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湘教版九年级下 1.5 二次函数的应用 课后巩固
一．选择题（共10小题）
1．某超市1月份的营业额为200万元，第一季度的营业额为y万元，如果平均每月增长率为x,那么y与x的函数关系式是（　　）
A．y=200（1+x）2 B．y=200+200×2x
C．y=200+200×3x D．y=200[1+（1+x）+（1+x）2]
2．汽车刹车后行驶的距离s（米）关于行驶时间t（秒）的函数关系式是s=6t-t2，则该汽车从刹车到停止所用时间为（　　）
A．3秒 B．6秒 C．9秒 D．10秒
3．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s=at2+15t,汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　）
A． B． C．-6 D．6
4．古代拱桥的建筑形状类似于抛物线，某拱桥的形状可以看作是一个二次函数y=ax2-4x+3，若关于x的一元二次方程ax2-4x+2=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是（　　）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠0 D．a≤2且a≠0
5．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（　　）m.
A．12 B．10 C．8 D．2
6．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线y=-x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（　　）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
7．剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线y=ax2+c上，则下列结论正确的是（　　）
A．ac＜0 B．ac=0 C．ac＞0 D．ac≥0
8．如图1是位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥，它横跨于沁水河上，是我国一座著名的古代单孔敞肩式弧形拱析，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁，按如图2所示建立平面直角垫标系，得函数的表达式为x2，在正常水位时，水面宽AB=16米，当水位上升2.7米后，水面宽CD等于（　　）
A．米 B．米 C．3.7米 D．2.7米
9．如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示1m），假山轮廓所在的抛物线的解析式为y1=-x+4.8（x≥0），其中OB垂直于水平地面OC，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线y2=ax2+bx+c（x≥0），落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（　　）
A．假山上的点B到水平地面的距离为4.8m
B．水平方向上OC的长度为16m
C．
D．抛物线与的对称轴相同
10．某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m,与篮圈中心的水平距离为7m,当球出手后水平距离为4m时，到达最大高度4m,篮圈距地面3m,设篮球运行的轨迹为抛物线，如图所示建立的平面直角坐标系．有下列结论：①抛物线的解析时为y=-+4；②此球不能投中；③若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m,则他能成功拦截．其中正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
二．填空题（共5小题）
11．假设飞机着陆后滑行的距离y（单位：米）关于滑行时间t（单位：秒）满足函数关系式y=60t-t2，则经过 ______秒后，飞机停止滑行．
12．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为8m,两侧距地面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m,则这个门洞内部顶端离地面的距离为 ______．
13．如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为 ______米．
14．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2-2x-3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为______．
15．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C'的坐标为 ______（点C'不与点A重合）．
三．解答题（共5小题）
16．某商店销售一种商品，已知该商品每件的成本价为40元，当该商品每件的售价为50元时，每天可以售出100件．市场调研表明，每件的售价每上涨5元，每天的销售量就会减少10件．设该商品每件的售价为x元，每天销售量为y件，每天的总利润为W元．
（1）求销售量y与售价x之间的函数关系式；
（2）求当售价x为多少元时，每天的总利润W最大？最大利润是多少元？
17．一次足球训练中，小明从球门正前方10m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球距离地面3m,球门OB高为2.44m.按如图所示建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）通过计算判断小明此次射门能否射入球门内；
（3）守门员扑救的最大高度为，如果守门员正对足球，在足球下降阶段能够封堵住这次射门，那么他出击离球门不能超过多少米？
18．白鹿原隧道被称为“中国最大断面黄土隧道”，它的截面近似看作抛物线，某数学课题学习小组，为了研究隧道的截面，建立如图坐标系，已知隧道的净宽OM约为18米，净高（即抛物线最高点到地面的距离）约为12米．在隧道施工过程中，需要一个“凸”字形的支架支撑隧道的顶部，支架的下部分和上部分都分别由矩形ABCD和矩形EFGH组成，已知下部分矩形的长BC=12米，上部分矩形的长宽比（即EH：GH=3：2），点A、D、E、H都在抛物线上．根据以上信息解决问题．
（1）求隧道截面抛物线的表达式；
（2）请确定支撑点H的位置（即点H的坐标）．
19．已知函数y=（m+1）x2+2x-1．
（1）若函数图象经过点（1，2），求m的值；
（2）若函数图象与x轴只有一个交点A，求点A的坐标；
（3）若函数y=（m+1）x2+2x-1满足x＞-1时，y随x的增大而增大；x＜-1时，y随x的增大而减小，且图象与x轴的两个交点为（a,0），（b,0）．求证：b8=1155-34a4．
20．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点P在第一象限内，连接PA交直线BC于点D，设△PCD的面积为S1，△ACD面积为S2，若，求点P坐标；
②如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC点F，点Q是对称轴上的一个动点，是否存在以点P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标．若不存在，请说明理由．
湘教版九年级下 1.5 二次函数的应用 课后巩固
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、D 2、A 3、C 4、C 5、B 6、A 7、A 8、A 9、D 10、B
二．填空题（共5小题）
11、30； 12、m； 13、9； 14、3+； 15、（2，-3）或（-，-）；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）根据题意得：；
（2）根据题意得，
W=（x-40）（-2x+200）=-2x2+280x-8000=-2（x-70）2+1800，
∵-2＜0，
∴抛物线开口向下，W有最大值，
∴当x=70时，W最大，W最大=1800，
答：当售价定为70元时，每天的利润最大，最大利润是1800元．
17、解：（1）设抛物线为y=a（x-4）2+3，
把A（10，0）代入得0=36a+3，
解得，
∴抛物线表达式为：；
（2）当x=0时，，
∴球能进球门内；
（3）将代入抛物线解析式，得，
解得x=2或6，
因为足球在下降阶段，对称轴为x=4，下降阶段x＞4，
所以取x=6，
所以他出击离球门不能超过6m.
18、解：（1）由题意得OM=18，抛物线最高点到地面的距离约为12米，
∴M（18，0），P（9，12），
设抛物线的解析式为y=a（x-9）2+12，
将O（0，0）代入得0=a（0-9）2+12，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵ABCD和EFGH是矩形，
∴设抛物线的对称轴交BC于点Q，交AD于点N，交EH于点K，如图，
∴，
∴，
当x=3时，，
∴米，，
∵EH：GH=3：2，
∴设EH=3m,GH=2m,则，
∴点H的纵坐标为，横坐标为，
∴点，
∵点H在抛物线上，
∴，
整理得m2+6m-16=0，
解得m=2或m=-8（舍去），
∴点．
19、（1）解：由题意得，把点（1，2）代入y=（m+1）x2+2x-1，
得，m+1+2-1=2，
解得：m=0；
（2）解：当m+1=0时，y=2x-1，
则当y=0，2x-1=0，
解得：，
∴；
当m+1≠0时，则Δ=22-4（m+1）×（-1）=0，
解得：m=-2，
∴函数y=-x2+2x-1，
则当y=0，-x2+2x-1=0，
解得：x1=x2=1，
∴A（1，0），
综上：A（1，0）或；
（3）证明：由题意得，对称轴为，
解得：m=0，
∴函数为：y=x2+2x-1，
∵图象与x轴的两个交点为（a,0），（b,0），
∴当y=0，则x2+2x-1=0，则a2+2a-1=0，a+b=-2，
∴a2=1-2a,b2=1-2b,
∴a4=（a2）2=（1-2a）2=4a2-4a+1=4（1-2a）-4a+1=-12a+5，
∴1155-34a4=1155-34（-12a+5）=985+408a,
同理b4=-12b+5，
∴b8=（b4）2=（-12b+5）2=144b2-120b+25=144（1-2b）-120b+25=-408b+169，
∵a+b=-2，
∴b=-2-a,
∴b8=-408b+169=-408×（-2-a）+169=985+408a,
∴b8=1155-34a4．
20、解：（1）由题意得：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），
则-3a=3，则a=-1，
则抛物线的表达式为y=-x2+2x+3；
（2）①∵y=-x2+2x+3，
∴点C坐标为（0，3），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y=-x+3．
过P作PM⊥x轴交BC于M，过A作AN⊥x轴交BC于N，如图1，
∵AN∥PM，
∴△PMD∽△AND，
∴PD：AD=PM：AN，即S1：S2=PD：AD=MP：AN=1：2，
设P（m,-m2+2m+3），则M（m,-m+3），
∴PM=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m,
∵A（-1，0），
∴N（-1，4），
∴AN=4，
∴（-m2+3m）：4=1：2，
∴m=1或2，
∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）；
②存在，理由如下：过点F作FG⊥OB于G，如图2，
∵y=-x2+2x+3的对称轴为x=1，
∴OE=1，
∵B（3，0），C（0，3），
∴OC=OB=3，
又∵∠COB=90°，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∵∠EFB=90°，BE=OB-OE=2，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴FG=GB=EG=1，
∴点F的坐标为（2，1），
当EF为边时，
∵四边形EFPQ为平行四边形，
∴QE=PF，QE∥PF∥y轴，
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，
当x=2时，y=-22+2×2+3=3，
∴点P的坐标为（2，3），
∴QE=PF=3-1=2，
点Q的坐标为（1，2），
根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形．
当EF为对角线时，如图3：
∵四边形PEQF为平行四边形，
∴QE=PF，QE∥PF∥y轴，
同理求得：点P的坐标为（2，3），
∴QE=PF=3-1=2，
点Q的坐标为（1，-2）；
综上，点Q的坐标为：（1，2）或（1，-2）或（1，4）．

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