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湘教版九年级下 第2章 圆 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．如图，在正六边形ABCDEF中，∠ACF的度数为（　　）
A．30° B．35° C．20° D．25°
2．同圆中，已知所对的圆心角是80°，则所对的圆周角度数（　　）
A．40° B．80° C．100° D．120°
3．如图，M为弦AB上的一点，连接OM，过点M作MC⊥OM，CM交圆O于点C．若AB=13，AM=4，则CM的长为（　　）
A．5 B．6 C． D．
4．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心O．若∠B=22°，则∠C的大小是（　　）
A．22° B．44° C．46° D．68°
5．（2022 八步区模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AC=4，以AB为直径的⊙O交BC于点D，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．2π
6．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，∠A=36°，点P在圆周上，则∠P等于（　　）
A．27° B．30° C．32° D．36°
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，O是斜边AB的中点，以点O为圆心的半圆O与AC相切于点D，交AB于点E，F，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是的中点，过点A画⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC．若∠ADB=58.5°，则∠ACE的度数为（　　）

A．29.5° B．31.5° C．58.5° D．63°
9．如图，AB是⊙O的直径，直线EC与⊙O相切于点B．若∠DBC=α，则∠A=（　　）
A． B．α C．90°-α D．
10．如图，⊙M的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，⊙M与y轴交于C、D两点，若⊙M与x轴相切，且，则⊙M半径是（　　）
A．或5 B．5或6 C．或6 D．5
11．如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆交对角线AC于点E，则阴影部分的面积是（　　）
A．16-2π B．16-π C．8-2π D．8-π
12．如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心AD为半径顺时针旋转线段AD交AC于E，以点C为圆心CB为半径顺时针旋转线段CB交AC于F，连接DE、BF，若∠CAD=α，则∠ABF一定为（　　）
A． B． C． D．90°-α
二．填空题（共4小题）
13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A=70°，则∠DCE的度数为 ______．
14．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB=2，∠B=60°，则阴影部分的面积为 ______．
15．如图，在⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE=65°，∠COD=70°，则∠COB+∠EOD=______°．
16．三角形的角平分线长可用斯库顿定理计算，其内容为：如图（1），在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，则AD2=AB AC-BD DC．如图（2），四边形EFGH是⊙O的内接四边形，对角线EG，FH相交于点M．若EH=HG，EF=4，FG=5，EM=2，GM=2.5，则FH的长为 ______．
三．解答题（共5小题）
17．如图，AB，BC是⊙O的弦，连接AO并延长交BC于点D，且AD⊥BC，过点A作AE⊥AB交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BC的延长线于点F，交DA的延长线于点G，连接CE．
（1）求证：∠CEF=∠G；
（2）若EF=5，CF=3，求AB的长．
18．如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，过点O作OD⊥AC于点E，交⊙O于点F，连接AD，∠C=∠D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB=2，EF=2OE，求DF的长．

19．（2025 潍坊一模）如图，已知线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，AC=8，BC=6，CD平分∠ACB交AB于点F，交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交CB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求BE的长．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，∠CAB=2∠EAB，点F线段AB的延长线上且∠AFE=∠ABC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BF=1，，求⊙O的半径．
21．（2025 天府新区校级模拟）如图，⊙O为△ABC的外接圆，经过点B作直线PQ，连接BC使∠PBC=∠BAC，直径AD的延长线交直线PQ于点E．
（1）求证：PQ为⊙O的切线；
（2）若点C是弧AB的中点，，求DE的长．
湘教版九年级下 第2章 圆 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、A 2、A 3、B 4、C 5、B 6、A 7、A 8、B 9、B 10、C 11、D 12、C
二．填空题（共4小题）
13、70°； 14、； 15、60； 16、；
三．解答题（共5小题）
17、（1）证明：连接BE，
∵AE⊥AB交⊙O于点E，
∴∠BAE=90°，
∴EB是⊙O的直径，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ECB=∠ADB=90°，
∴CE∥DG，
∴∠CEF=∠G．
（2）解：∵FE与⊙O相切于点E，EB是⊙O的直径，
∴FE⊥EB，
∴∠FCE=∠FEB=90°，
∵∠F=∠F，EF=5，CF=3，
∴△FCE∽△FEB，
∴===，
∴CE=EB，BF=EF=×5=，
∴BC=BF-CF=-3=，
∵BC===EB=，
∴EB=，
∴CE=×=4，OA=EB=×=，
∵BD=CD=BC=×=，BO=EO，
∴OD=CE=×4=2，
∴AD=OA+OD=+2=，
∴AB===，
∴AB的长是．
18、（1）证明：如图，连接OA，
∵OA=OC，
∴∠OAE=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠OAE=∠D，
∵OD⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠D+∠OAD=90°，
∴∠OAE+∠EAD=90°，
即∠OAD=90°，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵OD⊥AC，
∴CE=EA，
∵OB=OC，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE==1，
∴EF=2OE=2，
∴OA=OF=3，
∵∠OEA=∠OAD=90°，∠AOE=∠DOA，
∴△OEA∽△OAD，
∴，即=，
∴OD=9，
∴DF=OD-OF=9-3=6．
19、（1）证明：连接OD，
∵CD平分∠ACB交AB于点F，交⊙O于点D，
∴∠ACD=∠BCD，
∴=，
∴∠AOD=∠BOD==180°=90°，
∵DE∥AB，交CB的延长线于点E，
∴∠ODE=∠AOD=90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD于点D，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接AD、BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=8，BC=6，
∴AB===10，
∴OD=OA=OB=AB=5，
∵∠AOD=∠BOD=90°，OD垂直平分AB，
∴AD=BD==OB=5，
∵∠E=∠ABC，∠ADC=∠ABC，
∴∠E=∠ADC，
∵∠DBE=∠CBD=180°，∠CAD+∠CBD=180°，
∴∠DBE=∠CAD，
∴△DBE∽△CAD，
∴=，
∴BE===，
∴BE的长是．
20、（1）证明：连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠CAB=2∠EAB，∠EOF=2∠EAB，
∴∠EOF=∠CAB，
∵∠AFE=∠ABC，
∴∠EOF+∠AFE=∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠OEF=180°-（∠EOF+∠AFE）=90°，
∵OE是⊙O的半径，且EF⊥OE，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：∵OB=OE，BF=1，
∴OF=OB+BF=OE+1，
∵∠OEF=90°，
∴=sin∠AFE=，
∴OE=（OE+1），
解得OE=4，
∴⊙O的半径长为4．
21、（1）证明：如图，连接BO并延长交⊙O于点F，连接FC，OC，
∵OB=OC=OF，
∴∠OBC=∠OCB，∠OFC=∠OCF，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠FCB=90°，即∠OCF+∠OCB=90°，
∵∠PBC=∠BAC=∠F，
∴∠OBC+∠PBC=90°，
即OB⊥PQ，
∵PQ过点B，且OB是半径，
∴PQ是⊙O的切线；
（2）如图，连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
在Rt△AOM中，
由于tan∠OAM==，
设OM=3k,则OA=5k,
∴AM==4k,
∴CM=OC-OM=2k,
在Rt△ACM中，AC=2，AM=4k,CM=2k,由勾股定理得，
CM2+AM2=AC2，
即4k2+16k2=（2）2，
解答k=1或k=-1（舍去），
∴OA=5，OM=3，
∴AD=10，BD=6，
∵PQ是⊙O的切线，切点为B，
∴∠OBE=90°=∠OBD+∠DBE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵AD是直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠ODB+∠DAB=90°，
∴∠DBE=∠DAB，
又∵∠DEB=∠BEA，
∴△BDE∽△ABE，
∴===，
设DE=3x,则BE=4x,
∴BE2=AE DE，
即16x2=（10+3x）×3x,
解得x=或x=0舍去，
∴DE=3x=．

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