资源简介 (共92张PPT)第一课时 空间中的角新课程标准解读 核心素养能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用 直观想象、数学运算目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理迈克尔·杰克逊出生于印第安纳州加里市，被称为“流行音乐之王”.迈克尔·杰克逊除了他擅长的歌曲，还有他那漂亮的太空步，尤其像谜一样存在的招牌动作45度倾斜舞步，据说迈克尔·杰克逊早在1993年就申请了专利，专利名称“摆脱地心引力的幻想”.【问题】 45度到底指的是哪个角呢？ 知识点一 向量法求直线与直线、直线与平面所成的角角的分类 向量求法 范围两条直线所成的角 设两条直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为 a ， b ，则 cos θ＝ ＝ ｜ cos ＜a ， b ＞｜ ［0，］ 角的分类 向量求法 范围直线与平面所成的角 设直线 l 与平面α所成的角为θ， l 的方向向量为 l ，平面α的法向量为 n ，则 sin θ＝ ＝ ｜ cos ＜ l ， n ＞｜ ［0，］ 知识点二 向量法求平面与平面的夹角（二面角）两个平面所成二面角的平面角可以转化为这两个平面的法向量所成的角，如图，向量 n1⊥α， n2⊥β，则二面角α- l -β的大小为＜ n1， n2＞或π－＜ n1， n2＞，若二面角α- l -β的大小为θ（0≤θ≤π），则｜ cos θ｜＝.1. 已知向量 m ， n 分别是直线 l 和平面α的方向向量、法向量，若 cos＜ m ， n ＞＝－ ，则直线 l 与平面α所成的角为（ ）A. 30° B. 60°C. 120° D. 150°2. 在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为（0，－1，3），（2，2，4），则这个二面角的余弦值为（ ）解析： ∵ ＝ ，∴这个二面角的余弦值为 或－ .3. 如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别为 AB ， BC 的中点，则直线 EF 与 AB1所成角的余弦值为（ ）解析： 连接 AC ， B1 C （图略），∵ E ， F 分别为 AB ， BC 的中点，∴ EF ∥ AC ，∴∠ B1 AC 为直线 EF 与 AB1所成的角.在△ AB1 C中，∵ AB1， AC ， B1 C 均为面对角线，∴ AB1＝ AC ＝ B1 C ，∴∠B1 AC ＝ ，∴ cos ∠ B1 AC ＝ .典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 两直线所成的角【例1】 已知四面体 OABC 的各棱长均为1， D 是棱 OA 的中点，则直线 BD 与 AC 所成角的余弦值为（ ）解析： ＝ － ＝ － ， ＝ － ，于是｜｜＝ ，｜ ｜＝1，且 · ＝ ·（ － ）＝－ ，于是 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ ，故直线 BD与 AC 所成角的余弦值为 .通性通法基向量法求直线的夹角的一般步骤（1）找基；（2）用同一组基表示两直线的方向向量；（3）利用向量夹角公式求出两条直线的方向向量夹角的余弦值；（4）结合直线的夹角范围得到直线的夹角.【跟踪训练】 在正三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，已知 AB ＝2， CC1＝ ，则直线 AB1与 BC1所成角的正弦值为（ ）A. 1解析： 设线段 A1 B1， AB 的中点分别为O ， D ，连接 OC1， OD ，则 OC1⊥平面 ABB1A1，以 ， ， 的方向分别为 x 轴， y轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.则 A （－1，0， ）， B1（1，0，0）， B （1，0， ）， C1（0， ，0），所以 ＝（2，0，－ ）， ＝（－1， ，－ ），因为 · ＝（2，0，－ ）·（－1， ，－ ）＝0，所以 ⊥ ，即直线 AB1和 BC1所成的角为直角，则其正弦值为1.题型二 直线与平面所成的角【例2】 （2022·全国甲卷18题）在四棱锥 P - ABCD 中， PD ⊥底面ABCD ， CD ∥ AB ， AD ＝ DC ＝ CB ＝1， AB ＝2， DP ＝ .（1）证明： BD ⊥ PA ；解：证明：如图所示，取 AB 中点为 O ，连接 DO ， CO ，则 OB ＝ DC ＝1.又 DC ∥ OB ，所以四边形 DCBO 为平行四边形.又 BC ＝ OB ＝1，所以四边形 DCBO 为菱形，所以 BD ⊥ CO .同理可得，四边形 DCOA 为菱形，所以 AD∥ CO ，所以 BD ⊥ AD .因为 PD ⊥底面 ABCD ， BD 底面 ABCD ，所以 PD ⊥ BD ，又 AD ∩ PD ＝ D ， AD ， PD 平面 ADP ，所以 BD ⊥平面 ADP .因为 PA 平面 ADP ，所以 BD ⊥ PA .（2）求 PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值.解：由（1）知 BD ⊥ AD ，又 AB ＝2AD ，所以∠ DAO ＝60°，所以△ ADO 为正三角形.过点 D 作垂直于 DC 的直线为 x 轴， DC 所在直线为 y 轴， DP 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A ， B， P （0，0， ）， D （0，0，0）.则 ＝（0，2，0）， ＝， ＝（0，0， ）.设平面 PAB 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 令 x ＝2，则 y ＝0， z ＝1，所以 n ＝（2，0，1）.设直线 PD 与平面 PAB 所成的角为α，则 sin α＝｜ cos ＜ n ， ＞｜＝ ＝ ＝ ，所以直线 PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值为 .通性通法求直线与平面所成角的思路与步骤思路一：找直线在平面内的投影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角（或夹角的某一三角函数值）；思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量.利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤：①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量 ；③求平面的法向量 n ；④计算：设线面角为θ，则 sin θ＝ .【跟踪训练】如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E 为 BB1的中点.（1）求证： BC1∥平面 AD1 E ；解：证明：在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB DC ， D1 C1 DC ，∴ AB D1 C1，∴四边形 ABC1 D1为平行四边形， BC1∥ AD1.又 AD1 平面 AD1 E ， BC 平面 AD1 E ，∴ BC1∥平面 AD1 E .（2）求直线 AA1与平面 AD1 E 所成角的正弦值.解：设正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为2，以 A 为原点， AD ， AB ， AA1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A （0，0，0）， A1（0，0，2）， D1（2，0，2）， E （0，2，1），＝（0，0，2）， ＝（2，0，2）， ＝（0，2，1）.设平面 AD1 E 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），由 得令 z ＝－2，则 x ＝2， y ＝1，∴ n ＝（2，1，－2）.设直线 AA1与平面 AD1 E 所成的角为θ，则 sinθ＝｜ cos ＜ ， n ＞｜＝ ＝ .题型三 平面与平面的夹角（二面角）【例3】 （2022·新高考Ⅰ卷19题）如图，直三棱柱 ABC - A1 B1 C1的体积为4，△ A1 BC 的面积为2 .（1）求 A 到平面 A1 BC 的距离；解：设点 A 到平面 A1 BC 的距离为 h ，因为直三棱柱 ABC - A1 B1 C1的体积为4，所以 ＝ S△ ABC × AA1＝ ＝ ，又△ A1 BC 的面积为2 ， ＝ h ＝ ×2 h ＝ ，所以 h ＝ ，即点 A 到平面 A1 BC 的距离为 .（2）设 D 为 A1 C 的中点， AA1＝ AB ，平面 A1 BC ⊥平面 ABB1 A1，求二面角 A - BD - C 的正弦值.解：取 A1 B 的中点 E ，连接 AE ，则 AE⊥ A1 B ，因为平面 A1 BC ⊥平面 ABB1 A1，平面 A1 BC ∩平面 ABB1 A1＝ A1 B ，所以 AE ⊥平面 A1 BC ，所以 AE ⊥ BC ，又 AA1⊥平面 ABC ，所以 AA1⊥ BC ，因为 AA1∩ AE ＝ A ，所以 BC⊥平面 ABB1 A1，所以 BC ⊥ AB .以 B 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 x ， y ， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 B - xyz ，由（1）知， AE ＝ ，所以 AA1＝ AB ＝2， A1 B ＝2 ，因为△ A1 BC 的面积为2 ，所以2 ＝ × A1 B × BC ，所以 BC ＝2，所以 A （0，2，0）， B （0，0，0）， C （2，0，0）， A1（0，2，2）， D （1，1，1）， E （0，1，1），则 ＝（1，1，1）， ＝（0，2，0），设平面 ABD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 即令 x ＝1，得 n ＝（1，0，－1），又平面 BDC 的一个法向量为 ＝（0，－1，1），所以 cos ＜ ， n ＞＝ ＝ ＝－ ，设二面角 A - BD - C 的平面角为θ，则 sin θ＝ ＝ ，所以二面角 A - BD - C 的正弦值为 .通性通法利用法向量求二面角的大小的一般步骤（1）建立适当的空间直角坐标系；（2）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；（3）求出两个法向量的夹角的余弦值；（4）若（3）中所得余弦值为0，则所求二面角为直二面角.若不为0，则根据几何图形直观判断二面角是锐角还是钝角，从而确定其余弦值的正负.【跟踪训练】（2021·新高考Ⅱ卷19题）在四棱锥 Q - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，若 AD ＝2， QD ＝ QA ＝ ， QC ＝3.（1）证明：平面 QAD ⊥平面 ABCD ；解：证明：取 AD 的中点 E ，连接 QE ， CE ，∵ QD ＝ QA＝ ，∴ QE ⊥ AD .∵ AD ＝2，∴ DE ＝1，∴ QE ＝ ＝2， CE ＝ ＝.∴ QE2＋ CE2＝9＝ QC2，∴ QE ⊥ CE .又∵ AD ∩ CE ＝ E ，∴ QE ⊥平面 ABCD .∵ QE 平面 QAD ，∴平面 QAD ⊥平面 ABCD .（2）求二面角 B - QD - A 的平面角的余弦值.解：取 BC 中点 F ，连接 EF ，易得 EF ， ED ， EQ 两两垂直，如图，分别以 EF ， ED ， EQ 所在的直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系.则 B （2，－1，0）， Q （0，0，2），D （0，1，0），∴ ＝（－2，1，2）， ＝（0，1，－2），设平面BQD 的一个法向量 n1＝（ x ， y ， z ），则 取 z ＝1，可得 x ＝2， y ＝2，∴ n1＝（2，2，1）.易知平面 QDA 的一个法向量 n2＝（1，0，0）.设二面角 B - QD - A 的平面角为θ，则θ为锐角.cos θ＝｜ cos ＜ n1， n2＞｜＝ ＝ ＝.∴二面角 B - QD - A 的平面角的余弦值为 .1. 若异面直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角为 ，则 l1与 l2所成的角为（ ）解析： l1与 l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为 ，故选A.2. 如图，已知向量 m ， n 分别是平面α和平面β的法向量，若 cos ＜m ， n ＞＝－ ，则二面角α- l -β＝（ ）A. 30° B. 60°C. 120° D. 150°解析： 设二面角α- l -β为θ，且0°≤θ＜180°，由图可知， cos θ＝ cos ＜ m ， n ＞＝－ ，∴θ＝120°.3. 直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，∠ BCA ＝90°， M ， N 分别是棱 A1 B1，A1 C1的中点， BC ＝ CA ＝ CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为（ ）解析： 如图所示，以 C 为原点，直线 CA 为 x 轴，直线 CB 为 y轴，直线 CC1为 z 轴建立空间直角坐标系，设 CA ＝ CB ＝1，则 B（0，1，0）， M ， A （1，0，0）， N .故＝ ， ＝ ，所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ .4. 如图所示，点 A ， B ， C 分别在空间直角坐标系 Oxyz 的三条坐标轴上， ＝（0，0，2），平面 ABC 的一个法向量为 n ＝（2，1，2），二面角 C - AB - O 的大小为θ，则 cos θ＝ .解析： cos θ＝ ＝ ＝ . 解析：设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图.则 D （0，0，0）， B （1，1，0）， B1（1，1，1）.平面 ACD1的一个法向量为 ＝（1，1，1）.又 ＝（0，0，1），则 cos ＜ ，＞＝ ＝ ＝ .设 BB1与平面 ACD1所成角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜ ， ＞｜＝ . 知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 已知两平面的法向量分别为 m ＝（0，1，0）， n ＝（0，1，1），则两平面所成的角为（ ）A. 45° B. 135°C. 45°或135° D. 90°解析： cos ＜ m ， n ＞＝ ＝ ＝ ，即＜ m ， n ＞＝45°.所以两平面所成的角为45°.123456789101112131415162. 已知 A （0，1，1）， B （2，－1，0）， C （3，5，7）， D （1，2，4），则直线 AB 与直线 CD 所成角的余弦值为（ ）解析： ∵ ＝（2，－2，－1）， ＝（－2，－3，－3），∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，∴直线 AB ， CD所成角的余弦值为 .123456789101112131415163. 设直线 l 与平面α相交，且 l 的方向向量为 a ，α的法向量为 n ，若＜a ， n ＞＝ ，则 l 与α所成的角为（ ）解析： 线面角的范围是 .∵＜ a ， n ＞＝ ，∴ l 与法向量所在直线所成角为 ，∴ l 与α所成的角为 .123456789101112131415164. 正方形 ABCD 所在平面外一点 P ， PA ⊥平面 ABCD ，若 PA ＝ AB ，则平面 PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的大小为（ ）A. 30° B. 45°C. 60° D. 90°12345678910111213141516解析： 如图所示，建立空间直角坐标系，设 PA ＝ AB ＝1，则 A（0，0，0）， D （0，1，0）， P （0，0，1）.于是 ＝（0，1，0），取 PD 的中点 E ，则 E ，∴ ＝ ，易知 是平面 PAB 的法向量， 是平面 PCD 的法向量，∴ cos ＜ ， ＞＝ ，∴平面PAB 与平面 PCD 所成锐二面角的大小为45°.123456789101112131415165. （多选）已知 E ， F 分别是正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱 BC 和 CD的中点，则（ ）A. A1 D 与 B1 D1是异面直线B. A1 D 与 EF 所成角的大小为45°12345678910111213141516解析： 对A：∵ A1∈平面 A1 B1 C1 D1， D 平面 A1 B1 C1 D1， B1D1 平面 A1 B1 C1 D1， A1 B1 D1，∴根据异面直线的定义可得 A1 D 与B1 D1是异面直线，故选项A正确；对B：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1（1，0，1）， D （0，0，0），E ， F ， B （1，1，0），A （1，0，0）， C1（0，1，1）， C （0，1，0），∴ ＝（－1，0，－1）， ＝12345678910111213141516，∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，∴异面直线 A1 D 与 EF 所成的角为60°，故选项B错误；对C：∵ ＝ ， ＝（0，1，0），又显然 是平面 B1 EB 的法向量，则 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ，∴ A1 F 与平面 B1 EB 所成角的正弦值为 ，故选项C错误；12345678910111213141516对D：由正方体性质可知， ＝（－1，1，1）为平面 CD1 B1的法向量， ＝（－1，1，0）为平面 D1 B1 B 的法向量，∴ cos ＜ ， ＞＝＝ ＝ ，∴二面角 C - D1 B1- B 的余弦值为 ，故选项D正确；故选A、D.123456789101112131415166. （多选）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形，平面 PAD ⊥平面 ABCD ， AD ∥ BC ， AB ⊥ AD ， AB ＝ AD ＝2 BC ＝4， E ， F 分别为 PD ， AB 的中点，则下列选项中正确的是（ ）12345678910111213141516解析： 设 AD 的中点为 O ，连接 OC ， OP .因为侧面 PAD 为等边三角形，所以 OP ⊥ AD . 因为平面 PAD ⊥平面 ABCD ，平面 PAD ∩平面ABCD ＝ AD ， OP 平面 PAD ，所以 OP ⊥平面ABCD . 又因为 OC 平面 ABCD ，所以 OP ⊥ OC .由已知可得 BC ＝ AO ， BC ∥ AO ， AB ⊥ AD ，所以四边形 ABCO 是矩形，可得 CO ⊥ AD ，则OC ， OD ， OP 两两垂直，以 O 为原点，分别以OC ， OD ， OP 所在的直线为 x ， y ， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，12345678910111213141516则 P （0，0，2 ）， A （0，－2，0）， C （4，0，0）， D （0，2，0）， F （2，－2，0）， E （0，1， ）.设直线 PA 与直线 CD 所成角为α，因为 ＝（0，－2，－2 ）， ＝（－4，2，0），所以 cos α＝ ＝ ＝ ，即直线 PA 与直线 CD 所成角的余弦值为 ，故选项A正确，选项B错误.设直线 PA 与平面EFC 所成角为β，平面 EFC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），又 ＝（2，－3，－ ）， ＝（2，2，0），所以12345678910111213141516令 x ＝ ，得 y ＝－ ， z ＝5，所以 n ＝（ ，－ ，5），又 ＝（0，－2，－2 ），所以 sin β＝｜ cos ＜ ， n ＞｜＝ ＝ ＝，所以直线 PA 与平面 EFC 所成角的正弦值为 ，故选项C错误，选项D正确.故选A、D.123456789101112131415167. 在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， M ， N 分别是棱 AA1和 BB1的中点，则 sin ＜ ， ＞＝ .解析：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2.则 C （0，2，0）， M （2，0，1）， D1（0，0，2）， N （2，2，1）.∴ ＝（2，－2，1）， ＝（2，2，－1）. cos ＜ ，＞＝ ＝－ .∴ sin ＜ ， ＞＝ . 123456789101112131415168. 如图，在三棱锥 P - ABC 中， AB ⊥ BC ， AB ＝ BC ＝ PA ，点 O ， D分别是 AC ， PC 的中点， OP ⊥底面 ABC ，则直线 OD 与平面 PBC所成角的正弦值为 . 12345678910111213141516解析：以 O 为原点， OA ， OB ， OP 所在直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图，设 AB＝ a ，则 OP ＝ a ， ＝（－ a ，0， a ），可求得平面 PBC 的法向量为 n ＝ ，所以 cos ＜ ， n ＞＝ ＝ ，设 OD 与平面PBC 所成的角为θ，则 sin θ＝ .123456789101112131415169. 已知点 E ， F 分别在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱 BB1， CC1上，且B1 E ＝2 EB ， CF ＝2 FC1，则平面 AEF 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为 . 12345678910111213141516解析：如图，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，平面 ABC的法向量为 n1＝（0，0，1），平面 AEF 的法向量为 n2＝（ x ， y ，z ）.所以 A （1，0，0）， E （1，1， ）， F （0，1， ），所以＝ ， ＝ ，则 即12345678910111213141516取 x ＝1，则 y ＝－1， z ＝3.故 n2＝（1，－1，3）.所以 cos ＜ n1， n2＞＝ ＝ .所以平面 AEF 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为 .1234567891011121314151610. 如图所示，在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， AB ⊥ AC ， AB ＝ AC ＝2， AA1＝4，点 D 是 BC 的中点.求异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值.12345678910111213141516解：以点 A 为原点， AB ， AC ， AA1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z轴，建立空间直角坐标系 Axyz ，则 B （2，0，0）， A1（0，0，4）， D （1，1，0）， C1（0，2，4），∴ ＝（2，0，－4）， ＝（1，－1，－4），∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，∴异面直线 A1 B 与 C1 D 所成角的余弦值为 .1234567891011121314151611. 二面角的棱上有 A ， B 两点，直线 AC ， BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB . 已知 AB ＝4， AC ＝6， BD ＝8， CD＝2 ，则该二面角的大小为（ ）A. 150° B. 45°C. 60° D. 120°12345678910111213141516解析： 如图所示，二面角的大小就是＜ ，＞.∵ ＝ ＋ ＋ ，∴ ＝ ＋＋ ＋2（ · ＋ · ＋ · ）＝＋ ＋ ＋2 · ，∴ · ＝ [（2 ）2－62－42－82]＝－24.∴ · ＝24， cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，又＜ ， ＞∈（0°，180°），∴＜ ， ＞＝60°，故二面角的大小为60°.1234567891011121314151612. 如图所示， M ， N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点， DE ⊥ AB 于点E ，现将△ ADE 沿 DE 折起，使二面角 A - DE - B 为45°，此时点 A在平面 BCDE 内的射影恰为点 B ，则 M ， N 的连线与 AE 所成角的大小为（ ）A. 45° B. 90°C. 135° D. 180°12345678910111213141516解析： 建立空间直角坐标系，如图所示.由题意知△ ABE 为等腰直角三角形.设 CD ＝1，则 BE＝1， AB ＝1， AE ＝ .设 BC ＝ DE ＝2 a ，则 E（0，0，0）， A （1，0，1）， N （1， a ，0）， D （0，2 a ，0）， M （ ， a ， ），所以 ＝（ ，0，－ ）， ＝（－1，0，－1），所以 · ＝（ ，0，－ ）·（－1，0，－1）＝0，故 ⊥ ，从而 MN 与 AE 所成角的大小为90°.1234567891011121314151613. （多选）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， AD ＝4， AB ＝2，平面 PAD ⊥平面 ABCD ，△ PAD 为等腰直角三角形，且∠ PAD ＝ ， O 为底面 ABCD 的中心，E 为 PD 的中点， F 在棱PA 上，若 ＝λ，λ∈[0，1]，则下列说法正确的有（ ）1234567891011121314151612345678910111213141516解析 ∵∠ PAD ＝ ，∴ PA ⊥ AD ，∵平面 PAD ⊥平面ABCD ，平面 PAD ∩平面 ABCD ＝ AD ， PA 平面 PAD ，∴ PA ⊥平面 ABCD ，∵底面 ABCD 为矩形，∴ AB ， AD ， AP 两两垂直.以 A为坐标原点， AB ， AD ， AP 所在直线分别为 x ， y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 A （0，0，0）， B （2，0，0）， O （1，2，0）， D （0，4，0）， P （0，0，4），∴ ＝（1，123456789101112131415162，－4）， ＝（0，4，0），∴｜ cos ＜ ， ＞｜＝＝ ＝ ，即异面直线 PO 与AD 所成角的余弦值为 ，故A错，B对.由题易得 E （0，2，2）， AB ⊥平面 PAD ，取平面 PAD 的一个法向量 m ＝（1，0，0）.∵ ＝λ，λ∈[0，1]， PA ＝4，∴ FA ＝4λ，∴ F （0，0，4λ），设平面 OEF 的一个法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），易知 ＝12345678910111213141516（－1，0，2）， ＝（1，2，－4λ），则 即令 x ＝2，得 y ＝2λ－1， z ＝1，此时 n ＝（2，2λ－1，1），若二面角 O - EF - D 的正弦值为 ，则｜ cos ＜ m ， n＞｜＝ ＝ ，而｜ cos ＜ m ， n ＞｜＝ ＝，∴ ＝ ，解得λ＝ ，故C对，D错.故选B、C.12345678910111213141516 （ － ，－ ， ） 12345678910111213141516解析：如图所示，延长 DO 交 BC 于点 E ，则 DE ⊥ BC ， E 为 BC 的中点，∵正四面体 ABCD 的棱长为2，∴ BE ＝1， DE ＝ ， OE＝ DE ＝ ， OD ＝ DE ＝ ，∴ OA ＝ ＝ ，∴ B （ －1，－ ，0）， A （ 0，0， ）.∵ M 是 AB 的中点，∴ M （ － ，－ ， ）.∵ D （ 0， ，0）， C （1，－ ，123456789101112131415160），∴ ＝（ － ，－ ， ）， ＝（2，0，0）， ＝（ 1， ， ）.设平面 ABC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则即设 z ＝1，可得 n ＝（0，－2，1），∴ cos ＜ ， n ＞＝ ＝ ＝ ，∴直线DM 与平面 ABC 所成角的正弦值是 .1234567891011121314151615. 四棱锥 P - ABCD 的底面是正方形， PD ⊥底面 ABCD ，点 E 在棱 PB 上.（1）求证：平面 AEC ⊥平面 PDB ；12345678910111213141516解：证明：如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz ，设 AB ＝ a ， PD ＝ h ，则 A （ a ，0，0）， B （ a ， a ，0）， C（0， a ，0）， D （0，0，0）， P （0，0， h ），∴ ＝（－ a ， a ，0）， ＝（0，0，h ）， ＝（ a ， a ，0），12345678910111213141516∴ · ＝0， · ＝0，∴ AC ⊥ DP ， AC ⊥ DB ，又 DP ∩ DB ＝D ， DP ， DB 平面 PDB ，∴ AC ⊥平面PDB ，又 AC 平面 AEC ，∴平面 AEC ⊥平面 PDB .12345678910111213141516（2）当 PD ＝ AB 且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与平面 PDB 所成角的大小.解：当 PD ＝ AB 且 E 为 PB 的中点时，P （0，0， a ）， E ，设 AC ∩ BD ＝ O ，则 O ，连接 OE ，由（1）知 AC ⊥平面 PDB ，∴∠ AEO 为 AE 与平面 PDB 所成的角，∵ ＝ ， ＝ ，12345678910111213141516∴ cos ∠ AEO ＝ ＝ ，∴∠ AEO ＝45°，即 AE 与平面 PDB 所成角的大小为45°.1234567891011121314151616. （2023·全国甲卷18题）如图，在三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， A1 C ⊥平面 ABC ，∠ ACB ＝90°， AA1＝2， A1到平面 BCC1 B1的距离为1.（1）证明： A1 C ＝ AC ；12345678910111213141516解：证明：如图，过 A1作 A1 D ⊥CC1，垂足为 D ，∵ A1 C ⊥平面 ABC ， BC 平面 ABC ，∴ A1 C ⊥ BC ，又∠ ACB ＝90°，∴ AC ⊥ BC ，∵ A1 C ， AC 平面 ACC1 A1，且 A1 C ∩ AC＝ C ，∴ BC ⊥平面 ACC1 A1，∵ A1 D 平面 ACC1 A1，∴ BC ⊥ A1 D ，12345678910111213141516又 CC1， BC 平面 BCC1 B1，且 CC1∩ BC ＝C ，∴ A1 D ⊥平面 BCC1 B1，∴ A1 D ＝1.由已知条件易证△ CA1 C1是直角三角形，又 CC1＝ AA1＝2， A1 D ＝1，∴ D 为 CC1的中点，又 A1 D ⊥ CC1，∴ A1 C ＝ A1 C1，又在三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， AC ＝ A1 C1，∴ A1 C ＝ AC .12345678910111213141516（2）已知 AA1与 BB1的距离为2，求 AB1与平面 BCC1 B1所成角的正弦值.解：如图，连接 A1 B ，由（1）易证 A1 B ＝ A1 B1，故取 BB1的中点 F ，连接 A1 F ，∵ AA1与 BB1的距离为2，∴ A1 F ＝2，又 A1 D ＝1且 A1 C ＝ AC ，∴ A1 C ＝ A1 C1＝ AC ＝ ， AB ＝ A1 B1＝， BC ＝ .12345678910111213141516建立空间直角坐标系 C - xyz 如图所示，则 C （0，0，0）， A （ ，0，0）， B （0， ，0）， B1（－ ， ， ）， C1（－ ，0， ），∴ ＝（0， ，0）， ＝（－ ，0， ）， ＝（－2 ， ， ），设平面 BCC1 B1的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），12345678910111213141516则 即取 x＝1，则 y ＝0， z ＝1，∴平面 BCC1 B1的一个法向量为 n ＝（1，0，1）.设 AB1与平面 BCC1 B1所成角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜ n ， ＞｜＝＝ .∴ AB1与平面 BCC1 B1所成角的正弦值为 .12345678910111213141516谢 谢 观 看！4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系第一课时 空间中的角1.已知两平面的法向量分别为m＝（0，1，0），n＝（0，1，1），则两平面所成的角为（ ）A.45° B.135°C.45°或135° D.90°2.已知A（0，1，1），B（2，－1，0），C（3，5，7），D（1，2，4），则直线AB与直线CD所成角的余弦值为（ ）A. B.－ C. D.－3.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若＜a，n＞＝，则l与α所成的角为（ ）A. B.C. D.4.正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小为（ ）A.30° B.45°C.60° D.90°5.（多选）已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，则（ ）A.A1D与B1D1是异面直线B.A1D与EF所成角的大小为45°C.A1F与平面B1EB所成角的余弦值为D.二面角C-D1B1-B的余弦值为6.（多选）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝2BC＝4，E，F分别为PD，AB的中点，则下列选项中正确的是（ ）A.直线PA与直线CD所成角的余弦值为B.直线PA与直线CD所成角的余弦值为C.直线PA与平面EFC所成角的正弦值为D.直线PA与平面EFC所成角的正弦值为7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin＜，＞＝ .8.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为 .9.已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成二面角的余弦值为 .10.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点.求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.11.二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为（ ）A.150° B.45°C.60° D.120°12.如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于点E，现将△ADE沿DE折起，使二面角A-DE-B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成角的大小为（ ）A.45° B.90°C.135° D.180°13.（多选）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD＝4，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，且∠PAD＝，O为底面ABCD的中心，E为PD的中点，F在棱PA上，若＝λ，λ∈[0，1]，则下列说法正确的有（ ）A.异面直线PO与AD所成角的余弦值为B.异面直线PO与AD所成角的余弦值为C.若二面角O-EF-D的正弦值为，则λ＝D.若二面角O-EF-D的正弦值为，则λ＝14.已知棱长为2的正四面体ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，点O为点A在底面BCD上的射影，M为线段AB的中点，则M点的坐标为 ，直线DM与平面ABC所成角的正弦值为 .15.四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上.（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成角的大小.16.（2023·全国甲卷18题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1.（1）证明：A1C＝AC；（2）已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.第一课时 空间中的角1.A cos＜m，n＞＝＝＝，即＜m，n＞＝45°.所以两平面所成的角为45°.2.A ∵＝（2，－2，－1），＝（－2，－3，－3），∴cos＜，＞＝＝＝，∴直线AB，CD所成角的余弦值为.3.C 线面角的范围是.∵＜a，n＞＝，∴l与法向量所在直线所成角为，∴l与α所成的角为.4.B 如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1，则A（0，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）.于是＝（0，1，0），取PD的中点E，则E，∴＝（0，，），易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，∴cos＜，＞＝，∴平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小为45°.5.AD 对A：∵A1∈平面A1B1C1D1，D 平面A1B1C1D1，B1D1 平面A1B1C1D1，A1 B1D1，∴根据异面直线的定义可得A1D与B1D1是异面直线，故选项A正确；对B：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（1，0，1），D（0，0，0），E，F，B（1，1，0），A（1，0，0），C1（0，1，1），C（0，1，0），∴＝（－1，0，－1），＝，∴cos＜，＞＝＝＝，∴异面直线A1D与EF所成的角为60°，故选项B错误；对C：∵＝，＝（0，1，0），又显然是平面B1EB的法向量，则cos＜，＞＝＝＝，∴A1F与平面B1EB所成角的正弦值为，故选项C错误；对D：由正方体性质可知，＝（－1，1，1）为平面CD1B1的法向量，＝（－1，1，0）为平面D1B1B的法向量，∴cos＜，＞＝＝＝，∴二面角C-D1B1-B的余弦值为，故选项D正确；故选A、D.6.AD 设AD的中点为O，连接OC，OP.因为侧面PAD为等边三角形，所以OP⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，OP 平面PAD，所以OP⊥平面ABCD.又因为OC 平面ABCD，所以OP⊥OC.由已知可得BC＝AO，BC∥AO，AB⊥AD，所以四边形ABCO是矩形，可得CO⊥AD，则OC，OD，OP两两垂直，以O为原点，分别以OC，OD，OP所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，2），A（0，－2，0），C（4，0，0），D（0，2，0），F（2，－2，0），E（0，1，）.设直线PA与直线CD所成角为α，因为＝（0，－2，－2），＝（－4，2，0），所以cos α＝＝＝，即直线PA与直线CD所成角的余弦值为，故选项A正确，选项B错误.设直线PA与平面EFC所成角为β，平面EFC的法向量为n＝（x，y，z），又＝（2，－3，－），＝（2，2，0），所以令x＝，得y＝－，z＝5，所以n＝（，－，5），又＝（0，－2，－2），所以sin β＝｜cos＜，n＞｜＝＝＝，所以直线PA与平面EFC所成角的正弦值为，故选项C错误，选项D正确.故选A、D.7. 解析：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2.则C（0，2，0），M（2，0，1），D1（0，0，2），N（2，2，1）.∴＝（2，－2，1），＝（2，2，－1）.cos＜，＞＝＝－.∴sin＜，＞＝.8. 解析：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，设AB＝a，则OP＝a，＝（－a，0，a），可求得平面PBC的法向量为n＝，所以cos＜，n＞＝＝，设OD与平面PBC所成的角为θ，则sin θ＝.9. 解析：如图，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝（0，0，1），平面AEF的法向量为n2＝（x，y，z）.所以A（1，0，0），E（1，1，），F（0，1，），所以＝，＝，则即取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝（1，－1，3）.所以cos＜n1，n2＞＝＝.所以平面AEF与平面ABC所成二面角的余弦值为.10.解：以点A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则B（2，0，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴＝（2，0，－4），＝（1，－1，－4），∴cos＜，＞＝＝，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.11.C 如图所示，二面角的大小就是＜，＞.∵＝＋＋，∴＝＋＋＋2（·＋·＋·）＝＋＋＋2·，∴·＝[（2）2－62－42－82]＝－24.∴·＝24，cos＜，＞＝＝，又＜，＞∈（0°，180°），∴＜，＞＝60°，故二面角的大小为60°.12.B 建立空间直角坐标系，如图所示.由题意知△ABE为等腰直角三角形.设CD＝1，则BE＝1，AB＝1，AE＝.设BC＝DE＝2a，则E（0，0，0），A（1，0，1），N（1，a，0），D（0，2a，0），M（ ，a，），所以＝（ ，0，－），＝（－1，0，－1），所以·＝（ ，0，－）·（－1，0，－1）＝0，故⊥，从而MN与AE所成角的大小为90°.13.BC ∵∠PAD＝，∴PA⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA 平面PAD，∴PA⊥平面ABCD，∵底面ABCD为矩形，∴AB，AD，AP两两垂直.以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A（0，0，0），B（2，0，0），O（1，2，0），D（0，4，0），P（0，0，4），∴＝（1，2，－4），＝（0，4，0），∴｜cos＜，＞｜＝＝＝，即异面直线PO与AD所成角的余弦值为，故A错，B对.由题易得E（0，2，2），AB⊥平面PAD，取平面PAD的一个法向量m＝（1，0，0）.∵＝λ，λ∈[0，1]，PA＝4，∴FA＝4λ，∴F（0，0，4λ），设平面OEF的一个法向量为n＝（x，y，z），易知＝（－1，0，2），＝（1，2，－4λ），则即令x＝2，得y＝2λ－1，z＝1，此时n＝（2，2λ－1，1），若二面角O-EF-D的正弦值为，则｜cos＜m，n＞｜＝＝，而｜cos＜m，n＞｜＝＝，∴＝，解得λ＝，故C对，D错.故选B、C.14.（ －，－，） 解析：如图所示，延长DO交BC于点E，则DE⊥BC，E为BC的中点，∵正四面体ABCD的棱长为2，∴BE＝1，DE＝，OE＝DE＝，OD＝DE＝，∴OA＝＝，∴B（ －1，－，0），A（ 0，0，）.∵M是AB的中点，∴M（ －，－，）.∵D（ 0，，0），C（1，－，0），∴＝（ －，－，），＝（2，0，0），＝（ 1，，）.设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），则即设z＝1，可得n＝（0，－2，1），∴cos＜，n＞＝＝＝，∴直线DM与平面ABC所成角的正弦值是.15.解：（1）证明：如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设AB＝a，PD＝h，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D（0，0，0），P（0，0，h），∴＝（－a，a，0），＝（0，0，h），＝（a，a，0），∴·＝0，·＝0，∴AC⊥DP，AC⊥DB，又DP∩DB＝D，DP，DB 平面PDB，∴AC⊥平面PDB，又AC 平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.（2）当PD＝AB且E为PB的中点时，P（0，0，a），E，设AC∩BD＝O，则O，连接OE，由（1）知AC⊥平面PDB，∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，∵＝，＝，∴cos∠AEO＝＝，∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成角的大小为45°.16.解：（1）证明：如图，过A1作A1D⊥CC1，垂足为D，∵A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴A1C⊥BC，又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵A1C，AC 平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，∵A1D 平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，又CC1，BC 平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1.由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1，∴A1C＝A1C1，又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝A1C1，∴A1C＝AC.（2）如图，连接A1B，由（1）易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F，∵AA1与BB1的距离为2，∴A1F＝2，又A1D＝1且A1C＝AC，∴A1C＝A1C1＝AC＝，AB＝A1B1＝，BC＝.建立空间直角坐标系C-xyz如图所示，则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，，0），B1（－，，），C1（－，0，），∴＝（0，，0），＝（－，0，），＝（－2，，），设平面BCC1B1的法向量为n＝（x，y，z），则即取x＝1，则y＝0，z＝1，∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝（1，0，1）.设AB1与平面BCC1B1所成角为θ，则sin θ＝｜cos＜n，＞｜＝＝.∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.3 / 34.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系第一课时 空间中的角新课程标准解读 核心素养能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用 直观想象、数学运算迈克尔·杰克逊出生于印第安纳州加里市，被称为“流行音乐之王”.迈克尔·杰克逊除了他擅长的歌曲，还有他那漂亮的太空步，尤其像谜一样存在的招牌动作45度倾斜舞步，据说迈克尔·杰克逊早在1993年就申请了专利，专利名称“摆脱地心引力的幻想”.【问题】 45度到底指的是哪个角呢？ 知识点一 向量法求直线与直线、直线与平面所成的角角的分类 向量求法 范围两条直线所成的角 设两条直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为a，b，则cos θ＝ ＝ 直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为l，平面α的法向量为n，则sin θ＝ ＝ 知识点二 向量法求平面与平面的夹角（二面角）两个平面所成二面角的平面角可以转化为这两个平面的法向量所成的角，如图，向量n1⊥α，n2⊥β，则二面角α-l-β的大小为＜n1，n2＞或π－＜n1，n2＞，若二面角α-l-β的大小为θ（0≤θ≤π），则｜cos θ｜＝.1.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos＜m，n＞＝－，则直线l与平面α所成的角为（ ）A.30° B.60°C.120° D.150°2.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为（0，－1，3），（2，2，4），则这个二面角的余弦值为（ ）A. B.－C. D.或－3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则直线EF与AB1所成角的余弦值为（ ）A. B.C. D.题型一 两直线所成的角【例1】 已知四面体OABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则直线BD与AC所成角的余弦值为（ ）A. B.C. D.尝试解答通性通法基向量法求直线的夹角的一般步骤（1）找基；（2）用同一组基表示两直线的方向向量；（3）利用向量夹角公式求出两条直线的方向向量夹角的余弦值；（4）结合直线的夹角范围得到直线的夹角.【跟踪训练】 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝2，CC1＝，则直线AB1与BC1所成角的正弦值为（ ）A.1 B.C. D.题型二 直线与平面所成的角【例2】 （2022·全国甲卷18题）在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.（1）证明：BD⊥PA；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.尝试解答通性通法求直线与平面所成角的思路与步骤思路一：找直线在平面内的投影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角（或夹角的某一三角函数值）；思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量.利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤：①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量；③求平面的法向量n；④计算：设线面角为θ，则sin θ＝.【跟踪训练】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BB1的中点.（1）求证：BC1∥平面AD1E；（2）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值.题型三 平面与平面的夹角（二面角）【例3】 （2022·新高考Ⅰ卷19题）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2.（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.尝试解答通性通法利用法向量求二面角的大小的一般步骤（1）建立适当的空间直角坐标系；（2）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；（3）求出两个法向量的夹角的余弦值；（4）若（3）中所得余弦值为0，则所求二面角为直二面角.若不为0，则根据几何图形直观判断二面角是锐角还是钝角，从而确定其余弦值的正负.【跟踪训练】（2021·新高考Ⅱ卷19题）在四棱锥Q -ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3.（1）证明：平面QAD⊥平面ABCD；（2）求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.1.若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为，则l1与l2所成的角为（ ）A. B. C.或 D.2.如图，已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos＜m，n＞＝－，则二面角α-l-β＝（ ）A.30° B.60°C.120° D.150°3.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是棱A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）A. B.C. D.4.如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝（0，0，2），平面ABC的一个法向量为n＝（2，1，2），二面角C-AB-O的大小为θ，则cos θ＝ .5.正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为 .第一课时 空间中的角【基础知识·重落实】知识点一 ｜cos＜a，b＞｜ ［0，］ ｜cos＜l，n＞｜ ［0，］自我诊断1.A2.D ∵＝，∴这个二面角的余弦值为或－.3.D 连接AC，B1C（图略），∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，∴∠B1AC为直线EF与AB1所成的角.在△AB1C中，∵AB1，AC，B1C均为面对角线，∴AB1＝AC＝B1C，∴∠B1AC＝，∴cos∠B1AC＝.【典型例题·精研析】【例1】 C ＝－＝－，＝－，于是｜｜＝，｜｜＝1，且·＝·（－）＝－，于是cos＜，＞＝＝＝－，故直线BD与AC所成角的余弦值为.跟踪训练 A 设线段A1B1，AB的中点分别为O，D，连接OC1，OD，则OC1⊥平面ABB1A1，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.则A（－1，0，），B1（1，0，0），B（1，0，），C1（0，，0），所以＝（2，0，－），＝（－1，，－），因为·＝（2，0，－）·（－1，，－）＝0，所以⊥，即直线AB1和BC1所成的角为直角，则其正弦值为1.【例2】 解：（1）证明：如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则OB＝DC＝1.又DC∥OB，所以四边形DCBO为平行四边形.又BC＝OB＝1，所以四边形DCBO为菱形，所以BD⊥CO.同理可得，四边形DCOA为菱形，所以AD∥CO，所以BD⊥AD.因为PD⊥底面ABCD，BD 底面ABCD，所以PD⊥BD，又AD∩PD＝D，AD，PD 平面ADP，所以BD⊥平面ADP.因为PA 平面ADP，所以BD⊥PA.（2）由（1）知BD⊥AD，又AB＝2AD，所以∠DAO＝60°，所以△ADO为正三角形.过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，P（0，0，），D（0，0，0）.则＝（0，2，0），＝，＝（0，0，）.设平面PAB的法向量为n＝（x，y，z），则 令x＝2，则y＝0，z＝1，所以n＝（2，0，1）.设直线PD与平面PAB所成的角为α，则sin α＝｜cos＜n，＞｜＝＝＝，所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为.跟踪训练 解：（1）证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB DC，D1C1 DC，∴AB D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，BC1∥AD1.又AD1 平面AD1E，BC 平面AD1E，∴BC1∥平面AD1E.（2）设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以A为原点，AD，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），A1（0，0，2），D1（2，0，2），E（0，2，1），＝（0，0，2），＝（2，0，2），＝（0，2，1）.设平面AD1E的法向量为n＝（x，y，z），由得令z＝－2，则x＝2，y＝1，∴n＝（2，1，－2）.设直线AA1与平面AD1E所成的角为θ，则sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝＝.【例3】 解：（1）设点A到平面A1BC的距离为h，因为直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，所以＝S△ABC×AA1＝＝，又△A1BC的面积为2，＝h＝×2h＝，所以h＝，即点A到平面A1BC的距离为.（2）取A1B的中点E，连接AE，则AE⊥A1B，因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，所以AE⊥平面A1BC，所以AE⊥BC，又AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥BC，因为AA1∩AE＝A，所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥AB.以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，由（1）知，AE＝，所以AA1＝AB＝2，A1B＝2，因为△A1BC的面积为2，所以2＝×A1B×BC，所以BC＝2，所以A（0，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1），E（0，1，1），则＝（1，1，1），＝（0，2，0），设平面ABD的法向量为n＝（x，y，z），则即令x＝1，得n＝（1，0，－1），又平面BDC的一个法向量为＝（0，－1，1），所以cos＜，n＞＝＝＝－，设二面角A-BD-C的平面角为θ，则sin θ＝＝，所以二面角A-BD-C的正弦值为.跟踪训练 解：（1）证明：取AD的中点E，连接QE，CE，∵QD＝QA＝，∴QE⊥AD.∵AD＝2，∴DE＝1，∴QE＝＝2，CE＝＝.∴QE2＋CE2＝9＝QC2，∴QE⊥CE.又∵AD∩CE＝E，∴QE⊥平面ABCD.∵QE 平面QAD，∴平面QAD⊥平面ABCD.（2）取BC中点F，连接EF，易得EF，ED，EQ两两垂直，如图，分别以EF，ED，EQ所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.则B（2，－1，0），Q（0，0，2），D（0，1，0），∴＝（－2，1，2），＝（0，1，－2），设平面BQD的一个法向量n1＝（x，y，z），则 取z＝1，可得x＝2，y＝2，∴n1＝（2，2，1）.易知平面QDA的一个法向量n2＝（1，0，0）.设二面角B-QD-A的平面角为θ，则θ为锐角.cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝＝＝.∴二面角B-QD-A的平面角的余弦值为.随堂检测1.A l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为，故选A.2.C 设二面角α-l-β为θ，且0°≤θ＜180°，由图可知，cos θ＝cos＜m，n＞＝－，∴θ＝120°.3.C 如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系，设CA＝CB＝1，则B（0，1，0），M，A（1，0，0），N.故＝，＝，所以cos ＜，＞＝＝＝.4. 解析：cos θ＝＝＝.5. 解析：设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图.则D（0，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1）.平面ACD1的一个法向量为＝（1，1，1）.又＝（0，0，1），则cos＜，＞＝＝＝.设BB1与平面ACD1所成角为θ，则sin θ＝｜cos＜，＞｜＝.4 / 4 展开更多...... 收起↑ 资源列表 4.3 第一课时 空间中的角.pptx 4.3 第一课时 空间中的角.docx 4.3 第一课时 空间中的角（练习，含解析）.docx
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