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新启点教育集团2025-2026学年上学期实验班9月月考试
九 年 级 数 学 试 卷
一、选择题（共10小题，共40分）
1．如果，那么的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
2．已知（，），下列等式中变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，能判定为矩形的是（ ）
A． B．C． D．
4．小余有四根木条，长度分别是2，3，4，5，从中任意取三根木条作为边拼成三角形，能拼成三角形的概率是（ ）
A．4 B． C． D．
5．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A．8，12，6，9 B．3，4，20，2 C．0.5，9，0.6，6 D．1，2，3，4
6．设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
7．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有50人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ）
A．50 B．50
C．50 D．50
8．关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、C，作矩形，将沿直线平移，当A、B的对应点、与点C构成直角三角形时，x轴上存在一点P，使得的值最大时P的横坐标是（ ）
3 B．2
C． D．
10．如图，中，，，，E是高线的中点，以为半径作，G是上一个动点，P是中点，连接BG，则BG的最大值为（ ）
7 B．
C． D．
二、填空题（共6小题，共24分）
11．漳浦一中校园“三个一工程”即将拉开帷幕，九年级“明德”学习小组的小余，小霖，小思，小熙4位同学准备任意推举2名同学参加初赛，则恰好小思和小余被选中的概率是 ．
12．周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄．设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方为 ．
13．如图，分别是的高，为的中点，，，则的周长是 ．
（13题） （14题） （16题）
14．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．已知，，，则的长为 ．
15．如图，四边形为矩形，，则的位置关系为 ．
16．已知两个关于的一元二次方程，有一个公共解2，且，，，．下列结论：①有唯一对应的值；②；③是一元二次方程的一个解．其中正确的有 个．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．用适当的方法解下列方程
(1)； (2)．
已知 ＝ ＝＝k，求k的值．
19．如图所示，已知E为正方形内部一点，且满足，连接、、．
(1)______°；
(2)连接，点F为右侧一点，且．连接，
射线交线段于点M．证明：
20．任意抛掷一枚均匀的骰子（各个面上的点数为），将第一次，第二次抛掷的点数分别记为m，n．
(1)证明：当为奇数的概率=；
(2)在平面直角坐标系中，求以，，
为顶点能构成直角三角形的概率．
21．如图①，在四边形中，已知，，，点E在的延长线上，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图②，若是的边上的高，
已知，求四边形的面积．
22．综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图3所示．
(1)若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边_____，的值为多少？
(2)如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（不考虑倾斜放入且要盖上盖子）
23．实践与探究：
(1)如图甲，正方形纸片的边长为，沿对角线剪开，然后固定纸片把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、．
①在平移过程中，试证明：四边形是平行四边形与不重合
②在平移过程中，求的最小值；
如图乙，菱形纸片的边长为，，沿对角线剪开，然后固定纸片，把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、，在平移过程中，若有最小值，请求值，若没有，请说明理由.
24．在平面直角坐标系中，函数，其中m为常数，该函数的图像记为G．
(1)当时，
①如图1，若点在图像G上，
则b的值为______；
②如图1，点P在图像G上，设点P横
坐标为a，且，由点P分别向
x轴，y轴作垂线，垂足分别是点E，F，若矩形面积为3，则a=______；
③如图2，在②条件下，且，由点P作直线交直线于H，交图像G于点B，图像G与直线交于点C，与y轴交于点A．连接，若，求点H坐标；
（2）.当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求证：．
25．如图，在中，，，D为的中点，是射线上的一点，连接，，F是上一点，且满足，．
(1)求证：A；
(2)试分析：之间的数量关系；
(3)若，求的值．
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新启点教育集团2025-2026学年上学期实验班9月月考参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D A C C A C A
11． 12． 13． 14． 15．垂直 16．2
17．（1）解：，
方程整理得：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，；
（2）解：，
∵，，，
∴，
则，
∴，．
18．解：若a+b+c＝0，则a+b＝-c，b+c＝-a，c+a＝-b，
此时，k＝-1，
若a+b+c≠0，则，
综上所述，k的值为-1或2．
19．（1）解：四边形是正方形，，
，．
，．
，
．
（2）证明∶如图，连接、，过B作交的延长线于G
且，四边形是正方形，
，，
，即．
在和中，
．
，．
四边形是正方形，，
，．
，．
，
．
，
．
，，
．
，
．
，
．
，
．
．
在和中，
．
．
20．（1）解：通过列表可得：
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
有，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种结果，
∴．
（2）解：如图：
以为直角顶点，可取，，，，共
有5种结果
以为直角顶点，可取 共有4种结果
以为直角顶点，可取一种可能
．
21．（1）证明：如图①，∵，，
，
（2）在与中，
，
．
如图①，，
∴，，
∴，
∴，即平分；
（3）解：如图，过点A作，垂足为点M．
∵，，，
∴．
∵，，
∴，
∵，，
∴M为的中点．
∴．
∴．
又，
∴．
22．（1），，
（2）解：设收纳盒高为，
依题意得：
整理得：，
解得：（不符合题意舍去）
∴收纳盒长、宽、高分别为，
∵，
∴玩具机械狗不能放入该收纳盒．
23．1）
四边形是正方形，
，，
如图，把纸片沿剪痕的方向平移得到，
，，
四边形是平行四边形；
四边形是平行四边形，
，
，
如图，作点关于的对称点，连接，，
当，，共线时，有最小值，
此时的最小值为，
将沿射线的方向平移得到，
，，
四边形是平行四边形，
，
关于的对称点，
，，
是等腰直角三角形，且，，共线，
在直角中，由勾股定理得：，
的最小值；
（2）有，的最小值为，理由如下：
如图，菱形的边长为，
，
，
作点关于的对称点，连接，，
当，，共线时，有最小值，
此时的最小值为，
，，
四边形是平行四边形，
为菱形，，
，
，，，
关于的对称点，
，，，
是等边三角形，
，
，，共线，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在直角中，由勾股定理得：，
的最小值为．
24．（1）①或；
②或或；
③∵在②条件下，且，
∴，
∴，
作，，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
即，
即，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
即为中点，
，横坐标为，由中点公式知，
点横坐标为，
∵在直线上，代入得：
，
∴，
由中点公式知，纵坐标为：
，
∴，
（2）解：当时，
如图，当时，函数取得最小值，
当时，函数取得最大值，
，
∵，
∴不合题意；
当时，
如图，当时，函数取得最小值，
时，函数取得最大值，
，
∵，
∴不合题意；
当时，
函数最大值取在当时，代入得，
当时，，
当时，，
若，即，
函数取得最小值，
此时，
，
∴不合题意；
若，即时，
函数取得最小值，
此时，
，
∴
的取值范围是；
25．（1）证明：，，D为的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
即A
（2），理由如下：
，，D为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，，
，
；
（3），
，
， ，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
即为的黄金分割点，
．
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