资源简介

4.2　超几何分布
1.盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是（　　）
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是（　　）
A.P（0＜X≤2） B.P（X≤1）
C.P（X＝1） D.P（X＝2）
3.一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任意抽取2件，则出现2件次品的概率为（　　）
A. B.
C. D.以上都不对
4.已知某10件产品中含有次品，从这10件产品中抽取2件进行检查，其次品数为ξ.若P（ξ＝1）＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（　　）
A.10% B.20%
C.30% D.40%
5.（多选）某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是（　　）
A.答对0题和答对3题的概率相同，都为
B.答对1题的概率为
C.答对2题的概率为
D.合格的概率为
6.（多选）在一个袋中装有大小一样的6个豆沙粽，4个咸肉粽，现从中任取4个粽子，设取出的4个粽子中咸肉粽的个数为X，则下列结论正确的是（　　）
A.P（X＝2）＝
B.随机变量X服从二项分布
C.随机变量X服从超几何分布
D.P（1＜X＜4）＝
7.一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，则其中所含白球个数的期望为　　　　.
8.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P（X＜2）＝　　　　，随机变量X的均值EX＝　　　　.
9.数学教师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是　　　　.
10.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.
（1）求ξ的分布列；
（2）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.
11.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P（X＝4）＝（　　）
A. B.
C. D.
12.（多选）一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台，如果从中随机挑选2台，下列说法正确的是（　　）
A.这2台电脑中A品牌台数为1的概率是
B.这2台电脑中A品牌台数为2的概率是
C.这2台电脑中至多有1台A品牌电脑的概率是
D.这2台电脑中至少有1台B品牌电脑的概率是
13.某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人.现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P（X＝1）＝　　　　.
14.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，则事件A发生的概率是　　　　；设X为选出的4人中种子选手的人数，则随机变量X的均值EX＝　　　　.
15.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
（2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
16.近日，某部门针对第三方移动支付在一家大型超市进行了顾客使用移动支付情况的调查.调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下数据：
年龄段 [20，30） [30，40） [40，50） [50，60]
使用移 动支付 45 40 25 15
不使用移 动支付 0 10 20 45
（1）现从这200人中随机依次抽取2人，已知在第1次抽到的人使用移动支付的条件下，求第2次抽到的人不使用移动支付的概率；
（2）在随机抽取的200人中对使用移动支付的人群采用分层随机抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查.再从这25人中随机选出3人颁发参与奖，设这3人中年龄在[40，50）之间的人数为X，求X的分布列及数学期望.
4.2　超几何分布
1.C　根据题意，得P＝＝.
2.B　本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率.
3.A　设抽到的次品数为X，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝5，n＝2.于是出现2件次品的概率为P（X＝2）＝＝.
4.B　设这10件产品中有n件次品，则P（ξ＝1）＝＝，即n2－10n＋16＝0，解得n＝2或n＝8.又该产品的次品率不超过40%，所以n≤4，所以n＝2，所以这10件产品的次品率为×100%＝20%.故选B.
5.CD　设此人答对题目的个数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，则答对0题和答对3题的概率相同，都为，故A错误；答对1题的概率为，故B错误；答对2题的概率为，故C正确；合格的概率P＝P（ξ＝2）＋P（ξ＝3）＝＋＝，故D正确.故选C、D.
6.ACD　由题意知，随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，所以P（1＜X＜4）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝＋＝，故A、D正确.故选A、C、D.
7.2　解析：根据题目知所含白球数X服从参数为10，4，5的超几何分布，即X～H（10，4，5），则EX＝＝＝2.
8.　　解析：X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，所以P（X＜2）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝＋＝＋＝，EX＝＝.
9.　解析：设X表示解答正确的题的个数，由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝＋＝.
10.解：（1）ξ可能取的值为0，1，2，服从参数为6，2，3的超几何分布，其分布列为P（ξ＝k）＝，k＝0，1，2.
所以P（ξ＝0）＝＝，
P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝.
如表：
ξ 0 1 2
P
（2）由（1）知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为P（ξ≤1）＝P（ξ＝0）＋P（ξ＝1）＝.
11.D　因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X＝4，即旧球增加1个，所以取出的3个球中必有1个新球，2个旧球，所以P（X＝4）＝＝，故选D.
12.AC　设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，X的可能取值为0，1，2，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，A正确，B错误.这2台电脑中至多有1台A品牌电脑的概率是P（X＝0）＋P（X＝1）＝，C正确.这2台电脑中至少有1台B品牌电脑的概率为＋＝，D错误.故选A、C.
13.　解析：易知P（X＝1）＝＝.
14.　　解析：由已知得P（A）＝＝，∴事件A发生的概率为.随机变量X服从参数为8，5，4的超几何分布，其分布列为P（X＝k）＝（k＝1，2，3，4）.
如表：
X 1 2 3 4
P
∴EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
15.解：（1）设事件“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1”为C，则P（C）＝＝.
（2）由题意知，X服从参数为N＝10，M＝4，n＝5的超几何分布，X可能的取值为0，1，2，3，4.
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝＝.
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2（或因为X服从超几何分布，则EX＝＝2）.
16.解：（1）记事件A表示第1次抽到的人使用移动支付，事件B表示第2次抽到的人不使用移动支付，
所以P（B｜A）＝＝＝.
（2）在年龄段[40，50）中抽取的人数为×25＝5，
则X的可能取值为0，1，2，3，
所以P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝（ 或EX＝＝3×＝）.
2 / 24.2　超几何分布
新课程标准解读 核心素养
通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题 数学抽象、数学建模、数据分析
　　在2022北京冬奥会期间，为了更好地做好后期服务保障，某医院派出16名护士，4名全科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去张家口赛区支援，设X表示其中全科医生的人数.
【问题】　这里的X的概率分布有怎样的规律？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　超几何分布
1.超几何分布的概念
一般地，设有N件产品，其中有M（M≤N）件次品，从中任取n（n≤N）件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P（X＝k）＝　　　　　　　，max{0，n－（N－M）}≤k≤min{n，M}.其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.
若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布.
2.超几何分布的均值
当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝　　　　.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）超几何分布是不放回抽样.（　　）
（2）超几何分布的总体中只有两类物品.（　　）
（3）超几何分布与二项分布的均值相同.（　　）
（4）超几何分布与二项分布没有任何联系.（　　）
2.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，用X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄数，则X服从超几何分布，其参数为（　　）
A.N＝15，M＝7，n＝10
B.N＝15，M＝10，n＝7
C.N＝22，M＝10，n＝7
D.N＝22，M＝7，n＝10
3.某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P（X＝3）＝　　　　.
题型一 超几何分布的概率模型辨析
【例1】　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由.
（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；
（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；
（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；
（4）某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；
（5）现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列.
尝试解答
通性通法
判断一个随机变量是否服从超几何分布的三个注意点
（1）总体是否可分为两类明确的对象；
（2）是否为不放回抽样；
（3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.
【跟踪训练】
1.（多选）下列随机变量中，服从超几何分布的有（　　）
A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品件数为X
B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的个数为随机变量X
D.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
2.（多选）有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，下面变量中服从超几何分布的有（　　）
A.X表示取出的最大号码
B.Y表示取出的最小号码
C.取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分
D.η表示取出的黑球个数
题型二 超几何分布的概率
【例2】　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列.
尝试解答
通性通法
求超几何分布的分布列的步骤
【跟踪训练】
1.一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为X，男生的人数为Y，则P（X＝2）＋P（Y＝2）＝（　　）
A.
B.
C.
D.
2.现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为.
（1）求7名学生中甲班的学生人数；
（2）设所选2名学生中甲班的学生人数为ξ，求ξ≥1的概率.
1.在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是（　　）
A.　　　　　　 B.
C. D.
2.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为（　　）
A. B.
C.1－ D.
3.（多选）下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是（　　）
A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C.某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
4.盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白球的个数为ξ，则Eξ＝　　　　　　　.
5.某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取　　　　时，对应的概率为.
　二项分布与超几何分布的区别
1.建立模型
袋子中有大小相同的N个球，其中有M个红球、N－M个白球，令p＝，设X表示摸出的n个球中红球的个数，则：
摸球方式 X的分布 EX DX
放回摸球 二项分布B（n，p） np np（1－p）
不放回 摸球 参数为N，n，M的超几何分布 np np（1－p）
2.二项分布与超几何分布的联系与区别
（1）由古典概型得出超几何分布，由独立重复试验得出二项分布，放回摸球是二项分布，不放回摸球是超几何分布；
（2）对于同一个模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，说明超几何分布中随机变量的取值更集中于均值附近；
（3）对于不放回摸球，当N充分大，且n远远小于N时，各次抽样结果彼此影响很小，可近似认为是独立的.此时，超几何分布可以用二项分布近似代替.从方差的角度看，由于≈1，两个分布的方差也近似相等；
（4）在确定分布列时，超几何分布必须同时知道N和M，而二项分布只需要知道p＝即可.
【例】　某批N件产品的次品率为1%，现在从中随机抽出2件进行检验，问：当N＝100，1 000，10 000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率各是多少？（精确到0.000 01）
尝试解答
4.2　超几何分布
【基础知识·重落实】
知识点
1.　2.
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）√　（4）×
2.A　由超几何分布的概念可知A正确.
3.　解析：P（X＝3）＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）（2）中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题.
（3）（4）符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布.
（5）中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题.
跟踪训练
1.ABD　依据超几何分布模型定义可知，A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布.
2.CD　超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n次的试验次数，由此可知C、D服从超几何分布.
【例2】　解：（1）由题意知，参加集训的男生、女生各有6人.
代表队中的学生全从B中学抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为＝.
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.
（2）根据题意，知X的所有的可能取值为1，2，3.
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝.
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
跟踪训练
1.C　由题意可知X，Y服从超几何分布，P（X＝2）＝，P（Y＝2）＝，所以P（X＝2）＋P（Y＝2）＝.故选C.
2.解：（1）设甲班的学生人数为M，则＝＝，
即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2（舍去）.
∴7名学生中甲班的学生共有3人.
（2）由题意可知，ξ服从超几何分布.
∴P（ξ ≥1）＝P（ξ＝1）＋p（ξ＝2）＝＋＝＋＝.
随堂检测
1.C　记X为抽取的2张中的中奖数，则P（X＝2）＝＝.
2.D　设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋.
3.ACD　由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布，故选A、C、D.
4.　解析：Eξ＝＝.
5.3　解析：由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的可以看出“从5名三好学生中选取了3名”.
拓视野　二项分布与超几何分布的区别
【例】　解：当N＝100时，若放回抽取，则是二项分布，抽到的2件产品中恰有1件次品的概率为×0.01×0.99＝0.019 80；若不放回抽取，则是超几何分布，100件产品中次品数为1，正品数是99，从100件产品里抽2件，恰有1件次品的概率为＝0.020 00.
当N＝1 000时，若放回抽取，则抽到的2件产品中恰有1件次品的概率为×0.01×0.99＝0.019 80；若不放回抽取，则从1 000件产品里抽2件，恰有1件次品的概率为≈0.019 82.
当N＝10 000时，若放回抽取，则抽到的2件产品中恰有1件次品的概率为×0.01×0.99＝0.019 80；若不放回抽取，则从10 000件产品里抽2件，恰有1件次品的概率为≈0.019 80.
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4.2　超几何分布
新课程标准解读 核心素养
通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能
解决简单的实际问题 数学抽象、数学建
模、数据分析
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在2022北京冬奥会期间，为了更好地做好后期服务保障，某医院
派出16名护士，4名全科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任
意选取3人去张家口赛区支援，设 X 表示其中全科医生的人数.
【问题】　这里的 X 的概率分布有怎样的规律？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　超几何分布
1. 超几何分布的概念
一般地，设有 N 件产品，其中有 M （ M ≤ N ）件次品，从中任取 n
（ n ≤ N ）件产品，用 X 表示取出的 n 件产品中次品的件数，那么 P
（ X ＝ k ）＝ ，max{0， n －（ N － M ）}≤ k ≤min{ n ，
M }.其中 n ≤ N ， M ≤ N ， n ， M ， N ∈N＋.
若一个随机变量 X 的分布列由上式确定，则称随机变量 X 服从参数
为 N ， M ， n 的超几何分布.
　
2. 超几何分布的均值
当随机变量 X 服从参数为 N ， M ， n 的超几何分布时，其均值为 EX
＝ .
　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）超几何分布是不放回抽样. （　√　）
（2）超几何分布的总体中只有两类物品. （　√　）
（3）超几何分布与二项分布的均值相同. （　√　）
（4）超几何分布与二项分布没有任何联系. （　×　）
√
√
√
×
2. 在15个村庄中有7个村庄交通不方便，用 X 表示任选10个村庄中交通
不方便的村庄数，则 X 服从超几何分布，其参数为（　　）
A. N ＝15， M ＝7， n ＝10 B. N ＝15， M ＝10， n ＝7
C. N ＝22， M ＝10， n ＝7 D. N ＝22， M ＝7， n ＝10
解析：　由超几何分布的概念可知A正确.
3. 某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某
种活动，用 X 表示4人中的团员人数，则 P （ X ＝3）＝ .
解析： P （ X ＝3）＝ ＝ .
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 超几何分布的概率模型辨析
【例1】　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由.
（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为 X ，求 X 的
分布列；
（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验
中发芽的种子的个数记为 X ，求 X 的分布列；
（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红
色的球的个数记为 X ，求 X 的分布列；
（4）某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活
动，班长必须参加，其中女生人数记为 X ，求 X 的分布列；
（5）现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不
合格的平板电脑的个数记为 X ，求 X 的分布列.
（3）（4）符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量 X 表示抽取 n 件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布.
（5）中没有给出不合格产品数，无法计算 X 的分布列，所
以不属于超几何分布问题.
解：（1）（2）中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题.
通性通法
判断一个随机变量是否服从超几何分布的三个注意点
（1）总体是否可分为两类明确的对象；
（2）是否为不放回抽样；
（3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.
【跟踪训练】
1. （多选）下列随机变量中，服从超几何分布的有（　　）
A. 在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取
到的次品件数为 X
B. 从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记 X 表示所取的2台彩电
中甲型彩电的台数
C. 一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的
个数为随机变量 X
D. 从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为 X
解析：　依据超几何分布模型定义可知，A、B、D中随机变量
X 服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随
机变量 X 不服从超几何分布.
2. （多选）有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4
个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，下面
变量中服从超几何分布的有（　　）
A. X 表示取出的最大号码
B. Y 表示取出的最小号码
C. 取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总
得分
D. η表示取出的黑球个数
解析：　超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几
何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生 n 次的试验次数，
由此可知C、D服从超几何分布.
题型二 超几何分布的概率
【例2】　某市 A ， B 两所中学的学生组队参加辩论赛， A 中学推荐了
3名男生、2名女生， B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的
学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随
机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
（1）求 A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；
解：由题意知，参加集训的男生、女生各有6人.
代表队中的学生全从 B 中学抽取（等价于 A 中学没有学生入选代
表队）的概率为 ＝ .
因此， A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－ ＝ .
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设 X 表示
参赛的男生人数，求 X 的分布列.
解：根据题意，知 X 的所有的可能取值为1，2，3.
P （ X ＝1）＝ ＝ ，
P （ X ＝2）＝ ＝ ，
P （ X ＝3）＝ ＝ .
所以 X 的分布列为
X 1 2 3
P
通性通法
求超几何分布的分布列的步骤
1. 一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班
级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为
X ，男生的人数为 Y ，则 P （ X ＝2）＋ P （ Y ＝2）＝（　　）
【跟踪训练】
解析：　由题意可知 X ， Y 服从超几何分布，
P （ X ＝2）＝ ， P （ Y ＝2）＝ ，所以 P （ X ＝2）＋ P
（ Y ＝2）＝ .故选C.
2. 现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为 .
（1）求7名学生中甲班的学生人数；
解：设甲班的学生人数为 M ，则 ＝ ＝ ，
即 M2－ M －6＝0，
解得 M ＝3或 M ＝－2（舍去）.
∴7名学生中甲班的学生共有3人.
（2）设所选2名学生中甲班的学生人数为ξ，求ξ≥1的概率.
解：由题意可知，ξ服从超几何分布.
∴ P （ξ ≥1）＝ P （ξ＝1）＋ p （ξ＝2）＝ ＋ ＝ ＋
＝ .
1. 在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概
率是（　　）
解析：　记 X 为抽取的2张中的中奖数，则 P （ X ＝2）＝ ＝
.
2. 从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是
A的概率为（　　）
解析：　设 X 为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则 P （ X ≥3）＝ P
（ X ＝3）＋ P （ X ＝4）＝ ＋ .
3. （多选）下列随机事件中的随机变量 X 不服从超几何分布的是（　）
A. 将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数 X
B. 从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选
出女生的人数为 X
C. 某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为 X
D. 盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回， X 是首次
摸出黑球时的总次数
解析：由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布，故选A、C、D.
4. 盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出
白球的个数为ξ，则 E ξ＝ .
解析： E ξ＝ ＝ .
　
5. 某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞
赛，用 X 表示这6人中“三好学生”的人数，则当 X 取 时，对应的概
率为 .
解析：由题意可知， X 服从超几何分布，由概率值中的 可以看出
“从5名三好学生中选取了3名”.
3　
1. 建立模型
袋子中有大小相同的 N 个球，其中有 M 个红球、 N － M 个白球，令
p ＝ ，设 X 表示摸出的 n 个球中红球的个数，则：
摸球方式 X 的分布 EX DX
放回摸球 二项分布 B （ n ， p ） np np （1－ p ）
不放回摸球 参数为 N ， n ， M 的超几何分布 np
　二项分布与超几何分布的区别
2. 二项分布与超几何分布的联系与区别
（1）由古典概型得出超几何分布，由独立重复试验得出二项分
布，放回摸球是二项分布，不放回摸球是超几何分布；
（2）对于同一个模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的
方差较小，说明超几何分布中随机变量的取值更集中于均
值附近；
（3）对于不放回摸球，当 N 充分大，且 n 远远小于 N 时，各次抽样
结果彼此影响很小，可近似认为是独立的.此时，超几何分布
可以用二项分布近似代替.从方差的角度看，由于 ≈1，两
个分布的方差也近似相等；
（4）在确定分布列时，超几何分布必须同时知道 N 和 M ，而二项
分布只需要知道 p ＝ 即可.
【例】　某批 N 件产品的次品率为1%，现在从中随机抽出2件
进行检验，问：当 N ＝100，1 000，10 000时，分别以放回和
不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率各是多少？（精
确到0.000 01）
解：当 N ＝100时，若放回抽取，则是二项分布，抽到的2件
产品中恰有1件次品的概率为 ×0.01×0.99＝0.019 80；若不
放回抽取，则是超几何分布，100件产品中次品数为1，正品
数是99，从100件产品里抽2件，恰有1件次品的概率为 ＝
0.020 00.
当 N ＝1 000时，若放回抽取，则抽到的2件产品中恰有1件次
品的概率为 ×0.01×0.99＝0.019 80；若不放回抽取，则从1
000件产品里抽2件，恰有1件次品的概率为 ≈0.019 82.
当 N ＝10 000时，若放回抽取，则抽到的2件产品中恰有1件次品的概率为 ×0.01×0.99＝0.019 80；若不放回抽取，则从10 000件产品里抽2件，恰有1件次品的概率为 ≈0.019 80.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个
红球的概率是（　　）
解析：　根据题意，得 P ＝ ＝ .
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2. 一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中
任取2个，其中白球的个数记为 X ，则下列概率等于 的是
（　　）
A. P （0＜ X ≤2） B. P （ X ≤1）
C. P （ X ＝1） D. P （ X ＝2）
解析：　本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球
或没有取到白球的概率.
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3. 一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任意抽
取2件，则出现2件次品的概率为（　　）
D. 以上都不对
解析：　设抽到的次品数为 X ，则 X 服从超几何分布，其中 N ＝
50， M ＝5， n ＝2.于是出现2件次品的概率为 P （ X ＝2）＝ ＝
.
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4. 已知某10件产品中含有次品，从这10件产品中抽取2件进行检查，
其次品数为ξ.若 P （ξ＝1）＝ ，且该产品的次品率不超过40%，则
这10件产品的次品率为（　　）
A. 10% B. 20%
C. 30% D. 40%
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解析：　设这10件产品中有 n 件次品，则 P （ξ＝1）＝ ＝
，即 n2－10 n ＋16＝0，解得 n ＝2或 n ＝8.又该产品的次品率不超
过40%，所以 n ≤4，所以 n ＝2，所以这10件产品的次品率为
×100%＝20%.故选B.
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5. （多选）某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的
5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2
题才算合格.则下列选项正确的是（　　）
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解析：　设此人答对题目的个数为ξ，则ξ＝0，1，2，3， P （ξ
＝0）＝ ＝ ， P （ξ＝1）＝ ＝ ， P （ξ＝2）＝ ＝
， P （ξ＝3）＝ ＝ ，则答对0题和答对3题的概率相同，都
为 ，故A错误；答对1题的概率为 ，故B错误；答对2题的概率
为 ，故C正确；合格的概率 P ＝ P （ξ＝2）＋ P （ξ＝3）＝ ＋
＝ ，故D正确.故选C、D.
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6. （多选）在一个袋中装有大小一样的6个豆沙粽，4个咸肉粽，现从
中任取4个粽子，设取出的4个粽子中咸肉粽的个数为 X ，则下列结
论正确的是（　　）
B. 随机变量 X 服从二项分布
C. 随机变量 X 服从超几何分布
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解析：　由题意知，随机变量 X 服从超几何分布，故B错误，C
正确； P （ X ＝2）＝ ＝ ， P （ X ＝3）＝ ＝ ，所以 P
（1＜ X ＜4）＝ P （ X ＝2）＋ P （ X ＝3）＝ ＋ ＝ ，故A、D
正确.故选A、C、D.
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7. 一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，则
其中所含白球个数的期望为 .
解析：根据题目知所含白球数 X 服从参数为10，4，5的超几何分
布，即 X ～ H （10，4，5），则 EX ＝ ＝ ＝2.
2　
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8. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若 X 表示取得次品的
个数，则 P （ X ＜2）＝ 　 　，随机变量 X 的均值 EX ＝ 　 　.
解析： X 表示取得次品的个数，则 X 服从超几何分布，所以 P （ X
＜2）＝ P （ X ＝0）＋ P （ X ＝1）＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，
EX ＝ ＝ .
　
　
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9. 数学教师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确
2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率
是 .
解析：设 X 表示解答正确的题的个数，由超几何分布的概率公式可
得，他能及格的概率是 P （ X ≥2）＝ P （ X ＝2）＋ P （ X ＝3）＝
＋ ＝ .
　
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10. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示
所选3人中女生的人数.
（1）求ξ的分布列；
解：ξ可能取的值为0，1，2，服从参数为6，2，3的超
几何分布，其分布列为 P （ξ＝ k ）＝ ， k ＝0，1，2.
所以 P （ξ＝0）＝ ＝ ，
P （ξ＝1）＝ ＝ ， P （ξ＝2）＝ ＝ .
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如表：
ξ 0 1 2
P
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（2）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.
解：由（1）知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为 P
（ξ≤1）＝ P （ξ＝0）＋ P （ξ＝1）＝ .
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11. 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球
来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则
P （ X ＝4）＝（　　）
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解析：　因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒
中旧球个数 X ＝4，即旧球增加1个，所以取出的3个球中必有1个新
球，2个旧球，所以 P （ X ＝4）＝ ＝ ，故选D.
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12. （多选）一批笔记本电脑共有10台，其中 A 品牌3台， B 品牌7台，
如果从中随机挑选2台，下列说法正确的是（　　）
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解析：　设挑选的2台电脑中 A 品牌的台数为 X ， X 的可能取值
为0，1，2，则 P （ X ＝0）＝ ＝ ， P （ X ＝1）＝ ＝
， P （ X ＝2）＝ ＝ ，A正确，B错误.这2台电脑中至多有
1台 A 品牌电脑的概率是 P （ X ＝0）＋ P （ X ＝1）＝ ，C正确.这
2台电脑中至少有1台 B 品牌电脑的概率为 ＋ ＝ ，D错
误.故选A、C.
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13. 某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活
动，这20人中年龄低于30岁的有5人.现从这20人中随机选取2人各
赠送一部手机，记 X 为选取的年龄低于30岁的人数，则 P （ X ＝
1）＝ .
解析：易知 P （ X ＝1）＝ ＝ .
　
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14. 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员
组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协
会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人
参加比赛.设 A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种
子选手来自同一个协会”，则事件 A 发生的概率是 ；设 X 为选
出的4人中种子选手的人数，则随机变量 X 的均值 EX ＝ .
　
　
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解析：由已知得 P （ A ）＝ ＝ ，∴事件 A 发生的概率
为 .随机变量 X 服从参数为8，5，4的超几何分布，其分布列为 P
（ X ＝ k ）＝ （ k ＝1，2，3，4）.
如表：
X 1 2 3 4
P
∴ EX ＝1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ .
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15. 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人
的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一
组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两
组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6
名男志愿者 A1， A2， A3， A4， A5， A6和4名女志愿者 B1， B2，
B3， B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心
理暗示.
（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的概率；
解：设事件“接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不
包含 B1”为 C ，则 P （ C ）＝ ＝ .
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（2）用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列
与数学期望 EX .
解：由题意知， X 服从参数为 N ＝10， M ＝4， n ＝5的
超几何分布， X 可能的取值为0，1，2，3，4.
P （ X ＝0）＝ ＝ ， P （ X ＝1）＝ ＝ ，
P （ X ＝2）＝ ＝ ， P （ X ＝3）＝ ＝ ，
P （ X ＝4）＝ ＝ .
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X 0 1 2 3 4
P
数学期望 EX ＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝2
（或因为 X 服从超几何分布，则 EX ＝ ＝2）.
因此 X 的分布列为
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16. 近日，某部门针对第三方移动支付在一家大型超市进行了顾客使
用移动支付情况的调查.调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随
机抽取了200人，得到如下数据：
年龄段 [20，30） [30，40） [40，50） [50，60]
使用移动支付 45 40 25 15
不使用移动支付 0 10 20 45
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（1）现从这200人中随机依次抽取2人，已知在第1次抽到的人使
用移动支付的条件下，求第2次抽到的人不使用移动支付的
概率；
解：记事件 A 表示第1次抽到的人使用移动支付，事件
B 表示第2次抽到的人不使用移动支付，
所以 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝ .
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（2）在随机抽取的200人中对使用移动支付的人群采用分层随机
抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查.再从这25人中随机
选出3人颁发参与奖，设这3人中年龄在[40，50）之间的人数
为 X ，求 X 的分布列及数学期望.
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解：在年龄段[40，50）中抽取的人数为 ×25＝5，
则 X 的可能取值为0，1，2，3，
所以 P （ X ＝0）＝ ＝ ，
P （ X ＝1）＝ ＝ ， P （ X ＝2）＝ ＝ ，
P （ X ＝3）＝ ＝ ，
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X 0 1 2 3
P
故 EX ＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝
（ 或 EX ＝ ＝3× ＝ ）.
则 X 的分布列为
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谢 谢 观 看！

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