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§5　数学探究活动（一）：正方体截面探究
新课程标准解读 核心素养
1.了解正方体的截面的形状，能熟练运用正方体截面的有关知识解决相应的问题 数学抽象
2.经历切截几何体的活动过程，体会几何体在切截过程中的变化，在面与体的转换中积累数学活动经验 数学建模
一、背景介绍
　为了使课改工作开展的更有成效，很重要的方面，就是要重构课堂，在现代课堂的教学中，我们应该清楚地认识到：1.课堂不是教师表演的舞台，而是师生之间交流、互动的舞台；2.课堂不是对学生进行训练的场所，而是引导学生发展的场所；3.课堂不只是传授知识的场所，而更应该是探究知识的基地；4.课堂不是教师教学行为模式化运作的天堂，而是教师教育智慧充分展现的竞技场.
在必修第二册第六章立体几何初步中“如何求作平面与平面的交线”这部分内容的教学时，为了提高学生学习立体几何的兴趣，帮助一些学生克服对立体几何的危惧心理，我们适时补充了“几何体的截面”这个内容.
考虑到要通过会“求作平面与平面的交线”从而学会“过已知点求作正方体的截面”对学生而言还是有一定难度的，因此，能否通过本节课的学习让学生体会到数学知识就在我们身边、感悟到数学之美，激发出学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲望，初步培养学生动手实验、观察比较、归纳总结的能力和探究意识、创新意识，就成为这节课首要解决的问题.为了更好地突破以上难点，落实新课标的精神，本节课运用“学生为主体，教师为引导，问题为核心，培养动手操作、探究问题的能力为目的”的探究性学习方式，逐步培养学生的创造性思维；在教学策略上通过实物操作与电脑演示相结合的方法帮助学生了解正方体截面的各种可能的形状以及是否有特殊的形状.
二、实例分析
　正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体.如果我们拿一个平面去截一个正方体.那么会得到什么形状的截面图呢？
探究1：截面多边形的边数最多有几条？
小结：因为正方体只有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截得截面图最多有六条边.所以截面图可能是三角形，四边形，五边形，六边形.
探究2：截面图为三角形时，有几种情况？
（1）是否可以截出等腰三角形？
（2）是否可以截出等边三角形？
（3）是否可以截出直角三角形？
小结：用一平面去截正方体能截出的三角形：
（1）等腰三角形；（2）等边三角形；（3）锐角三角形；（为什么？）（4）不能截出直角三角形.（为什么？）
首先，用一个平面截一个正方体，要得到三角形，必然是要和三个两两相邻的面相交才可以（如图所示）.下面只要说明这个截面△PMN不是直角三角形或钝角三角形就可以了.
图中有三个直角三角形，△BMN、△PMB和△PBN.如果MN是最长边，那么只需要说明PM2＋PN2＞MN2就可以了.
在Rt△BMN中，根据勾股定理可得BM2＋BN2＝MN2；
同理，BM2＋BP2＝MP2，BN2＋BP2＝NP2.所以MP2＋NP2－MN2＝2BP2＞0，
因此，PM2＋PN2＞MN2.由余弦定理可得，cos∠MPN＝＞0，所以∠MPN为锐角，又∠MPN是△MPN的最大角，所以△PMN是锐角三角形.
探究3：如果截面为四边形，那么可以截出哪几类呢？
（1）是否可以截出长方形？
（2）是否可以截出正方形？
（3）是否可以截出梯形？
小结：用一平面去截正方体能截出的四边形：
（1）长方形；（2）正方形；（3）平行四边形；（4）菱形；（5）梯形；（6）等腰与不等腰梯形.
探究4：截面可能是正多边形吗？可能有几种？
小结：截面是正多边形有可能.可能有正三角形，正方形和正六边形.不可能是正五边形.（为什么？）
探究5：如果截面是三角形，其面积最大是多少？四边形呢？
探究6：正方体中能用几个平面截出正四面体、正八面体吗？
小结：以正方体的面对角线为棱长的三棱锥即为正四面体，以正方体的六个面的中心的连线即为正八面体.
最后，用几何画板演示正方体的截面图.
【例1】　已知正方体A1B1C1D1-ABCD中，E，F，H分别是A1B1，B1C1，AD的中点，试过三点E，F，H作截面.
尝试解答
【例2】　一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（　　）
A.3π　　　　　　　 B.4π
C.3π D.6π
尝试解答
三、深化拓展
　CT是一种医学影像诊断技术，它就是类似于今天所要学习的“截一个几何体”的方法，只不过这里的“截”并不是真正的截，这里的“几何体”是病人某个患病器官，“刀”是射线，它的原理是用射线透射人体，然后用检测器测定透射后的放射量，通过计算机进行处理，重建人体断层图象并作出诊断，这是数学的“图象重建原理”在医学上的成功应用.CT的发明具有划时代的意义，获得了诺贝尔奖.
我们在座的每位同学，我相信经过勤奋、刻苦的努力，也会成为未来的诺贝尔奖获得者，为中华民族增光.
四、课后反思
　根据新的《数学课程标准》，设置数学课程的基本目的，不再只是让学生获得必要的数学知识、技能，它还包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面的发展.关于正方体切截载体的选择，其实可用“以水代刀”方法完成本节探究活动课，意在以正方体的截面问题为切入口，诱导学生数学源于生活、寓于生活、用于生活.用水面形状来代替切口形状即是将生活题材数学化的一个前所未有的创新.本创新过程将启迪学生思维、解决问题的方式、方法，并增加学生学习数学的勇气，增强探究的好奇心，加深对数学的理解，激发学生潜在的创造力，逐步形成创新意识.当代伟大的数学家M·阿蒂亚先生指出：几何是数学中重要的一部分，其中视觉思维占主导地位……，几何直觉是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养，有人说，几何作为一种直观、形象的数学模型，它在发展学生创新精神方面的价值是独特的、难以替代的.
“从现实情境出发，通过一个充满探索、思考和合作的过程，学习数学，获取知识，收获的将是自信心、责任感、求实态度、科学精神、创新意识……实践能力等这些远比升学重要的公民素质.”
5　数学探究活动（一）：正方体截面探究
【例1】　提示：本题的关键是作出截面所在的平面与正方体的各面相交时的交线，因为E，F两点在截面内，也在平面A1C1内，所以EF是截面与平面A1C1的交线.若将EF延长，它与棱D1A1和D1C1的延长线相交，其交点得到的新点之一与H点又具有上述性质，这样下去，就能作出截面.
解：如图，连接EF，并且延长，与D1A1，D1C1的延长线交于N，R两点，连接NH并延长分别交AA1和D1D的延长线于S，T，连接TR分别交CD，CC1于M，G，顺次连接点E，F，G，M，H，S，E，则六边形EFGMHS就是所画截面.
【例2】　A　一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图，四面体A-BDE满足条件，即AB＝AD＝AE＝BD＝DE＝BE＝，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为，从而外接球的直径也为，所以此球的表面积为3π，故选A.
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§5　数学探究活动（一）：正方体截面探究
新课程标准解读 核心素养
1.了解正方体的截面的形状，能熟练运用正方体截面的
有关知识解决相应的问题 数学抽象
2.经历切截几何体的活动过程，体会几何体在切截过程
中的变化，在面与体的转换中积累数学活动经验 数学建模
一、背景介绍
　为了使课改工作开展的更有成效，很重要的方面，就是要重构课
堂，在现代课堂的教学中，我们应该清楚地认识到：1.课堂不是教师
表演的舞台，而是师生之间交流、互动的舞台；2.课堂不是对学生进
行训练的场所，而是引导学生发展的场所；3.课堂不只是传授知识的
场所，而更应该是探究知识的基地；4.课堂不是教师教学行为模式化
运作的天堂，而是教师教育智慧充分展现的竞技场.
在必修第二册第六章立体几何初步中“如何求作平面与平面的交线”这
部分内容的教学时，为了提高学生学习立体几何的兴趣，帮助一些学
生克服对立体几何的危惧心理，我们适时补充了“几何体的截面”这个
内容.
考虑到要通过会“求作平面与平面的交线”从而学会“过已知点求作正方
体的截面”对学生而言还是有一定难度的，因此，能否通过本节课的
学习让学生体会到数学知识就在我们身边、感悟到数学之美，激发出
学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲望，初步培养学生动手实验、观
察比较、归纳总结的能力和探究意识、创新意识，就成为这节课首要
解决的问题.为了更好地突破以上难点，落实新课标的精神，本节课运
用“学生为主体，教师为引导，问题为核心，培养动手操作、探究问
题的能力为目的”的探究性学习方式，逐步培养学生的创造性思维；
在教学策略上通过实物操作与电脑演示相结合的方法帮助学生了解正
方体截面的各种可能的形状以及是否有特殊的形状.
二、实例分析
　正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几
何体.如果我们拿一个平面去截一个正方体.那么会得到什么形状的
截面图呢？
探究1：截面多边形的边数最多有几条？
小结：因为正方体只有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所
截得截面图最多有六条边.所以截面图可能是三角形，四边形，五边
形，六边形.
探究2：截面图为三角形时，有几种情况？
（1）是否可以截出等腰三角形？
（2）是否可以截出等边三角形？
（3）是否可以截出直角三角形？
小结：用一平面去截正方体能截出的三角形：
（1）等腰三角形；（2）等边三角形；（3）锐角三角形；（为什
么？）（4）不能截出直角三角形.（为什么？）
首先，用一个平面截一个正方体，要得到三角形，必然是要和
三个两两相邻的面相交才可以（如图所示）.下面只要说明这个
截面△ PMN 不是直角三角形或钝角三角形就可以了.
图中有三个直角三角形，△ BMN 、△ PMB 和△ PBN . 如果 MN 是
最长边，那么只需要说明 PM2＋ PN2＞ MN2就可以了.在Rt△ BMN
中，根据勾股定理可得 BM2＋ BN2＝ MN2；
同理， BM2＋ BP2＝ MP2， BN2＋ BP2＝ NP2.所以 MP2＋ NP2－
MN2＝2 BP2＞0，
因此， PM2＋ PN2＞ MN2.由余弦定理可得， cos ∠ MPN ＝
＞0，所以∠ MPN 为锐角，又∠ MPN 是△ MPN 的
最大角，所以△ PMN 是锐角三角形.
探究3：如果截面为四边形，那么可以截出哪几类呢？
（1）是否可以截出长方形？
（2）是否可以截出正方形？
（3）是否可以截出梯形？
小结：用一平面去截正方体能截出的四边形：
（1）长方形；（2）正方形；（3）平行四边形；（4）菱形；（5）
梯形；（6）等腰与不等腰梯形.
探究4：截面可能是正多边形吗？可能有几种？
小结：截面是正多边形有可能.可能有正三角形，正方形和正六
边形.不可能是正五边形.（为什么？）
探究5：如果截面是三角形，其面积最大是多少？四边形呢？
探究6：正方体中能用几个平面截出正四面体、正八面体吗？
小结：以正方体的面对角线为棱长的三棱锥即为正四面体，以
正方体的六个面的中心的连线即为正八面体.
最后，用几何画板演示正方体的截面图.
【例1】　已知正方体 A1 B1 C1 D1- ABCD 中， E ， F ， H 分别是
A1 B1， B1 C1， AD 的中点，试过三点 E ， F ， H 作截面.
提示：本题的关键是作出截面所在的平面与正方体的各面相交
时的交线，因为 E ， F 两点在截面内，也在平面 A1 C1内，所以
EF 是截面与平面 A1 C1的交线.若将 EF 延长，它与棱 D1 A1和 D1 C1
的延长线相交，其交点得到的新点之一与 H 点又具有上述性
质，这样下去，就能作出截面.
解：如图，连接 EF ，并且延长，与 D1 A1，
D1 C1的延长线交于 N ， R 两点，连接 NH 并
延长分别交 AA1和 D1 D 的延长线于 S ， T ，
连接 TR 分别交 CD ， CC1于 M ， G ，顺次连
接点 E ， F ， G ， M ， H ， S ， E ，则六边
形 EFGMHS 就是所画截面.
【例2】　一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球
面上，则此球的表面积为（　　）
A. 3π B. 4π
D. 6π
解析：　一般解法，需设出球心，作出高
线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，
由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中
有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，
再寻找棱长相等的四面体，如图，四面体 A - BDE 满足条件，即 AB ＝ AD ＝ AE ＝ BD ＝ DE ＝ BE ＝ ，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为 ，从而外接球的直径也为 ，所以此球的表面积为3π，故选A.
三、深化拓展
　CT是一种医学影像诊断技术，它就是类似于今天所要学习的“截一
个几何体”的方法，只不过这里的“截”并不是真正的截，这里的“几何
体”是病人某个患病器官，“刀”是射线，它的原理是用射线透射人体，
然后用检测器测定透射后的放射量，通过计算机
进行处理，重建人体断层图象并作出诊断，这是数学的“图象重建
原理”在医学上的成功应用.CT的发明具有划时代的意义，获得了
诺贝尔奖.
我们在座的每位同学，我相信经过勤奋、刻苦的努力，也会成为未来
的诺贝尔奖获得者，为中华民族增光.
四、课后反思
　根据新的《数学课程标准》，设置数学课程的基本目的，不再只是
让学生获得必要的数学知识、技能，它还包括在启迪思维、解决问
题、情感与态度等方面的发展.关于正方体切截载体的选择，其实可用
“以水代刀”方法完成本节探究活动课，意在以正方体的截面问题为切
入口，诱导学生数学源于生活、寓于生活、用于生活.用水面形状来代
替切口形状即是将生活题材数学化的一个前所未有的创新.本创新过程
将启迪学生思维、解决问题的方式、方法，并增加学生学习数学的勇
气，增强探究的好奇心，加深对数学的理解，激发学生潜在的创造力，
逐步形成创新意识.当代伟大的数学家M·阿蒂亚先生指出：几何是数
学中重要的一部分，其中视觉思维占主导地位……，几何直觉是增进
数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养，
有人说，几何作为一种直观、形象的数学模型，它在发展学生创新精
神方面的价值是独特的、难以替代的.
“从现实情境出发，通过一个充满探索、思考和合作的过程，学习数
学，获取知识，收获的将是自信心、责任感、求实态度、科学精神、
创新意识……实践能力等这些远比升学重要的公民素质.”
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