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专题08 导数及其应用
　　　　
考点01 导数与切线 5
考点02 导数与单调性 6
考点03 导数与极值、最值 7
考点04 导数与零点 9
熟悉导数的计算和几何意义；掌握导数研究函数的单调性、极值、最值．
1．导数的几何意义
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）．
2．导数公式
基本初等函数 导函数
f（x）＝c（c为常数） f′（x）＝0
f（x）＝xα（α∈Q且α≠0） f′（x）＝αxα－1
f（x）＝sin x f′（x）＝cosx
f（x）＝cos x f′（x）＝－sinx
f（x）＝ax（a＞0且a≠1） f′（x）＝axlna
f（x）＝ex f′（x）＝ex
f（x）＝logax（a＞0且a≠1） f′（x）＝
f（x）＝lnx f′（x）＝
3．导数的运算法则
（1）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）．
（2）[cf（x）]′＝cf′（x）．
（3）[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）．
（4）′＝（g（x）≠0）．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′．
5．导数与单调性
（1）f′（x）＞0 f（x）在（a，b）上单调递增．
（2）f′（x）＜0 f（x）在（a，b）上单调递减．
6．函数的极值
（1）函数的极小值：函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0．则a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极小值．
（2）函数的极大值：函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′（b）＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0．则b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值．
（3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
7．函数的最值
（1）函数f（x）在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
（2）求y＝f（x）在区间[a，b]上的最大（小）值的步骤：
①求函数y＝f（x）在区间（a，b）上的极值；
②将函数y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．求导
（1）求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错．
（2）①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．
②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．
2．确定函数单调区间的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域．
（2）求f′（x）．
（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．
（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
3．函数极值的两类热点问题
（1）求函数f （x）极值的一般解题步骤
①确定函数的定义域．
②求导数f′（x）．
③解方程f′（x）＝0，求出函数定义域内的所有根．
④列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根x0左右两侧值的符号．
（2）根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②验证：求解后验证根的合理性．
一、选择题（共4小题）
1．（2024 甲卷）曲线f（x）＝x6+3x﹣1在（0，﹣1）处的切线与坐标轴围成的面积为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023 新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝aex﹣lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（　　）
A．e2 B．e C．e﹣1 D．e﹣2
3．（2023 甲卷）曲线y在点（1，）处的切线方程为（　　）
A．yx B．yx C．yx D．yx
4．（2023 全国）已知函数f（x）＝x3+ax2+x+b在x＝1处取得极小值1，则b＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
二、多选题（共3小题）
（多选）5．（2025 新高考Ⅱ）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝（x2﹣3）ex+2，则（　　）
A．f（0）＝0
B．当x＜0时，f（x）＝﹣（x2﹣3）e﹣x﹣2
C．f（x）≥2，当且仅当x
D．x＝﹣1是f（x）的极大值点
（多选）6．（2024 新高考Ⅰ）设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（　　）
A．x＝3是f（x）的极小值点
B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）
C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0
D．当﹣1＜x＜0时，f（2﹣x）＞f（x）
（多选）7．（2023 新高考Ⅱ）若函数f（x）＝alnx（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　）
A．bc＞0 B．ab＞0 C．b2+8ac＞0 D．ac＜0
三、填空题（共6小题）
8．（2025 新高考Ⅰ）若直线y＝2x+5是曲线y＝ex+x+a的切线，则a＝ 　 　 ．
9．（2025 新高考Ⅱ）若x＝2是函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣a）的极值点，则f（0）＝　 ．
10．（2024 新高考Ⅰ）若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝　 　 ．
11．（2024 全国）函数f（x）＝ex﹣2x的最小值为　 　 ．
12．（2023 乙卷）设a∈（0，1），若函数f（x）＝ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围是 　 　 ．
13．（2023 全国）曲线y＝2lnx+x2在（1，1）处切线方程为 　 　 ．
考点01 导数与切线
解法指导 1．求切线 （1）找到切线的斜率． （2）点是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来． 2．导数与切线 （1）处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程（组）并解出参数． （2）切点处的导数是切线的斜率． （3）切点在切线上，故满足切线方程． （4）切点在曲线上，故满足曲线方程．
【例1】　（2025 江苏校级一模）将曲线y＝e2x（e为自然对数的底数）绕坐标原点顺时针旋转θ后第一次与x轴相切，则tanθ＝（　　）
A．e B．e2 C．2e D．2e2
【例2】　（2025秋 内江月考）f（x）＝x﹣1﹣2lnx，则f（x）在x＝1处切线方程为（　　）
A．y+x﹣1＝0 B．y﹣x+1＝0 C．x＝1 D．y+2x﹣2＝0
【例3】　（2025 北京校级模拟）已知过点A（a，0）作曲线y＝（1﹣x）ex的切线有且仅有1条，则a＝（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣3或1 D．3或1
【例4】　（2025 雨花区校级一模）已知定义在R上的函数f（x）满足2f（x）＝f（﹣x）+3ex，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（　　）
A．y＝3x+3 B．y＝3x﹣3 C．y＝x+3 D．y＝x﹣3
【例5】　（2025 肇庆一模）曲线y＝x（x2﹣1）在x＝1处的切线方程为（　　）
A．x＝1 B．y＝1 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣2
考点02 导数与单调性
解法指导 1．利用导数求解函数单调性的步骤 （1）确定f（x）的定义域． （2）计算导数f′（x）． （3）求出f′（x）＝0的根． （4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间． 2．根据函数单调性求参数的方法 （1）利用集合间的包含关系处理：y＝f（x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集． （2）f（x）为增（减）函数的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f′（x）≥0（f′（x）≤0），且在（a，b）内的任一非空子区间上，f′（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解． （3）若函数y＝f（x）在区间（a，b）上不单调，则转化为f′（x）＝0在（a，b）上有解（需验证解的两侧导数是否异号）． 3．利用导数比较大小 （1）关键是判断已知（或构造后的）函数的单调性． （2）利用其单调性比较大小．
【例6】　（2025 宝应县校级模拟）已知，b＝ee﹣1，，则有（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【例7】　（2025 湖北模拟）下列函数在区间[1，4]上单调递增的是（　　）
A． B．
C．f（x）＝xlnx D．f（x）＝x﹣lnx2
【例8】　（2025 四川校级三模）设函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，则不等式f（2x2﹣1）+f（x）≤0的解集为（　　）
A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，3] C．（﹣∞，2] D．
【例9】　（2025 宿迁模拟）已知函数f（x）＝ex+e﹣x﹣cosx，则不等式f（x﹣1）＜f（lnx）的解集为（　　）
A．（1，+∞） B．（e，+∞） C．（0，1） D．（0，e）
【例10】　（2025 汉中二模）若 x∈R满足ex+a＞x﹣1，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣1＜a＜0 B．a≤﹣2 C．﹣e＜a＜﹣2 D．a＞﹣2
考点03 导数与极值、最值
解法指导 1．求函数f（x）极值的步骤 （1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）． （2）求方程f′（x）＝0的根． （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值． 2．求f（x）在[a，b]上最值的步骤 （1）求f（x）在（a，b）内的极值． （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值． 3．极值问题 （1）已知函数极值确定函数解析式中的参数时，要根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解，求解后要检验． （2）判断极值点的个数，转化为导数的根的个数． 4．最值问题 （1）求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f（a），f（b）与f（x）的各极值进行比较得到函数的最值． （2）若所给函数f（x）含参数，则需通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f（x）的最值．
【例11】　（2025 承德模拟）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足，且f（1）＝e2，则f（x）（　　）
A．有极大值无极小值
B．有极小值无极大值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值又无极小值
【例12】　（2025 兴化市校级模拟）设f（x）是一个三次函数，f'（x）为其导函数，如图所示的是y＝x f'（x）的图像的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是（　　）
A．f（1）与f（﹣1） B．f（﹣1）与f（1）
C．f（2）与f（﹣2） D．f（﹣2）与f（2）
【例13】　（2025 河北模拟）已知函数f（x）＝（x﹣a2）（x﹣1）2在x＝1处取得极小值，则实数a的取值范围为（　　）
A．﹣1＜a＜1 B．a＜﹣1或a＞1 C．﹣1＜a＜0 D．0＜a＜1
【例14】　（2025 绵阳校级模拟）函数f（x）＝﹣x3+3x在区间（a2﹣12，a）上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，） B．（﹣1，2） C．（﹣1，2] D．（1，4）
【例15】　（2025 芙蓉区校级模拟）已知函数f（x）＝ex﹣x，则函数f（x）的最小值为（　　）
A． B．1 C．e﹣1 D．e
考点04 导数与零点
解法指导 1．导数与零点 含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围． 2．利用导数研究函数的零点 （1）函数讨论法：讨论参数范围，借助函数单调性求解． （2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决． （3）数形结合法：构造两个函数，利用数形结合的方法求解．
【例16】　（2025 石峰区校级模拟）已知函数y＝f（x）的表达式为，若函数g（x）＝[f（x）]2+2af（x）﹣e2﹣ae恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2e） B．（﹣∞，﹣e） C． D．
【例17】　（2025 濮阳二模）已知实数a满足2a+a＝2，则函数f（x）＝2x3﹣3x2+1﹣a的零点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例18】　（2025 曲靖一模）已知x1是函数f（x）＝xlnx﹣2025的零点，x2是函数g（x）＝lnx+x﹣ln2025的零点，则x1x2的值为（　　）
A． B． C． D．2025
【例19】　（2025 灌云县校级模拟）若函数f（x）＝|lnx|﹣ax在区间（0，4）上有三个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【例20】　（2025 历下区校级模拟）已知函数f（x）＝xeax+a（1﹣e）x﹣（e﹣1）lnx﹣1恰有2个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．专题08 导数及其应用
　　　　
考点01 导数与切线 10
考点02 导数与单调性 13
考点03 导数与极值、最值 17
考点04 导数与零点 21
熟悉导数的计算和几何意义；掌握导数研究函数的单调性、极值、最值．
1．导数的几何意义
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）．
2．导数公式
基本初等函数 导函数
f（x）＝c（c为常数） f′（x）＝0
f（x）＝xα（α∈Q且α≠0） f′（x）＝αxα－1
f（x）＝sin x f′（x）＝cosx
f（x）＝cos x f′（x）＝－sinx
f（x）＝ax（a＞0且a≠1） f′（x）＝axlna
f（x）＝ex f′（x）＝ex
f（x）＝logax（a＞0且a≠1） f′（x）＝
f（x）＝lnx f′（x）＝
3．导数的运算法则
（1）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）．
（2）[cf（x）]′＝cf′（x）．
（3）[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）．
（4）′＝（g（x）≠0）．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′．
5．导数与单调性
（1）f′（x）＞0 f（x）在（a，b）上单调递增．
（2）f′（x）＜0 f（x）在（a，b）上单调递减．
6．函数的极值
（1）函数的极小值：函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0．则a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极小值．
（2）函数的极大值：函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′（b）＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0．则b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值．
（3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
7．函数的最值
（1）函数f（x）在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
（2）求y＝f（x）在区间[a，b]上的最大（小）值的步骤：
①求函数y＝f（x）在区间（a，b）上的极值；
②将函数y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．求导
（1）求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错．
（2）①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．
②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．
2．确定函数单调区间的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域．
（2）求f′（x）．
（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．
（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
3．函数极值的两类热点问题
（1）求函数f （x）极值的一般解题步骤
①确定函数的定义域．
②求导数f′（x）．
③解方程f′（x）＝0，求出函数定义域内的所有根．
④列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根x0左右两侧值的符号．
（2）根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②验证：求解后验证根的合理性．
一、选择题（共4小题）
1．（2024 甲卷）曲线f（x）＝x6+3x﹣1在（0，﹣1）处的切线与坐标轴围成的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先对函数求导，结合导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线的方程，可求．
【解答】解：因为f（x）＝x6+3x，
所以f′（x）＝6x5+3，
曲线在（0，﹣1）处的切线斜率k＝3，
故曲线在（0，﹣1）处的切线方程为y+1＝3x，即y＝3x﹣1，
则其与坐标轴围成的面积S．
故选：A．
2．（2023 新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝aex﹣lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（　　）
A．e2 B．e C．e﹣1 D．e﹣2
【答案】C
【分析】对函数f（x）求导，根据题意可得在（1，2）上恒成立，设，利用导数求出函数g（x）的最大值即可得解．
【解答】解：对函数f（x）求导可得，，
依题意，在（1，2）上恒成立，
即在（1，2）上恒成立，
设，则，
易知当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，
则函数g（x）在（1，2）上单调递减，
则．
故选：C．
3．（2023 甲卷）曲线y在点（1，）处的切线方程为（　　）
A．yx B．yx C．yx D．yx
【答案】C
【分析】先对函数求导，然后结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程．
【解答】解：因为y，
y′，
故函数在点（1，）处的切线斜率k，
切线方程为y（x﹣1），即y．
故选：C．
4．（2023 全国）已知函数f（x）＝x3+ax2+x+b在x＝1处取得极小值1，则b＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据已知条件，对f（x）求导，利用导数研究函数的单调性，即可求解．
【解答】解：f（x）＝x3+ax2+x+b，
则f'（x）＝3x2+2ax+1，
∵函数f（x）＝x3+ax2+x+b在x＝1处取得极小值1，
∴，解得，
故f（x）＝x3﹣2x2+x+1，
f'（x）＝3x2﹣4x+1，
令f'（x）＝0，解得x或x＝1，
f（x）在（﹣∞，），在（1，+∞）上单调递增，在（，1）上单调递减，
故f（x）在x＝1处取得极小值，
故b＝1，符合题意．
故选：C．
二、多选题（共3小题）
（多选）5．（2025 新高考Ⅱ）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝（x2﹣3）ex+2，则（　　）
A．f（0）＝0
B．当x＜0时，f（x）＝﹣（x2﹣3）e﹣x﹣2
C．f（x）≥2，当且仅当x
D．x＝﹣1是f（x）的极大值点
【答案】ABD
【分析】求解f（0）判断A；利用函数的解析式判断B；利用函数的值域求解x的范围判断C；求解函数的极值判断D．
【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，所以A正确；
当x＜0时，﹣x＞0，函数是奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（（﹣x）2﹣3）e﹣x+2]＝﹣（x2﹣3）e﹣x﹣2，所以B正确．
f′（x）＝（x2+2x﹣3）ex＝（x﹣1）（x+3）ex，
x∈（0，1），f′（x）＜0，函数是减函数，x∈（1，+∞），f′（x）＞0．函数是增函数，
所以x＝1是极小值点，f（1）＝2﹣2e，
因为函数是奇函数，所以x＝﹣1是极大值点，D正确；
极大值为2e﹣2＞2，又因为f（）＝2，函数图象如下：
由图像可得C不正确．
故选：ABD．
（多选）6．（2024 新高考Ⅰ）设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（　　）
A．x＝3是f（x）的极小值点
B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）
C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0
D．当﹣1＜x＜0时，f（2﹣x）＞f（x）
【答案】ACD
【分析】对于A，对函数f（x）求导，判断其单调性，进而得到极值情况，可判断；对于B，由0＜x2＜x＜1，结合单调性，可判断；对于C，直接计算f（2x﹣1）以及f（2x﹣1）+4与0的关系，可判断；对于D，利用作差法，可判断．
【解答】解：对于A，f′（x）＝2（x﹣1）（x﹣4）+（x﹣1）2＝3（x﹣1）（x﹣3），
易知当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（1，3）上单调递减，
当x∈（﹣∞，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0，则函数f（x）在（﹣∞，1），（3，+∞）上单调递增，
故x＝3是函数f（x）的极小值点，选项A正确；
对于B，当0＜x＜1时，0＜x2＜1，且x2＜x，
又f（x）在（0，1）上单调递增，
则f（x2）＜f（x），选项B错误；
对于C，由于1＜x＜2，
一方面，f（2x﹣1）＝（2x﹣2）2（2x﹣5）＝4（x﹣1）2（2x﹣5）＜0，
另一方面，f（2x﹣1）+4＝4（x﹣1）2（2x﹣5）+4＝4[（x﹣1）2（2x﹣5）+1]＝4（x﹣2）2（2x﹣1）＞0，
则﹣4＜f（2x﹣1）＜0，选项C正确；
对于D，由于﹣1＜x＜0，
则f（2﹣x）﹣f（x）＝（x﹣1）2（﹣2﹣x）﹣（x﹣1）2（x﹣4）＝（x﹣1）2（2﹣2x）＝﹣2（x﹣1）3＞0，
即f（2﹣x）＞f（x），选项D正确．
故选：ACD．
（多选）7．（2023 新高考Ⅱ）若函数f（x）＝alnx（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　）
A．bc＞0 B．ab＞0 C．b2+8ac＞0 D．ac＜0
【答案】BCD
【分析】将函数有极大、极小值问题转化为导函数对应的方程有两个不等正实根来处理．
【解答】解：函数定义域为（0，+∞），
且f′（x），
由题意，方程f′（x）＝0即ax2﹣bx﹣2c＝0有两个正根，设为x1，x2，
则有x1+x20，x1x20，Δ＝b2+8ac＞0，
∴ab＞0，ac＜0，
∴ab ac＝a2bc＜0，即bc＜0．
故选：BCD．
三、填空题（共6小题）
8．（2025 新高考Ⅰ）若直线y＝2x+5是曲线y＝ex+x+a的切线，则a＝ 　4　 ．
【答案】4．
【分析】根据题意，令y′＝ex+1＝2，求出x的值即可确定切点坐标，进一步将切点坐标代入曲线y＝ex+x+a中即可确定a值．
【解答】解：根据题意，y′＝ex+1，令y′＝ex+1＝2，则x＝0，
在切线y＝2x+5中，当x＝0时，y＝5，
所以切点坐标为（0，5），
将（0，5）代入曲线y＝ex+x+a中，得5＝1+a，解得a＝4．
故答案为：4．
9．（2025 新高考Ⅱ）若x＝2是函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣a）的极值点，则f（0）＝　﹣4　 ．
【答案】﹣4．
【分析】将f（x）化为多项式函数，然后求出导数，令f′（2）＝0，求出a的值，则结果可求．
【解答】解：由已知得：f（x）＝x3﹣（3+a）x2+（3a+2）x﹣2a，
所以f′（x）＝3x2﹣2（3+a）x+3a+2，
由题意得f′（2）＝3×22﹣2×（3+a）×2+3a+2＝0，
解得a＝2，经检验a＝2符合题意，
所以f（0）＝﹣4．
故答案为：﹣4．
10．（2024 新高考Ⅰ）若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝　ln2　 ．
【答案】ln2．
【分析】求解切线方程，利用已知条件，求解曲线y＝ln（x+1）+a的切点坐标，即可得到a的值．
【解答】解：曲线y＝ex+x，可得y′＝ex+1，
在点（0，1）处切线的斜率为：e0+1＝2，
切线方程为：y﹣1＝2x，即y＝2x+1．
曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，
设y＝ln（x+1）+a的切点的横坐标为x，可得切线的斜率为：2，可得x，
x代入y＝2x+1，可得切点坐标为：（，0），
切点在曲线y＝ln（x+1）+a上，所以0＝ln（1）+a，解得a＝ln2．
故答案为：ln2．
11．（2024 全国）函数f（x）＝ex﹣2x的最小值为　2﹣2ln2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】f′（x）＝ex﹣2，令f′（x）＝ex﹣2＝0，解得x＝ln2．利用单调性即可得出．
【解答】解：f′（x）＝ex﹣2，令f′（x）＝ex﹣2＝0，解得x＝ln2．
可得：函数f（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．
∴x＝ln2时，函数f（x）取得极小值即最小值，
f（ln2）＝2﹣2ln2．
故答案为：2﹣2ln2．
12．（2023 乙卷）设a∈（0，1），若函数f（x）＝ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围是 　[，1）　 ．
【答案】a的取值范围是[，1）．
【分析】由函数f（x）＝ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增，可得导函数f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，再参变量分离求解即可得出答案．
【解答】解：∵函数f（x）＝ax+（1+a）x在（0，+∞）上单调递增，
∴f′（x）＝axlna+（1+a）xln（1+a）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即（1+a）xln（1+a）≥﹣axlna，化简可得在（0，+∞）上恒成立，
而在（0，+∞）上1，
故有，由a∈（0，1），化简可得ln（1+a）≥ln，
即1+a，a2+a﹣1≥0，
解答，
故a的取值范围是[，1）．
故答案为：[，1）．
13．（2023 全国）曲线y＝2lnx+x2在（1，1）处切线方程为 　y＝4x﹣3　 ．
【答案】y＝4x﹣3．
【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程．
【解答】解：由y＝2lnx+x2可得y′，x＞0，
曲线在点（1，1）处的切线斜率为k＝4，
所以所求切线方程为y﹣1＝4（x﹣1）即y＝4x﹣3．
故答案为：y＝4x﹣3．
考点01 导数与切线
解法指导 1．求切线 （1）找到切线的斜率． （2）点是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来． 2．导数与切线 （1）处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程（组）并解出参数． （2）切点处的导数是切线的斜率． （3）切点在切线上，故满足切线方程． （4）切点在曲线上，故满足曲线方程．
【例1】　（2025 江苏校级一模）将曲线y＝e2x（e为自然对数的底数）绕坐标原点顺时针旋转θ后第一次与x轴相切，则tanθ＝（　　）
A．e B．e2 C．2e D．2e2
【答案】C
【分析】设直线y＝kx与曲线y＝e2x相切，设切点为（x0，y0），根据导数的几何意义求出切点，再由题意可得即可得解．
【解答】解：设直线y＝kx与曲线y＝e2x相切，设切点为（x0，y0），
求导得y′＝2e2x，
则曲线y＝e2x在点（x0，y0）处切线的斜率为，
又y0，y0＝kx0，
解得，
所以k＝2e，
所以切点为，
将曲线y＝e2x（e为自然对数的底数） 绕坐标原点顺时针旋转θ后第一次与x轴相切，
则．
故选：C．
【例2】　（2025秋 内江月考）f（x）＝x﹣1﹣2lnx，则f（x）在x＝1处切线方程为（　　）
A．y+x﹣1＝0 B．y﹣x+1＝0 C．x＝1 D．y+2x﹣2＝0
【答案】A
【分析】求函数f（x）在x＝1处的导数值，结合导数的几何意义及点斜式可得切线方程．
【解答】解：因为f（x）＝x﹣1﹣2lnx，所以，
所以f（1）＝0，f′（1）＝﹣1，
所以所求切线方程为y＝﹣1（x﹣1），即x+y﹣1＝0．
故选：A．
【例3】　（2025 北京校级模拟）已知过点A（a，0）作曲线y＝（1﹣x）ex的切线有且仅有1条，则a＝（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣3或1 D．3或1
【答案】C
【分析】求出导函数，转化求解切线方程，可得方程t2﹣（a+1）t+1＝0有两个相等的解，再由判别式等于0求解．
【解答】解：设切点为（t，（1﹣t）et），y′＝﹣xex，∴，
则切线方程为y﹣et+tet＝﹣tet（x﹣t），切线过点A（a，0），代入得﹣et+tet＝﹣tet（a﹣t），
∴t2﹣（a+1）t+1＝0，即方程t2﹣（a+1）t+1＝0有两个相等的实数根，
则Δ＝（a+1）2﹣4＝a2+2a﹣3＝0，解得a＝﹣3或a＝1．
故选：C．
【例4】　（2025 雨花区校级一模）已知定义在R上的函数f（x）满足2f（x）＝f（﹣x）+3ex，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（　　）
A．y＝3x+3 B．y＝3x﹣3 C．y＝x+3 D．y＝x﹣3
【答案】C
【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程．
【解答】解：因为2f（x）＝f（﹣x）+3ex，所以2f（﹣x）＝f（x）+3e﹣x，
联立可解得f（x）＝e﹣x+2ex，所以f（0）＝3，所以f′（x）＝﹣e﹣x+2ex，f′（0）＝1．
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣3＝x，
故所求的切线方程为y＝x+3．
故选：C．
【例5】　（2025 肇庆一模）曲线y＝x（x2﹣1）在x＝1处的切线方程为（　　）
A．x＝1 B．y＝1 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣2
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求出斜率，再代入直线的点斜式方程化简即可．
【解答】解：因为y＝x（x2﹣1），所以当x＝1时，y＝0，即切点坐标为（1，0），
又y′＝3x2﹣1，所以y′|x＝1＝2，
所以曲线y＝x（x2﹣1）在x＝1处的切线方程为y﹣0＝2（x﹣1），即y＝2x﹣2．
故选：D．
考点02 导数与单调性
解法指导 1．利用导数求解函数单调性的步骤 （1）确定f（x）的定义域． （2）计算导数f′（x）． （3）求出f′（x）＝0的根． （4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间． 2．根据函数单调性求参数的方法 （1）利用集合间的包含关系处理：y＝f（x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集． （2）f（x）为增（减）函数的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f′（x）≥0（f′（x）≤0），且在（a，b）内的任一非空子区间上，f′（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解． （3）若函数y＝f（x）在区间（a，b）上不单调，则转化为f′（x）＝0在（a，b）上有解（需验证解的两侧导数是否异号）． 3．利用导数比较大小 （1）关键是判断已知（或构造后的）函数的单调性． （2）利用其单调性比较大小．
【例6】　（2025 宝应县校级模拟）已知，b＝ee﹣1，，则有（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】C
【分析】函数，则a＝f（3），b＝f（e），c＝f（4），确定函数f（x）的单调性，通过单调性可确定大小．
【解答】解：把a，b，c变形得，，，
所以构造函数，则a＝f（3），b＝f（e），c＝f（4），
又，
令，则在（1，+∞）上恒成立，
所以g（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
因为，
所以f′（x）＞0在[e，+∞）上恒成立，
所以函数在[e，+∞）上单调递增，
所以f（e）＜f（3）＜f（4），即b＜a＜c．
故选：C．
【例7】　（2025 湖北模拟）下列函数在区间[1，4]上单调递增的是（　　）
A． B．
C．f（x）＝xlnx D．f（x）＝x﹣lnx2
【答案】C
【分析】对A，根据解析式判断单调性得解；对B，C，D，求导，利用判断导数正负得解．
【解答】解：对于A，的定义域为（﹣∞，2）∪（2，+∞），f（x）在（1，2）上单调递增，在（2，4）上单调递增，故A错误．
对于B，在[1，4]上单调递减，不满足在[1，4]上单调递增，故B错误．
对于C，f′（x）＝lnx+1＞0，满足在[1，4]上单调递增，故C正确．
对于D，在（1，2）上单调递减，在（2，4）上单调递增，故D错误．
故选：C．
【例8】　（2025 四川校级三模）设函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，则不等式f（2x2﹣1）+f（x）≤0的解集为（　　）
A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，3] C．（﹣∞，2] D．
【答案】D
【分析】先用定义判断出函数为奇函数，用导数符号判断出函数为递增函数，然后利用奇偶性和单调性解不等式可解得．
【解答】解：因为f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x的定义域为R，
并且f（﹣x）＝e﹣x﹣ex+2x＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数，
所以f（2x2﹣1）+f（x）≤0 f（2x2﹣1）≤﹣f（x） f（2x2﹣1）≤f（﹣x），
又因为导函数，当且仅当x＝0时，等号成立，
所以f（x）在R上单调递增，
所以2x2﹣1≤﹣x，即2x2+x﹣1≤0，解得，
因此原不等式的解集为．
故选：D．
【例9】　（2025 宿迁模拟）已知函数f（x）＝ex+e﹣x﹣cosx，则不等式f（x﹣1）＜f（lnx）的解集为（　　）
A．（1，+∞） B．（e，+∞） C．（0，1） D．（0，e）
【答案】C
【分析】利用导数确定函数f（x）在[0，+∞）的单调性，再结合偶函数的性质求解不等式．
【解答】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，
且f（﹣x）＝e﹣x+ex﹣cos（﹣x）＝f（x），
故函数f（x）是偶函数，
令g（x）＝f′（x）＝ex﹣e﹣x+sinx，
求导得，
则函数f′（x）在R上递增，
当x＞0时，f′（x）＞f′（0）＝0，
函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，
不等式f（x﹣1）＜f（lnx），即f（|x﹣1|）＜f（|lnx|），可得|x﹣1|＜|lnx|，
则（x﹣1﹣lnx）（x﹣1+lnx）＜0，
令函数h（x）＝x﹣1﹣lnx，求导得，
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x＞0，x≠1时，h（x）＞h（1）＝0，
令函数φ（x）＝x﹣1+lnx，求导得，
函数φ（x）在（0，+∞）上递增，
当0＜x＜1时，φ（x）＜φ（1）＝0，（x﹣1﹣lnx）（x﹣1+lnx）＜0成立，
当x≥1时，φ（x）≥0，（x﹣1﹣lnx）（x﹣1+lnx）＜0不成立，
综上，不等式f（x﹣1）＜f（lnx）的解集为（0，1）．
故选：C．
【例10】　（2025 汉中二模）若 x∈R满足ex+a＞x﹣1，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣1＜a＜0 B．a≤﹣2 C．﹣e＜a＜﹣2 D．a＞﹣2
【答案】D
【分析】令f（x）＝ex+a﹣x+1，对其求导，结合导数与单调性关系可求函数最小值，然后由不等式恒成立与最值关系的转化即可求解．
【解答】解：令f（x）＝ex+a﹣x+1，
则f′（x）＝ex+a﹣1，
当x≥﹣a时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，当x＜﹣a时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
故x＝﹣a时，函数取得最小值f（﹣a）＝2+a，
由题意可得，2+a＞0，即a＞﹣2．
故选：D．
考点03 导数与极值、最值
解法指导 1．求函数f（x）极值的步骤 （1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）． （2）求方程f′（x）＝0的根． （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值． 2．求f（x）在[a，b]上最值的步骤 （1）求f（x）在（a，b）内的极值． （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值． 3．极值问题 （1）已知函数极值确定函数解析式中的参数时，要根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解，求解后要检验． （2）判断极值点的个数，转化为导数的根的个数． 4．最值问题 （1）求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f（a），f（b）与f（x）的各极值进行比较得到函数的最值． （2）若所给函数f（x）含参数，则需通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f（x）的最值．
【例11】　（2025 承德模拟）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足，且f（1）＝e2，则f（x）（　　）
A．有极大值无极小值
B．有极小值无极大值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值又无极小值
【答案】D
【分析】设函数，则，进而可得f（x）＝（lnx+c）e2x，结合已知求得c＝1，利用二次求导可判断f（x）的极值．
【解答】解：由，得，
设函数，则g′（x），则，c为常数，
所以f（x）＝（lnx+c）e2x，又f（1）＝e2，
则c＝1，f（x）＝（lnx+1）e2x，．
设，，
当时，h′（x）≤0，当时，h′（x）＞0，
则h（x）在单调递减，在单调递增，
所以h（x）min，即f′（x）＞0．
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，既无极大值又无极小值．
故选：D．
【例12】　（2025 兴化市校级模拟）设f（x）是一个三次函数，f'（x）为其导函数，如图所示的是y＝x f'（x）的图像的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是（　　）
A．f（1）与f（﹣1） B．f（﹣1）与f（1）
C．f（2）与f（﹣2） D．f（﹣2）与f（2）
【答案】D
【分析】根据图像可知x∈（﹣∞，﹣2）时f（x）递增，x∈（﹣2，2）时f（x）递减，x∈（2，+∞）时f（x）递增，即可求解．
【解答】解：易知f'（﹣2）＝0，f'（2）＝0，
当x∈（﹣∞，﹣2）时，由图可知x f'（x）＜0，∴f'（x）＞0，即当x∈（﹣∞，﹣2）时f（x）递增，
当x∈（﹣2，0）时，由图可知x f'（x）＞0，∴f'（x）＜0；当x∈（0，2）时，由图可知x f'（x）＜0，∴f'（x）＜0，故当x∈（﹣2，2）时f（x）递减，
当x∈（2，+∞）时，由图可知x f'（x）＞0，∴f'（x）＞0，即当x∈（2，+∞）时f（x）递增，
故f（x）的极大值与极小值分别是f（﹣2）与f（2）．
故选：D．
【例13】　（2025 河北模拟）已知函数f（x）＝（x﹣a2）（x﹣1）2在x＝1处取得极小值，则实数a的取值范围为（　　）
A．﹣1＜a＜1 B．a＜﹣1或a＞1 C．﹣1＜a＜0 D．0＜a＜1
【答案】A
【分析】求出导函数，令f′（x）＝0，可得x的值，根据极小值的定义可得在x＝1两侧导数需满足左负右正，结合二次函数的图像与性质可得关于a的不等式，求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝（x﹣a2）（x﹣1）2，
则f′（x）＝（x﹣1）2+2（x﹣a2）（x﹣1）＝（x﹣1）（3x﹣1﹣2a2），
令f′（x）＝0，可得x＝1或x，
因为函数f（x）在x＝1处取得极小值，
所以在x＝1两侧导数需满足左负右正，
所以1，解得﹣1＜a＜1．
故选：A．
【例14】　（2025 绵阳校级模拟）函数f（x）＝﹣x3+3x在区间（a2﹣12，a）上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，） B．（﹣1，2） C．（﹣1，2] D．（1，4）
【答案】C
【分析】求函数f（x）＝﹣x3+3x的导数，研究其最小值取到的位置，由于函数在区间（a2﹣12，a）上有最小值，故最小值点的横坐标是集合（a2﹣12，a）的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围
【解答】解：由题 f'（x）＝3﹣3x2，
令f'（x）＞0解得﹣1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜﹣1或x＞1
由此得函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
∵f（0）＝0，∴函数f（x）＝﹣x3+3x在R上的图象大体如下：
故函数在x＝﹣1处取到极小值﹣2，判断知此极小值必是区间（a2﹣12，a）上的最小值
∴a2﹣12＜﹣1＜a，解得﹣1＜a，
又当x＝2时，f（2）＝﹣2，故有a≤2
综上知a∈（﹣1，2]
故选：C．
【例15】　（2025 芙蓉区校级模拟）已知函数f（x）＝ex﹣x，则函数f（x）的最小值为（　　）
A． B．1 C．e﹣1 D．e
【答案】B
【分析】利用导数求出f（x）的单调区间，从而可得函数f（x）的最小值．
【解答】解：函数f（x）的定义域为R，且f'（x）＝ex﹣1，令f'（x）＝0，可得x＝0．
当x＜0时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x＞0时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
故．
故选：B．
考点04 导数与零点
解法指导 1．导数与零点 含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围． 2．利用导数研究函数的零点 （1）函数讨论法：讨论参数范围，借助函数单调性求解． （2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决． （3）数形结合法：构造两个函数，利用数形结合的方法求解．
【例16】　（2025 石峰区校级模拟）已知函数y＝f（x）的表达式为，若函数g（x）＝[f（x）]2+2af（x）﹣e2﹣ae恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2e） B．（﹣∞，﹣e） C． D．
【答案】B
【分析】先利用导数研究函数f（x）的性质，确定方程f（x）＝t的解的情况，然后结合二次方程根的分布知识求参数范围即可．
【解答】解：，
x＞0时，，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减，
x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增，
x→+∞时，f（x）→+∞，x→0+时，f（x）→+∞，f（1）＝e是极小值，
x＜0时，，f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，
x→﹣∞时，f（x）→0，x→0﹣时，f（x）→+∞，且f（x）＞0，
作出函数f（x）的大致图象，如图，
由图象知t≤0时，f（x）＝t无实解，0＜t＜e时，f（x）＝t有一解，t＝e时，f（x）＝t有两解，t＞e时，f（x）＝t有三解，
方程[f（x）]2+2af（x）﹣e2﹣ae＝0有四解，
则方程t2+2at﹣e2﹣ae＝0有两解t1，t2且0＜t1＜e＜t2，
记g（t）＝t2+2at﹣e2﹣ae，
则，
解得a＜﹣e，
所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣e）．
故选：B．
【例17】　（2025 濮阳二模）已知实数a满足2a+a＝2，则函数f（x）＝2x3﹣3x2+1﹣a的零点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】利用导数研究函数的单调性且f（0）＝1﹣a，f（1）＝﹣a，再利用指数函数、一次函数的性质确定参数a的范围，结合零点存在性定理判断零点个数．
【解答】解：由题设f′（x）＝6x（x﹣1），
当x＜0或x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
且f（0）＝1﹣a，f（1）＝﹣a，
由2a+a＝2，即2a＝2﹣a，而y＝2a在R上递增，y＝2﹣a在R上递减，
显然20＝1＜2﹣0＝2，21＝2＞2﹣1＝1，
故0＜a＜1，
所以f（0）＞0＞f（1），
又x趋向﹣∞时f（x）趋向﹣∞，x趋向+∞时f（x）趋向+∞，
综上，f（x）共有3个零点．
故选：D．
【例18】　（2025 曲靖一模）已知x1是函数f（x）＝xlnx﹣2025的零点，x2是函数g（x）＝lnx+x﹣ln2025的零点，则x1x2的值为（　　）
A． B． C． D．2025
【答案】D
【分析】根据零点性质结合导数构造函数求解．
【解答】解：因为x1是f（x）＝xlnx﹣2025的零点，所以x1lnx1﹣2025＝0，可得x1lnx1＝2025①．
因为x2是g（x）＝lnx+x﹣ln2025的零点，所以lnx2+x2﹣ln2025＝0，即lnx2+x2＝ln2025．
设t＝lnx2，则，那么t+et＝ln2025．
对y＝xlnx求导，y′＝lnx+1，当x时，y′＞0，函数y＝xlnx单调递增；
当时，y′＜0，函数y＝xlnx单调递减．
对y＝lnx+x求导，，函数y＝lnx+x在（0，+∞）上单调递增．
由x1lnx1＝2025，lnx2+x2＝ln2025，且y＝xlnx与y＝lnx+x的单调性可知，
x1与x2满足．
那么．
又因为lnx2+x2＝ln2025，其2025，所以x1x2＝2025．
故选：D．
【例19】　（2025 灌云县校级模拟）若函数f（x）＝|lnx|﹣ax在区间（0，4）上有三个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题可通过将函数f（x）＝|lnx|﹣ax在区间（0，4）上有三个零点转化为y＝|lnx|与y＝ax在（0，4）上有三个交点，再分区间讨论并结合导数研究函数单调性来求解a的取值范围．
【解答】解：函数f（x）＝|lnx|﹣ax在区间（0，4）上有三个零点等价于函数y＝|lnx|与y＝ax在（0，4）上有三个交点，
当0＜x≤1时，y＝|lnx|＝﹣lnx在（0，1]上单调递减，y＝ax是过原点的直线，要使两函数图象有交点，需a＞0；
当1＜x＜4时，y＝|lnx|＝lnx，
令lnx＝ax，
得，
令，
则，
令g′（x）＞0，
解得1＜x＜e，
令g′（x）＜0，
解得e＜x＜4，
所以当1＜x＜e时，g（x）单调递增；当e＜x＜4时，g（x）单调递减，
所以g（x）在x＝e处取得最大值，
又，，
要使函数y＝|lnx|与y＝ax在（0，4）上有三个交点，
则y＝|lnx|＝﹣lnx与y＝ax在（0，1]上需有一个交点、在（1，4）上需有两个交点，
则需满足g（4）＜a＜g（e），
所以．
综上，实数a的取值范围为．
故选：B．
【例20】　（2025 历下区校级模拟）已知函数f（x）＝xeax+a（1﹣e）x﹣（e﹣1）lnx﹣1恰有2个零点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先利用同构将函数进行化简，在利用单调性与交点个数转化成切线处理问题．
【解答】解：令f（x）＝0，得xeax+a（1﹣e）x﹣（e﹣1）lnx﹣1＝0，即eax+lnx+（1﹣e）（lnx+ax）﹣1＝0，
令ax+lnx＝t，则et+（1﹣e）t﹣1＝0，
令h（x）＝ex+（1﹣e）x﹣1，则h′（x）＝ex+1﹣e．
令h′（x）＞0，可得x＞ln（e﹣1），令h′（x）＜0，可得x＜ln（e﹣1），
∴h（x）在（﹣∞，ln（e﹣1））上单调递减，在（ln（e﹣1），+∞）上单调递增，
又0＜ln（e﹣1）＜1，h（0）＝h（1）＝0，则h（x）＝0有且只有两个根，分别为0，1．
当a≥0时，函数f（x）恰有2个零点等价于y＝ax+lnx的图象与直线y＝0和y＝1共有2个交点．
令p（x）＝lnx+ax，则，则p（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
又x→0，p（x）→﹣∞，x→+∞，p（x）→+∞，即p（x）∈R，则y＝ax+lnx的图象与直线y＝0和y＝1各有1个交点，符合题意．
当a＜0时，函数f（x）恰有2个零点，等价于函数y＝lnx的图象与直线y＝﹣ax，y＝1﹣ax的图象共有2个交点，
如图1，当y＝﹣ax与y＝lnx相切，设对应切点为（x3，y3），∵，
则相应切线方程为，则，解得；
如图2，当y＝1﹣ax与y＝lnx相切，设对应切点为（x4，y4），
则相应切线方程为lnx4﹣1＝1﹣ax，则，解得a，
则．
综上，．
故选：D．

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