资源简介

3.2　离散型随机变量的方差
1.若随机变量ξ的分布列为：
ξ －1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
则＝（　　）
A.　　　　　　　 B.
C. D.
2.已知随机变量X的分布列如下：
X 0 1 3
P a
则X的方差DX＝（　　）
A.1 B.2
C.3 D.9
3.设随机变量X的概率分布列为P（X＝k）＝pk（1－p）1－k（k＝0，1），则EX，DX的值分别是（　　）
A.0和1 B.p和p2
C.p和1－p D.p和（1－p）p
4.已知随机变量X的分布列为P（X＝k）＝，k＝1，2，3，则D（3X＋5）＝（　　）
A.6 B.9
C.3 D.4
5.（多选）离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有（　　）
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
A.q＝0.1 B.EX＝2，DX＝1.4
C.EX＝2，DX＝1.8 D.EY＝5，DY＝7.2
6.（多选）若随机变量X服从两点分布，其中P（X＝0）＝，EX，DX分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（　　）
A.P（X＝1）＝EX B.E（4X＋1）＝4
C.DX＝ D.D（4X＋1）＝4
7.若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为　　　　.
8.已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且EX＝0.1，DX＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为　　　，　　　　，　　　　.
9.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0＜p＜1），用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数，则方差DX的最大值为　　　　，此时p＝　　　　.
10.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等.两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
甲保护区：
X 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
乙保护区：
Y 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
试评定这两个保护区的管理水平.
11.编号为1，2，3的3位同学随意入座编号为1，2，3的3个座位，每位同学坐一个座位，设编号与座位编号相同的学生个数是X，则X的方差为（　　）
A. B.
C. D.1
12.设0＜a＜1，随机变量X的分布列是
X 0 a 1
P
则当a在（0，1）内增大时， （　　）
A.DX增大
B.DX减小
C.DX先增大后减小
D.DX先减小后增大
13.（多选）已知离散型随机变量X的分布列为
X 0 5 10
P m n
其中m＞0，n＞0，则下列选项正确的有（　　）
A.m＋n＝
B.若m＜n，则椭圆m2x2＋n2y2＝1的长轴长为2n
C.若均值EX＝4，则双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x
D.若均值EX＝4，则方差DX＝19
14.已知离散型随机变量X的分布列如下表，若EX＝0，DX＝1，则a＝　　　　，b＝　　　　.
X －1 0 1 2
P a b c
15.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5
P 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
商场经销一件该商品，顾客采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元.η表示经销一件该商品的利润.
（1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；
（2）求η的分布列、均值和方差.
16.已知A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列如下.
X1 5% 10%
P 0.8 0.2
X2 2% 8% 12%
P 0.2 0.5 0.3
（1）在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求DY1和DY2；
（2）用x（0≤x≤100）万元投资A项目，（100－x）万元投资B项目，f（x）表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差之和，求f（x）的最小值，并求出此时x的值.
3.2　离散型随机变量的方差
1.C　由题意，得Eξ＝（－1）×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，则Dξ＝（－1＋0.3）2×0.5＋（0＋0.3）2×0.3＋（1＋0.3）2×0.2＝0.61，＝.
2.A　由分布列的性质可知，＋＋a＝1，所以a＝，所以EX＝0×＋1×＋3×＝1，DX＝（0－1）2×＋（1－1）2×＋（3－1）2×＝1.
3.D　由X的分布列知，P（X＝0）＝1－p，P（X＝1）＝p，故EX＝0×（1－p）＋1×p＝p，DX＝p（1－p）.
4.A　EX＝1×＋2×＋3×＝2，∴DX＝×[（1－2）2＋（2－2）2＋（3－2）2]＝，∴D（3X＋5）＝9DX＝9×＝6.
5.ACD　因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；又EX＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，DX＝（0－2）2×0.1＋（1－2）2×0.4＋（2－2）2×0.1＋（3－2）2×0.2＋（4－2）2×0.2＝1.8，故C正确，B错误；因为Y＝2X＋1，所以EY＝2EX＋1＝5，DY＝4DX＝7.2，故D正确，故选A、C、D.
6.ABC　因为随机变量X服从两点分布，且P（X＝0）＝，所以P（X＝1）＝，EX＝0×＋1×＝，所以P（X＝1）＝EX，故A正确；E（4X＋1）＝4EX＋1＝4×＋1＝4，故B正确；DX＝×＋×＝，故C正确；D（4X＋1）＝42DX＝16×＝3，故D不正确.故选A、B、C.
7.0.5　解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则Dξ＝p（1－p），所以p（1－p）＝0.25，解得p＝0.5.
8.0.4　0.1　0.5　解析：由题意知，－p1＋p3＝0.1，1.21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89.又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5.
9.　　解析：随机变量X的所有可能的取值是0，1，并且P（X＝1）＝p，P（X＝0）＝1－p.从而EX＝0×（1－p）＋1×p＝p，DX＝（0－p）2×（1－p）＋（1－p）2·p＝p－p2＝－＋.∵0＜p＜1，∴当p＝时，DX取最大值，最大值是.
10.解：甲保护区的违规次数X的均值和方差分别为：
EX＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
DX＝（0－1.3）2×0.3＋（1－1.3）2×0.3＋（2－1.3）2×0.2＋（3－1.3）2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数Y的均值和方差分别为：
EY＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
DY＝（0－1.3）2×0.1＋（1－1.3）2×0.5＋（2－1.3）2×0.4＝0.41.
因为EX＝EY，DX＞DY，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高.
11.D　由题意得X的可能取值为0，1，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝3）＝＝，所以EX＝0×＋1×＋3×＝1，所以DX＝（0－1）2×＋（1－1）2×＋（3－1）2×＝1.故选D.
12.D　由题意知EX＝0×＋a×＋1×＝，因此，DX＝×＋×＋×＝[（a＋1）2＋（1－2a）2＋（a－2）2]＝（6a2－6a＋6）＝.当0＜a＜时，DX单调递减；当＜a＜1时，DX单调递增.即当a在（0，1）内增大时，DX先减小后增大.故选D.
13.ACD　对于选项A，由分布列的性质可得m＋n＝，所以A正确；对于选项B，若m＜n 则椭圆m2x2＋n2y2＝1的长轴长为，所以B不正确；对于选项C，EX＝5m＋10n＝4，又m＋n＝，所以m＝，n＝，所以双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x＝±x，所以C正确；对于选项D，DX＝（0－4）2×＋（5－4）2×＋（10－4）2×＝19，所以D正确.
14.　　解析：由题意知
解得
15.解：（1）∵A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，可知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，
∴P（）＝（1－0.2）3＝0.512，
∴P（A）＝1－P（）＝1－0.512＝0.488.
（2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列，对应于η的可能取值为200元，300元，400元，得到η对应的事件的概率，
P（η＝200）＝P（ξ＝1）＝0.2；
P（η＝300）＝P（ξ＝2）＋P（ξ＝3）＝0.3＋0.3＝0.6；
P（η＝400）＝P（ξ＝4）＋P（ξ＝5）＝0.1＋0.1＝0.2.
故η的分布列为
η 200 300 400
P 0.2 0.6 0.2
∴Eη＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300.
∴Dη＝（200－300）2×0.2＋（300－300）2×0.6＋（400－300）2×0.2＝4 000.
16.解：（1）EY1＝5%×100×0.8＋10%×100×0.2＝6，
DY1＝（5%×100－6）2×0.8＋（10%×100－6）2×0.2＝4.
EY2＝2%×100×0.2＋8%×100×0.5＋12%×100×0.3＝8，
DY2＝（2%×100－8）2×0.2＋（8%×100－8）2×0.5＋（12%×100－8）2×0.3＝12.
（2）f（x）＝D（Y1）＋D（Y2）＝（）2DY1＋（）2DY2＝[x2＋3（100－x）2]＝（4x2－600x＋3×1002）.
当x＝75时，f（x）取得最小值，最小值为3.
3 / 33.2　离散型随机变量的方差
新课程标准解读 核心素养
通过具体实例，理解离散型随机变量的方差，并能解决简单的实际问题 数学建模、数据分析、数学运算
　　甲、乙两名工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品中次品数分别用X，Y表示，X，Y的分布列如下：
次品数X 0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04
次品数Y 0 1 2 3
P 0.8 0.06 0.04 0.10
【问题】　如何比较甲、乙两人的技术水平？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　离散型随机变量的方差与标准差
1.方差的定义
若离散型随机变量X的分布列如下表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称DX＝E（X－EX）2＝　　　　　为随机变量X的方差，方差反映了随机变量的取值偏离于均值的　　　　　　.
提醒　方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中.
2.标准差
称DX的算术平方根　　　为随机变量X的标准差，记作σX.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.（　　）
（2）若a是常数，则Da＝0.（　　）
（3）离散型随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.（　　）
（4）若a，b为常数，则＝a.（　　）
2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值EX甲＝EX乙，方差分别为DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估计（　　）
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
3.已知随机变量X，DX＝，则X的标准差为　　　　.
题型一 求离散型随机变量的方差
【例1】　袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n＝1，2，3，4）.现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号.
（1）求ξ的分布列、均值和方差；
（2）若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值.
尝试解答
通性通法
1.求离散型随机变量方差的步骤
（1）理解随机变量X的意义，写出X的所有取值；
（2）求出X取每个值的概率；
（3）写出X的分布列；
（4）计算EX；
（5）计算DX.
2.线性关系的方差计算：若η＝aξ＋b，则Dη＝a2Dξ.
【跟踪训练】
1.设随机变量X的分布列如下表所示，若EX＝，则DX＝（　　）
X 1 2 3
P x y
A. B.
C. D.
2.已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ －1 0 1
P
（1）求Eξ，Dξ，；
（2）设η＝2ξ＋3，求Eη，Dη.
题型二 方差的实际应用
【例2】　有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度结果如下：
X 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
Y 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中，X，Y分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度（哪一个的稳定性较好）.
尝试解答
通性通法
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
（1）比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高；
（2）在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定；
（3）下结论：依据均值和方差的意义得出结论.
【跟踪训练】
最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案.
第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票.据分析预测：投资股市一年后可以获利40%，也可能亏损20%（只有这两种可能），且获利的概率为；
第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金.据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，；
第三种方案：李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为3%.
针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由.
题型三 分布列、均值、方差的综合应用
【例3】　甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为、.
（1）求第三次由乙投篮的概率；
（2）在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的分布列、均值及标准差.
尝试解答
通性通法
处理综合问题的方法
第一步：确定事件间的关系，是互斥、对立还是相互独立；
第二步：要依据事件间的关系，选择相应的概率公式，计算相应事件的概率；
第三步：列分布列，并计算均值及方差.
【跟踪训练】
有三张形状、大小、质地完全相同的卡片，在各卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝xy，求：
（1）X所取各值的分布列；
（2）随机变量X的均值与方差.
1.已知变量ξ，η的分布列如下，则（　　）
ξ 1 2 3
P
η 1 2 3
P
A.Eξ＜Eη，Dξ＜Dη
B.Eξ＜Eη，Dξ＞Dη
C.Eξ＜Eη，Dξ＝Dη
D.Eξ＝Eη，Dξ＝Dη
2.若X是离散型随机变量，P（X＝x1）＝，P（X＝x2）＝，且x1＜x2，若EX＝，DX＝，则x1＋x2＝（　　）
A.　　　 B.　　　 C.3　　　 D.
3.（多选）下列说法中错误的是（　　）
A.离散型随机变量X的均值EX反映了X取值的概率的平均值
B.离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的平均水平
C.离散型随机变量X的均值EX反映了X取值的平均水平
D.离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的概率的平均值
4.已知随机变量X，且D（10X）＝，则X的标准差为　　　　.
5.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P（ξ＝0）＝，Eξ＝1，则Dξ＝　　　　.
3.2　离散型随机变量的方差
【基础知识·重落实】
知识点
1.（xi－EX）2pi　平均程度　2.
自我诊断
1.（1）×　 （2）√　 （3）√　 （4）×
2.B　由EX甲＝EX乙，DX甲＞DX乙知B正确.
3.　解析：X的标准差＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
则Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
Dξ＝（0－1.5）2×＋（1－1.5）2×＋（2－1.5）2×＋（3－1.5）2×＋（4－1.5）2×＝2.75.
（2）由Dη＝a2Dξ，得a2×2.75＝11，得a＝±2.
又由Eη＝aEξ＋b，得1.5a＋b＝1，
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
所以或
跟踪训练
1.B　由随机变量分布列的性质得x＋y＝，由EX＝，得1×＋2x＋3y＝，解得x＝，y＝.∴DX＝×＋×＋×＝.
2.解：（1）Eξ＝（－1）×＋0×＋1×＝－，Dξ＝×＋×＋×＝，＝.
（2）Eη＝2Eξ＋3＝，Dη＝4Dξ＝.
【例2】　解：EX＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.
EY＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.
DX＝0.1×（110－125）2＋0.2×（120－125）2＋0.4×（125－125）2＋0.1×（130－125）2＋0.2×（135－125）2＝50.
DY＝0.1×（100－125）2＋0.2×（115－125）2＋0.4×（125－125）2＋0.1×（130－125）2＋0.2×（145－125）2＝165.
由此可得EX＝EY，DX＜DY，
故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲种材料的稳定性好.
跟踪训练
　解：若按方案一执行，设收益为ξ万元，则其分布列为
ξ 4 －2
P
ξ的均值Eξ＝4×＋（－2）×＝1（万元）.
若按方案二执行，设收益为η万元，则其分布列为
η 2 0 －1
P
η的均值Eη＝2×＋0×＋（－1）×＝1（万元）.
若按方案三执行，收益y＝10×3%＝0.3（万元），
因此Eξ＝Eη＞y.
又Dξ＝（4－1）2×＋（－2－1）2×＝9，
Dη＝（2－1）2×＋（0－1）2×＋（－1－1）2×＝.
由以上可知Dξ＞Dη.这说明虽然方案一、二收益均相等，但方案二更稳妥.所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理.
【例3】　解：（1）P＝×＋×＝.
（2）由题意，得X的所有可能取值为0，1，2，
P（X＝0）＝×＝.
P（X＝1）＝×＋×＝，
P（X＝2）＝×＝.
故X的分布列为
X 0 1 2
P
EX＝0×＋1×＋2×＝，
DX＝×＋×＋×＝.∴σX＝＝.
跟踪训练
　解：（1）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，4.
{X＝0}是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为P（X＝0）＝1－×＝，
{X＝1}是指两次取的卡片上都标着1，其概率为P（X＝1）＝×＝，
{X＝2}是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P（X＝2）＝2××＝，
{X＝4}是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P（X＝4）＝×＝.
则X的分布列为
X 0 1 2 4
P
（2）EX＝0×＋1×＋2×＋4×＝1，
DX＝（0－1）2×＋（1－1）2×＋（2－1）2×＋（4－1）2×＝.
随堂检测
1.C　Eξ＝1×＋2×＋3×＝，Dξ＝（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＝；Eη＝1×＋2×＋3×＝，Dη＝（1－）2×＋（2－）2×＋（3－）2×＝.∴Eξ＜Eη，Dξ＝Dη.
2.C　∵EX＝x1＋x2＝，∴x2＝4－2x1.又DX＝×＋×＝，x1＜x2，∴x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3.
3.ABD　EX反映了X取值的平均水平，DX反映了X取值的离散程度.
4.　解析：由题意可知D（10X）＝，即100DX＝，∴DX＝，∴＝.即X的标准差为.
5.　解析：设P（ξ＝1）＝a，P（ξ＝2）＝b，则解得所以Dξ＝1×＋×0＋×1＝.
4 / 4(共73张PPT)
3.2　
离散型随机变量的方差
新课程标准解读 核心素养
通过具体实例，理解离散型随机变量的方差，并
能解决简单的实际问题 数学建模、数据分
析、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　甲、乙两名工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产
100件产品中次品数分别用 X ， Y 表示， X ， Y 的分布列如下：
次品数 X 0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04
次品数 Y 0 1 2 3
P 0.8 0.06 0.04 0.10
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【问题】　如何比较甲、乙两人的技术水平？
知识点　离散型随机变量的方差与标准差
1. 方差的定义
若离散型随机变量 X 的分布列如下表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称 DX ＝ E （ X － EX ）2＝ 为随机变量 X 的
方差，方差反映了随机变量的取值偏离于均值的 .
（ xi － EX ）2 pi
平均程度　
提醒　方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的
取值越集中.
2. 标准差
称 DX 的算术平方根 为随机变量 X 的标准差，记作σ X .
　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定. （　×　）
（2）若 a 是常数，则 Da ＝0. （　√　）
（3）离散型随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的
平均程度. （　√　）
（4）若 a ， b 为常数，则 ＝ a . （　×　）
×
√
√
×
2. 有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本
均值 EX甲＝ EX乙，方差分别为 DX甲＝11， DX乙＝3.4.由此可以估计
（　　）
A. 甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B. 乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C. 甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D. 甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
解析：　由 EX甲＝ EX乙， DX甲＞ DX乙知B正确.
3. 已知随机变量 X ， DX ＝ ，则 X 的标准差为 　 　.
解析： X 的标准差 ＝ ＝ .
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求离散型随机变量的方差
【例1】　袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记
上 n 号的有 n 个（ n ＝1，2，3，4）.现从袋中任取一球，ξ表示所
取球的标号.
（1）求ξ的分布列、均值和方差；
解：ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
则 E ξ＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝1.5.
D ξ＝（0－1.5）2× ＋（1－1.5）2× ＋（2－1.5）2× ＋
（3－1.5）2× ＋（4－1.5）2× ＝2.75.
（2）若η＝ a ξ＋ b ， E η＝1， D η＝11，试求 a ， b 的值.
解：由 D η＝ a2 D ξ，得 a2×2.75＝11，得 a ＝±2.
又由 E η＝ aE ξ＋ b ，得1.5 a ＋ b ＝1，
所以当 a ＝2时，由1＝2×1.5＋ b ，得 b ＝－2；
当 a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋ b ，得 b ＝4.
所以或
通性通法
1. 求离散型随机变量方差的步骤
（1）理解随机变量 X 的意义，写出 X 的所有取值；
（2）求出 X 取每个值的概率；
（3）写出 X 的分布列；
（4）计算 EX ；
（5）计算 DX .
2. 线性关系的方差计算：若η＝ a ξ＋ b ，则 D η＝ a2 D ξ.
【跟踪训练】
1. 设随机变量 X 的分布列如下表所示，若 EX ＝ ，则 DX ＝（　　）
X 1 2 3
P x y
解析：　由随机变量分布列的性质得 x ＋ y ＝ ，由 EX ＝ ，得
1× ＋2 x ＋3 y ＝ ，解得 x ＝ ， y ＝ .∴ DX ＝ × ＋
× ＋ × ＝ .
2. 已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ －1 0 1
P
（1）求 E ξ， D ξ， ；
解：E ξ＝（－1）× ＋0× ＋1× ＝－ ， D ξ＝
× ＋ × ＋ × ＝ ， ＝ .
（2）设η＝2ξ＋3，求 E η， D η.
解：E η＝2 E ξ＋3＝ ， D η＝4 D ξ＝ .
题型二 方差的实际应用
【例2】　有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗
拉强度结果如下：
X 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
Y 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中， X ， Y 分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗
拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度（哪一个
的稳定性较好）.
解： EX ＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125.
EY ＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.
DX ＝0.1×（110－125）2＋0.2×（120－125）2＋0.4×（125－125）2
＋0.1×（130－125）2＋0.2×（135－125）2＝50.
DY ＝0.1×（100－125）2＋0.2×（115－125）2＋0.4×（125－125）2
＋0.1×（130－125）2＋0.2×（145－125）2＝165.
由此可得 EX ＝ EY ， DX ＜ DY ，
故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材
料甲，即甲种材料的稳定性好.
通性通法
利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
（1）比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值
的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一
下谁的平均水平高；
（2）在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取
值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下
谁的水平发挥相对稳定；
（3）下结论：依据均值和方差的意义得出结论.
【跟踪训练】
最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理
财，提出了三种方案.
第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应
该将10万元全部用来买股票.据分析预测：投资股市一年后可以
获利40%，也可能亏损20%（只有这两种可能），且获利的概率
为 ；
第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，
应将10万元全部用来买基金.据分析预测：投资基金一年后可能
获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生
的概率分别为 ， ， ；
第三种方案：李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，
应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为3%.
针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财
方案，并说明理由.
解：若按方案一执行，设收益为ξ万元，则其分布列为
ξ 4 －2
P
ξ的均值 E ξ＝4× ＋（－2）× ＝1（万元）.
若按方案二执行，设收益为η万元，则其分布列为
η 2 0 －1
P
η的均值 E η＝2× ＋0× ＋（－1）× ＝1（万元）.
若按方案三执行，收益 y ＝10×3%＝0.3（万元），
因此 E ξ＝ E η＞ y .
又 D ξ＝（4－1）2× ＋（－2－1）2× ＝9，
D η＝（2－1）2× ＋（0－1）2× ＋（－1－1）2× ＝ .
由以上可知 D ξ＞ D η.这说明虽然方案一、二收益均相等，但方
案二更稳妥.所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理.
题型三 分布列、均值、方差的综合应用
【例3】　甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投
篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的
概率分别为 、 .
（1）求第三次由乙投篮的概率；
解：P ＝ × ＋ × ＝ .
（2）在前3次投篮中，乙投篮的次数为 X ，求 X 的分布列、均值及标
准差.
解：由题意，得 X 的所有可能取值为0，1，2，
P （ X ＝0）＝ × ＝ .
P （ X ＝1）＝ × ＋ × ＝ ，
P （ X ＝2）＝ × ＝ .
故 X 的分布列为
X 0 1 2
P
EX ＝0× ＋1× ＋2× ＝ ，
DX ＝ × ＋ × ＋ × ＝ .∴σ X
＝ ＝ .
通性通法
处理综合问题的方法
第一步：确定事件间的关系，是互斥、对立还是相互独立；
第二步：要依据事件间的关系，选择相应的概率公式，计算相应事件
的概率；
第三步：列分布列，并计算均值及方差.
【跟踪训练】
有三张形状、大小、质地完全相同的卡片，在各卡片上分别写上0，
1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作 x ，然后放回，再抽取
一张，其上数字记作 y ，令 X ＝ xy ，求：
（1） X 所取各值的分布列；
解：由题意知，随机变量 X 的可能取值为0，1，2，4.
{ X ＝0}是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为 P （ X ＝
0）＝1－ × ＝ ，
{ X ＝1}是指两次取的卡片上都标着1，其概率为 P （ X ＝1）＝
× ＝ ，
{ X ＝2}是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率
为 P （ X ＝2）＝2× × ＝ ，
{ X ＝4}是指两次取的卡片上都标着2，其概率为 P （ X ＝4）＝
× ＝ .
则 X 的分布列为
X 0 1 2 4
P
（2）随机变量 X 的均值与方差.
解：EX ＝0× ＋1× ＋2× ＋4× ＝1，
DX ＝（0－1）2× ＋（1－1）2× ＋（2－1）2× ＋（4－1）
2× ＝ .
1. 已知变量ξ，η的分布列如下，则（　　）
ξ 1 2 3
P
η 1 2 3
P
A. E ξ＜ E η， D ξ＜ D η B. E ξ＜ E η， D ξ＞ D η
C. E ξ＜ E η， D ξ＝ D η D. E ξ＝ E η， D ξ＝ D η
解析：　 E ξ＝1× ＋2× ＋3× ＝ ， D ξ＝（1－ ）2× ＋
（2－ ）2× ＋（3－ ）2× ＝ ； E η＝1× ＋2× ＋3× ＝
， D η＝（1－ ）2× ＋（2－ ）2× ＋（3－ ）2× ＝
.∴ E ξ＜ E η， D ξ＝ D η.
2. 若 X 是离散型随机变量， P （ X ＝ x1）＝ ， P （ X ＝ x2）＝ ，且 x1
＜ x2，若 EX ＝ ， DX ＝ ，则 x1＋ x2＝（　　）
C. 3
解析：　∵ EX ＝ x1＋ x2＝ ，∴ x2＝4－2 x1.又 DX ＝
× ＋ × ＝ ， x1＜ x2，∴ x1＝1， x2＝2，∴ x1＋ x2＝3.
3. （多选）下列说法中错误的是（　　）
A. 离散型随机变量 X 的均值 EX 反映了 X 取值的概率的平均值
B. 离散型随机变量 X 的方差 DX 反映了 X 取值的平均水平
C. 离散型随机变量 X 的均值 EX 反映了 X 取值的平均水平
D. 离散型随机变量 X 的方差 DX 反映了 X 取值的概率的平均值
解析：　 EX 反映了 X 取值的平均水平， DX 反映了 X 取值的离
散程度.
4. 已知随机变量 X ，且 D （10 X ）＝ ，则 X 的标准差为 　　.
解析：由题意可知 D （10 X ）＝ ，即100 DX ＝ ，∴ DX ＝ ，
∴ ＝ .即 X 的标准差为 .
5. 随机变量ξ的取值为0，1，2.若 P （ξ＝0）＝ ， E ξ＝1，则 D ξ
＝ 　　.
解析：设 P （ξ＝1）＝ a ， P （ξ＝2）＝ b ，则解得
所以 D ξ＝1× ＋ ×0＋ ×1＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若随机变量ξ的分布列为：
ξ －1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
则 ＝（　　）
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解析：　由题意，得 E ξ＝（－1）×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－
0.3，则 D ξ＝（－1＋0.3）2×0.5＋（0＋0.3）2×0.3＋（1＋0.3）
2×0.2＝0.61， ＝ .
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2. 已知随机变量 X 的分布列如下：
X 0 1 3
P a
则 X 的方差 DX ＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 9
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解析：　由分布列的性质可知， ＋ ＋ a ＝1，所以 a ＝ ，所以
EX ＝0× ＋1× ＋3× ＝1， DX ＝（0－1）2× ＋（1－1）2×
＋（3－1）2× ＝1.
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3. 设随机变量 X 的概率分布列为 P （ X ＝ k ）＝ pk （1－ p ）1－ k （ k ＝
0，1），则 EX ， DX 的值分别是（　　）
A. 0和1 B. p 和 p2
C. p 和1－ p D. p 和（1－ p ） p
解析：　由 X 的分布列知， P （ X ＝0）＝1－ p ， P （ X ＝1）＝
p ，故 EX ＝0×（1－ p ）＋1× p ＝ p ， DX ＝ p （1－ p ）.
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4. 已知随机变量 X 的分布列为 P （ X ＝ k ）＝ ， k ＝1，2，3，则 D
（3 X ＋5）＝（　　）
A. 6 B. 9
C. 3 D. 4
解析：　 EX ＝1× ＋2× ＋3× ＝2，∴ DX ＝ ×[（1－2）2＋
（2－2）2＋（3－2）2]＝ ，∴ D （3 X ＋5）＝9 DX ＝9× ＝6.
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5. （多选）离散型随机变量 X 的分布列如下表，若离散型随机变量 Y
满足 Y ＝2 X ＋1，则下列结果正确的有（　　）
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
A. q ＝0.1 B. EX ＝2， DX ＝1.4
C. EX ＝2， DX ＝1.8 D. EY ＝5， DY ＝7.2
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解析：　因为 q ＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以 q ＝0.1，故A正
确；又 EX ＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2， DX ＝
（0－2）2×0.1＋（1－2）2×0.4＋（2－2）2×0.1＋（3－2）2×0.2
＋（4－2）2×0.2＝1.8，故C正确，B错误；因为 Y ＝2 X ＋1，所以
EY ＝2 EX ＋1＝5， DY ＝4 DX ＝7.2，故D正确，故选A、C、D.
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6. （多选）若随机变量 X 服从两点分布，其中 P （ X ＝0）＝ ， EX ，
DX 分别为随机变量 X 的均值与方差，则下列结论正确的是（　　）
A. P （ X ＝1）＝ EX B. E （4 X ＋1）＝4
D. D （4 X ＋1）＝4
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解析：　因为随机变量 X 服从两点分布，且 P （ X ＝0）＝ ，
所以 P （ X ＝1）＝ ， EX ＝0× ＋1× ＝ ，所以 P （ X ＝1）＝
EX ，故A正确； E （4 X ＋1）＝4 EX ＋1＝4× ＋1＝4，故B正确；
DX ＝ × ＋ × ＝ ，故C正确； D （4 X ＋1）＝
42 DX ＝16× ＝3，故D不正确.故选A、B、C.
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7. 若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试
验中发生的概率为 .
解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则 D ξ＝ p
（1－ p ），所以 p （1－ p ）＝0.25，解得 p ＝0.5.
0.5　
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8. 已知离散型随机变量 X 的可能取值为 x1＝－1， x2＝0， x3＝1，且
EX ＝0.1， DX ＝0.89，则对应 x1， x2， x3的概率 p1， p2， p3分别
为 ， ， .
解析：由题意知，－ p1＋ p3＝0.1，1.21 p1＋0.01 p2＋0.81 p3＝0.89.又
p1＋ p2＋ p3＝1，解得 p1＝0.4， p2＝0.1， p3＝0.5.
0.4　
0.1　
0.5　
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解析：随机变量 X 的所有可能的取值是0，1，并且 P （ X ＝1）＝
p ， P （ X ＝0）＝1－ p .从而 EX ＝0×（1－ p ）＋1× p ＝ p ， DX ＝
（0－ p ）2×（1－ p ）＋（1－ p ）2· p ＝ p － p2＝－ ＋
.∵0＜ p ＜1，∴当 p ＝ 时， DX 取最大值，最大值是 .
　
　
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10. 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种
类和数量也大致相等.两个保护区内每个季度发现违反保护条例的
事件次数的分布列分别为：
甲保护区：
X 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
乙保护区：
Y 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
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试评定这两个保护区的管理水平.
解：甲保护区的违规次数 X 的均值和方差分别为：
EX ＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
DX ＝（0－1.3）2×0.3＋（1－1.3）2×0.3＋（2－1.3）2×0.2＋
（3－1.3）2×0.2＝1.21.
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乙保护区的违规次数 Y 的均值和方差分别为：
EY ＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
DY ＝（0－1.3）2×0.1＋（1－1.3）2×0.5＋（2－1.3）2×0.4＝
0.41.
因为 EX ＝ EY ， DX ＞ DY ，所以两个保护区内每季度发生的平均
违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳
定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水
平较高.
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11. 编号为1，2，3的3位同学随意入座编号为1，2，3的3个座位，每
位同学坐一个座位，设编号与座位编号相同的学生个数是 X ，则 X
的方差为（　　）
D. 1
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解析：　由题意得 X 的可能取值为0，1，3， P （ X ＝0）＝ ＝
， P （ X ＝1）＝ ＝ ， P （ X ＝3）＝ ＝ ，所以 EX ＝0×
＋1× ＋3× ＝1，所以 DX ＝（0－1）2× ＋（1－1）2× ＋
（3－1）2× ＝1.故选D.
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12. 设0＜ a ＜1，随机变量 X 的分布列是
X 0 a 1
P
则当 a 在（0，1）内增大时， （　　）
A. DX 增大 B. DX 减小
C. DX 先增大后减小 D. DX 先减小后增大
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解析：　由题意知 EX ＝0× ＋ a × ＋1× ＝ ，因此， DX
＝ × ＋ × ＋ × ＝ [（ a ＋
1）2＋（1－2 a ）2＋（ a －2）2]＝ （6 a2－6 a ＋6）＝ .当0＜ a ＜ 时， DX 单调递减；当 ＜ a ＜1时， DX 单调递增.
即当 a 在（0，1）内增大时， DX 先减小后增大.故选D.
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13. （多选）已知离散型随机变量 X 的分布列为（　　）
X 0 5 10
P m n
其中 m ＞0， n ＞0，则下列选项正确的有（　　）
B. 若 m ＜ n ，则椭圆 m2 x2＋ n2 y2＝1的长轴长为2 n
D. 若均值 EX ＝4，则方差 DX ＝19
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解析：　对于选项A，由分布列的性质可得 m ＋ n ＝ ，所以
A正确；对于选项B，若 m ＜ n 则椭圆 m2 x2＋ n2 y2＝1的长轴长为
，所以B不正确；对于选项C， EX ＝5 m ＋10 n ＝4，又 m ＋ n ＝
，所以 m ＝ ， n ＝ ，所以双曲线 － ＝1的渐近线方程为 y
＝± x ＝± x ，所以C正确；对于选项D， DX ＝（0－4）2× ＋
（5－4）2× ＋（10－4）2× ＝19，所以D正确.
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14. 已知离散型随机变量 X 的分布列如下表，若 EX ＝0， DX ＝1，则 a
＝ 　 　， b ＝ 　 　.
X －1 0 1 2
P a b c
　
　
解析：由题意知解得
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15. 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的
分布列为
ξ 1 2 3 4 5
P 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
商场经销一件该商品，顾客采用1期付款，其利润为200元；分2期
或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元.η
表示经销一件该商品的利润.
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（1）求事件 A ：“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”
的概率 P （　 A 　）；
解：∵ A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位
采用1期付款”，可知 表示事件“购买该商品的3位顾客中无
人采用1期付款”，
∴ P （ ）＝（1－0.2）3＝0.512，
∴ P （ A ）＝1－ P （ ）＝1－0.512＝0.488.
A
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（2）求η的分布列、均值和方差.
解：根据顾客采用的付款期数ξ的分布列，对应于η
的可能取值为200元，300元，400元，得到η对应的事件
的概率，
P （η＝200）＝ P （ξ＝1）＝0.2；
P （η＝300）＝ P （ξ＝2）＋ P （ξ＝3）＝0.3＋0.3＝0.6；
P （η＝400）＝ P （ξ＝4）＋ P （ξ＝5）＝0.1＋0.1＝0.2.
故η的分布列为
1
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η 200 300 400
P 0.2 0.6 0.2
∴ E η＝200×0.2＋300×0.6＋400×0.2＝300.
∴ D η＝（200－300）2×0.2＋（300－300）2×0.6＋（400－
300）2×0.2＝4 000.
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16. 已知 A ， B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1和 X2.根据市
场分析， X1和 X2的分布列如下.
X1 5% 10%
P 0.8 0.2
X2 2% 8% 12%
P 0.2 0.5 0.3
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（1）在 A ， B 两个项目上各投资100万元， Y1和 Y2分别表示投资项
目 A 和 B 所获得的利润，求 DY1和 DY2；
解：EY1＝5%×100×0.8＋10%×100×0.2＝6，
DY1＝（5%×100－6）2×0.8＋（10%×100－6）2×0.2＝4.
EY2＝2%×100×0.2＋8%×100×0.5＋12%×100×0.3＝8，
DY2＝（2%×100－8）2×0.2＋（8%×100－8）2×0.5＋
（12%×100－8）2×0.3＝12.
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（2）用 x （0≤ x ≤100）万元投资 A 项目，（100－ x ）万元投
资 B 项目， f （ x ）表示投资 A 项目所得利润的方差与投
资 B 项目所得利润的方差之和，求 f （ x ）的最小值，并
求出此时 x 的值.
解：f （ x ）＝ D （ Y1）＋ D （ Y2）＝（ ）2
DY1＋（ ）2 DY2＝ [ x2＋3（100－ x ）2]＝ （4 x2
－600 x ＋3×1002）.
当 x ＝75时， f （ x ）取得最小值，最小值为3.
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