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专题12 等差数列与等比数列
　　　　
考点01 等差数列及通项公式 6
考点02 等比数列及通项公式 7
考点03 数列求和 8
考点04 Sn与an 9
了解数列的概念和几种简单的表示方法；理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
1．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N*
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
2．数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
3．等差数列的概念
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．数学语言表达式：an＋1－an＝d（n∈N*，d为常数） ．
（2）等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可知2A＝a＋b．
4．等差数列的通项与前n项和
（1）若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋（n－1）d．
（2）前n项和公式：Sn＝na1＋＝．
5．等差数列的性质
（1）通项公式的推广：an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an．
（3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列．
（4）若Sn为等差数列{an}的前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
（5）若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列．
6．等比数列的概念
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（显然q≠0）．数学语言表达式：＝q（n≥2，q为非零常数）．
（2）等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，则G2＝ab．
7．等比数列的通项及前n项和
（1）若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m．
（2）等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝．
8．等比数列的性质
（1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则有ak·al＝am·an．
（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm．
9．公式法求和
（1）等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d．
（2）等比数列的前n项和公式：Sn＝
等差数列
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q（其中p，q为常数），则数列{an}一定是等差数列，且公差为p．
2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）．
5．若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，则＝．
等比数列
1．若数列{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则数列{can}（c≠0），{|an|}，{a}，，{anbn}，也是等比数列．
2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0．
3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
4．三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3．
5．若已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn，则Sn＝＝·qn＋＝kqn－k（k≠0，q≠1），即Sn为关于n的指数型函数，且qn的系数与常数项互为相反数．
6．{an}为等比数列，若a1a2…an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
7．若{an}为正项等比数列，则{logcan}（c>0，c≠1）为等差数列．
8．若{an}为等差数列，则{can}（c>0，c≠1）为等比数列．
9．若{an}既是等差数列又是等比数列 {an}是非零常数列．
10．（1）项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q．
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则＝q．
（2）分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm qn＝（q为公比）．
11．等比数列的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
一、选择题（共5小题）
1．（2025 新高考Ⅱ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝﹣5，则S6＝（　　）
A．﹣20 B．﹣15 C．﹣10 D．﹣5
2．（2025 北京）已知{an}是公差不为0的等差数列，a1＝﹣2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10＝（　　）
A．﹣20 B．﹣18 C．16 D．18
3．（2025 天津）Sn＝﹣n2+8n，则数列{|an|}的前12项和为（　　）
A．112 B．48 C．80 D．64
4．（2024 甲卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝S10，a5＝1，则a1＝（　　）
A． B． C． D．
5．（2024 甲卷）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，a3+a7＝（　　）
A．﹣2 B． C．1 D．
二、多选题（共1小题）
（多选）6．（2025 新高考Ⅱ）记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0．若S3＝7，a3＝1，则（　　）
A．q B．a5 C．S5＝8 D．an+Sn＝8
三、填空题（共4小题）
7．（2025 上海）已知等差数列{an}的首项a1＝﹣3，公差d＝2，则该数列的前6项和为　 　 ．
8．（2025 新高考Ⅰ）若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 　 　 ．
9．（2025 上海）已知{an}是首项为1、公差为1的等差数列，{bn}是首项为1、公比为q（q＞0）的等比数列．若数列{an bn}的前三项和为2，则q＝ 　　 ．
10．（2024 新高考Ⅱ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4＝7，3a2+a5＝5，则S10＝　 　 ．
考点01 等差数列及通项公式
解法指导 1．等差数列 （1）等差数列求基本量：五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个． （2）等差数列的判定与证明：①定义法；②等差中项法；③通项公式法；④前n项和公式法． （3）等差数列的性质及应用． 2．求通项公式 （1）由an与Sn的关系求通项公式：an＝ （2）累加法求通项公式：形如an＋1－an＝f（n），求an． （3）累乘法求通项公式：形如＝f（n），求an． 3．等差数列的判定与证明的常用方法 （1）定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数． （2）等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 {an}为等差数列． （3）通项公式法：an＝an＋b（a，b是常数） {an}为等差数列． （4）前n项和公式法：Sn＝an2＋bn（a，b为常数） {an}为等差数列． 4．等差数列的性质 （1）项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ap＋a． （2）和的性质：S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；S2n－1＝（2n－1）an；依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列．
【例1】　（2025 江苏校级一模）已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则a11＝（　　）
A． B． C． D．
【例2】　（2025 湖北三模）已知公差不为0的等差数列{an}中，a2+a4＝a6，a9＝a62，则a10＝（　　）
A． B．5 C．10 D．40
【例3】　（2025 濮阳二模）已知等差数列{an}的公差为3，则a10﹣a1＝（　　）
A．3 B．9 C．27 D．30
故选：C．
【例4】　（2025 开福区校级模拟）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＝0，a7+a10＝1，则a1＝ 　 　 ．
【例5】　（2025 东莞市模拟）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a6＝10，S7＝7，则a10＝ 　 　 ．
考点02 等比数列及通项公式
解法指导 （1）等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解． （2）等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝． （3）等比数列的判定与证明：①定义法；②等比中项法；③通项公式法；④前n项和公式法．
【例6】　（2025 昆明一模）已知正项等比数列{an}，满足a2＝1，a4＝4，则a1＝（　　）
A． B． C．1 D．2
【例7】　（2025 华安县校级模拟）在等比数列{an}中，a1 a2 a3＝27，a2+a6＝15，则a4＝（　　）
A．±6 B．﹣6 C．36 D．6
【例8】　（2025 重庆校级模拟）在等比数列{an}中，若a3a5＝16，a2+a4＝5，则a2＝（　　）
A．1 B．9 C．1或9 D．﹣1或9
【例9】　（2025 西城区校级模拟）设{an}是等比数列，a1＝1，a2 a4＝16，则a5＝　 　 ．
【例10】　（2025 南平模拟）已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+1，则a3＝　 　 ．
考点03 数列求和
解法指导 （1）分组转化法求和的常见类型主要有：分段型（如①an＝②an＝2n＋3n－1），周期型． （2）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两或几个相结合求解，则称之为并项求和．形如an＝（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求解． （3）用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：＝（－），＝（－），裂项后可以产生连续相互抵消的项．
【例11】　（2025 鹤壁一模）设数列{an}的前n项和为Sn，若an＝λn+8，a15＝38，则S10＝（　　）
A．100 B．110 C．210 D．190
【例12】　（2025 浦东新区校级模拟）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a6＝12，则S7＝ 　 ．
【例13】　（2025 泉州模拟）等比数列{an}中，a1+a2＝1，a4+a5＝8，则{an}的前4项和等于 　 　 ．
【例14】　（2025 上海校级模拟）已知数列{an}的首项a1＝1，且满足．
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列{an}的前项和Sn．
【例15】　（2025 福建模拟）已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝15，a3，a6，a13成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝an 2n，求{bn}的前n项和Tn．
考点04 Sn与an
解法指导 （1）已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式． （2）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． （3）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
【例16】　（2025 保定一模）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S4＝2（S2+S3），a1＝1，则a6＝（　　）
A．﹣14 B．﹣12 C．12 D．14
【例17】　（2025 兴化市校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，S6＝42，则a5＝（　　）
A．5 B．10 C．15 D．34
【例18】　（2025 开封二模）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3＝1，S6＝﹣7，则公比q＝（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
【例19】　（2025 合肥模拟）已知各项为正数的数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn．若S2＝6，S4＝30，则a1＝　 　 ．
【例20】　（2013 长安区校级一模）已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn＝n2+2n．
（I）求数列{an}的通项公式：
（Ⅱ）数列{bn}中，（n≥2），求{bn}的通项公式．专题12 等差数列与等比数列
　　　　
考点01 等差数列及通项公式 8
考点02 等比数列及通项公式 11
考点03 数列求和 13
考点04 Sn与an 16
了解数列的概念和几种简单的表示方法；理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
1．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N*
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
2．数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
3．等差数列的概念
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．数学语言表达式：an＋1－an＝d（n∈N*，d为常数） ．
（2）等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可知2A＝a＋b．
4．等差数列的通项与前n项和
（1）若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋（n－1）d．
（2）前n项和公式：Sn＝na1＋＝．
5．等差数列的性质
（1）通项公式的推广：an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an．
（3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列．
（4）若Sn为等差数列{an}的前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
（5）若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列．
6．等比数列的概念
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（显然q≠0）．数学语言表达式：＝q（n≥2，q为非零常数）．
（2）等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，则G2＝ab．
7．等比数列的通项及前n项和
（1）若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m．
（2）等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝．
8．等比数列的性质
（1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则有ak·al＝am·an．
（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm．
9．公式法求和
（1）等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d．
（2）等比数列的前n项和公式：Sn＝
等差数列
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q（其中p，q为常数），则数列{an}一定是等差数列，且公差为p．
2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）．
5．若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，则＝．
等比数列
1．若数列{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则数列{can}（c≠0），{|an|}，{a}，，{anbn}，也是等比数列．
2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0．
3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
4．三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3．
5．若已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn，则Sn＝＝·qn＋＝kqn－k（k≠0，q≠1），即Sn为关于n的指数型函数，且qn的系数与常数项互为相反数．
6．{an}为等比数列，若a1a2…an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
7．若{an}为正项等比数列，则{logcan}（c>0，c≠1）为等差数列．
8．若{an}为等差数列，则{can}（c>0，c≠1）为等比数列．
9．若{an}既是等差数列又是等比数列 {an}是非零常数列．
10．（1）项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q．
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则＝q．
（2）分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm qn＝（q为公比）．
11．等比数列的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
一、选择题（共5小题）
1．（2025 新高考Ⅱ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝﹣5，则S6＝（　　）
A．﹣20 B．﹣15 C．﹣10 D．﹣5
【答案】B
【分析】由题意建立首项与公差的方程，求出首项和公差，再由等差数列的前n项和公式即可求得．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
因为S3＝6，S5＝﹣5，
所以，解得，
所以S6＝6a1+15d＝6×5﹣15×3＝﹣15．
故选：B．
2．（2025 北京）已知{an}是公差不为0的等差数列，a1＝﹣2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10＝（　　）
A．﹣20 B．﹣18 C．16 D．18
【答案】C
【分析】利用等差数列、等比数列的性质求解．
【解答】解：{an}是公差不为0的等差数列，a1＝﹣2，a3，a4，a6成等比数列，
设公差为d，则，即（﹣2+3d）2＝（﹣2+2d）（﹣2+5d），
整理得d2﹣2d＝0，
解得d＝2或d＝0（舍），
∴a10＝a1+9d＝﹣2+9×2＝16．
故选：C．
3．（2025 天津）Sn＝﹣n2+8n，则数列{|an|}的前12项和为（　　）
A．112 B．48 C．80 D．64
【答案】C
【分析】由an与Sn的关系求得an＝﹣2n+9，再去绝对值后求和即可．
【解答】解：因为Sn＝﹣n2+8n，
所以当n＝1时，a1＝S1＝﹣1+8＝7，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（﹣n2+8n）﹣[﹣（n﹣1）2+8（n﹣1）]＝﹣2n+9，
当n＝1时，也满足上式，所以an＝﹣2n+9，
所以当n≤4时，an＞0，当n≥5时，an＜0，
所以{|an|}的前12项和为|a1|+|a2|+...+|a4|+|a5|+...+|a12|＝a1+a2+a3+a4﹣（a5+a6+...+a12）＝2（a1+a2+a3+a4）﹣（a1+a2+...+a12）＝2S4﹣S12＝2（﹣16+32）﹣（﹣144+96）＝80．
故选：C．
4．（2024 甲卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝S10，a5＝1，则a1＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，先求出公差，再结合等差数列的性质，即可求解．
【解答】解：S5＝S10，
则S10﹣S5＝a6+a7+a8+a9+a10＝5a8＝0，解得a8＝0，
又因为a5＝1，所以公差，
故a1＝a8．
故选：B．
5．（2024 甲卷）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，a3+a7＝（　　）
A．﹣2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，以及等差数列的性质，即可求解．
【解答】解：S9＝1，
则，解得a3+a7．
故选：D．
二、多选题（共1小题）
（多选）6．（2025 新高考Ⅱ）记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0．若S3＝7，a3＝1，则（　　）
A．q B．a5 C．S5＝8 D．an+Sn＝8
【答案】AD
【分析】根据等比数列的定义和已知条件可求出q，可判断各选项正误．
【解答】解：由已知，S3＝a1+a2+a37，
即6q2﹣q﹣1＝0，解得q（负根舍去），故A正确，
a5＝q2，故B错误，
S5＝S3+q+q2＝7，故C错误，
an＝a3qn﹣3，Sn8，
所以an+Sn88，故D正确．
故选：AD．
三、填空题（共4小题）
7．（2025 上海）已知等差数列{an}的首项a1＝﹣3，公差d＝2，则该数列的前6项和为　12　 ．
【答案】12．
【分析】套用等差数列前n项和公式计算即可．
【解答】解：因为等差数列{an}的首项a1＝﹣3，公差d＝2，
所以S6＝6a112．
故答案为：12．
8．（2025 新高考Ⅰ）若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 　2　 ．
【答案】2．
【分析】根据等比数列的性质，建立方程，即可求解．
【解答】解：根据题意可得a1+a2+a3+a4＝4，a5+a6+a7+a8＝68﹣4＝64，
所以a5+a6+a7+a8＝（a1+a2+a3+a4）×q4＝4×q4＝64，
解得q＝2（q＝﹣2舍）．
故答案为：2．
9．（2025 上海）已知{an}是首项为1、公差为1的等差数列，{bn}是首项为1、公比为q（q＞0）的等比数列．若数列{an bn}的前三项和为2，则q＝ 　　 ．
【答案】．
【分析】由已知结合等差数列与等比数列的通项公式即可求解．
【解答】解：由题意可得，an＝n，bn＝qn﹣1，q＞0，
若数列{an bn}的前三项和为2，则1+2q+3q2＝2，
解得q或q＝﹣1（舍）．
故答案为：．
10．（2024 新高考Ⅱ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4＝7，3a2+a5＝5，则S10＝　95　 ．
【答案】95．
【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．
【解答】解：等差数列{an}中，a3+a4＝2a1+5d＝7，3a2+a5＝4a1+7d＝5，
解得，d＝3，a1＝﹣4，
则S10＝10×（﹣4）95．
故答案为：95．
考点01 等差数列及通项公式
解法指导 1．等差数列 （1）等差数列求基本量：五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个． （2）等差数列的判定与证明：①定义法；②等差中项法；③通项公式法；④前n项和公式法． （3）等差数列的性质及应用． 2．求通项公式 （1）由an与Sn的关系求通项公式：an＝ （2）累加法求通项公式：形如an＋1－an＝f（n），求an． （3）累乘法求通项公式：形如＝f（n），求an． 3．等差数列的判定与证明的常用方法 （1）定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数． （2）等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 {an}为等差数列． （3）通项公式法：an＝an＋b（a，b是常数） {an}为等差数列． （4）前n项和公式法：Sn＝an2＋bn（a，b为常数） {an}为等差数列． 4．等差数列的性质 （1）项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ap＋a． （2）和的性质：S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；S2n－1＝（2n－1）an；依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列．
【例1】　（2025 江苏校级一模）已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则a11＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案．
【解答】解：由数列是首项为5，公差为2的等差数列，
可得，即，则．
故选：A．
【例2】　（2025 湖北三模）已知公差不为0的等差数列{an}中，a2+a4＝a6，a9＝a62，则a10＝（　　）
A． B．5 C．10 D．40
【答案】A
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d≠0，∵a2+a4＝a6，a9＝a62，
∴2a1+4d＝a1+5d，a1+8d，
解得：a1＝d，
则a10＝a1+9d＝10，
故选：A．
【例3】　（2025 濮阳二模）已知等差数列{an}的公差为3，则a10﹣a1＝（　　）
A．3 B．9 C．27 D．30
【答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式求解．
【解答】解：设公差为d，
等差数列{an}的公差为3，
则公差d＝3，则a10﹣a1＝9d＝27．
故选：C．
【例4】　（2025 开福区校级模拟）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＝0，a7+a10＝1，则a1＝ 　﹣7　 ．
【答案】﹣7．
【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
a7+a8+a9＝0，
则3a8＝0，解得a8＝0，
a7+a10＝a8+a9＝1，
则a9＝1，
d＝a9﹣a8＝1﹣0＝1，
故a1＝a8﹣7d＝0﹣7＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【例5】　（2025 东莞市模拟）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a6＝10，S7＝7，则a10＝ 　28　 ．
【答案】28．
【分析】根据等差数列的通项公式及等差数列奇数项和的性质求积．
【解答】解：等差数列{an}中，a6＝10，S7＝7，
因为S7＝7a4＝7，解得a4＝1，
所以a6＝a4+2d＝1+2d＝10，解得，
所以a10＝a6+4d＝10+18＝28．
故答案为：28．
考点02 等比数列及通项公式
解法指导 （1）等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解． （2）等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝． （3）等比数列的判定与证明：①定义法；②等比中项法；③通项公式法；④前n项和公式法．
【例6】　（2025 昆明一模）已知正项等比数列{an}，满足a2＝1，a4＝4，则a1＝（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出公比，进而求出首项．
【解答】解：正项等比数列{an}，满足a2＝1，a4＝4，
设正项等比数列{an}的公比为q，则，而q＞0，解得q＝2，
所以．
故选：B．
【例7】　（2025 华安县校级模拟）在等比数列{an}中，a1 a2 a3＝27，a2+a6＝15，则a4＝（　　）
A．±6 B．﹣6 C．36 D．6
【答案】D
【分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式即可求解．
【解答】解：等比数列{an}中，a1 a2 a327，a2+a6＝15，
则a2＝3，a6＝12，
因为a4与a2符号一致，
a46．
故选：D．
【例8】　（2025 重庆校级模拟）在等比数列{an}中，若a3a5＝16，a2+a4＝5，则a2＝（　　）
A．1 B．9 C．1或9 D．﹣1或9
【答案】A
【分析】根据题意结合等比中项运算求解，并根据a4，a2同号取舍．
【解答】解：因为数列{an}为等比数列，a3a5＝16，a2+a4＝5，
则，则a4＝±4，
又因为a2+a4＝5，所以a2＝5﹣a4＝1或9，
因为a4，a2同号，所以a2＝1，a4＝4．
故选：A．
【例9】　（2025 西城区校级模拟）设{an}是等比数列，a1＝1，a2 a4＝16，则a5＝　16　 ．
【答案】16．
【分析】由已知结合等比数列的通项公式即可求解．
【解答】解：因为等比数列{an}中，a1＝1，a2a4，
则q4＝16，
所以16．
故答案为：16．
【例10】　（2025 南平模拟）已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+1，则a3＝　7　 ．
【答案】7．
【分析】代值计算即可．
【解答】数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+1，
∴a2＝2a1+1＝3，
∴a3＝2a2+1＝7．
故答案为：7．
考点03 数列求和
解法指导 （1）分组转化法求和的常见类型主要有：分段型（如①an＝②an＝2n＋3n－1），周期型． （2）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两或几个相结合求解，则称之为并项求和．形如an＝（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求解． （3）用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：＝（－），＝（－），裂项后可以产生连续相互抵消的项．
【例11】　（2025 鹤壁一模）设数列{an}的前n项和为Sn，若an＝λn+8，a15＝38，则S10＝（　　）
A．100 B．110 C．210 D．190
【答案】D
【分析】先由题意求出λ，进而求出an并判断数列{an}是等差数列，再由等差数列的前n项和公式即可求解．
【解答】解：设数列{an}的前n项和为Sn，若an＝λn+8，a15＝38，
可得a15＝15λ+8＝38，解得λ＝2，
所以an＝2n+8，
所以{an}是以10为首项，2为公差的等差数列，
则．
故选：D．
【例12】　（2025 浦东新区校级模拟）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a6＝12，则S7＝ 　42　 ．
【答案】42．
【分析】利用等差数列前n项和公式和等差数列的性质易求得S7．
【解答】解：∵等差数列an的前n项和为Sn，a2+a6＝12，
∴．
故答案为：42．
【例13】　（2025 泉州模拟）等比数列{an}中，a1+a2＝1，a4+a5＝8，则{an}的前4项和等于 　5　 ．
【答案】5．
【分析】根据给定条件，利用等比数列项间关系列式求出公比，进而求出前4项和．
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若a1+a2＝1，a4+a5＝8，则，
解得q＝2，
因此，
所以{an}的前4项和S4＝a1+a2+a3+a4＝1+4＝5．
故答案为：5．
【例14】　（2025 上海校级模拟）已知数列{an}的首项a1＝1，且满足．
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列{an}的前项和Sn．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义分析证明；
（2）先根据等比数列的通项公式可得，再利用分组求和结合等比数列的求和公式运算求解．
【解答】解：（1）因为，即，
则，
又因为a1＝1，可得，
所以数列表示首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列；
（2）由（1）知，
所以，
所以
，
当n为偶数时，可得，
当n为奇数时，可得，
综上所述：．
【例15】　（2025 福建模拟）已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝15，a3，a6，a13成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝an 2n，求{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）an＝4n﹣3；（2）Tn＝（4n﹣7） 2n+1+14或Tn＝10 2n﹣10．
【分析】（1）由等差数列的中项性质和等比数列的中项性质，以及等差数列的通项公式，求得公差，由此能求出数列{an}的通项公式；
（2）求得bn＝（4n﹣3） 2n，利用错位相减法能求出{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）设正项等差数列{an}的公差为d，
∵a1+a2+a3＝15，∴3a2＝15，即a2＝5，
∵a3，a6，a13成等比数列，
∴a3a13，
∴（5+4d）2＝（5+d）（5+11d），
解得d＝4或d＝0，
∴an＝5+（n﹣2）×4＝4n﹣3或an＝5．
（2）∵bn＝an 2n＝（4n﹣3） 2n，或bn＝5 2n，
∴当bn＝（4n﹣3） 2n时，
Tn＝1×2+5×22+...+（4n﹣3） 2n，
2Tn＝1×22+5×23+...+（4n﹣3） 2n+1，
两式相减可得﹣Tn＝2+4（22+23+...+2n）﹣（4n﹣3） 2n+1
＝2+4（4n﹣3） 2n+1＝（7﹣4n） 2n+1﹣14，
则Tn＝（4n﹣7） 2n+1+14．
当bn＝5 2n时，Tn10 2n﹣10．
考点04 Sn与an
解法指导 （1）已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式． （2）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． （3）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
【例16】　（2025 保定一模）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S4＝2（S2+S3），a1＝1，则a6＝（　　）
A．﹣14 B．﹣12 C．12 D．14
【答案】A
【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．
【解答】解：等差数列{an}中，S4＝2（S2+S3），a1＝1，
则4a1+6d＝2（5a1+4d），即d＝﹣3，
则a6＝a1+5d＝1﹣15＝﹣14．
故选：A．
【例17】　（2025 兴化市校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，S6＝42，则a5＝（　　）
A．5 B．10 C．15 D．34
【答案】B
【分析】根据题意，设等差数列{an}的公差为d，分析可得，解可得a1与d的值，即可得数列{an}的通项公式，由此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
若S3＝12，S6＝42，则，解可得，
故a5＝a1+4d＝10．
故选：B．
【例18】　（2025 开封二模）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3＝1，S6＝﹣7，则公比q＝（　　）
A． B． C．﹣2 D．2
【答案】C
【分析】根据，结合已知条件，直接计算即可．
【解答】解：因为Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3＝1，S6＝﹣7，
由题可知，S6﹣S3＝﹣8，
故，故q＝﹣2．
故选：C．
【例19】　（2025 合肥模拟）已知各项为正数的数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn．若S2＝6，S4＝30，则a1＝　2　 ．
【答案】2．
【分析】利用等比数列的前n项和公式与通项公式即可求得结果．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，
因为S2＝6，S4＝30，
所以S2＝a1（1+q）＝6，①
，②
由①②解得：q＝2（负值舍去），a1＝2．
故答案为：2．
【例20】　（2013 长安区校级一模）已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn＝n2+2n．
（I）求数列{an}的通项公式：
（Ⅱ）数列{bn}中，（n≥2），求{bn}的通项公式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（I）当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1即可得出；
（II）当n≥2时，，变形bn+1＝2（bn﹣1+1），可得数列{bn+1}是等比数列．即可得出．
【解答】解：（I）当n＝1时，a1＝S1＝1+2＝3；
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+2n﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]＝2n+1，
上式对于n＝1时也成立，故an＝2n+1．
（II）当n≥2时，，
∴bn+1＝2（bn﹣1+1），b1+1＝2．
∴数列{bn+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴，∴，n＝1时也成立．
∴

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