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培优课　概率模型问题
1.设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件数，则P（X＝1）＝（　　）
A.　　　　　 　　　　 B.
C. D.
2.已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X＞－2）＝0.8，则P（－2＜X＜4）＝（　　）
A.0.6 B.0.4
C.0.2 D.0.9
3.已知随机变量X服从二项分布B（12，p），若E（2X－3）＝5，则D（3X）＝（　　）
A. B.8
C.12 D.24
4.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得的白球数为X，已知EX＝3，则DX＝（　　）
A. B.
C. D.
5.某市环保局举办“六·五世界环境日”宣传活动，进行现场抽奖.抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有环保会徽或绿色环保标志.参加者每次从盒中抽取2张卡片，若抽到2张都是印有绿色环保标志的即可获奖.已知从盒中抽2张都印有环保会徽的概率是.现有甲、乙、丙、丁4人依次抽奖，抽后放回另一人再抽，用ζ表示获奖的人数，则P（ζ＞2）＝（　　）
A. B.
C. D.
6.设随机变量M服从正态分布，且函数f（x）＝x2－6x＋M没有零点的概率为，函数g（x）＝2x2－4x＋2M有两个零点的概率为，若P（M＞m）＝，则m＝（　　）
A.17 B.10
C.9 D.不能确定
7.（多选）下列说法中正确的是（　　）
A.设随机变量X服从二项分布B，则P（X＝3）＝
B.已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2）且P（X＜4）＝0.9，则P（0＜X＜2）＝0.4
C.E（2X＋3）＝2EX＋3，D（2X＋3）＝2DX＋3
D.已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝x，P（ξ＝1）＝1－x，若0＜x＜，则Eξ随着x的增大而减小，Dξ随着x的增大而增大
8.（多选）已知随机变量X～N（μ，σ2），函数f（x）＝（x∈R），则（　　）
A.当x＝μ时，f（x）取得最大值
B.曲线y＝f（x）关于直线x＝μ对称
C.x轴是曲线y＝f（x）的渐近线
D.曲线y＝f（x）与x轴之间的面积小于1
9.（多选）某中学组织了足球射门比赛.规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得8分，没踢进得－4分.小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立.记X为小明的得分总和，ζ为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（　　）
A.Eζ＝
B.P（X＝4）＝（）4×（1－）
C.EX＝20
D.DX＝
10.袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝　　　　，Eξ＝　　　　.
11.已知服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量在区间（μ－σ，μ＋σ），（μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）内取值的概率分别为0.683，0.954，0.997.若某种袋装大米的质量X（单位：kg）服从正态分布N（50，0.01），任意选一袋这种大米，质量在49.8～50.1 kg的概率为　　　　.
12.某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组.游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和为4的称为“神投小组”，获得2次“神投小组”的队员可以结束训练.已知甲、乙两名队员每次投进篮球的概率分别为p1，p2，若p1＋p2＝1，在游戏中，甲、乙两名队员想结束训练，理论上他们小组要进行　　　　轮游戏才行.
13.为促进消费者消费，某超市举行“有奖促销抽奖活动”，所有购物的顾客，以收银台机打发票为准，尾数为偶数（尾数中的奇偶数随机出现）的顾客，可以获得三次抽奖机会，三次抽奖获得奖品的概率分别为，，，每次中奖都可以获得一份奖品，且每次抽奖是否中奖互不影响.
（1）求顾客获得两个奖品的概率；
（2）若3位购物的顾客，没有获奖的人数记为X，求X的分布列与均值.
14.我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.
（1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10 nm的有4个.现从这7个零件中随机抽取3个.记ξ表示取出的零件中直径大于10 nm的零件的个数，求ξ的分布列及均值Eξ；
（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数η超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及η的方差；
（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径X～N（9，0.04），从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4 nm的概率.
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（｜X－μ｜≤σ）≈0.682 6，P（｜X－μ｜≤2σ）≈0.954 4，P（｜X－μ｜≤3σ）≈0.997 4，0.977 210≈0.794 0，0.954 410≈0.627 1.
培优课　概率模型问题
1.A　由题意，P（X＝1）＝＝，故选A.
2.A　因为P（X＞－2）＝0.8，所以P（X≤－2）＝1－P（X＞－2）＝0.2，所以P（－2＜X＜4）＝1－2P（X≤－2）＝0.6，故选A.
3.D　随机变量X服从二项分布B（12，p），EX＝12p，因为E（2X－3）＝2EX－3＝24p－3＝5，所以p＝.因为DX＝12××（1－）＝，所以D（3X）＝9DX＝24.故选D.
4.B　由题意，知X～B（5，），所以EX＝5×＝3，解得m＝2，所以X～B（5，），所以DX＝5××（1－）＝.故选B.
5.A　设盒中装有10张大小相同的精美卡片，其中印有环保会徽的有n张，印有绿色环保标志的有10－n张，由题意，得＝，所以n＝6.所以参加者每次从盒中抽取2张卡片，获奖的概率P＝＝，则ζ～B（4，），所以P（ζ＞2）＝P（ζ＝3）＋P（ζ＝4）＝×（）3×＋×（）4＝，故选A.
6.A　因为函数f（x）＝x2－6x＋M没有零点，所以36－4M＜0，解得M＞9，又因随机变量M服从正态分布，且P（M＞9）＝，所以正态曲线关于x＝9对称，因为函数g（x）＝2x2－4x＋2M有两个零点，所以16－16M≥0，解得M≤1，则P（M≤1）＝，又P（M＞m）＝，所以1与m关于x＝9对称，所以m＝17.故选A.
7.ABD　设随机变量X服从二项分布B，则P（X＝3）＝·＝，A正确；∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），∴正态曲线的对称轴是x＝2.∵P（X＜4）＝0.9，∴P（0＜X＜4）＝0.8，∴P（0＜X＜2）＝P（2＜X＜4）＝0.4，B正确；E（2X＋3）＝2EX＋3，D（2X＋3）＝4DX，故C不正确；由题意可知，Eξ＝1－x，Dξ＝x（1－x）＝－x2＋x，由一次函数和二次函数的性质知，当0＜x＜时，Eξ随着x的增大而减小，Dξ随着x的增大而增大，故D正确.
8.ABC　因为随机变量X～N（μ，σ2），函数f（x）＝（x∈R），所以f（x）的对称轴为x＝μ，且当x＝μ时，f（x）取最大值为e0＝，故A、B正确；根据正态分布的曲线可得，x轴是渐近线，且曲线y＝f（x）与x轴之间的面积等于1，故C正确，D错误，故选A、B、C.
9.AC　由题意可知ζ～B（5，），则X＝8ζ－4（5－ζ）＝12ζ－20，∴Eζ＝5×＝，Dζ＝5××（1－）＝，故A正确；令12ζ－20＝4，则ζ＝2，∴P（X＝4）＝P（ζ＝2）＝×（）2×（1－）3，故B错误；EX＝12Eζ－20＝12×－20＝20，故C正确；DX＝122Dζ＝122×＝160，故D错误.故选A、C.
10.1　　解析：由题意可得，P（ξ＝2）＝＝＝，化简得（m＋n）2＋7（m＋n）－60＝0，得m＋n＝5，取出的两个球一红一黄的概率P＝＝＝，解得m＝3，故n＝2.所以m－n＝1，易知ξ的所有可能取值为0，1，2，且P（ξ＝2）＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝0）＝＝，所以Eξ＝0×＋1×＋2×＝.
11.0.818 5　解析：根据题意得到质量在49.8 kg到50.2 kg之间的大米的概率为0.954，则小于49.8 kg的大米的概率为＝0.023；质量在49.9 kg到50.1 kg之间的大米的概率为0.683，故质量大于50.1 kg的大米的概率为＝0.158 5.故质量在49.8～50.1 kg的大米的概率为1－0.158 5－0.023＝0.818 5.
12.32　解析：依题意，甲、乙组队获得“神投小组”的概率p＝，而p1＋p2＝1，则有p1p2≤（）2＝，当且仅当p1＝p2＝时取“＝”，因此，pmax＝，因甲、乙在一轮游戏中有获得“神投小组”和没有获得“神投小组”两个结果，则甲、乙在n轮游戏中获得“神投小组”次数ξ满足ξ～B（n，p），（np）max＝，甲、乙两名队员想结束训练，他们必获得2次“神投小组”称号，即＝2，解得n＝32，所以甲、乙两名队员想结束训练，理论上他们小组要进行32轮游戏才行.
13.解：（1）顾客获得两个奖品的概率为×（××＋××＋××）＝.
（2）1个顾客没有获奖的概率为×（××）＋＝，
所以X～B（3，），则X的可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝×（）0×（）3＝，
P（X＝1）＝×（）1×（）2＝，
P（X＝2）＝×（）2×（）1＝，
P（X＝3）＝×（）3×（）0＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以EX＝3×＝.
14.解：（1）由题意，可知ξ可取的值为0，1，2，3，则有
P（ξ＝0）＝＝，
P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，
P（ξ＝3）＝＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
从而ξ的均值Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
（2）η可取的值为0，1，2，3，4，5，6，则有
P（η＝4）＝（）4（）2＝，
P（η＝5）＝（）5（）＝，
P（η＝6）＝（）6＝.
所以技术攻坚成功的概率P（η≥4）＝P（η＝4）＋P（η＝5）＋P（η＝6）＝，
因为η～B（6，），所以η的方差Dη＝6××（1－）＝.
（3）由X～N（9，0.04），则可知σ＝0.2，
由于P（｜X－μ｜≤2σ）≈0.954 4，则P（8.6＜X＜9.4）≈0.954 4，
所以P（9＜X＜9.4）＝P（8.6＜X＜9.4）≈0.477 2，
所以P（X≥9.4）＝－P（9＜X＜9.4）≈0.022 8，
则P（X≤9.4）＝1－P（X≥9.4）≈0.977 2，
记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4 nm”为事件A，
则P（A）＝1－P（）≈1－0.977 210≈1－0.794 0＝0.206.
故至少有一个零件直径大于9.4 nm的概率为0.206.
2 / 3　概率模型问题
题型一 相互独立事件的概率问题
【例1】　某射击小组的甲、乙、丙三名射手分别对同一目标射击1次，已知甲击中目标的概率是，甲、丙二人都没有击中目标的概率是，乙、丙二人都击中目标的概率是.甲、乙、丙是否击中目标相互独立.
（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；
（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X，求X的分布列和均值.
尝试解答
通性通法
以相互独立事件为背景的概率问题的解题思路
第一步：确定随机变量的所有可能值；
第二步：求每一个可能值对应的概率；
第三步：列出离散型随机变量的分布列；
第四步：求均值和方差；
第五步：反思回顾、查看关键点、易错点和答题规范.
【跟踪训练】
为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分.根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为；现记“该选手在回答完n个问题后的总得分为Sn”.
（1）求S6＝20且Si≥0（i＝1，2，3）的概率；
（2）记X＝｜S5｜，求X的分布列，并计算均值EX.
题型二 二项分布的概率问题
【例2】　某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：
（1）求ξ＝2时的概率；
（2）求ξ的均值.
尝试解答
通性通法
以二项分布为背景的概率问题的解题思路
第一步：根据题意设出随机变量；
第二步：分析随机变量服从二项分布；
第三步：找到参数n，p；
第四步：写出二项分布的概率表达式；
第五步：求解相关概率.
【跟踪训练】
快到采摘季节了，某果农发现自家果园里的某种果实每颗的重量有一定的差别，故随机采摘了100颗，分别称出它们的重量（单位：克），并以每10克为一组进行分组，发现它们分布在区间[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]内，据此画得频率分布直方图如下：
（1）求a的值，并据此估计这批果实的70%分位数；
（2）若重量在[5，15]（单位：克）的果实不为此次采摘对象，则从果园里随机选择3颗果实，其中不是此次采摘对象的颗数为X，求X的分布列和均值.
题型三 正态分布的概率问题
【例3】　天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分.为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格.经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标ξ服从正态分布N（90，100），航天员在此项指标中的要求为ξ≥110.某学校共有2 000名学生.为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动.学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔.假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立.
（1）设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；
（2）请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）.以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值.
参考数值：P（μ－σ＜X≤μ＋σ）≈0.682 6，P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）≈0.954 4，P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）≈0.997 4.
尝试解答
通性通法
以正态分布为背景的概率问题的解题思路
第一步：明确正态变量X；
第二步：确定参数μ，σ的值；
第三步：将待求问题向（μ－σ，μ＋σ]，（μ－2σ，μ＋2σ]，（μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；
第四步：利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果.
【跟踪训练】
在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N（80，52），现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？
题型四 超几何分布的概率问题
【例4】　某商场进行抽奖活动.已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其他完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色.现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为X.
（1）若取球过程是无放回的，求事件{X＝2}的概率；
（2）若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及均值EX.
尝试解答
通性通法
以超几何分布为背景的概率问题的解题思路
第一步：确定参数N，M，n的值；
第二步：明确随机变量的所有可能取值，并求出随机变量取每一个值时对应的概率；
第三步：列出分布列，求均值与方差.
【跟踪训练】
某大学生志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列.
培优课　概率模型问题
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A，B，C，则P（A）＝，
且有
即
解得
所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为，.
（2）由题意，X的可能取值为0，1，2，
P（X＝2）＝；P（X＝0）＝P（）P（）＝×＝，
P（X＝1）＝1－P（X＝0）－P（X＝2）＝.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
EX＝0×＋1×＋2×＝，
所以X的均值为.
跟踪训练
　解：（1）当S6＝20时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个.若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第3个问题回答正确，则其余3个问题可任意回答正确2个.
故所求概率为P＝（）2××（）2×（）2＋××××（）2×＝.
（2）由X＝｜S5｜可知X的取值为10，30，50.
P（X＝30）＝（）4（）1＋（）1（）4＝，P（X＝50）＝（）5＋（）5＝，
P（X＝10）＝1－P（X＝30）－P（X＝50）＝.
故X的分布列为
X 10 30 50
P
EX＝10×＋30×＋50×＝.
【例2】　解：（1）依题意知，{ξ＝2}表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是，
故ξ＝2时的概率
P（ξ＝2）＝＝.
（2）法一　依题意知ξ～B（4，），其分布列为P（ξ＝k）＝（k＝0，1，2，3，4）.
如表：
ξ 0 1 2 3 4
P
∴Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
法二　∵ξ服从二项分布，即ξ～B，∴Eξ＝4×＝.
跟踪训练
　解：（1）因为频率分布直方图的组距为10，
所以落在区间[5，15]，（15，25]，（35，45]上的频率分别为0.20，0.32，0.18，
所以a＝＝0.030.
因为落在区间[5，25]上的频率为0.20＋0.32＝0.52，
而落在区间[5，35]上的频率为0.20＋0.32＋0.30＝0.82，
所以70%分位数落在区间（25，35]之间，
设为x，则0.52＋（x－25）×0.03＝0.70，
解得x＝31，
所以估计70%分位数为31.
（2）由（1）知，重量落在[5，15]的频率为0.2，由样本估计总体得其概率为0.2，
因为X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），
则P（X＝0）＝（）3＝，
P（X＝1）＝××（）2＝，
P（X＝2）＝×（）2×＝，
P（X＝3）＝×（）3＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以X的均值EX＝0＋＋＋＝（或EX＝3×＝）.
【例3】　解：（1）X的所有可能取值为1，2，3，4，
P（X＝1）＝，P（X＝2）＝×＝，P（X＝3）＝××＝，P（X＝4）＝××＝.
∴X的分布列为
X 1 2 3 4
P
EX＝＋＋＋＝.
（2）P（ξ≥110）＝P（ξ≥μ＋2σ）≈＝0.022 8.
∴符合该项指标的学生人数为2 000×0.022 8＝45.6≈46.
每个学生通过选拔的概率为×××＝，
∴最终通过学校选拔人数Y～B（46，），
∴EY＝46×＝.
跟踪训练
　解：∵成绩服从正态分布N（80，52），
∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
∴成绩在[75，85]内的同学占全班同学的68.26%，成绩在[80，85]内的同学占全班同学的34.13%.
设该班有x名同学，则x×34.13%＝17，解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在[70，90]内的同学占全班同学的95.44%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%.
即有50×2.28%≈1（人），即成绩在90分以上的仅有1人.
【例4】　解：（1）根据超几何分布可知，P（X＝2）＝＝.
（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3且X～B（3，），它的分布列为
P（X＝k）＝（）k（）3－k，k＝0，1，2，3，
分布列如表所示：
X 0 1 2 3
P
EX＝3×＝.
跟踪训练
　解：（1）设A表示“选出的3名同学是来自互不相同的学院”，则P（A）＝＝.
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
（2）依题意知随机变量X服从参数为10，4，3的超几何分布，其分布列为
P（X＝k）＝（k＝0，1，2，3），
如表：
X 0 1 2 3
P
3 / 3(共65张PPT)
培优课　概率模型问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 相互独立事件的概率问题
【例1】　某射击小组的甲、乙、丙三名射手分别对同一目标射击1
次，已知甲击中目标的概率是 ，甲、丙二人都没有击中目标的概率
是 ，乙、丙二人都击中目标的概率是 .甲、乙、丙是否击中目标相
互独立.
（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；
解：设甲、乙、丙击中目标分别记为事件 A ， B ， C ，则 P
（ A ）＝ ，且有
即 解得
所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为 ， .
（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为 X ，求 X 的分布列和均值.
解：由题意， X 的可能取值为0，1，2，
P （ X ＝2）＝ ； P （ X ＝0）＝ P （ ） P （ ）＝ × ＝ ，
P （ X ＝1）＝1－ P （ X ＝0）－ P （ X ＝2）＝ .
所以随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2
P
EX ＝0× ＋1× ＋2× ＝ ，
所以 X 的均值为 .
通性通法
以相互独立事件为背景的概率问题的解题思路
第一步：确定随机变量的所有可能值；
第二步：求每一个可能值对应的概率；
第三步：列出离散型随机变量的分布列；
第四步：求均值和方差；
第五步：反思回顾、查看关键点、易错点和答题规范.
【跟踪训练】
为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节
目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记
正10分，否则记负10分.根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题
的概率均为 ；现记“该选手在回答完 n 个问题后的总得分为 Sn ”.
（1）求 S6＝20且 Si ≥0（ i ＝1，2，3）的概率；
解：当 S6＝20时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个.
若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确
2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第3个
问题回答正确，则其余3个问题可任意回答正确2个.
故所求概率为 P ＝（ ）2× ×（ ）2×（ ）2＋ × × ×
×（ ）2× ＝ .
（2）记 X ＝｜ S5｜，求 X 的分布列，并计算均值 EX .
解：由 X ＝｜ S5｜可知 X 的取值为10，30，50.
P （ X ＝30）＝ （ ）4（ ）1＋ （ ）1（ ）4＝ ， P
（ X ＝50）＝ （ ）5＋ （ ）5＝ ，
P （ X ＝10）＝1－ P （ X ＝30）－ P （ X ＝50）＝ .
故 X 的分布列为
X 10 30 50
P
EX ＝10× ＋30× ＋50× ＝ .
题型二 二项分布的概率问题
【例2】　某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿
灯，每盏灯出现红灯的概率都是 ，出现绿灯的概率都是 .记这4盏灯
中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：
（1）求ξ＝2时的概率；
解：依题意知，{ξ＝2}表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有
2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是 ，
故ξ＝2时的概率 P （ξ＝2）＝ ＝ .
（2）求ξ的均值.
解：法一　依题意知ξ～ B （4， ），其分布列为 P （ξ＝
k ）＝ （ k ＝0，1，2，3，4）.
如表：
ξ 0 1 2 3 4
P
∴ E ξ＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＝ .
法二　∵ξ服从二项分布，即ξ～ B ，
∴ E ξ＝4× ＝ .
通性通法
以二项分布为背景的概率问题的解题思路
第一步：根据题意设出随机变量；
第二步：分析随机变量服从二项分布；
第三步：找到参数 n ， p ；
第四步：写出二项分布的概率表达式；
第五步：求解相关概率.
【跟踪训练】
快到采摘季节了，某果农发现自家果园里的某种果实每颗的重量
有一定的差别，故随机采摘了100颗，分别称出它们的重量（单
位：克），并以每10克为一组进行分组，
发现它们分布在区间[5，15]，（15，25]，
（25，35]，（35，45]内，据此画得频
率分布直方图如下：
（1）求 a 的值，并据此估计这批果实的70%分位数；
解：因为频率分布直方图的组距为10，
所以落在区间[5，15]，（15，25]，（35，45]上的频率分别为0.20，0.32，0.18，
所以 a ＝ ＝0.030.
因为落在区间[5，25]上的频率为0.20＋0.32＝0.52，
而落在区间[5，35]上的频率为0.20＋0.32＋0.30＝0.82，
所以70%分位数落在区间（25，35]之间，
设为 x ，则0.52＋（ x －25）×0.03＝0.70，解得 x ＝31，
所以估计70%分位数为31.
（2）若重量在[5，15]（单位：克）的果实不为此次采摘对象，则从
果园里随机选择3颗果实，其中不是此次采摘对象的颗数为 X ，
求 X 的分布列和均值.
解：由（1）知，重量落在[5，15]的频率为0.2，由样本估计总体得其概率为0.2，因为 X 的所有可能取值为0，1，2，3，且 X ～ B （3， ），
则 P （ X ＝0）＝ （ ）3＝ ，
P （ X ＝1）＝ × ×（ ）2＝ ，
P （ X ＝2）＝ ×（ ）2× ＝ ，
P （ X ＝3）＝ ×（ ）3＝ ，
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以 X 的均值 EX ＝0＋ ＋ ＋ ＝ （或 EX ＝3× ＝ ）.
题型三 正态分布的概率问题
【例3】　天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国
空间站的重要组成部分.为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要
求非常严格.经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标
ξ服从正态分布 N （90，100），航天员在此项指标中的要求为ξ≥110.
某学校共有2 000名学生.为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了
航天员的模拟选拔活动.学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要
求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到
下一个环节的选拔.假设学生通过每个环节的概率均为 ，且相互独立.
（1）设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为 X ，
请计算 X 的分布列与数学期望；
解：X 的所有可能取值为1，2，3，4，
P （ X ＝1）＝ ， P （ X ＝2）＝ × ＝ ， P （ X ＝3）＝ ×
× ＝ ， P （ X ＝4）＝ × × ＝ .
∴ X 的分布列为
X 1 2 3 4
P
EX ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ .
（2）请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）.以该人数为参
加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数 Y 的
期望值.
参考数值： P （μ－σ＜ X ≤μ＋σ）≈0.682 6， P （μ－2σ＜ X ≤μ＋
2σ）≈0.954 4， P （μ－3σ＜ X ≤μ＋3σ）≈0.997 4.
解：P （ξ≥110）＝ P （ξ≥μ＋2σ）≈ ＝0.022 8.
∴符合该项指标的学生人数为2 000×0.022 8＝45.6≈46.
每个学生通过选拔的概率为 × × × ＝ ，
∴最终通过学校选拔人数 Y ～ B （46， ），
∴ EY ＝46× ＝ .
通性通法
以正态分布为背景的概率问题的解题思路
第一步：明确正态变量 X ；
第二步：确定参数μ，σ的值；
第三步：将待求问题向（μ－σ，μ＋σ]，（μ－2σ，μ＋2σ]，（μ－3σ，
μ＋3σ]这三个区间进行转化；
第四步：利用 X 在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与 x 轴
之间的面积为1求出最后结果.
【跟踪训练】
在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布 N （80，52），现
在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的
同学有多少人？
解：∵成绩服从正态分布 N （80，52），
∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
∴成绩在[75，85]内的同学占全班同学的68.26%，成绩在[80，85]内
的同学占全班同学的34.13%.
设该班有 x 名同学，则 x ×34.13%＝17，解得 x ≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在[70，90]内的同学占全班同学的95.44%，成绩在90分以上的
同学占全班同学的2.28%.
即有50×2.28%≈1（人），即成绩在90分以上的仅有1人.
题型四 超几何分布的概率问题
【例4】　某商场进行抽奖活动.已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其
他完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色.现从抽奖箱中一个一个
地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为 X .
（1）若取球过程是无放回的，求事件{ X ＝2}的概率；
解：根据超几何分布可知， P （ X ＝2）＝ ＝ .
（2）若取球过程是有放回的，求 X 的概率分布列及均值 EX .
解：随机变量 X 的可能取值为0，1，2，3且 X ～ B （3，
），它的分布列为
P （ X ＝ k ）＝ （ ） k （ ）3－ k ， k ＝0，1，2，3，
分布列如表所示：
X 0 1 2 3
P
EX ＝3× ＝ .
通性通法
以超几何分布为背景的概率问题的解题思路
第一步：确定参数 N ， M ， n 的值；
第二步：明确随机变量的所有可能取值，并求出随机变量取每一个值
时对应的概率；
第三步：列出分布列，求均值与方差.
【跟踪训练】
某大学生志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名
同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的
七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教
活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
解：设 A 表示“选出的3名同学是来自互不相同的学院”，则
P （ A ）＝ ＝ .
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为 .
（2）设 X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列.
解：依题意知随机变量 X 服从参数为10，4，3的超几何分
布，其分布列为
P （ X ＝ k ）＝ （ k ＝0，1，2，3），
如表：
X 0 1 2 3
P
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以 X 表
示取出的3件中的不合格的件数，则 P （ X ＝1）＝（　　）
解析：　由题意， P （ X ＝1）＝ ＝ ，故选A.
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2. 已知随机变量 X ～ N （1，σ2），且 P （ X ＞－2）＝0.8，则 P （－2
＜ X ＜4）＝（　　）
A. 0.6 B. 0.4
C. 0.2 D. 0.9
解析：　因为 P （ X ＞－2）＝0.8，所以 P （ X ≤－2）＝1－ P （ X
＞－2）＝0.2，所以 P （－2＜ X ＜4）＝1－2 P （ X ≤－2）＝0.6，
故选A.
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3. 已知随机变量 X 服从二项分布 B （12， p ），若 E （2 X －3）＝5，
则 D （3 X ）＝（　　）
B. 8
C. 12 D. 24
解析：　随机变量 X 服从二项分布 B （12， p ）， EX ＝12 p ，因
为 E （2 X －3）＝2 EX －3＝24 p －3＝5，所以 p ＝ .因为 DX ＝12×
×（1－ ）＝ ，所以 D （3 X ）＝9 DX ＝24.故选D.
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4. 从装有除颜色外完全相同的3个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取
一球，有放回地摸取5次，设摸得的白球数为 X ，已知 EX ＝3，则
DX ＝（　　）
解析：　由题意，知 X ～ B （5， ），所以 EX ＝5× ＝3，
解得 m ＝2，所以 X ～ B （5， ），所以 DX ＝5× ×（1－ ）＝ .
故选B.
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5. 某市环保局举办“六·五世界环境日”宣传活动，进行现场抽奖.抽奖
规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有环保
会徽或绿色环保标志.参加者每次从盒中抽取2张卡片，若抽到2张都
是印有绿色环保标志的即可获奖.已知从盒中抽2张都印有环保会徽
的概率是 .现有甲、乙、丙、丁4人依次抽奖，抽后放回另一人再
抽，用ζ表示获奖的人数，则 P （ζ＞2）＝（　　）
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解析：　设盒中装有10张大小相同的精美卡片，其中印有环保会
徽的有 n 张，印有绿色环保标志的有10－ n 张，由题意，得 ＝
，所以 n ＝6.所以参加者每次从盒中抽取2张卡片，获奖的概率 P
＝ ＝ ，则ζ～ B （4， ），所以 P （ζ＞2）＝ P （ζ＝3）＋ P
（ζ＝4）＝ ×（ ）3× ＋ ×（ ）4＝ ，故选A.
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6. 设随机变量 M 服从正态分布，且函数 f （ x ）＝ x2－6 x ＋ M 没有零
点的概率为 ，函数 g （ x ）＝2 x2－4 x ＋2 M 有两个零点的概率为
，若 P （ M ＞ m ）＝ ，则 m ＝（　　）
A. 17 B. 10
C. 9 D. 不能确定
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解析：　因为函数 f （ x ）＝ x2－6 x ＋ M 没有零点，所以36－4 M
＜0，解得 M ＞9，又因随机变量 M 服从正态分布，且 P （ M ＞9）
＝ ，所以正态曲线关于 x ＝9对称，因为函数 g （ x ）＝2 x2－4 x ＋
2 M 有两个零点，所以16－16 M ≥0，解得 M ≤1，则 P （ M ≤1）＝
，又 P （ M ＞ m ）＝ ，所以1与 m 关于 x ＝9对称，所以 m ＝17.故
选A.
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7. （多选）下列说法中正确的是（　　）
B. 已知随机变量 X 服从正态分布 N （2，σ2）且 P （ X ＜4）＝0.9，则
P （0＜ X ＜2）＝0.4
C. E （2 X ＋3）＝2 EX ＋3， D （2 X ＋3）＝2 DX ＋3
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解析：　设随机变量 X 服从二项分布 B ，则 P （ X ＝3）
＝ · ＝ ，A正确；∵随机变量 X 服从正态分布 N
（2，σ2），∴正态曲线的对称轴是 x ＝2.∵ P （ X ＜4）＝0.9，∴ P
（0＜ X ＜4）＝0.8，∴ P （0＜ X ＜2）＝ P （2＜ X ＜4）＝0.4，B
正确； E （2 X ＋3）＝2 EX ＋3， D （2 X ＋3）＝4 DX ，故C不正
确；由题意可知， E ξ＝1－ x ， D ξ＝ x （1－ x ）＝－ x2＋ x ，由一次
函数和二次函数的性质知，当0＜ x ＜ 时， E ξ随着 x 的增大而减
小， D ξ随着 x 的增大而增大，故D正确.
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8. （多选）已知随机变量 X ～ N （μ，σ2），函数 f （ x ）＝
（ x ∈R），则（　　）
B. 曲线 y ＝ f （ x ）关于直线 x ＝μ对称
C. x 轴是曲线 y ＝ f （ x ）的渐近线
D. 曲线 y ＝ f （ x ）与 x 轴之间的面积小于1
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解析：　因为随机变量 X ～ N （μ，σ2），函数 f （ x ）＝
（ x ∈R），所以 f （ x ）的对称轴为 x ＝μ，且当 x
＝μ时， f （ x ）取最大值为 e0＝ ，故A、B正确；根据正态
分布的曲线可得， x 轴是渐近线，且曲线 y ＝ f （ x ）与 x 轴之间的面
积等于1，故C正确，D错误，故选A、B、C.
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9. （多选）某中学组织了足球射门比赛.规定每名同学有5次射门机
会，踢进一球得8分，没踢进得－4分.小明参加比赛且没有放弃任何
一次射门机会，每次踢进的概率为 ，每次射门相互独立.记 X 为小
明的得分总和，ζ为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（　）
C. EX ＝20
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解析：　由题意可知ζ～ B （5， ），则 X ＝8ζ－4（5－ζ）＝12ζ
－20，∴ E ζ＝5× ＝ ， D ζ＝5× ×（1－ ）＝ ，故A正确；
令12ζ－20＝4，则ζ＝2，∴ P （ X ＝4）＝ P （ζ＝2）＝ ×（ ）
2×（1－ ）3，故B错误； EX ＝12 E ζ－20＝12× －20＝20，故C
正确； DX ＝122 D ζ＝122× ＝160，故D错误.故选A、C.
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10. 袋中有4个红球， m 个黄球， n 个绿球.现从中任取两个球，记取出
的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为 ，一红一黄的
概率为 ，则 m － n ＝ ， E ξ＝ 　 　.
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解析：由题意可得， P （ξ＝2）＝ ＝
＝ ，化简得（ m ＋ n ）2＋7（ m ＋ n ）－60＝0，得 m ＋ n ＝5，取
出的两个球一红一黄的概率 P ＝ ＝ ＝ ，解得 m ＝3，故
n ＝2.所以 m － n ＝1，易知ξ的所有可能取值为0，1，2，且 P （ξ＝
2）＝ ， P （ξ＝1）＝ ＝ ， P （ξ＝0）＝ ＝ ，所以 E ξ
＝0× ＋1× ＋2× ＝ .
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11. 已知服从正态分布 N （μ，σ2）的随机变量在区间（μ－σ，μ＋
σ），（μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）内取值的概率分别为
0.683，0.954，0.997.若某种袋装大米的质量 X （单位：kg）服从正
态分布 N （50，0.01），任意选一袋这种大米，质量在49.8～50.1
kg的概率为 .
0.818 5　
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解析：根据题意得到质量在49.8 kg到50.2 kg之间的大米的概率为
0.954，则小于49.8 kg的大米的概率为 ＝0.023；质量在49.9
kg到50.1 kg之间的大米的概率为0.683，故质量大于50.1 kg的大米
的概率为 ＝0.158 5.故质量在49.8～50.1 kg的大米的概率为1
－0.158 5－0.023＝0.818 5.
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12. 某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小
组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组.游戏规则：
每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的
次数之和为4的称为“神投小组”，获得2次“神投小组”的队员可以结
束训练.已知甲、乙两名队员每次投进篮球的概率分别为 p1， p2，
若 p1＋ p2＝1，在游戏中，甲、乙两名队员想结束训练，理论上他
们小组要进行 轮游戏才行.
32　
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解析：依题意，甲、乙组队获得“神投小组”的概率 p ＝ ，而
p1＋ p2＝1，则有 p1 p2≤（ ）2＝ ，当且仅当 p1＝ p2＝ 时取
“＝”，因此， pmax＝ ，因甲、乙在一轮游戏中有获得“神投小组”
和没有获得“神投小组”两个结果，则甲、乙在 n 轮游戏中获得“神
投小组”次数ξ满足ξ～ B （ n ， p ），（ np ）max＝ ，甲、乙两名
队员想结束训练，他们必获得2次“神投小组”称号，即 ＝2，解
得 n ＝32，所以甲、乙两名队员想结束训练，理论上他们小组要进
行32轮游戏才行.
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13. 为促进消费者消费，某超市举行“有奖促销抽奖活动”，所有购物的
顾客，以收银台机打发票为准，尾数为偶数（尾数中的奇偶数随
机出现）的顾客，可以获得三次抽奖机会，三次抽奖获得奖品的
概率分别为 ， ， ，每次中奖都可以获得一份奖品，且每次抽
奖是否中奖互不影响.
（1）求顾客获得两个奖品的概率；
解：顾客获得两个奖品的概率为 ×（ × × ＋ ×
× ＋ × × ）＝ .
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（2）若3位购物的顾客，没有获奖的人数记为 X ，求 X 的分布列与
均值.
解：1个顾客没有获奖的概率为 ×（ × × ）＋ ＝ ，
所以 X ～ B （3， ），则 X 的可能取值为0，1，2，3，
P （ X ＝0）＝ ×（ ）0×（ ）3＝ ，
P （ X ＝1）＝ ×（ ）1×（ ）2＝ ，
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P （ X ＝2）＝ ×（ ）2×（ ）1＝ ，
P （ X ＝3）＝ ×（ ）3×（ ）0＝ ，
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以 EX ＝3× ＝ .
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14. 我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居
世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业
改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对
现有生产设备进行技术攻坚突破.
（1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10 nm的有4个.
现从这7个零件中随机抽取3个.记ξ表示取出的零件中直径大
于10 nm的零件的个数，求ξ的分布列及均值 E ξ；
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解：由题意，可知ξ可取的值为0，1，2，3，则有
P （ξ＝0）＝ ＝ ，
P （ξ＝1）＝ ＝ ，
P （ξ＝2）＝ ＝ ，
P （ξ＝3）＝ ＝ .
故ξ的分布列为
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ξ 0 1 2 3
P
从而ξ的均值 E ξ＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .
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（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为 ，每个零件是
否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数η
超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及
η的方差；
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解：η可取的值为0，1，2，3，4，5，6，则有
P （η＝4）＝ （ ）4（ ）2＝ ，
P （η＝5）＝ （ ）5（ ）＝ ，
P （η＝6）＝（ ）6＝ .
所以技术攻坚成功的概率 P （η≥4）＝ P （η＝4）＋ P （η＝
5）＋ P （η＝6）＝ ，
因为η～ B （6， ），
所以η的方差 D η＝6× ×（1－ ）＝ .
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（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径 X ～ N （9，0.04），从
生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4
nm的概率.
参考数据：若 X ～ N （μ，σ2），则 P （｜ X －μ｜≤σ）≈0.682
6， P （｜ X －μ｜≤2σ）≈0.954 4， P （｜ X －μ｜≤3σ）≈0.997
4，0.977 210≈0.794 0，0.954 410≈0.627 1.
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解：由 X ～ N （9，0.04），
则可知σ＝0.2，
由于 P （｜ X －μ｜≤2σ）≈0.954 4，
则 P （8.6＜ X ＜9.4）≈0.954 4，
所以 P （9＜ X ＜9.4）＝ P （8.6＜ X ＜9.4）≈0.477 2，
所以 P （ X ≥9.4）＝ － P （9＜ X ＜9.4）≈0.022 8，
则 P （ X ≤9.4）＝1－ P （ X ≥9.4）≈0.977 2，
记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大
于9.4 nm”为事件 A ，
则 P （ A ）＝1－ P （ ）≈1－0.977 210≈1－0.794 0＝0.206.
故至少有一个零件直径大于9.4 nm的概率为0.206.
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