资源简介

专题09 平面向量
　　　　
考点01 基底 4
考点02 平面向量的数量积 6
考点03 平面向量的模 7
考点04 平面向量的夹角 8
考点05 平面向量的平行与垂直 9
考点06 投影向量 10
考查平面向量基本定理、加减法运算、向量数量积的坐标与模长运算；会进行数量积的运算；会用数量积表示两个向量的夹角；会用数量积判断向量的垂直关系；会用坐标运算表示向量的平行关系．
1．平面向量的线性运算
（1）向量的加法：三角形法则，平行四边形法则．
（2）向量的减法：－＝．
2．向量的数乘
（1）|λa|＝|λ||a|．
（2）λa （a≠0）的方向：．
（3）λ（μa）＝（λμ）a．
（4）（λ＋μ）a＝λa＋μa．
（5）λ（a＋b）＝λa＋λb．
（6）（－λ）a＝－λa＝λ（－a）．
3．向量共线
（1）向量a （a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
（2）x1y2－x2y1＝0a，b（b≠0）共线．
4．平面向量的数量积
（1）非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．
（2）a⊥b a·b＝0．
（3）当a∥b时，a·b＝．
（4）a·a＝|a|2或|a|＝．
（5）|a·b|≤|a||b|．
5．平面向量的坐标表示
（1）向量加法：a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）．
（2）向量减法：a－b＝（x1－x2，y1－y2）．
（3）向量数乘：λa＝（λx，λy）．
（4）向量平行：x1y2－x2y1＝0a∥b．
（5）向量垂直：a⊥b x1x2＋y1y2＝0．
（6）向量的夹角：cosθ＝＝．
1．给定向量和，其中三点不共线，则对于直线上任意一点，有
其中参数
理解为模长相除，同向取正号；反向取负号．
2．给定和线段上一点，则
3．给定和其内一点，则
一、选择题（共4小题）
1．（2025 北京）已知平面直角坐标系xOy中，||＝||，||＝2，设C（3，4），则|2|的取值范围是（　　）
A．[6，14] B．[6，12] C．[8，14] D．[8，12]
2．（2024 新高考Ⅰ）已知向量（0，1），（2，x），若⊥（），则x＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
3．（2024 新高考Ⅱ）已知向量，满足：，，且，则||＝（　　）
A． B． C． D．1
4．（2024 全国）已知平面向量（1，1），（x+1，y），则（　　）
A．“x＝1，y＝﹣2”是“”的必要条件
B．“x＝1，y＝﹣2”是“”的充分条件
C．“x＝1，y＝﹣2”是“”的必要条件
D．“x＝1，y＝﹣2”是“”的充分条件
二、填空题（共6小题）
5．（2025 上海）已知，，若∥，则x＝ 　 　 ．
6．（2025 上海）已知函数f，、、是平面内三个不同的单位向量．若f（ ）+f（ ）+f（ ）＝0，则||的取值范围是　 　 ．
7．（2025 天津）△ABC中，D为AB边中点，，，则　　 （用，表示）；若||＝5，AE⊥CB，则　 　 ．
8．（2025 新高考Ⅱ）已知平面向量（x，1），（x﹣1，2x），若⊥（），则||＝　　 ．
9．（2025 上海）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则在方向上的数量投影的最大值 　 　 ．
10．（2024 上海）已知k∈R，（2，5），∥，则k的值为 　 　 ．
考点01 基底
解法指导 基底的判断 （1）看两向量是否不共线． （2）平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
【例1】　（2025 越城区校级模拟）若{，}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（　　）
A．{，}
B．{2，}
C．{，4}
D．{32，﹣64}
【例2】　（2025 丰泽区校级模拟）已知，为平面内一组基底，a，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．1
【例3】　（2025 浦东新区校级模拟）下列各组向量中，能作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【例4】　（2025 辽宁模拟）已知，是不共线的向量，且，2m，43，若与不能作为平面内所有向量的一组基底，则m＝（　　）
A． B． C． D．
考点02 平面向量的数量积
解法指导 1．平面向量的数量积 （1）a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2． （2）|a|2＝a·a． （3）（a＋b）·（a－b）＝|a|2－|b|2． （4）（a＋b）2＝|a|2＋2a·b＋|b|2． （5）|a·b|≤|a||b|． （6）当a∥b时，a·b＝ 2．求平面向量数量积 （1）计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角． （2）条件是两向量的始点必须重合． （3）否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
【例5】　（2025 池州模拟）已知向量满足，则（　　）
A． B． C． D．
【例6】　（2025 昆明校级模拟）若A，B为圆C上两点，且|AB|＝2，则（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【例7】　（2025 江西三模）已知平面单位向量满足，则（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【例8】　（2025 乌鲁木齐模拟）已知等边三角形ABC的边长是2，D，E分别是AB，AC的中点，则（　　）
A． B． C． D．
考点03 平面向量的模
解法指导 1．平面向量的模长 （1）若a＝（x，y），则|a|2＝x2＋y2或|a|＝． （2）若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则a＝（x2－x1，y2－y1），|a|＝． 2．求向量模长 （1）求模问题转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方． （2）a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
【例9】　（2025 焦作校级一模）已知平面向量||＝4，||＝3，||＝1，0，则||的最小值是（　　）
A．1 B．2 C． D．3
【例10】　（2025 无极县校级模拟）已知平面向量满足，则（　　）
A．3 B． C． D．1
【例11】　（2025 廊坊模拟）已知向量，满足，，且，则的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【例12】　（2025 涪城区校级模拟）已知||＝4，，向量与的夹角为，则||＝（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
考点04 平面向量的夹角
解法指导 向量夹角问题 （1）由cosθ＝＝直接求出cosθ． （2）由cos θ求θ时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°． （3）由cosθ＝判断θ时：当cosθ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°． （4）由cosθ＝判断θ时：当cos θ>0时，有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°．
【例13】　（2025 广西模拟）已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（　　）
A． B． C． D．
【例14】　（2025 临澧县校级模拟）已知向量，满足，，，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【例15】　（2025 合肥校级模拟）已知（3，﹣1），（1，﹣2），则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【例16】　（2025 汉中二模）向量，，且，则（　　）
A． B． C． D．
考点05 平面向量的平行与垂直
解法指导 平面向量的平行与垂直 （1）a∥b b＝λa x1y2－x2y1＝0． （2）a⊥b a·b=0 x1x2＋y1y2＝0．
【例17】　（2025 固始县校级模拟）已知平面向量，，为两两不共线的单位向量，则“（） 0”是“与共线”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【例18】　（2025 新余校级模拟）已知非零向量满足，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【例19】　（2025 湛江二模）已知向量，满足（1，2）， 5，且⊥（λ），则λ＝（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C． D．
【例20】　（2025 平凉校级模拟）已知向量，﹣π＜θ＜0，若，则θ＝（　　）
A． B． C． D．
考点06 投影向量
解法指导 投影向量 （1）在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量． （2）设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cosθ e．
【例21】　（2025 山西模拟）已知向量，，则在上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
【例22】　（2025 仁寿县校级三模）已知向量，，，则向量在上的投影向量为（　　）
A． B．（﹣2，2） C．（2，﹣2） D．
【例23】　（2025 湖南模拟）已知（2，1），（3，5），则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【例24】　（2025 湖北模拟）已知向量与的夹角为，，，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．专题09 平面向量
　　　　
考点01 基底 11
考点02 平面向量的数量积 14
考点03 平面向量的模 16
考点04 平面向量的夹角 19
考点05 平面向量的平行与垂直 22
考点06 投影向量 25
考查平面向量基本定理、加减法运算、向量数量积的坐标与模长运算；会进行数量积的运算；会用数量积表示两个向量的夹角；会用数量积判断向量的垂直关系；会用坐标运算表示向量的平行关系．
1．平面向量的线性运算
（1）向量的加法：三角形法则，平行四边形法则．
（2）向量的减法：－＝．
2．向量的数乘
（1）|λa|＝|λ||a|．
（2）λa （a≠0）的方向：．
（3）λ（μa）＝（λμ）a．
（4）（λ＋μ）a＝λa＋μa．
（5）λ（a＋b）＝λa＋λb．
（6）（－λ）a＝－λa＝λ（－a）．
3．向量共线
（1）向量a （a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
（2）x1y2－x2y1＝0a，b（b≠0）共线．
4．平面向量的数量积
（1）非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．
（2）a⊥b a·b＝0．
（3）当a∥b时，a·b＝．
（4）a·a＝|a|2或|a|＝．
（5）|a·b|≤|a||b|．
5．平面向量的坐标表示
（1）向量加法：a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）．
（2）向量减法：a－b＝（x1－x2，y1－y2）．
（3）向量数乘：λa＝（λx，λy）．
（4）向量平行：x1y2－x2y1＝0a∥b．
（5）向量垂直：a⊥b x1x2＋y1y2＝0．
（6）向量的夹角：cosθ＝＝．
1．给定向量和，其中三点不共线，则对于直线上任意一点，有
其中参数
理解为模长相除，同向取正号；反向取负号．
2．给定和线段上一点，则
3．给定和其内一点，则
一、选择题（共4小题）
1．（2025 北京）已知平面直角坐标系xOy中，||＝||，||＝2，设C（3，4），则|2|的取值范围是（　　）
A．[6，14] B．[6，12] C．[8，14] D．[8，12]
【答案】D
【分析】由，|，可得点A、B在以O为圆心，为半径的圆上，取AB的中点H，得|OH|＝1，则点H在以O为圆心，1为半径的圆上，根据向量的线性运算及数量积运算，可得，再根据点到圆的距离范围可求得结论．
【解答】解：由，|，可知，
故点A、B在以O为圆心，为半径的圆上，
取AB的中点H，可知|OH|＝1，
所以点H在以O为圆心，1为半径的圆上，
则
，
所以，
又，，
则，故，
即|的取值范围是[8，12]．
故选：D．
2．（2024 新高考Ⅰ）已知向量（0，1），（2，x），若⊥（），则x＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：（0，1），（2，x），
则，
⊥（），
则2×2+x（x﹣4）＝（x﹣2）2＝0，解得x＝2．
故选：D．
3．（2024 新高考Ⅱ）已知向量，满足：，，且，则||＝（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】利用向量的模，以及向量的垂直关系，转化求解即可．
【解答】解：向量，满足，，且，
可得，，
可得，
所以||．
故选：B．
4．（2024 全国）已知平面向量（1，1），（x+1，y），则（　　）
A．“x＝1，y＝﹣2”是“”的必要条件
B．“x＝1，y＝﹣2”是“”的充分条件
C．“x＝1，y＝﹣2”是“”的必要条件
D．“x＝1，y＝﹣2”是“”的充分条件
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．
【解答】解：对于A，若，
则1 y＝1 （x+1），即y＝x+1，充分性不成立，错误，
对于B，当x＝1，y＝﹣2时，
则，不成立，错误，
对于C，若，
则x+1+y＝0，必要性不成立，故错误，
对于D，当x＝1，y＝﹣2时，
则，
，，充分性成立，故D正确．
故选：D．
二、填空题（共6小题）
5．（2025 上海）已知，，若∥，则x＝ 　　 ．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：，，∥，
则2x＝1，解得x．
故答案为：．
6．（2025 上海）已知函数f，、、是平面内三个不同的单位向量．若f（ ）+f（ ）+f（ ）＝0，则||的取值范围是　　 ．
【答案】．
【分析】由题可得必为一个为1，一个为﹣1，一个为0，不妨设，且，，，θ∈（﹣π，π），由分段函数可得，再由向量模的坐标运算化简后求三角函数的值域即可．
【解答】解：由题意可知，三者全为0或一个为1，一个为﹣1，一个为0，
当全为0时，可知两两垂直，不符合题意；
所以必为一个为1，一个为﹣1，一个为0，不妨设，，
由函数f，可知，
不妨设，，，θ∈（﹣π，π]，
所以，，所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以．
故答案为：．
7．（2025 天津）△ABC中，D为AB边中点，，，则　　 （用，表示）；若||＝5，AE⊥CB，则　﹣15　 ．
【答案】；﹣15．
【分析】由平面向量的线性运算计算可求得第一空；由||＝5，AE⊥CB结合平面向量的线性运算与数量积建立关于的方程组，求解可得，，再由向量的数量积运算计算即可．
【解答】解：因为D为AB边中点，，
所以
；
因为||＝5，所以，①
因为，且AE⊥CB，
所以，②
由①②可得：，，
因为，
所以
15．
故答案为：；﹣15．
8．（2025 新高考Ⅱ）已知平面向量（x，1），（x﹣1，2x），若⊥（），则||＝　　 ．
【答案】．
【分析】求出的坐标，然后利用向量垂直的充要条件求出x，再利用求模公式求解．
【解答】解：因为（x，1），（x﹣1，2x），
所以（1，1﹣2x），又⊥（），
所以x+1﹣2x＝0，解得x＝1，
所以，
则||．
故答案为：．
9．（2025 上海）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则在方向上的数量投影的最大值 　4　 ．
【答案】4．
【分析】设，根据题意求得A、B所在圆的圆心和半径，然后根据数量投影的意义，结合图形求得在方向上的数量投影的最大值．
【解答】解：根据题意不妨设（1，0），（0，1），（x，y），（m，n），
则，
由可得（x﹣4）2+y2＝4，
由可得m2+（n﹣6）2＝1，
设，故A在以C1（4，0）为圆心，2为半径的圆上，
B在以C2（0，6）为圆心，1为半径的圆上，
过B作BD⊥OA于D，则OD即为在上的数量投影，如下所示：
因为A，B分别为两圆上任意动点，不妨固定B，则OB为定长，
设，即∠AOB＝θ，故|OD|＝|OB| cosθ，
因为此时|OB|为定长，且θ＝∠AOB＜180°，
故随着θ的减小，cosθ增大，直至OA恰好与圆C1相切时，|OD|取得最大值，如下所示：
在OA与圆C1相切的基础上，移动点B，过C2作C2E⊥OA于E，故|OD|＝|OE|+|ED|；
在△C1AO中，∠C1AO＝90°，C1A＝2，OC1＝4，
故∠AOC1＝30°，∠C2OE＝60°，因为|OC2|＝6，
故在直角三角形C2OE中，|OC2|＝2|OE|，则OE＝3，即|OD|＝|OE|+|ED|＝3+|ED|；
在四边形BDEC2中，因为∠DEC2＝∠C2ED＝90°，故|DE|≤|BC2|＝1，
当且仅当BC2∥DE时等号成立，从而|OD|＝3+|ED|≤3+1＝4，
综上所述：在方向上的数量投影的最大值为4．
故答案为：4．
10．（2024 上海）已知k∈R，（2，5），∥，则k的值为 　15　 ．
【答案】15．
【分析】根据向量平行的坐标表示，列方程求解即可．
【解答】解：由，，，
可得2k﹣5×6＝0，解得k＝15．
故答案为：15．
考点01 基底
解法指导 基底的判断 （1）看两向量是否不共线． （2）平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
【例1】　（2025 越城区校级模拟）若{，}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（　　）
A．{，}
B．{2，}
C．{，4}
D．{32，﹣64}
【答案】C
【分析】根据平面向量的基底的定义即可求解．
【解答】解：对于选项A，（）两向量共线，不符合基底的定义，故选项A错误；
对于选项B，22（），两向量共线，不符合基底的定义，故选项B错误；
对于选项C，不存在实数λ，使得λ（4），故选项C正确；
对于选项D，﹣642（32）两向量共线，不符合基底的定义，故选项D错误．
故选：C．
【例2】　（2025 丰泽区校级模拟）已知，为平面内一组基底，a，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据向量共线的性质求解即可．
【解答】解：因为，为平面内一组基底，a，，，
所以48，
又A，B，D三点共线，
可得∥，可得，解得a＝2．
故选：A．
【例3】　（2025 浦东新区校级模拟）下列各组向量中，能作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接利用基底的定义判断结果．
【解答】解：对于A：由于，故不能作为基底，故A错误；
对于B：由于，故不能作为基底，故B错误；
对于C：由于不存在实数λ，使得，故可以作为基底，故C正确；
对于D：由于为零向量和任何一个向量为共线向量，所以不能作为基底，故D错误．
故选：C．
【例4】　（2025 辽宁模拟）已知，是不共线的向量，且，2m，43，若与不能作为平面内所有向量的一组基底，则m＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意知，与共线，利用向量的共线定理即可求解．
【解答】解：由，2m，
可得，
若与不能作为平面内所有向量的一组基底，
则与共线，又43，
所以存在实数λ，使得，
即，
又，是不共线的向量，
则有，解得．
故选：A．
考点02 平面向量的数量积
解法指导 1．平面向量的数量积 （1）a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2． （2）|a|2＝a·a． （3）（a＋b）·（a－b）＝|a|2－|b|2． （4）（a＋b）2＝|a|2＋2a·b＋|b|2． （5）|a·b|≤|a||b|． （6）当a∥b时，a·b＝ 2．求平面向量数量积 （1）计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角． （2）条件是两向量的始点必须重合． （3）否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
【例5】　（2025 池州模拟）已知向量满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积的运算即可求解．
【解答】解：已知向量满足，
则，所以1﹣22，
解得．
故选：A．
【例6】　（2025 昆明校级模拟）若A，B为圆C上两点，且|AB|＝2，则（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】取AB中点D，然后利用向量的数量积的定义计算即得．
【解答】解：取AB中点D，连接CD，
则由垂径定理知：CD⊥AB，故，
所以，
因为|AB|＝2，所以，
又方向相同，
所以．
故选：C．
【例7】　（2025 江西三模）已知平面单位向量满足，则（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【答案】A
【分析】利用向量垂直得出向量与向量的数量积，再应用运算律计算求解．
【解答】解：因为，
所以，
则，
则．
故选：A．
【例8】　（2025 乌鲁木齐模拟）已知等边三角形ABC的边长是2，D，E分别是AB，AC的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解．
【解答】解：已知等边三角形ABC的边长是2，D，E分别是AB，AC的中点，
则
．
故选：B．
考点03 平面向量的模
解法指导 1．平面向量的模长 （1）若a＝（x，y），则|a|2＝x2＋y2或|a|＝． （2）若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则a＝（x2－x1，y2－y1），|a|＝． 2．求向量模长 （1）求模问题转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方． （2）a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
【例9】　（2025 焦作校级一模）已知平面向量||＝4，||＝3，||＝1，0，则||的最小值是（　　）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】由题设A，B，C分别在以O为原点，半径为4，3，1的圆上运动，且，数形结合及向量加法的几何意义确定的范围，即可得答案．
【解答】解：已知平面向量||＝4，||＝3，||＝1，
则A，B，C分别在以O为原点，半径为4，3，1的圆上运动，
又，
所以，
若D是AB的中点，
则，
又|OC|＝1，
由图知，，
而|OD|﹣|OC|≤|CD|≤|OD|+|OC|，
即．
所以的最小值是3．
故选：D．
【例10】　（2025 无极县校级模拟）已知平面向量满足，则（　　）
A．3 B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据（）⊥，可得（） 0，由此算出1，然后计算出（）2，根据向量的模的公式算出答案．
【解答】解：因为，
所以（） 0，可得1．
所以（）221+2+4＝7，
可得||（舍负）．
故选：C．
【例11】　（2025 廊坊模拟）已知向量，满足，，且，则的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】首先根据向量的垂直关系求出向量夹角的余弦值，然后结合向量的数量积求出模即可．
【解答】解：已知向量，满足，，
因为，
所以，
解得，
所以．
故选：B．
【例12】　（2025 涪城区校级模拟）已知||＝4，，向量与的夹角为，则||＝（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】结合平面向量数量积的运算求解即可．
【解答】解：已知||＝4，，向量与的夹角为，
则，
则，
则||＝4．
故选：A．
考点04 平面向量的夹角
解法指导 向量夹角问题 （1）由cosθ＝＝直接求出cosθ． （2）由cos θ求θ时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°． （3）由cosθ＝判断θ时：当cosθ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°． （4）由cosθ＝判断θ时：当cos θ>0时，有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°．
【例13】　（2025 广西模拟）已知向量，都是单位向量，若，则向量，的夹角的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，设向量，的夹角为θ，由，变形可得，进而由数量积的计算公式可得cosθ的值，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设向量，的夹角为θ，
若，变形可得，解得，
又由向量，都是单位向量，则可得，
又由0≤θ≤π，则向量，的夹角的大小为；
故选：B．
【例14】　（2025 临澧县校级模拟）已知向量，满足，，，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，设与的夹角为θ，由数量积的计算公式可得（） 2 0，变形可得cosθ的值，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设与的夹角为θ，
若，，，则（） 2 1﹣2cosθ＝0，
变形可得cosθ，
又由0≤θ≤π，则θ．
故选：C．
【例15】　（2025 合肥校级模拟）已知（3，﹣1），（1，﹣2），则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量夹角公式即可得出．
【解答】解：∵3+2＝5，，．
两向量的夹角θ的取值范围是，θ∈[0，π]，
∴，
∴与的夹角为，
故选：B．
【例16】　（2025 汉中二模）向量，，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先移项得出，再左右平方应用数量积可得出夹角余弦即可．
【解答】解：因为，所以，
两边同时平方得：，
因为，，所以，
所以，所以．
故选：D．
考点05 平面向量的平行与垂直
解法指导 平面向量的平行与垂直 （1）a∥b b＝λa x1y2－x2y1＝0． （2）a⊥b a·b=0 x1x2＋y1y2＝0．
【例17】　（2025 固始县校级模拟）已知平面向量，，为两两不共线的单位向量，则“（） 0”是“与共线”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设，，，如图，OADB为边长为1的菱形，数形结合及向量加减、数乘的几何意义判断条件间的推出关系，即可得答案．
【解答】解：因为平面向量，，为两两不共线的单位向量，
故设，，，如图，则OADB为边长为l的菱形，
若，即与垂直，因为，即，
因为，且，所以，共线，即与共线；
若与共线，即且λ≠0，
因为，即，所以与垂直，即．
所以“（） 0”是“与共线”的充要条件．
故选：C．
【例18】　（2025 新余校级模拟）已知非零向量满足，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将已知条件平方，化简可得，利用该结论依次判断各个选项．
【解答】解：因为非零向量满足，，
所以平方可得，，
所以，所以，
对于选项A，因为，，
所以cos，，所以A选项错误；
对于选项B，因为，所以0，
即，所以B选项正确；
对于选项C，因为，，
所以，所以C选项错误；
对于选项D，因为，，
所以，所以D选项错误．
故选：B．
【例19】　（2025 湛江二模）已知向量，满足（1，2）， 5，且⊥（λ），则λ＝（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C． D．
【答案】A
【分析】由向量垂直得数量积为0，再根据题设即可求解．
【解答】解：因为⊥（λ），
所以0，
又（1，2）， 5，
所以5+5λ＝0，解得λ＝﹣1．
故选：A．
【例20】　（2025 平凉校级模拟）已知向量，﹣π＜θ＜0，若，则θ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，利用数量积的坐标运算公式，得到，根据﹣π＜θ＜0，得到cosθ＝0，即可求解．
【解答】解：由，可得，
即，
即，
因为﹣π＜θ＜0，可得sinθ＜0，所以，
所以cosθ＝0，解得．
故选：A．
考点06 投影向量
解法指导 投影向量 （1）在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量． （2）设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cosθ e．
【例21】　（2025 山西模拟）已知向量，，则在上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用投影向量的定义，即可求解．
【解答】因为，，
则，
所以在上的投影向量为：
．
故选：C．
【例22】　（2025 仁寿县校级三模）已知向量，，，则向量在上的投影向量为（　　）
A． B．（﹣2，2） C．（2，﹣2） D．
【答案】D
【分析】利用求得向量和向量的数量积，再根据投影向量的定义计算即可．
【解答】解：由，
得，
由，得，
则，
故所求投影向量为：．
故选：D．
【例23】　（2025 湖南模拟）已知（2，1），（3，5），则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：（2，1），（3，5），
则，
，，
则在上的投影向量为．
故选：D．
【例24】　（2025 湖北模拟）已知向量与的夹角为，，，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据投影向量的定义直接得解．
【解答】解：向量与的夹角为，，，
则在上的投影向量为．
故选：A．

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