=Asin（wx+）的图象与性质；掌握三角函数的增减性、周期性、对称性、图象平移、零点等．
1．三角函数的图象与性质
函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
图象
定义域 R R {xx≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 （kπ，0）
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
2．y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的图象
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin（ωx＋φ） 0 A 0 －A 0
3．图象变换
求解函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质问题的三种意识
（1）转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为．y＝Asin（ωx＋φ）的形式．
（2）整体意识：类比y＝Asinx的性质，只需将y＝Asin（ωx＋φ）中的“ωx＋φ”看“y＝Asinx”中的“x”，采用整体代入求解．
①令 ωx＋φ=kπ（），可求得对称轴方程．
②令ωx＋φ=kπ（），可求得对称中心的横坐标．
③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间，注意ω的符号．
（3）讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0．
一、选择题（共8小题）
1．（2024 全国）函数y＝sinxcosx的最大值是（　　）
A．1 B． C．2 D．﹣2
【答案】C
【分析】利用两角和的正弦公式即可化为asinx+bcosxsin（x+θ），进而利用正弦函数的单调性、最值即可得出．
【解答】解：∵y＝sinxcosx＝2（sinxcosx）＝2sin（x）．
∵﹣1≤sin（x）≤1，
∴当sin（x）＝1时，函数y取得最大值2．
故选：C．
2．（2024 全国）已知和都是函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，则ω的最小值是（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】根据x和x都是函数f（x）的极值点，得出函数的周期T≤2×（），由此求解即可．
【解答】解：因为x和x都是函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，
所以周期为T≤2×（），
所以，所以ω≥4，
即ω的最小值是4．
故选：A．
3．（2023 甲卷）已知f（x）为函数向左平移个单位所得函数，则y＝f（x）与的交点个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由题意，利用函数y＝Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：把函数向
左平移个单位可得
函数f（x）＝cos（2x）＝﹣sin2x的图象，
而直线（x﹣1）经过点（1，0），且斜率为，
且直线还经过点（，）、
（，），
01，
﹣10，如图，
故y＝f（x）与的交点个数为3．
故选：C．
4．（2024 天津）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．则f（x）在区间上的最小值为（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】由最小正周期为π，求出ω＝2，从而f（x）＝3sin（2x），由此能求出函数在的取最小值．
【解答】解：∵函数，（ω＞0）
Tπ，ω＝2，
可得f（x）＝3sin（2x），x∈，2x∈[，]，
所以sin（2x）∈[，1]，
所以f（x）∈[，3]，
故函数取最小值是．
故选：D．
5．（2025 上海）已知a∈R，不等式在（0，2025）中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（　　）
A．0 B．338 C．674 D．1012
【答案】D
【分析】由题设可得，结合正切函数的周期，利用函数图象，数形结合分情况讨论求解即可．
【解答】解：因为，所以，
考虑函数在（0，2025）的图像，以6为周期，
先考虑一条直线y＝t（t∈R）与函数的整点交点，
注意到在一个周期（0，6]内，可能存在的整点有1，2，4，5，6，
可得，以下分情况讨论：
①当时，x＝2+6k，k＝0，1，2，…，337，有338个整点；
②当时，x＝1+6k，k＝0，1，2，…，337，有338个整点；
③当t＝0时，x＝6+6k，k＝0，1，2，…，336，有337个整点；
④当时，x＝5+6k，k＝0，1，2，…，336，有337个整点；
⑤当时，x＝4+6k，k＝0，1，2，…，336，有337个整点，
再考虑直线y＝a与y＝a+1所包围的区域（不含边界），
注意到区间（a，a+1）的长度为1，
所以可能，就有337+337＝674个整点，故C可能；
因为与的距离为，所以只可能是或中的一个∈（a，a+1），就有338个整点，故B可能；
而当时，中没有元素∈（a，a+1），就有0个整点，故A可能；
注意到1012＝338+337+337，但与的距离为，故D不可能．
故选：D．
6．（2025 天津）f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜π），在[，]上单调递增，且x为它的一条对称轴，（，0）是它的一个对称中心，当x∈[0，]时，f（x）的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【分析】根据函数的单调性，确定出ω＝4n+2，再根据单调区间确定周期范围得出0＜ω≤2，从而可确定ω＝2，最后结合单调性与对称中心得出φ，可得出f（x）解析式，再根据正弦函数的图像得出最值即可．
【解答】解：因为f（x）在[，]上单调递增，且x为它的一条对称轴，
可得f（）＝1，即φ＝2kπ，k∈Z，①
因为f（x）的图象关于（，0）对称，
所以mπ，m∈Z，②
且T，n∈Z，
解得ω＝4n+2，n∈Z，
因为在[，]上单调递增，所以，
解得0＜ω≤2，所以ω＝2，
根据①②，可得，
因为﹣π＜φ＜π，所以φ，
故f（x）＝sin（2x），
当x∈[0，]时，2x∈[，]，可得f（x）的最小值为f（）＝sin．
故选：A．
7．（2024 新高考Ⅰ）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin（3x）的交点个数为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】作出两函数在[0，2π]上的图象，结合图象即可得出答案．
【解答】解：在同一坐标系中，作出函数y＝sinx与y＝2sin（3x）在[0，2π]上的图象如下，
由图象可知，当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin（3x）的交点个数为6个．
故选：C．
8．（2025 新高考Ⅰ）若点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正切函数的对称中心可得a的表达式，再由a＞0可得a的最小值．
【解答】解：由已知，aπ，k∈Z，所以aπ，k∈Z，
因为a＞0，所以取k＝0时，得a的最小值为60°．
故选：C．
二、多选题（共1小题）
（多选）9．（2024 新高考Ⅱ）对于函数f（x）＝sin2x和，下列正确的有（　　）
A．f（x）与g（x）有相同零点
B．f（x）与g（x）有相同最大值
C．f（x）与g（x）有相同的最小正周期
D．f（x）与g（x）的图像有相同的对称轴
【答案】BC
【分析】根据零点的定义，三角函数的单调性、周期性、对称性逐项判断即可．
【解答】解：对于A，令f（x）＝sin2x＝0，解得x，k∈Z，即为f（x）零点，
令g（x）＝sin0，解得x，k∈Z，即为g（x）零点，
故f（x），g（x）零点不同，
f（0）＝0，g（0），故A错误；
对于B，f（x）∈[﹣1，1]，g（x）∈[﹣1，1]，两函数值域相同，故B正确；
对于C，显然两函数最小正周期都为π，故C正确；
对于D，由2x＝kπ，k∈Z得，函数f（x）的对称轴是x，k∈Z，
由2xkπ，k∈Z得，函数g（x）的对称轴是，k∈Z，故D错误．
故选：BC．
三、填空题（共2小题）
10．（2024 甲卷）函数f（x）＝sinx在[0，π]上的最大值是 　2　
【答案】2．
【分析】将函数化简为正弦型函数，结合给定的范围，根据正弦函数的单调性判断即可．
【解答】解：f（x）＝sinx2sin（x），
x∈[0，π]，x∈[，]，
所以当x，x时，f（x）取得最大值，
f（x）max＝f（）＝2．
故答案为：2．
11．（2025 上海）函数y＝cosx在[，]上的值域为　[0，1]　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由余弦函数的单调性即可求得．
【解答】解：因为函数y＝cosx在单调递增，在单调递减，
所以当x＝0时，cosx取得最大值1，
因为，cos，所以cosx的最小值为0，
所以函数y＝cosx在[，]上的值域为[0，1]．
故答案为：[0，1]．
四、解答题（共1小题）
12．（2025 新高考Ⅱ）已知f（x）＝cos（2x+φ）（0≤φ＜π），且f（0）．
（1）求φ的值；
（2）设g（x）＝f（x）+f（x），求g（x）的值域和单调区间．
【答案】（1）；
（2）值域：，递增区间[），递减区间[kπ），k∈Z．
【分析】（1）利用f（0），求出φ的值；
（2）先利用三角恒等变换的知识将g（x）化简为一次的形式，然后结合正弦函数的性质求解．
【解答】解：f（x）＝cos（2x+φ）（0≤φ＜π），且f（0），
（1）由已知得，结合0≤φ＜π，
所以φ；
（2）由（1）知：，所以f（x）＝cos2x，
所以g（x）＝ f（x）+f（x）＝cos2xcossin2xsincos2x
cos（2x），
显然g（x）的值域为[，]，因为y＝cosx在[﹣π+2kπ，2kπ]上递增，在[2kπ，2kπ+π]上递减，k∈Z，
所以令，解得g（x）的递增区间为[kπ，kπ），k∈Z，
再令2kπ≤2x2kπ+π，解得g（x）的递减区间为[kπ，kπ），k∈Z．
考点01 三角函数的图象与性质
解法指导 1．对称性与周期性 （1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． （2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路 （1）奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx的形式． （2）周期的计算方法：利用y＝Asin（ωx＋φ），y＝Acos（ωx＋φ）（ω＞0）的周期为，y＝Atan（ωx＋φ）（ω＞0）的周期为求解． （3）解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心．
【例1】　（2025 新蔡县校级模拟）下列区间中，函数单调递减的区间是（　　）
A． B． C． D．（0，π）
【答案】A
【分析】根据正切函数的性质即可求解．
【解答】解：，
因为tanu的递增区间为，
而f（x）的递减区间对应的递增区间，
所以令：，解得（k∈Z），
当k＝0时，单调递减区间为．
故选：A．
【例2】　（2025 陇西县校级模拟）若函数在区间（0，π）上单调递增，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．（0，3]
【答案】C
【分析】由已知结合正切函数的单调性即可求解．
【解答】解：令，k∈Z，
则，k∈Z，
因为f（x）在区间（0，π）上单调递增，
当k≤0时，不符合题意；
当k≥1时，则，即k＝1时，符合题意，此时0．
故选：C．
【例3】　（2025 上海校级模拟）已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（　　）
A．（0，1] B．（0，1） C． D．
【答案】A
【分析】直接利用正弦型函数的单调性建立不等式组，进一步求出结果．
【解答】解：函数在区间上单调递增，
即：，故，
由于，且（k∈Z），即整理得：，
解得ω∈（0，1]．
故选：A．
【例4】　（2025 南昌校级模拟）若是偶函数，则cosφ+m＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0或2
【答案】D
【分析】由偶函数的定义域关于原点对称可求m，再证明为奇函数，由此可得函数y＝sin（x+φ）为奇函数，结合正弦函数性质可求φ，由此可得cosφ，再求结论即可．
【解答】解：因为f（x）是偶函数，定义域关于原点对称，
所以不等式的解集关于原点对称，
所以方程（x﹣m）（x+1）＝0的根互为相反数，
所以m＝1，此时定义域为（﹣1，1），
设，则函数g（x）的定义域为（﹣1，1），
又，所以，
所以g（﹣x）＝﹣g（x），所以函数g（x）为奇函数，
所以sin（x+φ）g（x）＝sin（﹣x+φ）g（﹣x）＝﹣sin（﹣x+φ）g（x）恒成立，
所以y＝sin（x+φ）是奇函数，于是φ＝kπ（k∈Z），
此时cosφ＝±1，于是cosφ+m＝0或2，
故选：D．
【例5】　（2025 通辽三模）已知函数是偶函数，则|φ|的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦型函数的奇偶性求解即可．
【解答】解：由题意，是偶函数，
则，k∈Z，即，k∈Z，
则k＝﹣1时，，k＝0时，，k＝1时，，
则|φ|的最小值是．
故选：A．
考点02 y＝Asin（ωx＋φ）的图象与变换
解法指导 1．y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的图象 x－－＋－ωx＋φ0π2πy＝Asin（ωx＋φ）0A0－A0
2．f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω≠0） （1）f（x）为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ（k∈Z）． （2）f（x）为奇函数的充要条件是φ＝kπ（k∈Z）． 3．函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k图象平移的规律：左加右减，上加下减．
【例6】　（2025 慈溪市校级模拟）将函数f（x）＝2cos4x图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图像，则（　　）
A．g（x）＝2sin4x B．g（x）＝﹣2sin4x
C． D．
【答案】A
【分析】由已知结合三角函数图象的平移即可求解．
【解答】解：将函数f（x）＝2cos4x图象上所有的点向右平移个单位长度，
得．
故选：A．
【例7】　（2025 南宁模拟）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若曲线y＝g（x）关于直线对称，则g（x）的最小正周期的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据函数的性质求ω的集合，再根据三角函数的最小正周期公式，即可求解．
【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
故函数的图象关于直线对称，
所以，
得ω＝﹣2﹣6k，k∈Z，ω＞0，
所以ω的最小值是4，则g（x）的最小正周期的最大值为．
故选：A．
【例8】　（2025 广东校级模拟）若函数y＝sinx+λcosx（λ∈R）的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝λsinx+cosx的图象，则λ的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】写出平移后的函数表达式，与题干所给的函数表达式对照系数即可得出λ的值．
【解答】解：设f（x）＝sinx+λcosx（λ∈R），函数的图象向左平移个单位，得到f（x）＝sinxcoscosxsin，
所以解得，
故选：A．
【例9】　（2025 市中区校级二模）函数y＝f（x）的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f（x）的图象与直线的交点个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得f（x）＝﹣sin2x，再作出f（x）＝﹣sin2x与的部分大致图像，考虑特殊点处f（x）与y的大小关系，从而精确图像，由此得解．
【解答】解：函数的图象向左平移个单位长度得到f（x）＝cos[2（x）]＝﹣sin2x，
又图像的过（0，），（1，0），
作出f（x）＝﹣sin2x与的部分大致图像如下，
当x时，f（）＝﹣sin（）＝﹣1，y（）1，
当x时，f（）＝﹣sin1，y1，
当x时，f（）＝﹣sin1，y1，
则y＝f（x）的图象与直线的交点个数为3．
故选：C．
【例10】　（2025 广元模拟）将函数f（x）＝sinx图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数g（x）＝sin（）（|φ|））的图象，若点被变换成了点A′（x0，y0），且sinx0，则φ的所有可能值之和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先依据题意求出函数的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．
【解答】解：由于点，
因为A被变换成A'（x0，y0）且，
则或，k∈Z，
对于函数f（x）＝sinx变换到 设经过变换后为A'（x0，y0），
当时，，代入g（x）得，
即或，n∈Z，
对于，因为，当k＝2m时，，
对于，
化简得 ，不满足舍去．
当时，，代入g（x）得，
即或，m∈Z．
对于，
化简得 ，
因为，当k＝2m时，，对于，
化简得（2m﹣k），
不满足舍去．
所有可能值为和，它们的和为．
故选：A．
考点03 由图象求三角函数解析式
解法指导 由图象求三角函数解析式 （1）若最大值为M，最小值为m，则A，k． （2）ω由周期T确定，即由T求出． （3）φ由特殊点确定．
【例11】　（2025 罗湖区校级模拟）设函数在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象先判断出周期的大致范围，再根据图象过点（，0），求得ω的值，从而求得f（x）的最小正周期．
【解答】解：根据函数在[﹣π，π]的图象，
可得图象过点（，0），
∴ω×（π）kπ（k∈Z），
解得ω（k∈Z），
设函数的最小正周期为T，由函数的图象得T＜2π＜2T，
∴，∴1＜|ω|＜2，
当且仅当k＝﹣1时，符合题意，此时ω，
故f（x）的最小正周期为，
故选：C．
【例12】　（2025 福建校级模拟）已知函数部分图象如图所示，其中x0≤π，则ω的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】先根据f（0）＝1，求得φ的值，再对照y＝sinx的图象，得到x0与函数f（x）的周期间的关系，进而算出x0与ω的关系，结合x0≤π求得ω的范围，可得ω的最小值．
【解答】解：由题意得f（0）＝2sinφ＝1，可得，结合，可得，
所以，
作出函数y＝sinx的图象，并与f（x）的图象加以类比，
若f（x）的周期为T，则根据且，
可得，即．
因为x0≤π，所以，解得，ω的最小值为．
故选：A．
【例13】　（2025 碑林区校级模拟）如图，将绘有函数f（x）＝Msin（M＞0，0＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为．则φ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，过A，D分别作y轴、x轴的垂线相交于点E，利用周期求AE，利用余弦定理求BE，然后由勾股定理求出M，根据图象过点即可得解．
【解答】解：过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，过A，D分别作y轴、x轴的垂线相交于点E，
连接AB，BE，则，
由余弦定理得，
由上可知，x轴垂直于BD，DE，
又BD∩DE＝D，BD，DE 平面BDE，
所以x轴垂直于平面BDE，
又AE∥x轴，
所以AE⊥平面BDE，
因为BE 平面BDE，
所以AE⊥BE，
因为f（x）的周期，
所以AE＝CD＝3，
由勾股定理得3M2+9＝15，解得，
由图知，f（x）的图象过点，且在递减区间内，
所以，即，
因为0＜φ＜π，点在递减区间内，
所以．
故选：C．
【例14】　（2025 玉林模拟）已知f（x）＝Acos（ωx+φ）[A＞0，ω＞0，|φ|，x∈R]的部分图象如图所示，则f（x）的表达式是（　　）
A．2cos B．2cos（x）
C．2cos（2x） D．2cos（）
【答案】D
【分析】根据函数f（x）的部分图象求出A、T、ω和φ的值即可．
【解答】解：根据函数f（x）＝Acos（ωx+φ）的部分图象知，A＝2，
且T＝2×（），
所以ω；
又x时，f（）＝2，
即φ＝2kπ，k∈Z，
解得φ＝2kπ，k∈Z；
又|φ|，所以φ；
所以f（x）＝2cos（x）．
故选：D．
【例15】　（2025 临沧模拟）已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：
①f（x）在区间上单调递减
②f（x）的图象可由y＝2sin2x的图象向左平移个单位得到
③f（x）的对称轴为
④f（x）在区间上的最小值为
以上四个说法中，正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题中给定图象可得函数解析式，然后利用正弦函数的性质和图象变换对各个选项进行判断即可．
【解答】解：函数的部分图象如图所示，
由图可知，，即T＝π，则，
此时f（x）＝2sin（2x+φ），又，
则，k∈Z，即，k∈Z，
又，所以，则．
对于①，当时，，
因为函数y＝sinx在上单调递减，
所以f（x）在区间上单调递减，故①正确；
对于②，y＝2sin2x的图象向左平移得到，故②正确；
对于③，令，解得，
所以f（x）的对称轴为，故③错误；
对于④，当时，，则，
则，则f（x）在区间上的最小值为，故④正确．
故选：C．专题07 三角函数的图象与性质
　　　　
考点01 三角函数的图象与性质 4
考点02 y＝Asin（ωx＋φ）的图象与变换 6
考点03 由图象求三角函数解析式 7
熟记三角函数的图象与性质；熟记y=Asin（wx+）的图象与性质；掌握三角函数的增减性、周期性、对称性、图象平移、零点等．
1．三角函数的图象与性质
函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
图象
定义域 R R {xx≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 （kπ，0）
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
2．y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的图象
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin（ωx＋φ） 0 A 0 －A 0
3．图象变换
求解函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质问题的三种意识
（1）转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为．y＝Asin（ωx＋φ）的形式．
（2）整体意识：类比y＝Asinx的性质，只需将y＝Asin（ωx＋φ）中的“ωx＋φ”看“y＝Asinx”中的“x”，采用整体代入求解．
①令 ωx＋φ=kπ（），可求得对称轴方程．
②令ωx＋φ=kπ（），可求得对称中心的横坐标．
③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间，注意ω的符号．
（3）讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0．
一、选择题（共8小题）
1．（2024 全国）函数y＝sinxcosx的最大值是（　　）
A．1 B． C．2 D．﹣2
2．（2024 全国）已知和都是函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，则ω的最小值是（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
3．（2023 甲卷）已知f（x）为函数向左平移个单位所得函数，则y＝f（x）与的交点个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024 天津）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．则f（x）在区间上的最小值为（　　）
A． B． C．0 D．
5．（2025 上海）已知a∈R，不等式在（0，2025）中的整数解有m个．关于m的个数，以下不可能的是（　　）
A．0 B．338 C．674 D．1012
6．（2025 天津）f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜π），在[，]上单调递增，且x为它的一条对称轴，（，0）是它的一个对称中心，当x∈[0，]时，f（x）的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．0
7．（2024 新高考Ⅰ）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与y＝2sin（3x）的交点个数为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
8．（2025 新高考Ⅰ）若点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（共1小题）
（多选）9．（2024 新高考Ⅱ）对于函数f（x）＝sin2x和，下列正确的有（　　）
A．f（x）与g（x）有相同零点
B．f（x）与g（x）有相同最大值
C．f（x）与g（x）有相同的最小正周期
D．f（x）与g（x）的图像有相同的对称轴
三、填空题（共2小题）
10．（2024 甲卷）函数f（x）＝sinx在[0，π]上的最大值是 　 　
11．（2025 上海）函数y＝cosx在[，]上的值域为　 　 ．
四、解答题（共1小题）
12．（2025 新高考Ⅱ）已知f（x）＝cos（2x+φ）（0≤φ＜π），且f（0）．
（1）求φ的值；
（2）设g（x）＝f（x）+f（x），求g（x）的值域和单调区间．
考点01 三角函数的图象与性质
解法指导 1．对称性与周期性 （1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． （2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路 （1）奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx的形式． （2）周期的计算方法：利用y＝Asin（ωx＋φ），y＝Acos（ωx＋φ）（ω＞0）的周期为，y＝Atan（ωx＋φ）（ω＞0）的周期为求解． （3）解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心．
【例1】　（2025 新蔡县校级模拟）下列区间中，函数单调递减的区间是（　　）
A． B． C． D．（0，π）
【例2】　（2025 陇西县校级模拟）若函数在区间（0，π）上单调递增，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．（0，3]
【例3】　（2025 上海校级模拟）已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（　　）
A．（0，1] B．（0，1） C． D．
【例4】　（2025 南昌校级模拟）若是偶函数，则cosφ+m＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0或2
【例5】　（2025 通辽三模）已知函数是偶函数，则|φ|的最小值是（　　）
A． B． C． D．
考点02 y＝Asin（ωx＋φ）的图象与变换
解法指导 1．y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的图象 x－－＋－ωx＋φ0π2πy＝Asin（ωx＋φ）0A0－A0
2．f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω≠0） （1）f（x）为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ（k∈Z）． （2）f（x）为奇函数的充要条件是φ＝kπ（k∈Z）． 3．函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k图象平移的规律：左加右减，上加下减．
【例6】　（2025 慈溪市校级模拟）将函数f（x）＝2cos4x图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图像，则（　　）
A．g（x）＝2sin4x B．g（x）＝﹣2sin4x
C． D．
【例7】　（2025 南宁模拟）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若曲线y＝g（x）关于直线对称，则g（x）的最小正周期的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【例8】　（2025 广东校级模拟）若函数y＝sinx+λcosx（λ∈R）的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝λsinx+cosx的图象，则λ的值为（　　）
A． B． C． D．
【例9】　（2025 市中区校级二模）函数y＝f（x）的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f（x）的图象与直线的交点个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例10】　（2025 广元模拟）将函数f（x）＝sinx图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数g（x）＝sin（）（|φ|））的图象，若点被变换成了点A′（x0，y0），且sinx0，则φ的所有可能值之和为（　　）
A． B． C． D．
考点03 由图象求三角函数解析式
解法指导 由图象求三角函数解析式 （1）若最大值为M，最小值为m，则A，k． （2）ω由周期T确定，即由T求出． （3）φ由特殊点确定．
【例11】　（2025 罗湖区校级模拟）设函数在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（　　）
A． B． C． D．
【例12】　（2025 福建校级模拟）已知函数部分图象如图所示，其中x0≤π，则ω的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．
【例13】　（2025 碑林区校级模拟）如图，将绘有函数f（x）＝Msin（M＞0，0＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为．则φ＝（　　）
A． B． C． D．
【例14】　（2025 玉林模拟）已知f（x）＝Acos（ωx+φ）[A＞0，ω＞0，|φ|，x∈R]的部分图象如图所示，则f（x）的表达式是（　　）
A．2cos B．2cos（x）
C．2cos（2x） D．2cos（）
【例15】　（2025 临沧模拟）已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：
①f（x）在区间上单调递减
②f（x）的图象可由y＝2sin2x的图象向左平移个单位得到
③f（x）的对称轴为
④f（x）在区间上的最小值为
以上四个说法中，正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4

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