资源简介

专题11 复数
　　　　
考点01 复数的概念与表示 8
考点02 复数的几何意义 9
考点03 复数的模 12
考点04 共轭复数 13
考点05 复数的运算 15
掌握复数的概念、复数的分类、复数的几何意义、复数的模长、复数相等、共轭复数；熟练掌握复数的加减法运算、复数乘除法运算．
1．复数的分类
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R），
（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
2．复数的几何意义
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点Z（a，b）．
（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量．
3．复数的模
（1）定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值．
（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|．
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝．
4．共轭复数
（1）定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共．轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数．
（2）表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi．
5．复数加法与减法
（1）z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i．
（2）z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i．
（3）z1＋z2＝z2＋z1．
（4）（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）．
6．复数的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则z1·z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i．
7．复数的除法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R，且c＋di≠0）是任意两个复数，则＝＝＋i（c＋di≠0）．
1．复数的三角表示
对于复数，记模长，辐角主值为，则有
这称作复数的三角表示．
2．（棣莫弗公式）对于两个三角表示的复数
有
特别的，有乘方
我们得到复数乘法的几何意义，模长相乘辐角相加，对应伸缩变换和旋转变换，即
3．欧拉公式
4．复数模长
这是计算复数模长的重要公式．
5．共轭运算和四则运算可交换，即
6．三角不等式
一、选择题（共9小题）
1．（2025 新高考Ⅰ）（1+5i）i的虚部为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．6
【答案】C
【分析】根据复数乘法直接运算确定虚部即可．
【解答】解：令z＝（1+5i）i，则z＝5i2+i＝﹣5+i，
所以z的虚部为1．
故选：C．
2．（2025 新高考Ⅱ）已知z＝1+i，则（　　）
A．﹣i B．i C．﹣1 D．1
【答案】A
【分析】利用复数的除法法则计算．
【解答】解：由题意得：．
故选：A．
3．（2025 北京）已知复数z满足i z+2＝2i，则|z|＝（　　）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．
【解答】解：由i z+2＝2i，得i z＝﹣2+2i，
则z，
得|z|．
故选：B．
4．（2024 甲卷）设zi，则z （　　）
A．﹣i B．1 C．﹣1 D．2
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：zi，
则z ．
故选：D．
5．（2024 甲卷）设z＝5+i，则i（z）＝（　　）
A．10i B．2i C．10 D．﹣2
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：因为z＝5+i，
则，
故，
所以 i（z）＝10i．
故选：A．
6．（2024 新高考Ⅱ）已知z＝﹣1﹣i，则|z|＝（　　）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】利用复数的模的运算法则求解即可．
【解答】解：z＝﹣1﹣i，则|z|．
故选：C．
7．（2024 新高考Ⅰ）若1+i，则z＝（　　）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
【答案】C
【分析】观察等式，化简可得，由此容易得解．
【解答】解：由于1+i，
则，即，
可得z＝1﹣i．
故选：C．
8．（2024 全国）计算（　　）
A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i
【答案】D
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：．
故选：D．
9．（2024 北京）若复数z满足，则z＝（　　）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
【答案】C
【分析】结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：，
则z＝i（﹣1﹣i）＝1﹣i．
故选：C．
二、填空题（共6小题）
10．（2025 天津）已知i是虚数单位，则||＝　　 ．
【答案】．
【分析】由复数的除法运算求得1﹣3i，再由求模公式计算即可．
【解答】解：因为1﹣3i，
所以||＝|1﹣3i|．
故答案为：．
11．（2025 上海）已知复数z满足z2＝（）2，|z|≤1，则|z﹣2﹣3i|的最小值是　2　 ．
【答案】2．
【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），根据z2＝（）2，可得ab＝0，又|z|≤1，可得z在复平面内对应的点的轨迹，由复数模的几何意义，可得|z﹣2﹣3i|的最小值．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则z2＝a2﹣b2+2abi，（）2＝a2﹣b2﹣2abi，
因为z2＝（）2，所以abi＝0，即ab＝0，
又|z|≤1，所以z在复平面内对应的点的轨迹为或，
|z﹣2﹣3i|表示点（a，b）到点（2，3）的距离，
由点（a，b）的轨迹可知，当a＝0，b＝1时，|z﹣2﹣3i|有最小值，最小值为2．
故答案为：2．
12．（2025 上海）已知复数，其中i为虚数单位，则|z|＝ 　　 ．
【答案】．
【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可．
【解答】解：，
故．
故答案为：．
13．（2024 上海）已知虚数z，其实部为1，且，则实数m为 　2　 ．
【答案】2．
【分析】根据已知条件，结合复数的概念，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：虚数z，其实部为1，
则可设z＝1+bi（b≠0），
所以，因为m∈R，
所以，解得b＝±1，
所以．
故答案为：2．
14．（2024 天津）i是虚数单位，复数　7　 ．
【答案】7．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：57．
故答案为：7．
15．（2024 上海）已知，则　﹣1﹣i　 ．
【答案】﹣1﹣i．
【分析】利用复数的运算性质以及共轭复数的定义化简即可求解．
【解答】解：由题意可得z＝i（1+i）＝﹣1+i，
所以1﹣i．
故答案为：﹣1﹣i．
考点01 复数的概念与表示
解法指导 1．复数的概念 （1）定义：我们把形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1． （2）表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部． 2．复数的实部和虚部 （1）复数a＋bi（a，b∈R）中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部． （2）b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 3．解决复数分类问题的方法 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部． （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可． （3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R）． ①z为实数 b＝0． ②z为虚数 b≠0． ③z为纯虚数 a＝0且b≠0．
【例1】　（2025 榆林模拟）已知a，b∈R，﹣a+3i＝（b﹣i）i，则（　　）
A．a＝1，b＝3 B．a＝1，b＝﹣3 C．a＝﹣1，b＝3 D．a＝﹣1，b＝﹣3
【答案】C
【分析】由复数相等的条件求解即可．
【解答】解：﹣a+3i＝（b﹣i）i＝1+bi，故a＝﹣1，b＝3．
故选：C．
【例2】　（2025 河北三模）已知复数z＝a2﹣1+（a2﹣2a﹣3）i为纯虚数，则实数a＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣1或1
【答案】B
【分析】利用纯虚数的概念可得a所满足的条件，计算求解即可．
【解答】解：因为复数z＝a2﹣1+（a2﹣2a﹣3）i是纯虚数，
所以a2﹣1＝0且a2﹣2a﹣3≠0，解得a＝1．
故选：B．
【例3】　（2025秋 南京校级月考）已知，则z的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由复数乘除运算法则化简复数z，进而可得其虚部．
【解答】解：，得其虚部为．
故选：B．
【例4】　（2025 海淀区校级模拟）若复数z＝a2﹣1+（a+1）i是纯虚数，则实数a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
【解答】解：z＝a2﹣1+（a+1）i是纯虚数，
则，解得a＝1．
故选：A．
考点02 复数的几何意义
解法指导 1．复平面 2．复数的几何意义 （1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点Z（a，b）． （2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量． 3．利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 4．复数与平面向量的对应关系 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
【例5】　（2025 莆田模拟）已知z4，z2i，则在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】由，求出z，利用复数的运算法则求出表达式，进而可得对应象限．
【解答】解：由解得z＝2+i，2﹣i，
所以，在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故选：D．
【例6】　（2025 株洲校级模拟）已知复数z1在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数z2在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先根据题意设复数z1的代数形式，再由条件求得z2，进而得到其对应点的坐标，从而判断得解．
【解答】解：设z1＝a+bi（a，b∈R），
由于复数z1在复平面内所对应的点位于第一象限，所以a＞0，b＞0，
因为i，所以z2＝﹣iz1＝b﹣ai，
所以﹣a＜0，b＞0，因此z2在复平面内所对应的点（b，﹣a）位于第四象限．
故选：D．
【例7】　（2025 武汉模拟）（1﹣5i）（4+3i）在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】由复数的乘法运算，整理其为标准式，结合复数的几何意义，可得答案．
【解答】解：由题意，（1﹣5i）（4+3i）＝19﹣17i，
在复平面内所对应的点为（19，﹣17），位于第四象限．
故选：D．
【例8】　（2025 湖北模拟）在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位i的幂运算性质，求得复数为，它在复平面内对应的点的坐标为（，），从而得出结论．
【解答】解：∵复数，它在复平面内对应的点的坐标为（，），
故选：D．
考点03 复数的模
解法指导 1．复数的模 （1）定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值． （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|． （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝． 2．复数模的计算 （1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． （2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．
【例9】　（2025 龙岩模拟）已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则|z|＝（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】利用复数的四则运算法则、模的计算公式即可得出结论．
【解答】解：∵（1﹣i）z＝2i，
∴（1+i）（1﹣i）z＝（1+i） 2i，
∴z＝﹣1+i，
则|z|，
故选：B．
【例10】　（2025 金牛区校级模拟）设复数z满足（1+i）z＝4i，则|z|＝（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由（1+i）z＝4i，得z，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．
【解答】解：由（1+i）z＝4i，
得z2+2i，
则|z|2 ．
故选：D．
【例11】　（2025 碑林区校级模拟）已知复数z＝1+i2025，则|z|＝（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据周期性可得复数i2025＝i，即可求解．
【解答】解：z＝1+i2025＝1+i，
所以．
故选：B．
【例12】　（2025 立山区校级一模）已知z＝2+i，则|z|＝（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】先根据已知条件求出复数z，再根据复数的模的计算公式求出|z|．
【解答】解：由题意，．
故选：D．
考点04 共轭复数
解法指导 1．共轭复数 （1）定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． （2）表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi． 2．复数范围内解方程 当一元二次方程中Δ<0时，在复数范围内有两根且互为共轭复数．
【例13】　（2025 绵阳模拟）已知复数z满足（1+i） z＝1﹣i，则z的共轭复数（　　）
A．i B．i C．i D．﹣i
【答案】A
【分析】由条件求出z，可得复数z的共轭复数．
【解答】解：∵z（1+i）＝1﹣i，
∴zi，
∴z的共轭复数为i，
故选：A．
【例14】　（2025 绵阳校级模拟）若复数z＝i2019，则的虚部为（　　）
A． B． C．i D．i
【答案】B
【分析】化简复数z，写出它的共轭复数，再写出对应的虚部．
【解答】解：复数z＝i2019
＝i4×504+3
＝i3
＝﹣i（3+4i）
i，
所以i，
所以的虚部为．
故选：B．
【例15】　（2025 船山区校级二模）已知i为虚数单位，复数z满足zi＝﹣2+i，则（　　）
A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
【解答】解：∵zi＝﹣2+i，
∴，
∴．
故选：C．
【例16】　（2025 合肥模拟）若复数，i是虚数单位，则z的共轭复数等于（　　）
A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i
【答案】A
【分析】先求出z，再结合共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解：，
则．
故选：A．
考点05 复数的运算
解法指导 1．复数运算常用公式 （1）（a＋bi）2＝a2－b2＋2abi（a，b∈R）． （2）（a＋bi）（a－bi）＝a2＋b2（a，b∈R）． （3）（1±i）2＝±2i． （4）＝－i． （5）＝i． （6）＝－i． 2．复数代数形式的乘法运算 （1）首先按多项式的乘法展开． （2）再将i2换成－1． （3）然后再进行复数的加、减运算． 3．复数代数形式的除法运算 （1）首先将除式写为分式． （2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． （3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
【例17】　（2025 郾城区校级模拟）若，则（　　）
A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2
【答案】D
【分析】先利用i3＝﹣i，i5＝i化简，再利用复数的除法运算求z，再求出，最后利用复数的加法运算即可．
【解答】解：∵，
∴，
则．
故选：D．
【例18】　（2025 惠州模拟）已知复数z满足（1﹣i）z＝2，则z＝（　　）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
【答案】D
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：z，
故选：D．
【例19】　（2025 新疆模拟）已知复数z满足，则z等于（　　）
A．1﹣2i B．﹣1﹣2i C．﹣1+2i D．1+2i
【答案】B
【分析】利用复数的四则运算即可得解．
【解答】解：．
故选：B．
【例20】　（2025 安徽模拟）若，则z＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的运算可得．
【解答】解：若，
则．
故选：C．专题11 复数
　　　　
考点01 复数的概念与表示 4
考点02 复数的几何意义 6
考点03 复数的模 7
考点04 共轭复数 8
考点05 复数的运算 9
掌握复数的概念、复数的分类、复数的几何意义、复数的模长、复数相等、共轭复数；熟练掌握复数的加减法运算、复数乘除法运算．
1．复数的分类
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R），
（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
2．复数的几何意义
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点Z（a，b）．
（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量．
3．复数的模
（1）定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值．
（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|．
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝．
4．共轭复数
（1）定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共．轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数．
（2）表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi．
5．复数加法与减法
（1）z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i．
（2）z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i．
（3）z1＋z2＝z2＋z1．
（4）（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）．
6．复数的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则z1·z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i．
7．复数的除法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R，且c＋di≠0）是任意两个复数，则＝＝＋i（c＋di≠0）．
1．复数的三角表示
对于复数，记模长，辐角主值为，则有
这称作复数的三角表示．
2．（棣莫弗公式）对于两个三角表示的复数
有
特别的，有乘方
我们得到复数乘法的几何意义，模长相乘辐角相加，对应伸缩变换和旋转变换，即
3．欧拉公式
4．复数模长
这是计算复数模长的重要公式．
5．共轭运算和四则运算可交换，即
6．三角不等式
一、选择题（共9小题）
1．（2025 新高考Ⅰ）（1+5i）i的虚部为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．6
2．（2025 新高考Ⅱ）已知z＝1+i，则（　　）
A．﹣i B．i C．﹣1 D．1
3．（2025 北京）已知复数z满足i z+2＝2i，则|z|＝（　　）
A． B．2 C．4 D．8
4．（2024 甲卷）设zi，则z （　　）
A．﹣i B．1 C．﹣1 D．2
5．（2024 甲卷）设z＝5+i，则i（z）＝（　　）
A．10i B．2i C．10 D．﹣2
6．（2024 新高考Ⅱ）已知z＝﹣1﹣i，则|z|＝（　　）
A．0 B．1 C． D．2
7．（2024 新高考Ⅰ）若1+i，则z＝（　　）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
8．（2024 全国）计算（　　）
A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i
9．（2024 北京）若复数z满足，则z＝（　　）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
二、填空题（共6小题）
10．（2025 天津）已知i是虚数单位，则||＝　　 ．
11．（2025 上海）已知复数z满足z2＝（）2，|z|≤1，则|z﹣2﹣3i|的最小值是　 　 ．
12．（2025 上海）已知复数，其中i为虚数单位，则|z|＝ 　　 ．
13．（2024 上海）已知虚数z，其实部为1，且，则实数m为 　2　 ．
14．（2024 天津）i是虚数单位，复数　 　 ．
15．（2024 上海）已知，则　 　 ．
考点01 复数的概念与表示
解法指导 1．复数的概念 （1）定义：我们把形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1． （2）表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部． 2．复数的实部和虚部 （1）复数a＋bi（a，b∈R）中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部． （2）b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 3．解决复数分类问题的方法 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部． （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可． （3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R）． ①z为实数 b＝0． ②z为虚数 b≠0． ③z为纯虚数 a＝0且b≠0．
【例1】　（2025 榆林模拟）已知a，b∈R，﹣a+3i＝（b﹣i）i，则（　　）
A．a＝1，b＝3 B．a＝1，b＝﹣3 C．a＝﹣1，b＝3 D．a＝﹣1，b＝﹣3
【例2】　（2025 河北三模）已知复数z＝a2﹣1+（a2﹣2a﹣3）i为纯虚数，则实数a＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣1或1
【例3】　（2025秋 南京校级月考）已知，则z的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【例4】　（2025 海淀区校级模拟）若复数z＝a2﹣1+（a+1）i是纯虚数，则实数a＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
考点02 复数的几何意义
解法指导 1．复平面 2．复数的几何意义 （1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点Z（a，b）． （2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量． 3．利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 4．复数与平面向量的对应关系 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
【例5】　（2025 莆田模拟）已知z4，z2i，则在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例6】　（2025 株洲校级模拟）已知复数z1在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数z2在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例7】　（2025 武汉模拟）（1﹣5i）（4+3i）在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例8】　（2025 湖北模拟）在复平面内，复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点03 复数的模
解法指导 1．复数的模 （1）定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值． （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|． （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝． 2．复数模的计算 （1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． （2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．
【例9】　（2025 龙岩模拟）已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则|z|＝（　　）
A．1 B． C． D．2
【例10】　（2025 金牛区校级模拟）设复数z满足（1+i）z＝4i，则|z|＝（　　）
A． B． C．2 D．
【例11】　（2025 碑林区校级模拟）已知复数z＝1+i2025，则|z|＝（　　）
A．2 B． C．1 D．
【例12】　（2025 立山区校级一模）已知z＝2+i，则|z|＝（　　）
A．1 B． C．2 D．
考点04 共轭复数
解法指导 1．共轭复数 （1）定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． （2）表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi． 2．复数范围内解方程 当一元二次方程中Δ<0时，在复数范围内有两根且互为共轭复数．
【例13】　（2025 绵阳模拟）已知复数z满足（1+i） z＝1﹣i，则z的共轭复数（　　）
A．i B．i C．i D．﹣i
【例14】　（2025 绵阳校级模拟）若复数z＝i2019，则的虚部为（　　）
A． B． C．i D．i
【例15】　（2025 船山区校级二模）已知i为虚数单位，复数z满足zi＝﹣2+i，则（　　）
A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i
【例16】　（2025 合肥模拟）若复数，i是虚数单位，则z的共轭复数等于（　　）
A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i
考点05 复数的运算
解法指导 1．复数运算常用公式 （1）（a＋bi）2＝a2－b2＋2abi（a，b∈R）． （2）（a＋bi）（a－bi）＝a2＋b2（a，b∈R）． （3）（1±i）2＝±2i． （4）＝－i． （5）＝i． （6）＝－i． 2．复数代数形式的乘法运算 （1）首先按多项式的乘法展开． （2）再将i2换成－1． （3）然后再进行复数的加、减运算． 3．复数代数形式的除法运算 （1）首先将除式写为分式． （2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． （3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
【例17】　（2025 郾城区校级模拟）若，则（　　）
A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2
【例18】　（2025 惠州模拟）已知复数z满足（1﹣i）z＝2，则z＝（　　）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
【例19】　（2025 新疆模拟）已知复数z满足，则z等于（　　）
A．1﹣2i B．﹣1﹣2i C．﹣1+2i D．1+2i
【例20】　（2025 安徽模拟）若，则z＝（　　）
A． B． C． D．

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