资源简介

4.1　直线的方向向量与平面的法向量
1.已知向量a＝（2， －1，3）和b＝（－4，2x2，6x）都是直线l的方向向量，则x的值是（　　）
A.－1　　　　　　　 B.1或－1
C.－3 D.1
2.已知平面内的两个向量a＝（2，3，1），b＝（5，6，4），则该平面的一个法向量为（　　）
A.（1，－1，1） B.（2，－1，1）
C.（－2，1，1） D.（－1，1，－1）
3.已知线段AB的两端点坐标为A（9，－3，4），B（9，2，1），则线段AB与坐标平面（　　）
A.xOy平行 B.xOz平行
C.yOz平行 D.yOz相交
4.如图，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点，，，为一组基建立空间直角坐标系，则平面A1BC1的法向量是（　　）
A.（1，1，1）
B.（－1，1，1）
C.（1，－1，1）
D.（1，1，－1）
5.已知直线l1的方向向量a＝（2，－3，5），直线l2的方向向量b＝（－4，x，y），若a∥b，则x，y的值分别是（　　）
A.6和－10 B.－6和10
C.－6和－10 D.6和10
6.（多选）若是平面ABCD的法向量，且四边形ABCD为菱形，则以下各式成立的是（　　）
A.⊥ B.⊥
C.⊥ D.⊥
7.已知平面ABC，且A（1，2，－1），B（2，0，－1），C（3，－2，1），则平面ABC的一个法向量为　　　　.
8.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（2cos x＋1，2cos 2x＋2，0）和点Q（cos x，－1，3），其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为　　　　.
9.若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的一个法向量a＝（x，y，z），则x∶y∶z＝　　　　.
10.已知A（2，2，2），B（2，0，0），C（0，2， －2）.
（1）写出直线BC的一个方向向量；
（2）设平面α经过点A，且是α的法向量，M（x，y，z）是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式.
11.已知平面α内两向量a＝（1，1，1），b＝（0，2，－1），且c＝ma＋nb＋（4，－4，1）.若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为（　　）
A.－1，2 B.1，－2
C.1，2 D.－1，－2
12.（多选）已知a＝（λ＋1，0，2），b＝（6，2μ－1，2λ），若a∥b，则λ与μ的值可以是（　　）
A.2， B.－，
C.－3， D.－3，2
13.已知空间直角坐标系Oxyz中的点A（1，1，1），平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P（x，y，z）是平面α内的任一点，则直线OA的一个方向向量为　　　　，点P的坐标满足的条件为　　　　.
14.已知直线l的一个方向向量为v＝（1，－2，0），写出一个以（2，1，1）为起点，且垂直于直线l的一个单位向量的终点坐标为　　　　.
15.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量.
16.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量.
4.1　直线的方向向量与平面的法向量
1.A　由题意得a∥b，所以解得x＝－1.
2.C　显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝（x，y，z），则有即取z＝1，得x＝－2，y＝1.∴n＝（－2，1，1）.
3.C　因为＝（9，2，1）－（9，－3，4）＝（0，5，－3），所以AB∥平面yOz.
4.A　由题意可知，A1（1，0，1），B（1，1，0），C1（0，1，1），则＝（0，－1，1），＝（－1，0，1）.设平面A1BC1的法向量是n＝（x，y，z），则取x＝1，得n＝（1，1，1），∴平面A1BC1的一个法向量是（1，1，1）.故选A.
5.A　由题意得＝＝，且x≠0，y≠0，所以x，y的值分别是6和－10.
6.ABC　由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面ABCD内的线AB，CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确.
7.（2，1，0）（答案不唯一）　解析：＝（1，－2，0），＝（2，－4，2），设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），则令y＝1，得x＝2，z＝0，故平面ABC的一个法向量为n＝（2，1，0）.
8.或　解析：由OP⊥OQ，得·＝0，即（2cos x＋1）·cos x＋（2cos 2x＋2）·（－1）＝0.∴cos x＝0或cos x＝.∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.
9.2∶3∶（－4）　解析：＝，＝.因为a为α的法向量，所以a·＝0，且a·＝0，即x－3y－z＝0，且－2x－y－z＝0.联立解得y＝x，z＝－2x，故x∶y∶z＝2∶3∶（－4）.
10.解：（1）∵B（2，0，0），C（0，2，－2），
∴＝（－2，2，－2），即（－2，2，－2）为直线BC的一个方向向量.
（2）由题意＝（x－2，y－2，z－2），
∵⊥平面α，AM α，
∴⊥，
∴（－2，2，－2）·（x－2，y－2，z－2）＝0.
∴－2（x－2）＋2（y－2）－2（z－2）＝0.
化简得x－y＋z－2＝0.
11.A　c＝ma＋nb＋（4，－4，1）＝（m，m，m）＋（0，2n，－n）＋（4，－4，1）＝（m＋4，m＋2n－4，m－n＋1）.由c为平面α的法向量，得解得
12.AC　由a∥b，可设b＝ka，即（6，2μ－1，2λ）＝k（λ＋1，0，2），得解得μ＝，λ＝－3或2，故A、C都符合选项.故选A、C.
13.（1，1，1）（答案不唯一）　x＋y＋z＝3　解析：由题意知，OA⊥α，直线OA的一个方向向量为＝（1，1，1）.因为P∈α，所以⊥，所以（1，1，1）·（x－1，y－1，z－1）＝0，所以x＋y＋z＝3.
14.（2，1，0）（答案不唯一）　解析：设终点坐标为（x，y，z），因为l的一个方向向量为v＝（1，－2，0），设以（2，1，1）为起点，且垂直于直线l的单位向量为（x－2，y－1，z－1），且满足
即
可取x＝2，y＝1，z＝0，故终点坐标为（2，1，0）.
15.证明：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），E（1，1，），D1（0，0，1），F，A1（1，0，1），＝（0，1，），＝，＝（－1，0，0）.
∵·＝·（0，，－1）＝－＝0，
·＝·（－1，0，0）＝0×（－1）＋1×0＋×0＝0，
∴⊥，⊥.
又A1D1∩D1F＝D1，
∴AE⊥平面A1D1F，
∴是平面A1D1F的法向量.
16.解：以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），D，
C（1，1，0），S（0，0，1），因此
＝，＝.
显然向量＝是平面SAB的一个法向量.
设n＝（x，y，z）为平面SDC的法向量，
则
即
取x＝2，则y＝－1，z＝1，故平面SDC的一个法向量为（2，－1，1）.
2 / 24.1　直线的方向向量与平面的法向量
新课程标准解读 核心素养
1.理解直线的方向向量与直线的向量表示 数学抽象
2.理解平面的法向量，并会求给定平面的法向量 数学运算
牌楼，与牌坊类似，是我国传统建筑之一，最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种，多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大.如图，牌楼的柱子与地面是垂直的.
【问题】　如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　直线的方向向量与直线的向量表示
1.直线l的方向向量
设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称为直线l的　　　　向量.
2.直线的向量表示
已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得　　　　，把这个式子称为直线l的向量表示.
【想一想】
空间中给定一个点A和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？
知识点二　平面的法向量
1.平面α的法向量
如果一条直线l与一个平面α　　　　，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量，记作n⊥α.
2.平面α的方程
若平面α的法向量n＝（A，B，C），设P（x，y，z）为平面α内的任意一点，点M∈α且M（x0，y0，z0），则方程　　　　　　　　　叫作平面α的方程.
【想一想】
1.平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，它们是什么关系？
2.一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直线l的方向向量是唯一的.（　　）
（2）若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0.（　　）
（3）在空间中，由直线l上的一定点A和直线l的方向向量能表示直线上的任意一点.（　　）
（4）空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.（　　）
2.若A（1，0，－1），B（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（　　）
A.（2，2，6）　　　　 B.（－1，1，3）
C.（3，1，1） D.（－3，0，1）
3.已知A（0，1，1），B（－1，1，1），C（1，0，0），则平面ABC的一个法向量为（　　）
A.（0，1，－1） B.（－1，0，1）
C.（1，1，1） D.（－1，0，0）
题型一 直线的方向向量
【例1】　（1）已知直线l的一个方向向量m＝（2，－1，3），且直线l过A（0，y，3）和B（－1，2，z） 两点，则y－z＝（　　）
A.0　　　　　　　　 B.1
C. D.3
（2）在如图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为　　　　，直线BC1的一个方向向量为　　　　.
尝试解答
通性通法
　　直接法求直线的方向向量关键是找到直线上两点，以这两点为起点和终点的非零共线向量都是该直线的方向向量；另外注意到平行直线的方向向量相同，因此要求直线l的方向向量，当l1∥l时，只需求直线l1的一个方向向量.
【跟踪训练】
　从点A（2，－1，7）沿向量a＝（8，9，－12）的方向取线段长｜｜＝34，则B点的坐标为（　　）
A.（18，17，－17）
B.（－14，－19，17）
C.
D.
题型二 求平面的法向量
【例2】　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
尝试解答
【母题探究】
　（变设问）若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.
通性通法
1.已知平面内不共线的三点求法向量的步骤
2.如果直线l⊥平面α，那么直线l的方向向量就是平面α的法向量，因此要求一个平面的法向量可转化为求它的一条垂线的方向向量.
【跟踪训练】
如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）求平面BCC1B1的法向量；
（2）求平面MCA1的法向量.
1.若A（2，1，1），B（1，2，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　　）
A.（2，1，1）　　　 B.（－2，2，2）
C.（－3，2，1） D.（2，1，－1）
2.若n＝（2，－3，1）是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（　　）
A.（0，－3，1） B.（2，0，1）
C.（－2，－3，1） D.（－2，3，－1）
3.（多选）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是（　　）
A. B.
C. D.
4.已知平面α经过点O（0，0，0），且e＝（1，2，－3）是α的一个法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是　　　　　　　　.
4.1　直线的方向向量与平面的法向量
【基础知识·重落实】
知识点一
1.方向　　2.＝ta
想一想
　提示：能.
知识点二
1.垂直　2.A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0
想一想
1.提示：一个平面的法向量不是唯一的，它们是共线向量.
2.提示：不一定，若两个定方向向量共线不能确定，若两个定方向向量不共线能确定.
自我诊断
1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）√
2.A
3.A　设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），由＝（－1，0，0），＝（1，－1，－1），可得即令y＝1，解得x＝0，z＝－1，所以n＝（0，1，－1）.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）A　（2）（0，0，1）　（0，1，1）
解析：（1）∵A（0，y，3）和B（－1，2，z），∴＝（－1，2－y，z－3），∵直线l的一个方向向量为m＝（2，－1，3），故设＝km.∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.解得k＝－，y＝z＝.∴y－z＝0.
（2）∵DD1∥AA1，＝（0，0，1），∴直线DD1的一个方向向量为（0，0，1）；∵BC1∥AD1，＝（0，1，1），故直线BC1的一个方向向量为（0，1，1）.
跟踪训练
　A　设B点坐标为（x，y，z），则＝λa（λ＞0），即（x－2，y＋1，z－7）＝λ（8，9，－12），因为｜｜＝34，即＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17.
【例2】　解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
所以AB，AD，AP两两垂直.
如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则E，C（1，，0），
于是＝.＝（1，，0）.
设n＝（x，y，z）为平面ACE的法向量，
则即所以
令y＝－1，则x＝z＝.
所以平面ACE的一个法向量为n＝（，－1，）.
母题探究
　解：如图所示，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，1），C（1，，0），所以＝（1，，－1），即直线PC的一个方向向量.
设平面PCD的法向量为n＝（x，y，z）.
因为D（0，，0），所以＝（0，，－1）.
由即
所以令y＝1，则z＝.
所以平面PCD的一个法向量为（0，1，）.
跟踪训练
　解：（1）因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1＝（0，1，0）是平面BCC1B1的一个法向量.
（2）因为AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点，所以M，C，A1的坐标分别为（3，2，0），（0，4，0），（3，0，2）.因此＝（－3，2，0），＝（0，－2，2）.
设n2＝（x，y，z）是平面MCA1的法向量，则n2⊥，n2⊥.
所以
所以
取z＝3，则x＝2，y＝3.于是n2＝（2，3，3）是平面MCA1的一个法向量.
随堂检测
1.B　∵＝（－1，1，1），而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，故选B.
2.D　问题可转化为求与n共线的一个向量.易知（2，－3，1）＝－（－2，3，－1）.
3.BC
4.x＋2y－3z＝0　解析：由题意得e⊥，则·e＝（x，y，z）·（1，2，－3）＝0，故x＋2y－3z＝0.
4 / 4(共61张PPT)
4.1　直线的方向向量与平面的法向量
新课程标准解读 核心素养
1.理解直线的方向向量与直线的向量表示 数学抽象
2.理解平面的法向量，并会求给定平面的法向量 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　牌楼，与牌坊类似，是我国传统建筑之一，最早见于周朝.在园
林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木
石、砖木、琉璃等几种，多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构，一
般较高大.如图，牌楼的柱子与地面是垂直的.
【问题】　如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线
与地面平行.这是为什么呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　直线的方向向量与直线的向量表示
1. 直线 l 的方向向量
设点 A ， B 是直线 l 上不重合的任意两点，称 为直线 l 的
向量.
方向　

提示：能.
＝
ta 　
知识点二　平面的法向量
1. 平面α的法向量
如果一条直线 l 与一个平面α ，那么就把直线 l 的方向向量 n
叫作平面α的法向量，记作 n ⊥α.
2. 平面α的方程
若平面α的法向量 n ＝（ A ， B ， C ），设 P （ x ， y ， z ）为平面α内
的任意一点，点 M ∈α且 M （ x0， y0， z0），则方程
叫作平面α的方程.
垂直　
A （ x － x0）
＋ B （ y － y0）＋ C （ z － z0）＝0　
1. 平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，它们是什么关系？
提示：一个平面的法向量不是唯一的，它们是共线向量.
2. 一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？
提示：不一定，若两个定方向向量共线不能确定，若两个定方向向
量不共线能确定.
【想一想】
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直线 l 的方向向量是唯一的. （　×　）
（2）若点 A ， B 是平面α上的任意两点， n 是平面α的法向量，则
· n ＝0. （　√　）
（3）在空间中，由直线 l 上的一定点 A 和直线 l 的方向向量能表示
直线上的任意一点. （　√　）
（4）空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
（　√　）
×
√
√
√
2. 若 A （1，0，－1）， B （2，1，2）在直线 l 上，则直线 l 的一个方
向向量是（　　）
A. （2，2，6） B. （－1，1，3）
C. （3，1，1） D. （－3，0，1）
3. 已知 A （0，1，1）， B （－1，1，1）， C （1，0，0），则平面
ABC 的一个法向量为（　　）
A. （0，1，－1） B. （－1，0，1）
C. （1，1，1） D. （－1，0，0）
解析：　设平面 ABC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），由 ＝（－
1，0，0）， ＝（1，－1，－1），可得 即
令 y ＝1，解得 x ＝0， z ＝－1，所以 n ＝（0，1，
－1）.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线的方向向量
【例1】　（1）已知直线 l 的一个方向向量 m ＝（2，－1，3），且直
线 l 过 A （0， y ，3）和 B （－1，2， z ） 两点，则 y － z ＝（　A　）
A. 0 B. 1 D. 3
A
解析：∵ A （0， y ，3）和 B （－1，2，
z ），∴ ＝（－1，2－ y ， z －3），∵直线 l
的一个方向向量为 m ＝（2，－1，3），故设
＝ km .∴－1＝2 k ，2－ y ＝－ k ， z －3＝3 k .
解得 k ＝－ ， y ＝ z ＝ .∴ y － z ＝0.
（2）在如图所示的坐标系中， ABCD - A1 B1 C1 D1为正方体，棱长为
1，则直线 DD1的一个方向向量为 ，直线 BC1的一
个方向向量为 .
解析：∵ DD1∥ AA1， ＝（0，0，
1），∴直线 DD1的一个方向向量为（0，0，
1）；∵ BC1∥ AD1， ＝（0，1，1），故直
线 BC1的一个方向向量为（0，1，1）.
（0，0，1）　
（0，1，1）　
通性通法
　　直接法求直线的方向向量关键是找到直线上两点，以这两点为起
点和终点的非零共线向量都是该直线的方向向量；另外注意到平行直
线的方向向量相同，因此要求直线 l 的方向向量，当 l1∥ l 时，只需求
直线 l1的一个方向向量.
【跟踪训练】
　从点 A （2，－1，7）沿向量 a ＝（8，9，－12）的方向取线段长｜
｜＝34，则 B 点的坐标为（　　）
A. （18，17，－17） B. （－14，－19，17）
解析：　设 B 点坐标为（ x ， y ， z ），则 ＝λ a （λ＞0），即（ x
－2， y ＋1， z －7）＝λ（8，9，－12），因为｜ ｜＝34，即
＝34，得λ＝2，所以 x ＝18， y ＝17， z ＝－17.
题型二 求平面的法向量
【例2】　如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA ⊥平
面 ABCD ， E 为 PD 的中点. AB ＝ AP ＝1， AD ＝ ，试建立恰当的空
间直角坐标系，求平面 ACE 的一个法向量.
解：因为 PA ⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 为矩形，
所以 AB ， AD ， AP 两两垂直.
如图，以 A 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 x 轴， y 轴， z
轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则 E ， C （1， ，0），
于是 ＝ . ＝（1， ，0）.
设 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 ACE 的法向量，
则 即所以
令 y ＝－1，则 x ＝ z ＝ .
所以平面 ACE 的一个法向量为 n ＝（ ，－1， ）.
【母题探究】
　（变设问）若本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面
PCD 的一个法向量.
解：如图所示，建立空间直角坐标系，
则 P （0，0，1）， C （1， ，0），所以 ＝（1， ，－1），
即直线 PC 的一个方向向量.
设平面 PCD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）.
因为 D （0， ，0），所以 ＝（0， ，－1）.
由 即
所以令 y ＝1，则 z ＝ .
所以平面 PCD 的一个法向量为（0，1， ）.
通性通法
1. 已知平面内不共线的三点求法向量的步骤
2. 如果直线 l ⊥平面α，那么直线 l 的方向向量就是平面α的法向量，因
此要求一个平面的法向量可转化为求它的一条垂线的方向向量.
（1）求平面 BCC1 B1的法向量；
解：因为 y 轴垂直于平面 BCC1 B1，
所以 n1＝（0，1，0）是平面 BCC1 B1的
一个法向量.
【跟踪训练】
　如图在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝4， BC ＝3， CC1＝2，
M 是 AB 的中点.以 D 为原点， DA ， DC ， DD1所在直线分别为 x
轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
（2）求平面 MCA1的法向量.
解：因为 AB ＝4， BC ＝3， CC1＝
2， M 是 AB 的中点，所以 M ， C ， A1的
坐标分别为（3，2，0），（0，4，
0），（3，0，2）.因此 ＝（－3，
2，0）， ＝（0，－2，2）.
设 n2＝（ x ， y ， z ）是平面 MCA1的法向
量，则 n2⊥ ， n2⊥ .
所以 所以
取 z ＝3，则 x ＝2， y ＝3.于是 n2＝（2，
3，3）是平面 MCA1的一个法向量.
1. 若 A （2，1，1）， B （1，2，2）在直线 l 上，则直线 l 的一个方向
向量为（　　）
A. （2，1，1） B. （－2，2，2）
C. （－3，2，1） D. （2，1，－1）
解析：　∵ ＝（－1，1，1），而与 共线的非零向量都可以
作为直线 l 的方向向量，故选B.
2. 若 n ＝（2，－3，1）是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为
平面α的法向量的是（　　）
A. （0，－3，1） B. （2，0，1）
C. （－2，－3，1） D. （－2，3，－1）
解析：　问题可转化为求与 n 共线的一个向量.易知（2，－3，1）
＝－（－2，3，－1）.
3. （多选）在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，以下向量可以作为平面 ABC
法向量的是（　　 　）
4. 已知平面α经过点 O （0，0，0），且 e ＝（1，2，－3）是α的一个
法向量， M （ x ， y ， z ）是平面α内任意一点，则 x ， y ， z 满足的
关系式是 .
解析：由题意得 e ⊥ ，则 · e ＝（ x ， y ， z ）·（1，2，－3）
＝0，故 x ＋2 y －3 z ＝0.
x ＋2 y －3 z ＝0　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知向量 a ＝（2， －1，3）和 b ＝（－4，2 x2，6 x ）都是直线 l 的
方向向量，则 x 的值是（　　）
A. －1 B. 1或－1
C. －3 D. 1
解析：　由题意得 a ∥ b ，所以解得 x ＝－1.
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2. 已知平面内的两个向量 a ＝（2，3，1）， b ＝（5，6，4），则该
平面的一个法向量为（　　）
A. （1，－1，1） B. （2，－1，1）
C. （－2，1，1） D. （－1，1，－1）
解析：　显然 a 与 b 不平行，设平面的法向量为 n ＝（ x ， y ，
z ），则有即取 z ＝1，得 x ＝－2， y
＝1.∴ n ＝（－2，1，1）.
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3. 已知线段 AB 的两端点坐标为 A （9，－3，4）， B （9，2，1），则
线段 AB 与坐标平面（　　）
A. xOy 平行 B. xOz 平行
C. yOz 平行 D. yOz 相交
解析：　因为 ＝（9，2，1）－（9，－3，4）＝（0，5，－
3），所以 AB ∥平面 yOz .
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4. 如图，在单位正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，以 D 为原点， ，
， 为一组基建立空间直角坐标系，则平面 A1 BC1的法向量是
（　　）
A. （1，1，1）
B. （－1，1，1）
C. （1，－1，1）
D. （1，1，－1）
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解析：　由题意可知， A1（1，0，1）， B （1，1，0）， C1（0，
1，1），则 ＝（0，－1，1）， ＝（－1，0，1）.设平面 A1
BC1的法向量是 n ＝（ x ， y ， z ），则 取 x
＝1，得 n ＝（1，1，1），∴平面 A1 BC1的一个法向量是（1，1，
1）.故选A.
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5. 已知直线 l1的方向向量 a ＝（2，－3，5），直线 l2的方向向量 b ＝
（－4， x ， y ），若 a ∥ b ，则 x ， y 的值分别是（　　）
A. 6和－10 B. －6和10
C. －6和－10 D. 6和10
解析：　由题意得 ＝ ＝ ，且 x ≠0， y ≠0，所以 x ， y 的值分
别是6和－10.
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6. （多选）若 是平面 ABCD 的法向量，且四边形 ABCD 为菱形，则
以下各式成立的是（　　）
解析：　由题意知 PA ⊥平面 ABCD ，所以 PA 与平面 ABCD 内
的线 AB ， CD 都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂
直，可推得对角线 BD ⊥平面 PAC ，故 PC ⊥ BD ，C选项正确.
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7. 已知平面 ABC ，且 A （1，2，－1）， B （2，0，－1）， C （3，－
2，1），则平面 ABC 的一个法向量为
.
解析： ＝（1，－2，0）， ＝（2，－4，2），设平面 ABC 的
法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则令 y ＝1，得 x
＝2， z ＝0，故平面 ABC 的一个法向量为 n ＝（2，1，0）.
（2，1，0）（答案不唯
一）　
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解析：由 OP ⊥ OQ ，得 · ＝0，即（2 cos x ＋1）· cos x ＋（2
cos 2 x ＋2）·（－1）＝0.∴ cos x ＝0或 cos x ＝ .∵ x ∈[0，π]，∴ x
＝ 或 x ＝ .
或 　
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9. 若 A ， B ， C 是平面α内的三
点，设平面α的一个法向量 a ＝（ x ， y ， z ），则 x ∶ y ∶ z
＝ .
解析： ＝ ， ＝ .因为 a 为α的法向
量，所以 a · ＝0，且 a · ＝0，即 x －3 y － z ＝0，且－2 x － y
－ z ＝0.联立解得 y ＝ x ， z ＝－2 x ，故 x ∶ y ∶ z ＝2∶3∶（－4）.
2∶3∶（－4）　
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10. 已知 A （2，2，2）， B （2，0，0）， C （0，2， －2）.
（1）写出直线 BC 的一个方向向量；
解：∵ B （2，0，0）， C （0，2，－2），
∴ ＝（－2，2，－2），即（－2，2，－2）为直线 BC 的
一个方向向量.
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（2）设平面α经过点 A ，且 是α的法向量， M （ x ， y ， z ）是
平面α内的任意一点，试写出 x ， y ， z 满足的关系式.
解：由题意 ＝（ x －2， y －2， z －2），
∵ ⊥平面α， AM α，∴ ⊥ ，
∴（－2，2，－2）·（ x －2， y －2， z －2）＝0.
∴－2（ x －2）＋2（ y －2）－2（ z －2）＝0.
化简得 x － y ＋ z －2＝0.
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11. 已知平面α内两向量 a ＝（1，1，1）， b ＝（0，2，－1），且 c ＝
ma ＋ nb ＋（4，－4，1）.若 c 为平面α的法向量，则 m ， n 的值分
别为（　　）
A. －1，2 B. 1，－2
C. 1，2 D. －1，－2
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解析：　 c ＝ ma ＋ nb ＋（4，－4，1）＝（ m ， m ， m ）＋
（0，2 n ，－ n ）＋（4，－4，1）＝（ m ＋4， m ＋2 n －4， m － n
＋1）.由 c 为平面α的法向量，得解得
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12. （多选）已知 a ＝（λ＋1，0，2）， b ＝（6，2μ－1，2λ），若 a
∥ b ，则λ与μ的值可以是（　　）
D. －3，2
解析：　由 a ∥ b ，可设 b ＝ ka ，即（6，2μ－1，2λ）＝ k （λ＋
1，0，2），得解得μ＝ ，λ＝－3或2，故A、C都
符合选项.故选A、C.
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13. 已知空间直角坐标系 Oxyz 中的点 A （1，1，1），平面α过点 A 并
且与直线 OA 垂直，动点 P （ x ， y ， z ）是平面α内的任一点，则
直线 OA 的一个方向向量为 ，点 P 的
坐标满足的条件为 .
解析：由题意知， OA ⊥α，直线 OA 的一个方向向量为 ＝（1，
1，1）.因为 P ∈α，所以 ⊥ ，所以（1，1，1）·（ x －1， y
－1， z －1）＝0，所以 x ＋ y ＋ z ＝3.
（1，1，1）（答案不唯一）　
x ＋ y ＋ z ＝3　
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14. 已知直线 l 的一个方向向量为 v ＝（1，－2，0），写出一个以
（2，1，1）为起点，且垂直于直线 l 的一个单位向量的终点坐标
为 .
（2，1，0）（答案不唯一）　
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解析：设终点坐标为（ x ， y ， z ），因为 l 的一个方向向量为 v ＝
（1，－2，0），设以（2，1，1）为起点，且垂直于直线 l 的单位
向量为（ x －2， y －1， z －1），
且满足
即
可取 x ＝2， y ＝1， z ＝0，故终点坐标为（2，1，0）.
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15. 如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别是 BB1， DC 的中
点，求证： 是平面 A1 D1 F 的法向量.
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证明：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则
A （1，0，0）， E ， D1（0，0，1）， F ，
A1（1，0，1）， ＝ ， ＝ ， ＝
（－1，0，0）.
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∵ · ＝ · ＝ － ＝0，
· ＝ ·（－1，0，0）＝0×
（－1）＋1×0＋ ×0＝0，∴ ⊥ ， ⊥ .
又 A1 D1∩ D1 F ＝ D1，∴ AE ⊥平面 A1 D1 F ，
∴ 是平面 A1 D1 F 的法向量.
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16. 如图所示，在四棱锥 S - ABCD 中，底面是直角梯形， AD ∥ BC ，
∠ ABC ＝90°， SA ⊥底面 ABCD ，且 SA ＝ AB ＝ BC ＝1， AD ＝
，建立适当的空间直角坐标系，求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法
向量.
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解：以 A 为坐标原点， AD ， AB ， AS 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、
z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ，则 A （0，0，0）， D
，
C （1，1，0）， S （0，0，1），因此
＝ ，
＝ .
显然向量 ＝ 是平面 SAB 的一个法向量.
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设 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 SDC 的法向量，
则 即
取 x ＝2，则 y ＝－1， z ＝1，故平面 SDC 的一个法向量为（2，－
1，1）.
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谢 谢 观 看！

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