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专题10 正余弦定理、解三角形
　　　　
考点01 在三角形中应用三角函数 10
考点02 正、余弦定理解三角形 14
考点03 三角形的面积 17
考点04 解三角形中最值（范围）问题 20
熟练三角函数的图象与性质，掌握三角恒等变换；正余弦定理的简单应用；正余弦定理与三角形面积公式的应用；正余弦定理与三角函数、平面向量等知识的综合应用．
1．正弦定理
（1）内容：＝＝＝2R
（2）变形：
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
2．余弦定理
（1）内容：
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
（2）变形：
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
3．三角形的面积公式
（1）S＝aha（ha表示边a上的高）．
（2）S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
（3）S＝r（a＋b＋c）（r为三角形的内切圆半径）．
4．三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A< ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
1．（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）
2．三角形中的射影定理
在中，；；．
一、选择题（共3小题）
1．（2024 甲卷）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，则sinA+sinC＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解．
【解答】解：因为，，
所以由正弦定理可得，，
由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2ac cosB＝a2+c2﹣ac，即，
，
所以（sinA+sinC）2＝sin2A+sin2C，．
故选：C．
2．（2024 甲卷）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，则sinA+sinC＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解．
【解答】解：因为，，
所以由正弦定理可得，，
由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2ac cosB＝a2+c2﹣ac，即，
，
所以（sinA+sinC）2＝sin2A+sin2C，．
故选：C．
3．（2025 新高考Ⅱ）在△ABC中，BC＝2，AC＝1，AB，则∠A＝（　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
【答案】A
【分析】由余弦定理求得cosA，再结合A的取值范围即可求得．
【解答】解：因为BC＝2，AC＝1，AB，
所以由余弦定理得：，
因为0°＜∠A＜180°，所以∠A＝45°．
故选：A．
二、多选题（共1小题）
（多选）4．（2025 新高考Ⅰ）已知△ABC的面积为，若cos2A+cos2B+2sinC＝2，cosAcosBsinC，则（　　）
A．sinC＝sin2A+sin2B B．AB
C．sinA+sinB D．AC2+BC2＝3
【答案】ABC
【分析】由cos2A+cos2B+2sinC＝2，利用二倍角公式，可判断A；由sin2A+sin2B＝sinAcosB+cosAsinB，得sinA（sinA﹣cosB）+sinB（sinB﹣cosA）＝0，对于，和进行分类讨论，可推出矛盾，可得，进而可判断BCD．
【解答】解：因为cos2A+cos2B+2sinC＝1﹣2sin2A+1﹣2sin2B+2sinC＝2，
∴sin2A+sin2B＝sinC，故A正确；
由sin2A+sin2B＝sinAcosB+cosAsinB，∴sinA（sinA﹣cosB）+sinB（sinB﹣cosA）＝0，
∵cosAcosBsinC0，∴A，B为锐角，
若，则，
∴sinA＞cosB，sinB＞cosA，sinA（sinA﹣cosB）+sinB（sinB﹣cosA）＞0，∴矛盾，舍去，
同理，也矛盾，
∴，∴，，
由cosAcosBsinC，
可得sinA＝cosB，sinC＝1，可得，，
S△ABCabsinCab，ab，
a＝csinA，b＝ccosA，
∴abcsinA ccosA＝c2sinAcosAc2，
∴c2＝2，即AB，故B正确；
∵，∴sinA+sinB＝sinA+cosA，（sinA+cosA）2＝1+2sinAcosA，
因为sinA+cosA＞0，所以sinA+cosA，故C正确；
AC2+BC2＝AB2＝2，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题（共1小题）
5．（2024 上海）三角形ABC中，，则AB＝　　 ．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
【解答】解：三角形ABC中，，
sinC，
由正弦定理，BC＝2，A，
故AB．
故答案为：．
四、解答题（共5小题）
6．（2025 天津）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinBbcosA，c﹣2b＝1，a．
（I）求A的值；
（Ⅱ）求c；
（Ⅲ）求sin（A+2B）的值．
【答案】（I）A；
（Ⅱ）c＝3；
（Ⅲ）．
【分析】（I）由正弦定理，边角互化求解即可；
（Ⅱ）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，代入已知数据及b，求解即可；
（Ⅲ）由余弦定理可得cosB，sinB，从而求出cos2B、sin2B的值，最后由两角和的正弦公式求解即可．
【解答】解：（I）因为asinBbcosA，
所以sinAsinBsinBcosA，
又因为sinB≠0，
所以sinAcosA，
即tanA，
因为A∈（0，π），
所以A；
（Ⅱ）因为A，c﹣2b＝1，a，
所以a2＝b2+c2﹣2bccosA，
即7c2﹣2，
整理得：3c2＝27，
解得c＝3；
（Ⅲ）因为A，c﹣2b＝1，c＝3，a，
所以b＝1，
cosB，
所以sinB，
所以sin2B＝2sinBcosB，cos2B＝cos2B﹣sin2B，
所以sin（A+2B）＝sinAcos2B+cosAsin2B．
7．（2025 北京）在△ABC中，cosA，asinC＝4．
（1）求c；
（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC的高．
①a＝6；②asinB；③△ABC面积为10．
【答案】（1）6；（2）不能选①；选②：；选③：．
【分析】（1）由同角三角函数的基本关系可得sinA的值，再由正弦定理可得csinA的值，从而求得c；
（2）选①：由等边对等角和三角形的内角和定理可得△ABC不存在；选②：由正弦定理和条件可得b，再根据余弦定理求出a，最后利用三角形面积公式即可求得；选③：由三角形的面积公式求b，由余弦定理求a，再由三角形的面积公式即可求得．
【解答】解：（1）因为cosA，且A∈（，π），
所以sinA，
由正弦定理，得csinA＝asinC，
所以；
（2）选①：因为a＝6，由（1）知，c＝6，
所以a＝c，则A＝C，
因为A为钝角，所以不符合三角形的内角和定理，
所以△ABC不存在；
选②：由正弦定理，得asinB＝bsinA，
所以b＝5，
根据余弦定理a9，
此时△ABC存在且唯一确定，
S△ABCbcsinAh，
5×69×h，
所以BC边上的高h；
选③：因为△ABC面积为10，由（1）知，，
所以，即，解得b＝5，
由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA81，即a＝9，
设BC边上的高为h，则，所以．
8．（2025 上海）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c＝5．
（1）若，，求a；
（2）若ab＝20，求△ABC的面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由，结合正弦定理算出a＝2b，然后根据勾股定理求出边a的长；
（2）根据余弦定理与基本不等式，算出cosC的最小值，结合同角三角函数的关系求得sinC的最大值，进而可得△ABC的面积的最大值．
【解答】解：（1）由，根据正弦定理得，化简得a＝2b，
因为，c＝5，所以a2+b2＝c2＝25，即4b2+b2＝25，解得b，a＝2b；
（2）根据ab＝20，c＝5，由余弦定理得cosC（a2+b2﹣25）（2ab﹣25），
当且仅当a＝b时，等号成立．
所以cos2C，即1﹣sin2C，可得sin2C，结合sinC＞0，解得sinC．
因为△ABC的面积SabsinC＝10sinC≤10，
所以当a＝b时，△ABC的面积取得最大值．
9．（2024 新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若a＝2，，求△ABC周长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由辅助角公式及角A的范围，可得角A的大小；
（2）由正弦定理可得cosB的值，再由角B的范围，可得角B的大小，进而可得角C的大小，再由正弦定理可得b，c的值，进而求出△ABC的周长．
【解答】解：（1）因为，
所以2sin（A）＝2，即sin（A）＝1，
由A为三角形内角，得A，
即A；
（2）因为，
，由正弦定理可得：，
可得，
又因为B∈（0，π），所以，，
在△ABC中，由正弦定理得，
所以，，
所以△ABC的周长为．
综上，△ABC的周长为．
10．（2024 新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCcosB，a2+b2﹣c2．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为3，求c．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用余弦定理化简a2+b2﹣c2，得到C，由此算出cosB，结合B∈（0，π），可得角B的大小；
（2）设△ABC的外接圆半径为R，由△ABC的面积为3建立关于R的方程，解出R的值，进而利用正弦定理算出边c的值．
【解答】解：（1）因为a2+b2﹣c2，
所以由余弦定理得cosC，结合C为三角形的内角，可得C．
因为sinCcosB，所以cosB，结合B∈（0，π），得B；
（2）由（1）可知A＝π﹣B﹣C，设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得b＝2RsinB，c＝2RsinC，
由S△ABCbcsinA，得 sin，
即 ，解得R2＝4，所以R＝2（舍负），可得c．
考点01 在三角形中应用三角函数
解法指导 1．在三角形中应用三角函数 （1）在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝π． （2）在△ABC中，sin（A＋B）＝sinC；cos（A＋B）＝－cosC；tan（A＋B）＝－tanC；sin ＝cos ；cos ＝sin ． 2．判断三角形形状的思路 （1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． （2）化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
【例1】　（2025 信阳校级二模）在三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且acosB+（2c﹣b）cosA＝c，则三角形ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利用正弦定理及三角形的内角和定理进行转化，再根据诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围即可求解．
【解答】解：由acosB+（2c﹣b）cosA＝c及正弦定理，
得sinAcosB+（2sinC﹣sinB）cosA＝sinC，
所以sinAcosB+2sinCcosA﹣sinBcosA＝sin（A+B），
即2sinCcosA﹣sinBcosA＝cosAsinB，
即（sinC﹣sinB）cosA＝0，
解得sinC＝sinB或cosA＝0，
当sinC＝sinB时，又0＜B＜π，0＜C＜π，
所以C＝B或C+B＝π（舍），所以△ABC为等腰三角形；
当cosA＝0时，又0＜A＜π，所以，
所以△ABC为直角三角形；
综上所述，△ABC为等腰或直角三角形．
故选：D．
【例2】　（2025 夏津县校级三模）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若，则C＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正弦定理及余弦定理可得cosC的值，再由角C的范围，可得角C的大小．
【解答】解：因为，
由正弦定理可得，整理可得a2+b2﹣c2＝ab，
由余弦定理可得cosC，
又因为∈（0，π），
可得C．
故选：C．
【例3】　（2025 湖南一模）在△ABC中，sin（A﹣C）+sinC＝sinB，且BC边上的高为，则（　　）
A．△ABC的面积有最大值，且最大值为
B．△ABC的面积有最大值，且最大值为
C．△ABC的面积有最小值，且最小值为
D．△ABC的面积有最小值，且最小值为
【答案】D
【分析】由两角和差的正弦展开可得，再由三角形面积公式可得bc＝a，再通过余弦定理求得a的范围，即可求解．
【解答】解：因为sin（A﹣C）+sinC＝sinB＝sin（A+C），
所以sinAcosC﹣cosAsinC+sinC＝sinAcosC+cosAsinC，
所以2cosAsinC＝sinC，又C为三角形内角，sinC≠0，
所以，所以，
设角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC边的高为h，
由三角形面积公式可得：，又，
所以bc＝a，又，
所以a2＝b2+c2﹣bc≥bc＝a，当且仅当b＝c时取等号，
所以a≥1，
所以．
故选：D．
【例4】　（2025 枣庄模拟）已知△ABC中，BC＝1，，若∠B的平分线交AC于点D，则BD的长为（　　）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式与同角三角函数的关系，化简sin（B）＝sin（B），可得tan（B），进而算出B.然后根据S△ABD+S△BCD＝S△ABC，利用三角形的面积公式建立关于BD的方程，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：根据sin（B）＝sin（B），可得sin（B）＝﹣cos[（B）]，
即sin（B）＝﹣cos（B），可得tan（B），
结合B∈（，），可知B，所以B．
因为BD平分角ABC，所以∠DBA＝∠DBC，
根据S△ABD+S△BCD＝S△ABC，可得AB BDsinBC BDsinAB BCsin，
即2×BD1×BD2×1，化简得2BD+BD＝2，解得BD．
故选：C．
【例5】　（2025 山东模拟）已知A，B，C为△ABC的内角，若，则（　　）
A．sin2A＝cosB B．sin2B＝cosA
C．sin（A+B）＝cosB D．tanA tan2B＝1
【答案】A
【分析】由二倍角公式及半角公式，两角和的正弦公式可得sin（A+B）＝cosA，再由角A，B的范围，可得A，B的关系，判断出正确答案．
【解答】解：因为，
可得，即sinAcosB+sinBcosA＝cosA，
即sin（A+B）＝cosA，又因为A，B∈（0，π），
所以A+BA，可得2AB，
所以sin2A＝sin（B）＝cosB，
所以只有A正确；B，C，D不正确．
故选：A．
考点02 正、余弦定理解三角形
解法指导 （1）解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理． （2）如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理． （3）以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． （4）在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决． （5）在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．
【例6】　（2025 白银区校级二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为，且b＝1，C，则AB边上的中线长为（　　）
A．7 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形面积公式得到a＝3，由向量法即可求得到答案．
【解答】解：已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为，且b＝1，C，
则，
解得a＝3，
设AB的中点为D，
则，
则
，
则，
故AB边上的中线长为．
故选：D．
【例7】　（2025 玉溪校级模拟）在△ABC中，D是边BC上的点，且，则sinB＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设AD＝2a，在△ACD中，由余弦定理求出cosC，利用平方关系求出sinC，在△ABC中再由正弦定理可得答案．
【解答】解：因为，设AD＝2a，
则，，
在△ACD中，由余弦定理得：，
因为0＜C＜π，所以sinC＞0，，
在△ABC中，由正弦定理得：，
所以．
故选：A．
【例8】　（2025 南昌二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，2acosC+2ccosA＝3a，则a＝（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由正弦定理化简得到2sin（A+C）＝3sinA，进而得到2sinB＝3sinA，再由正弦定理，得到2b＝3a，即可求得a的值．
【解答】解：根据题意可知，2acosC+2ccosA＝3a，
根据正弦定理，可得2sinAcosC+2sinCcosA＝3sinA，所以2sin（A+C）＝3sinA，
又因为A+C＝π﹣B，所以sin（A+C）＝sinB，所以2sinB＝3sinA，
根据正弦定理，可得2b＝3a，即，
因为b＝3，所以a＝2．
故选：A．
【例9】　（2025 江苏一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知a＝acosB+bcosA＝1，sinC，则（　　）
A．b＝1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知利用正弦定理，两角和的正弦公式可求得sinA＝sinC，可得c＝1，C为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosC的值，进而利用余弦定理即可求解b的值．
【解答】解：因为a＝acosB+bcosA，
所以由正弦定理可得sinA＝sinAcosB+sinBcosA＝sin（A+B）＝sinC，
又a＝1，
所以由正弦定理，可得c＝1，C为锐角，
又sinC，
所以cosC，
所以由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得1＝1+b2﹣2，
所以解得b．
故选：B．
【例10】　（2025 重庆模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若为BC边上的点，且∠CAD，则AD＝（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：在△ABC中，已知，∠CAD，则，
△ABC的面积，
又因为SΔABC＝SΔABD+SΔACD，，
2AD，
所以SΔABC＝2AD+2AD＝4AD，结合，得，解得AD．
故选：D．
考点03 三角形的面积
解法指导 1．三角形的面积 名称公式变形 面积公式S△ahabhbchc S△absinCacsinBbcsinA S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径）sinA sinB＝ sinC
2．面积问题的解法 （1）公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决． （2）割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【例11】　（2025 山西模拟）在△ABC中，A＝45°，，，则△ABC的面积是（　　）
A． B． C．3 D．12
【答案】C
【分析】利用余弦定理可求得AC＝2，再运用三角形面积公式计算即得．
【解答】解：由题意，在△ABC中，A＝45°，，，
由余弦定理BC2＝AB2+AC2﹣2AB AC cosA，
可得，
解得AC＝2，
则，
所以△ABC的面积为．
故选：C．
【例12】　（2025 齐齐哈尔三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理求出bc的值，再根据面积公式求出三角形面积．
【解答】解：因为，
由余弦定理得b2+c2﹣a2＝2bccosA，
可得bc＝2，
而sinA，
所以．
故选：B．
【例13】　（2025 合肥校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若4c2+b2＝4absinC，b＝1，则△ABC的面积是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由题意及余弦定理得4a2﹣4a（sinC+2cosC）+5＝0，由判别式大于等于0，可得sinC，cosC的关系，再由角C的范围，可得sinC的值，丙求出a的值，代入三角形的面积公式，可得该三角形的面积．
【解答】解：由b＝1及4c2+b2＝4absinC可得4c2+1＝4asinC，
又余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2abcosC，
则4（a2+1﹣2acosC）+1＝4asinC，
整理可得：4a2﹣4a（sinC+2cosC）+5＝0，
所以Δ＝16（sinC+2cosC）2﹣80 0，即（sinC+2cosC）2 5，
可得sinC+2cosC或sinC+2cosC，
即sin（C+φ）≥1或sin（C+φ）≤﹣1，cosφ，
在△ABC中，C∈（0，π），φ∈（0，），
可得C+φ，所以Cφ，
所以sinC＝cosφ，
此时Δ＝0，此时4a2﹣4a5＝0，
解得a，
又因为b＝1，所以S△ABCabsinC1．
故选：B．
【例14】　（2025 全国模拟）在△ABC中，BC＝8，AC＝10，，则△ABC的面积为（　　）
A．6 B．8 C．24 D．48
【答案】C
【分析】先根据余弦定理求出AB边的长度，再利用三角形面积公式求出三角形面积即可．
【解答】解：设AB＝x，根据余弦定理得：BC2＝AC2+AB2﹣2AC AB cos∠BAC，
已知BC＝8，AC＝10，，
代入可得：，
即x2﹣12x+36＝0，解得x＝6，
因为BC2+AB2＝64+36＝100＝AC2，
所以△ABC为直角三角形，
所以．
故选：C．
【例15】　（2025 邯郸模拟）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦定理求得c，再由两角和的正弦公式求得sinA，再由三角形的面积公式计算即可求得．
【解答】解：因为A＝105°，B＝45°，所以C＝180°﹣105°﹣45°＝30°，
由正弦定理得：，
所以，
因为sinA＝sin105°＝sin（60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°，
所以△ABC的面积为．
故选：D．
考点04 解三角形中最值（范围）问题
解法指导 解三角形中最值（范围）问题的解题策略 （1）利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理． （2）构造关于某一个角或某一条边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值（范围）．
【例16】　（2025 许昌模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知acosB+bcosA＝abc，A+B＝2C．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AB边上的高的最大值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由正弦定理边化角求出ab，再利用三角形面积公式计算即得．
（2）由（1）及余弦定理，结合基本不等式求出c的最小值即可求出AB边上的高的最大值．
【解答】解：（1）在△ABC中，由A+B＝2C，得π﹣C＝2C，解得，
由acosB+bcosA＝abc得sinAcosB+sinBcosA＝absinC＝sin（A+B）＝sinC，
而sinC＞0，解得ab＝1，
所以△ABC的面积．
（2）由余弦定理，得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣1≥2ab﹣1＝1，即c≥1，当且仅当a＝b时取等号，
设h为AB边上的高，则，即h，
所以AB边上的高的最大值为．
【例17】　（2025 锦州模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为AC的中点，若2bcosC＝2a+c．
（1）求∠B；
（2）若a+c＝6，求BD的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式，求出，得解；
（2）由平面向量基本定理知，将其两边平方化简运算后，再结合基本不等式，即可得解．
【解答】解：（1）由正弦定理及2bcosC＝2a+c，得2sinBcosC＝2sinA+sinC，
∵sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，
∴2cosBsinC+sinC＝0，
∵sinC≠0，∴，
又B∈（0，π），∴．
（2）∵D为AC的中点，∴，即2，
∴，
∵，∴，
∴，当且仅当a＝c＝3时，等号成立，
∴，
故的最小值为．
【例18】　（2025 徐州模拟）锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c＝2acosB+b．
（1）求A；
（2）求三角形ABC周长的取值范围；
（3）求三角形ABC面积的最大值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用正弦定理边换角并利用两角和的正弦公式展开化简即可得到答案；
（2）利用正弦定理得b＝2sinB，c＝2sinC，再将周长转化为三角函数值域问题即可；
（3）利用余弦定理和基本不等式即可得到bc的最大值，再利用三角形面积公式即可得到答案．
【解答】解：（1）由正弦定理：2sin（A+B）＝2sinC＝2sinAcosB+sinB，
则2sinAcosB+2sinBcosA＝2sinAcosB+sinB，
所以，根据得：；
（2）由正弦定理：，所以b＝2sinB，c＝2sinC，
，
注意到，所以，
所以，
所以，
所以周长的取值范围是；
（3）由余弦定理可得：3＝a2＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，
所以三角形ABC面积为，
当且仅当时，即ABC为等边三角形时，三角形ABC面积取最大值．
【例19】　（2025 蚌埠模拟）在△ABC中，已知AC＝1，．
（1）求AB的长；
（2）若∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD BC的最大值．
【答案】（1）2；
（2）．
【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式，可得，再由正弦定理可得AB的值；
（2）由角平分线的性质可得三角形的面积表式，可得AD的表达式，再由余弦定理可得BC的表达式，进而可得AD BC的表达式，可得它的最大值．
【解答】解：（1）由题意得，，
所以2sinB﹣sin BcosA＝sinAcosB，
所以2sinB＝sinAcosB+sinBcosA＝sin（A+B）＝sinC，
即，由正弦定理可得，AC＝1，
所以AB＝2；
（2）因为AD为角平分线，
又S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
设∠BAC＝2θ，b＝AC＝1，c＝AB＝2，
所以，
所以，
，
，
所以当 时，AD BC取到最大值．
【例20】　（2025 承德模拟）△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，．
（1）若，求△ABC的面积；
（2）求sinA+sinC的最大值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由条件得，，根据正弦定理计算得a＝c＝2，结合三角形面积公式可得结果．
（2）根据条件可得，利用二倍角公式把sinA+sinC化为关于sinC的二次函数，由此可得最大值．
【解答】解：（1），，
当时，所以tanC，
因为C∈（0，π），所以，，
由正弦定理得，，
即，故a＝c＝2，
所以S△ABCabsinC2×2；
（2）因为，
即，整理可得cosAcosC﹣sinAsinC＝sinC，
可得，
又因为C∈（0，π），0＜A+C＜π，
所以或，
即或（舍），
所以sinA+sinC＝sin（2C）+sinC＝cos2C+sinC＝1﹣2sin2C+sinC＝﹣2（sinC）2，
因为，可得，故，
所以当时，sinA+sinC有最大值，最大值为．专题10 正余弦定理、解三角形
　　　　
考点01 在三角形中应用三角函数 4
考点02 正、余弦定理解三角形 5
考点03 三角形的面积 7
考点04 解三角形中最值（范围）问题 8
熟练三角函数的图象与性质，掌握三角恒等变换；正余弦定理的简单应用；正余弦定理与三角形面积公式的应用；正余弦定理与三角函数、平面向量等知识的综合应用．
1．正弦定理
（1）内容：＝＝＝2R
（2）变形：
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
2．余弦定理
（1）内容：
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
（2）变形：
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
3．三角形的面积公式
（1）S＝aha（ha表示边a上的高）．
（2）S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
（3）S＝r（a＋b＋c）（r为三角形的内切圆半径）．
4．三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A< ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
1．（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）
2．三角形中的射影定理
在中，；；．
一、选择题（共3小题）
1．（2024 甲卷）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，则sinA+sinC＝（　　）
A． B． C． D．
2．（2024 甲卷）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，则sinA+sinC＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 新高考Ⅱ）在△ABC中，BC＝2，AC＝1，AB，则∠A＝（　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
二、多选题（共1小题）
（多选）4．（2025 新高考Ⅰ）已知△ABC的面积为，若cos2A+cos2B+2sinC＝2，cosAcosBsinC，则（　　）
A．sinC＝sin2A+sin2B B．AB
C．sinA+sinB D．AC2+BC2＝3
三、填空题（共1小题）
5．（2024 上海）三角形ABC中，，则AB＝　 　 ．
四、解答题（共5小题）
6．（2025 天津）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinBbcosA，c﹣2b＝1，a．
（I）求A的值；
（Ⅱ）求c；
（Ⅲ）求sin（A+2B）的值．
7．（2025 北京）在△ABC中，cosA，asinC＝4．
（1）求c；
（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC的高．
①a＝6；②asinB；③△ABC面积为10．
8．（2025 上海）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c＝5．
（1）若，，求a；
（2）若ab＝20，求△ABC的面积的最大值．
9．（2024 新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若a＝2，，求△ABC周长．
10．（2024 新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCcosB，a2+b2﹣c2．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为3，求c．
考点01 在三角形中应用三角函数
解法指导 1．在三角形中应用三角函数 （1）在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝π． （2）在△ABC中，sin（A＋B）＝sinC；cos（A＋B）＝－cosC；tan（A＋B）＝－tanC；sin ＝cos ；cos ＝sin ． 2．判断三角形形状的思路 （1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． （2）化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
【例1】　（2025 信阳校级二模）在三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且acosB+（2c﹣b）cosA＝c，则三角形ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【例2】　（2025 夏津县校级三模）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若，则C＝（　　）
A． B． C． D．
【例3】　（2025 湖南一模）在△ABC中，sin（A﹣C）+sinC＝sinB，且BC边上的高为，则（　　）
A．△ABC的面积有最大值，且最大值为
B．△ABC的面积有最大值，且最大值为
C．△ABC的面积有最小值，且最小值为
D．△ABC的面积有最小值，且最小值为
【例4】　（2025 枣庄模拟）已知△ABC中，BC＝1，，若∠B的平分线交AC于点D，则BD的长为（　　）
A．或 B．或 C． D．
【例5】　（2025 山东模拟）已知A，B，C为△ABC的内角，若，则（　　）
A．sin2A＝cosB B．sin2B＝cosA
C．sin（A+B）＝cosB D．tanA tan2B＝1
考点02 正、余弦定理解三角形
解法指导 （1）解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理． （2）如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理． （3）以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． （4）在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决． （5）在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．
【例6】　（2025 白银区校级二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为，且b＝1，C，则AB边上的中线长为（　　）
A．7 B．3 C． D．
【例7】　（2025 玉溪校级模拟）在△ABC中，D是边BC上的点，且，则sinB＝（　　）
A． B． C． D．
【例8】　（2025 南昌二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，2acosC+2ccosA＝3a，则a＝（　　）
A．2 B．3 C． D．
【例9】　（2025 江苏一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知a＝acosB+bcosA＝1，sinC，则（　　）
A．b＝1 B． C． D．
【例10】　（2025 重庆模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若为BC边上的点，且∠CAD，则AD＝（　　）
A．4 B． C． D．
考点03 三角形的面积
解法指导 1．三角形的面积 名称公式变形 面积公式S△ahabhbchc S△absinCacsinBbcsinA S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径）sinA sinB＝ sinC
2．面积问题的解法 （1）公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决． （2）割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【例11】　（2025 山西模拟）在△ABC中，A＝45°，，，则△ABC的面积是（　　）
A． B． C．3 D．12
【例12】　（2025 齐齐哈尔三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
【例13】　（2025 合肥校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若4c2+b2＝4absinC，b＝1，则△ABC的面积是（　　）
A． B． C． D．1
【例14】　（2025 全国模拟）在△ABC中，BC＝8，AC＝10，，则△ABC的面积为（　　）
A．6 B．8 C．24 D．48
【例15】　（2025 邯郸模拟）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
考点04 解三角形中最值（范围）问题
解法指导 解三角形中最值（范围）问题的解题策略 （1）利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理． （2）构造关于某一个角或某一条边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值（范围）．
【例16】　（2025 许昌模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知acosB+bcosA＝abc，A+B＝2C．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AB边上的高的最大值．
【例17】　（2025 锦州模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为AC的中点，若2bcosC＝2a+c．
（1）求∠B；
（2）若a+c＝6，求BD的最小值．
【例18】　（2025 徐州模拟）锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c＝2acosB+b．
（1）求A；
（2）求三角形ABC周长的取值范围；
（3）求三角形ABC面积的最大值．
【例19】　（2025 蚌埠模拟）在△ABC中，已知AC＝1，．
（1）求AB的长；
（2）若∠BAC的平分线AD交BC于点D，求AD BC的最大值．
【例20】　（2025 承德模拟）△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，．
（1）若，求△ABC的面积；
（2）求sinA+sinC的最大值．

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