资源简介

5　正态分布
1.关于正态分布N（μ，σ2），下列说法正确的是（　　）
A.随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B.随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C.随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件
D.随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件
2.已知随机变量X服从正态分布N（a，4），且P（X＞1）＝0.5，则实数a的值为（　　）
A.1　　　　　　　　　 B.
C.2 D.4
3.已知随机变量X的正态密度函数为φ（x）＝（x∈R），则其均值和标准差分别是（　　）
A.0和8 B.0和4
C.0和2 D.0和1
4.某人乘车从A地到B地，所需时间X（单位：min）服从正态分布N（30，100），则此人在40 min至50 min到达目的地的概率为（　　）
A.0.135 9 B.0.271 6
C.0.954 4 D.0.682 6
5.（多选）已知甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，），N（μ2，），其正态曲线如图所示，则（　　）
A.乙类水果质量的均值比甲类水果质量的均值小
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量分布更集中
C.甲类水果质量的均值比乙类水果质量的均值小
D.乙类水果的质量比甲类水果的质量分布更集中
6.（多选）随机变量X服从正态分布N（90，52），则下列结论正确的是（　　）
A.EX＝90
B.DX＝5
C.P（X＞100）＝P（X＜80）
D.P（X≥90）＝
7.已知正态分布落在区间（0.2，＋∞）内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f（x）在x＝　　　　时达到最高点.
8.设随机变量X～N（4，σ2），且P（4＜X＜8）＝0.3，则P（X＜0）＝　　　　.
9.已知随机变量X～N（2，σ2），若P（X＞5）＝0.1，则P（2＜X＜5）＝　　　　，若某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（1，22），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，5）内的概率为　　　　.
10.已知某地农民工年均收入X服从正态分布，其正态曲线如图所示.
（1）写出此地农民工年均收入的密度函数解析式；
（2）求此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比.
11.某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X（单位：mm）服从正态分布X～N（100，1）.现加工10个螺栓的尺寸（单位：mm）如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2，101.1，98.8，100.4，100.0，X～N（μ，σ2），有P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）≈0.954，P（μ－3σ＜X＜μ＋3σ）≈0.997.根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为（　　）
A.　 　B.　 　C.　 　D.
12.设随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，则μ＝（　　）
A.1 B.2
C.4 D.不能确定
13.（多选）若随机变量ξ～N（0，1），φ（m）＝P（ξ≤m），其中m＞0，则下列等式成立的是（　　）
A.φ（－m）＝1－φ（m）
B.φ（2m）＝2φ（m）
C.P（｜ξ｜＜m）＝2φ（m）－1
D.P（｜ξ｜＞m）＝2－φ（m）
14.对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn～N，为使误差εn在（－0.5，0.5）的概率不小于0.954 4，至少要测量　　　　次（若X～N（μ，σ2），则P（｜X－μ｜＜2σ）＝0.954 4）.
15.已知随机变量X～N（μ，σ2），且其正态曲线在（－∞，80）上上升，在（80，＋∞）上下降，且P（72＜X≤88）＝0.682 6.
（1）求参数μ，σ的值；
（2）求P（64＜X≤72）.
16.已知随机变量X服从正态分布X～N（10，σ2），P（X＞12）＝m，P（8≤X≤10）＝n，求＋的最小值.
5　正态分布
1.D　∵P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 4，∴P（X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ）＝1－P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈1－0.997 4＝0.002 6，∴随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件.
2.A　因为随机变量X服从正态分布N（a，4），所以P（X＞a）＝0.5.由P（X＞1）＝0.5，可知a＝1.
3.C　将所给函数解析式与正态密度函数的解析式对照可得μ＝0，σ＝2.
4.A　由题意，得μ＝30，σ＝10，因为P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 6，所以此人在20 min至40 min到达目的地的概率约为0.682 6.又P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 4，所以此人在10 min至50 min到达目的地的概率约为0.954 4.由正态曲线关于直线x＝30对称，知此人在40 min至50 min到达目的地的概率约为×（0.954 4－0.682 6）＝0.135 9.
5.BC　由图象可知，甲类水果质量的均值μ1＝0.4，乙类水果质量的均值μ2＝0.8，且σ1＜σ2，则B、C正确，A、D不正确，故选B、C.
6.ACD　由随机变量X服从正态分布N（90，52），得正态曲线的对称轴为直线x＝μ＝90，如图所示，则EX＝90，故A正确；标准差为5，方差为25，故B错误；由正态曲线的对称性得P（X＞100）＝P（X＜80），P（X≥90）＝，故C、D正确.
7.0.2　解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间（0.2，＋∞）内的概率为0.5，得μ＝0.2.
8.0.2　解析：正态密度曲线关于直线x＝4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于在8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2.
9.0.4　0.135 9　解析：由随机变量X～N（2，σ2），得对称轴方程为x＝2，∵P（X＞5）＝0.1，∴P（2＜X＜5）＝0.5－P（X＞5）＝0.4.设长度误差为随机变量ξ，由正态分布N（1，22），得P（－1＜ξ＜3）≈0.682 6，P（－3＜ξ＜5）≈0.954 4，∴P（3＜ξ＜5）＝
≈＝0.135 9.
10.解：设此地农民工年均收入X～N（μ，σ2），结合题图可知，μ＝8 000，σ＝500.
（1）此地农民工年均收入的密度函数解析式为φ（x）＝，x∈R.
（2）∵P（7 500≤X≤8 500）＝P（8 000－500≤X≤8 000＋500）≈0.682 6，
∴P（8 000≤X≤8 500）＝P（7 500≤X≤8 500）≈0.341 3＝34.13%.
故此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比为34.13%.
11.B　10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间（97，103）内，∴工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修的概率为＝.
12.C　因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，由Δ＝16－4ξ＜0，得ξ＞4，即P（ξ＞4）＝＝1－P（ξ≤4），故P（ξ≤4）＝，所以μ＝4.
13.AC　∵随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），∴正态曲线如图所示.∵φ（m）＝P（ξ≤m），m＞0，∴φ（－m）＝P（ξ≥m）＝1－φ（m），∴A正确；φ（2m）＝P（ξ≤2m），2φ（m）＝2P（ξ≤m），∴φ（2m）≠2φ（m），故B错误；P（｜ξ｜＜m）＝P（－m＜ξ＜m）＝1－2φ（－m）＝1－2[1－φ（m）]＝2φ（m）－1，∴C正确；P（｜ξ｜＞m）＝P（ξ＞m或ξ＜－m）＝1－φ（m）＋φ（－m）＝1－φ（m）＋1－φ（m）＝2－2φ（m），∴D错误.故选A、C.
14.32　解析：根据正态曲线的对称性知：要使误差εn在（－0.5，0.5）的概率不小于0.954 4，则（μ－2σ，μ＋2σ） （－0.5，0.5）且μ＝0，σ＝，所以0.5≥2 n≥32.
15.解：（1）由于正态曲线在（－∞，80）上上升，在（80，＋∞）上下降，所以正态曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80.又P（72＜X≤88）＝0.682 6.
结合P（μ－σ＜X≤μ＋σ）＝0.682 6，可知σ＝8.
（2）因为P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）＝P（64＜X≤96）＝0.954 4.
又因为P（X≤64）＝P（X＞96），所以P（X≤64）＝×（1－0.954 4）＝×0.045 6＝0.022 8.
所以P（X＞64）＝0.977 2.
又P（X≤72）＝[1－P（72＜X≤88）]＝×（1－0.682 6）＝0.158 7，所以P（X＞72）＝0.841 3，
P（64＜X≤72）＝P（X＞64）－P（X＞72）＝0.135 9.
16.解：依题意，知μ＝10，根据正态曲线的对称性及X在区间（－∞，＋∞）上的概率为1，知2×P（X＞12）＋2×P（8≤X≤10）＝2m＋2n＝1，又m＞0，n＞0，所以＋＝×（2m＋2n）＝2≥6＋4＝6＋4，当且仅当＝，即n＝m时，等号成立.
2 / 25　正态分布
新课程标准解读 核心素养
1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.通过实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征 数学抽象、直观想象
2.了解正态分布的均值、方差及其含义 数学建模、数学运算
高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上就印有高斯的头像和正态分布曲线.
【问题】　你知道什么是正态分布吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　正态分布
1.正态分布与正态曲线
（1）由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图，对应的分布密度函数解析式为φμ，σ（x）＝，x∈（－∞，＋∞），其中实数μ，σ（σ＞0）为参数，这一类随机变量X的　　　　　　称为正态分布密度（函数），简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线；
（2）若X～N（μ，σ2），则EX＝　　　，DX＝　　　.
2.正态曲线的性质
（1）曲线在　　　轴的上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，关于直线　　　　对称；
（3）曲线的最高点位于　　　　处；
（4）当x＜μ时，曲线　　　　；当x＞μ时，曲线　　　　；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线.
【想一想】
若随机变量X～N（μ，σ2），则X是离散型随机变量吗？
知识点二　3σ原则
1.假设X～N（μ，σ2），可以证明：对给定的k∈N＋，P（μ－kσ＜X≤μ＋kσ）是一个只与k有关的定值.特别地，
P（μ－σ＜X≤μ＋σ）≈0.682 6，
P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）≈0.954 4，
P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）≈0.997 4.
2.在实际应用中，通常认为服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取区间（μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，并称之为3σ原则.
【想一想】
怎样正确理解在3σ原则下小概率事件（一般情况下，指发生的概率小于0.3%的事件）是否能够发生？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）正态曲线中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差.（　　）
（2）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的.（　　）
（3）正态曲线可以关于直线x＝0对称.（　　）
（4）若X～N（μ，σ2），则P（X＜μ）＝.（　　）
2.设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c＋1）＝P（ξ＜c－1），则c＝（　　）
A.1　　　　　　　 B.2
C.3 D.4
3.在正态分布N中，数据落在（－2，2]内的概率为　　　　.
题型一 正态密度曲线的概念与性质
【例1】　（1）（多选）一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是（　　）
A.甲科总体的标准差最小
B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大
D.甲、乙、丙总体的平均数不相同
（2）已知正态曲线的函数解析式为φ（x）＝（x∈R），则均值为μ＝　　 　，σ＝　　 　.
尝试解答
通性通法
由正态曲线确定均值与方差的方法
　　正态分布的两个重要参数是μ与σ2，μ刻画了随机变量取值的平均水平，σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数，因此我们由正态曲线的形状与位置可比较参数的大小，反之利用参数之间的大小关系，也可以确定正态曲线的形状与位置.
【跟踪训练】
（多选）下面关于正态曲线的4个叙述中，正确的有（　　）
A.曲线在x轴上方，且与x轴不相交
B.当x＞μ时，曲线下降，当x＜μ时，曲线上升
C.当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中
D.曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点
题型二 利用正态分布的性质求概率
【例2】　设ξ～N（1，22），试求：
（1）P（－1≤ξ≤3）；
（2）P（3≤ξ≤5）.
尝试解答
【母题探究】
（变设问）若本例条件不变，求P（ξ＞5）.
通性通法
利用正态分布的对称性求概率
　　由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等.
【跟踪训练】
已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）＝（　　）
A.0.6　　　　　　 B.0.4
C.0.3 D.0.2
题型三 正态分布的实际应用
【例3】　在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N（90，100）.
（1）试求考试成绩ξ位于区间（70，110]上的概率是多少？
（2）若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在（80，100]间的考生大约有多少人？
尝试解答
通性通法
正态曲线的应用及求解策略
　　解答此类题目的关键在于将待求的问题向（μ－σ，μ＋σ]，（μ－2σ，μ＋2σ]，（μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应的概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想.
【跟踪训练】
某厂生产的“T”形零件的外直径（单位：cm）ξ～N（10，0.22），某天从该厂生产的“T”形零件中随机取出两个，测得它们的外直径分别为9.52 cm和9.98 cm，试分析该厂这一天的生产状况是否正常.
1.函数f（x）＝（其中μ＜0）的图象可能为（　　）
2.下列函数是正态密度函数的是（　　）
A.f（x）＝（μ，σ＞0）
B.f（x）＝
C.f（x）＝
D.f（x）＝
3.正态分布N（0，1）在区间（－2，－1）和（1，2）上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为（　　）
A.P1＝P2 B.P1＜P2
C.P1＞P2 D.不确定
4.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（　　）
（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈68.26%，P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）≈95.44%）
A.4.56% B.13.59%
C.27.18% D.31.74%
5.在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）.若X在（0，1）内取值的概率为0.4，则X在（0，2）内取值的概率为　　　　.
5　正态分布
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（1）分布密度（函数）　（2）μ　σ2
2.（1）x　（2）x＝μ　（3）x＝μ　（4）上升　下降
想一想
　提示：若X～N（μ，σ2），则X不是离散型随机变量，由正态分布的定义： P（a≤X≤b）为区域B的面积，X可取[a，b]内的任何值，故X不是离散型随机变量，它是连续型随机变量.
知识点二
想一想
　提示：（1）这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很有可能发生的；
（2）当我们运用“小概率事件几乎不可能发生”的原理进行推断时，也有0.3%的犯错的可能.
自我诊断
1.（1）×　 （2）×　（3）√　 （4）√
2.B　由正态曲线的对称性可知c＋1＋c－1＝2×2，得c＝2.
3.0.997 4　解析：由题可得μ＝0，σ＝，P（－2＜X≤2）＝P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）≈0.997 4.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）BCD　（2）2　3
解析：（1）由题中图象可知三科总体的平均数（均值）相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“高瘦”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.
（2）将所给的函数解析式与正态分布密度函数的解析式对照可得μ＝2，σ＝3.
跟踪训练
　ABD　只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散.
【例2】　解：∵ξ～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2.
（1）P（－1≤ξ≤3）＝P（1－2≤ξ≤1＋2）
＝P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈0.682 6.
（2）∵P（3≤ξ≤5）＝P（－3≤ξ≤－1），
∴P（3≤ξ≤5）＝[P（－3≤ξ≤5）－P（－1≤ξ≤3）]＝[P（1－4≤ξ≤1＋4）－P（1－2≤ξ≤1＋2）]＝[P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）－P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）]
≈（0.954 4－0.682 6）＝0.135 9.
母题探究
　解：P（ξ＞5）＝P（ξ＜－3）＝[1－P（－3≤ξ≤5）]＝[1－P（1－4≤ξ≤1＋4）]
＝[1－P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）]
≈（1－0.954 4）＝0.022 8.
跟踪训练
　C　∵随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），∴μ＝2，对称轴是ξ＝2.∵P（ξ＜4）＝0.8，∴P（ξ≥4）＝P（ξ≤0）＝0.2，∴P（0＜ξ＜4）＝0.6，∴P（0＜ξ＜2）＝0.3.故选C.
【例3】　解：因为ξ～N（90，100），所以μ＝90，σ＝10.
（1）由于正态变量在区间（μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率约为0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间（70，110]内的概率约为0.954 4.
（2）由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间（μ－σ，μ＋σ]内取值的概率约为0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间（80，100]内的概率约为0.682 6，一共有2 000名考生，所以考试成绩在（80，100]间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365（人）.
跟踪训练
　解：因为ξ～N（10，0.22），正态总体几乎总取值于区间（μ－3σ，μ＋3σ]内，所以可通过判断取出的产品的外直径是否落在这一区间内来分析生产状况是否正常.因为μ＋3σ＝10＋3×0.2＝10.6，μ－3σ＝10－3×0.2＝9.4，9.52在（9.4，10.6]内，9.98在（9.4，10.6]内，所以该厂这一天的生产状况是正常的.
随堂检测
1.A　函数f（x）图象的对称轴为直线x＝μ，因为μ＜0，所以排除B、D；又正态曲线位于x轴上方，因此排除C.
2.B　正态密度函数为f（x）＝，其中指数部分的σ与系数部分的σ保持一致，系数为正，指数为负.选项A中有两处错误，分别是σ错写为和指数为正；选项C中由系数可得σ＝2，由指数可得σ＝，显然不符合题意；选项D中指数为正，不符合题意.
3.A　根据正态曲线的特点，图象关于直线x＝0对称，可得在区间（－2，－1）和（1，2）上取值的概率P1，P2相等.
4.B　P（3＜ξ＜6）＝[P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3）]≈（95.44%－68.26%）＝13.59%.故选B.
5.0.8　解析：易得P（0＜X＜1）＝P（1＜X＜2），故P（0＜X＜2）＝2P（0＜X＜1）＝2×0.4＝0.8.
4 / 4(共59张PPT)
§5　正态分布
新课程标准解读 核心素养
1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.
通过实例，借助频率分布直方图的几何直观，了
解正态分布的特征 数学抽象、直观
想象
2.了解正态分布的均值、方差及其含义 数学建模、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马
克纸币上就印有高斯的头像和正态分布曲线.
【问题】　你知道什么是正态分布吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　正态分布
1. 正态分布与正态曲线
（1）由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图，对
应的分布密度函数解析式为φμ，σ（ x ）＝ ， x
∈（－∞，＋∞），其中实数μ，σ（σ＞0）为参数，这一类随
机变量 X 的 称为正态分布密度（函
数），简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简
称正态曲线；
分布密度（函数）　
（2）若 X ～ N （μ，σ2），则 EX ＝ ， DX ＝ .
μ　
σ2　
2. 正态曲线的性质
（1）曲线在 轴的上方，与 x 轴不相交；
（2）曲线是单峰的，关于直线 对称；
（3）曲线的最高点位于 处；
x 　
x ＝μ　
x ＝μ　
（4）当 x ＜μ时，曲线 ；当 x ＞μ时，曲线 ；并且
当曲线向左、右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线.
【想一想】
若随机变量 X ～ N （μ，σ2），则 X 是离散型随机变量吗？
提示：若 X ～ N （μ，σ2），则 X 不是离散型随机变量，由
正态分布的定义： P （ a ≤ X ≤ b ）为区域 B 的面积， X 可
取[ a ， b ]内的任何值，故 X 不是离散型随机变量，它是连
续型随机变量.
上升　
下降　
知识点二　3σ原则
1. 假设 X ～ N （μ，σ2），可以证明：对给定的 k ∈N＋， P （μ－ k σ＜
X ≤μ＋ k σ）是一个只与 k 有关的定值.特别地，
P （μ－σ＜ X ≤μ＋σ）≈0.682 6，
P （μ－2σ＜ X ≤μ＋2σ）≈0.954 4，
P （μ－3σ＜ X ≤μ＋3σ）≈0.997 4.
2. 在实际应用中，通常认为服从正态分布 N （μ，σ2）的随机变量 X 只
取区间（μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，并称之为3σ原则.
【想一想】
怎样正确理解在3σ原则下小概率事件（一般情况下，指发生的概率
小于0.3%的事件）是否能够发生？
提示：（1）这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如
果试验次数多了，该事件当然是很有可能发生的；
（2）当我们运用“小概率事件几乎不可能发生”的原理进行推断时，
也有0.3%的犯错的可能.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）正态曲线中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差.
（　×　）
（2）正态曲线是单峰的，其与 x 轴围成的面积是随参数μ，σ的变化
而变化的. （　×　）
（3）正态曲线可以关于直线 x ＝0对称. （　√　）
（4）若 X ～ N （μ，σ2），则 P （ X ＜μ）＝ . （　√　）
×
×
√
√
2. 设随机变量ξ服从正态分布 N （2，9），若 P （ξ＞ c ＋1）＝ P （ξ＜
c －1），则 c ＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　由正态曲线的对称性可知 c ＋1＋ c －1＝2×2，得 c ＝2.
3. 在正态分布 N 中，数据落在（－2，2]内的概率为 .
解析：由题可得μ＝0，σ＝ ， P （－2＜ X ≤2）＝ P （μ－3σ＜ X ≤μ
＋3σ）≈0.997 4.
0.997 4　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 正态密度曲线的概念与性质
【例1】　（1）（多选）一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试
成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是
（　BCD　）
A. 甲科总体的标准差最小
B. 丙科总体的平均数最小
C. 乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大
D. 甲、乙、丙总体的平均数不相同
解析：由题中图象可知三科总体的平均数（均值）相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“高瘦”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.
（2）已知正态曲线的函数解析式为φ（ x ）＝ （ x
∈R），则均值为μ＝ ，σ＝ .
解析：将所给的函数解析式与正态分布
密度函数的解析式对照可得μ＝2，σ＝3.
2　
3　
通性通法
由正态曲线确定均值与方差的方法
　　正态分布的两个重要参数是μ与σ2，μ刻画了随机变量取值的平均
水平，σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数，因此我们由正态曲
线的形状与位置可比较参数的大小，反之利用参数之间的大小关系，
也可以确定正态曲线的形状与位置.
【跟踪训练】
（多选）下面关于正态曲线的4个叙述中，正确的有（　　）
A. 曲线在 x 轴上方，且与 x 轴不相交
B. 当 x ＞μ时，曲线下降，当 x ＜μ时，曲线上升
C. 当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中
D. 曲线关于直线 x ＝μ对称，且当 x ＝μ时，位于最高点
解析：　只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越
小，曲线越“高瘦”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分
布越分散.
题型二 利用正态分布的性质求概率
【例2】　设ξ～ N （1，22），试求：
（1） P （－1≤ξ≤3）；
P （－1≤ξ≤3）＝ P （1－2≤ξ≤1＋2）
＝ P （μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈0.682 6.
解：∵ξ～ N （1，22），∴μ＝1，σ＝2.
解： ∵ P （3≤ξ≤5）＝ P （－3≤ξ≤－1），
∴ P （3≤ξ≤5）＝ [ P （－3≤ξ≤5）－ P （－1≤ξ≤3）]
＝ [ P （1－4≤ξ≤1＋4）－ P （1－2≤ξ≤1＋2）]
＝ [ P （μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）－ P （μ－σ≤ξ≤μ＋σ）]
≈ （0.954 4－0.682 6）＝0.135 9.
（2） P （3≤ξ≤5）.
【母题探究】
（变设问）若本例条件不变，求 P （ξ＞5）.
解： P （ξ＞5）＝ P （ξ＜－3）＝ [1－ P （－3≤ξ≤5）]
＝ [1－ P （1－4≤ξ≤1＋4）]
＝ [1－ P （μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）]
≈ （1－0.954 4）＝0.022 8.
通性通法
利用正态分布的对称性求概率
　　由于正态曲线是关于直线 x ＝μ对称的，且概率的和为1，故关于
直线 x ＝μ对称的区间上概率相等.
【跟踪训练】
已知随机变量ξ服从正态分布 N （2，σ2），且 P （ξ＜4）＝0.8，则 P
（0＜ξ＜2）＝（　　）
A. 0.6 B. 0.4
C. 0.3 D. 0.2
解析：　∵随机变量ξ服从正态分布 N （2，σ2），∴μ＝2，对称轴是
ξ＝2.∵ P （ξ＜4）＝0.8，∴ P （ξ≥4）＝ P （ξ≤0）＝0.2，∴ P （0＜ξ
＜4）＝0.6，∴ P （0＜ξ＜2）＝0.3.故选C.
题型三 正态分布的实际应用
【例3】　在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～ N
（90，100）.
（1）试求考试成绩ξ位于区间（70，110]上的概率是多少？
由于正态变量在区间（μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率约为
0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90
＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间（70，110]内的概率约
为0.954 4.
解：因为ξ～ N （90，100），所以μ＝90，σ＝10.
（2）若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在（80，100]间
的考生大约有多少人？
解：由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量
在区间（μ－σ，μ＋σ]内取值的概率约为0.682 6，所以考试成绩ξ
位于区间（80，100]内的概率约为0.682 6，一共有2 000名考
生，所以考试成绩在（80，100]间的考生大约有2 000×0.682
6≈1 365（人）.
通性通法
正态曲线的应用及求解策略
　　解答此类题目的关键在于将待求的问题向（μ－σ，μ＋σ]，（μ－
2σ，μ＋2σ]，（μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化，然后利用上述区
间的概率求出相应的概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结
合思想.
【跟踪训练】
某厂生产的“T”形零件的外直径（单位：cm）ξ～ N （10，0.22），某
天从该厂生产的“T”形零件中随机取出两个，测得它们的外直径分别
为9.52 cm和9.98 cm，试分析该厂这一天的生产状况是否正常.
解：因为ξ～ N （10，0.22），正态总体几乎总取值于区间（μ－3σ，μ
＋3σ]内，所以可通过判断取出的产品的外直径是否落在这一区间内来
分析生产状况是否正常.因为μ＋3σ＝10＋3×0.2＝10.6，μ－3σ＝10－
3×0.2＝9.4，9.52在（9.4，10.6]内，9.98在（9.4，10.6]内，所以该厂
这一天的生产状况是正常的.
1. 函数 f （ x ）＝ （其中μ＜0）的图象可能为（　　）
解析：　函数 f （ x ）图象的对称轴为直线 x ＝μ，因为μ＜0，所以
排除B、D；又正态曲线位于 x 轴上方，因此排除C.
2. 下列函数是正态密度函数的是（　　）
解析：　正态密度函数为 f （ x ）＝ ，其中指数部
分的σ与系数部分的σ保持一致，系数为正，指数为负.选项A中有两
处错误，分别是σ 错写为 和指数为正；选项C中由系数可
得σ＝2，由指数可得σ＝ ，显然不符合题意；选项D中指数为
正，不符合题意.
3. 正态分布 N （0，1）在区间（－2，－1）和（1，2）上取值的概率
为 P1， P2，则二者大小关系为（　　）
A. P1＝ P2 B. P1＜ P2
C. P1＞ P2 D. 不确定
解析：　根据正态曲线的特点，图象关于直线 x ＝0对称，可得在
区间（－2，－1）和（1，2）上取值的概率 P1， P2相等.
4. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 N （0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（　　）
（附：若随机变量ξ服从正态分布 N （μ，σ2），则 P （μ－σ≤ξ≤μ＋
σ）≈68.26%， P （μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）≈95.44%）
A. 4.56% B. 13.59%
C. 27.18% D. 31.74%
解析：　 P （3＜ξ＜6）＝ [ P （－6＜ξ＜6）－ P （－3＜ξ＜
3）]≈ （95.44%－68.26%）＝13.59%.故选B. x
5. 在某项测量中，测量结果 X 服从正态分布 N （1，σ2）（σ＞0）.若 X
在（0，1）内取值的概率为0.4，则 X 在（0，2）内取值的概率
为 .
解析：易得 P （0＜ X ＜1）＝ P （1＜ X ＜2），故 P （0＜ X ＜2）＝
2 P （0＜ X ＜1）＝2×0.4＝0.8.
0.8　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 关于正态分布 N （μ，σ2），下列说法正确的是（　　）
A. 随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B. 随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C. 随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件
D. 随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件
解析：　∵ P （μ－3σ≤ X ≤μ＋3σ）≈0.997 4，∴ P （ X ＞μ＋3σ或 X
＜μ－3σ）＝1－ P （μ－3σ≤ X ≤μ＋3σ）≈1－0.997 4＝0.002 6，∴随
机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 已知随机变量 X 服从正态分布 N （ a ，4），且 P （ X ＞1）＝0.5，
则实数 a 的值为（　　）
A. 1
C. 2 D. 4
解析：　因为随机变量 X 服从正态分布 N （ a ，4），所以 P （ X
＞ a ）＝0.5.由 P （ X ＞1）＝0.5，可知 a ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 已知随机变量 X 的正态密度函数为φ（ x ）＝ （ x ∈R），则
其均值和标准差分别是（　　）
A. 0和8 B. 0和4
C. 0和2 D. 0和1
解析：　将所给函数解析式与正态密度函数的解析式对照可得μ＝
0，σ＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 某人乘车从 A 地到 B 地，所需时间 X （单位：min）服从正态分布 N
（30，100），则此人在40 min至50 min到达目的地的概率为
（　　）
A. 0.135 9 B. 0.271 6
C. 0.954 4 D. 0.682 6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　由题意，得μ＝30，σ＝10，因为 P （μ－σ≤ X ≤μ＋σ）
≈0.682 6，所以此人在20 min至40 min到达目的地的概率约为0.682
6.又 P （μ－2σ≤ X ≤μ＋2σ）≈0.954 4，所以此人在10 min至50 min到
达目的地的概率约为0.954 4.由正态曲线关于直线 x ＝30对称，知此
人在40 min至50 min到达目的地的概率约为 ×（0.954 4－0.682 6）
＝0.135 9.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）已知甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分
布 N （μ1， ）， N （μ2， ），其正态曲线如图所示，则
（　　）
A. 乙类水果质量的均值比甲类水果质量的均值小
B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量分布更集中
C. 甲类水果质量的均值比乙类水果质量的均值小
D. 乙类水果的质量比甲类水果的质量分布更集中
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　由图象可知，甲类水果质量的均值μ1＝0.4，乙类水果
质量的均值μ2＝0.8，且σ1＜σ2，则B、C正确，A、D不正确，故选
B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）随机变量 X 服从正态分布 N （90，52），则下列结论正确
的是（　　）
A. EX ＝90
B. DX ＝5
C. P （ X ＞100）＝ P （ X ＜80）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　由随机变量 X 服从正态分布 N
（90，52），得正态曲线的对称轴为直线 x ＝μ
＝90，如图所示，则 EX ＝90，故A正确；标准
差为5，方差为25，故B错误；由正态曲线的对
称性得 P （ X ＞100）＝ P （ X ＜80）， P （ X
≥90）＝ ，故C、D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 已知正态分布落在区间（0.2，＋∞）内的概率为0.5，那么相应的正
态曲线 f （ x ）在 x ＝ 时达到最高点.
解析：由正态曲线关于直线 x ＝μ对称且在 x ＝μ处达到峰值和其落在
区间（0.2，＋∞）内的概率为0.5，得μ＝0.2.
0.2　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 设随机变量 X ～ N （4，σ2），且 P （4＜ X ＜8）＝0.3，则 P （ X ＜
0）＝ .
解析：正态密度曲线关于直线 x ＝4对称，在4右边的概率为0.5，在
0左边的概率等于在8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2.
0.2　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. 已知随机变量 X ～ N （2，σ2），若 P （ X ＞5）＝0.1，则 P （2＜ X
＜5）＝ ，若某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分
布 N （1，22），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，5）内
的概率为 .
解析：由随机变量 X ～ N （2，σ2），得对称轴方程为 x ＝2，∵ P
（ X ＞5）＝0.1，∴ P （2＜ X ＜5）＝0.5－ P （ X ＞5）＝0.4.设长度
误差为随机变量ξ，由正态分布 N （1，22），得 P （－1＜ξ＜3）
≈0.682 6， P （－3＜ξ＜5）≈0.954 4，∴ P （3＜ξ＜5）＝
≈ ＝0.135 9.
0.4　
0.135 9　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 已知某地农民工年均收入 X 服从正态分布，其正态曲线如图所示.
（1）写出此地农民工年均收入的密度函数解析式；
此地农民工年均收入的密度函
数解析式为φ（ x ）＝
， x ∈R.
解：设此地农民工年均收入 X ～ N （μ，σ2），结合题图可
知，μ＝8 000，σ＝500.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）求此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的
百分比.
解： ∵ P （7 500≤ X ≤8 500）＝ P （8 000－500≤ X ≤8 000＋500）≈0.682 6，
∴ P （8 000≤ X ≤8 500）＝ P （7 500≤ X ≤8 500）≈0.341 3＝34.13%.
故此地农民工年均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比为34.13%.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径 X （单位：
mm）服从正态分布 X ～ N （100，1）.现加工10个螺栓的尺寸（单
位：mm）如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2，
101.1，98.8，100.4，100.0， X ～ N （μ，σ2），有 P （μ－2σ＜ X ＜
μ＋2σ）≈0.954， P （μ－3σ＜ X ＜μ＋3σ）≈0.997.根据行业标准，
概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员
检验，则质检员认为设备需检修的概率为（　　）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间（97，103）内，
∴工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修
的概率为 ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. 设随机变量ξ服从正态分布 N （μ，σ2），且二次方程 x2＋4 x ＋ξ＝0
无实数根的概率为 ，则μ＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 不能确定
解析：　因为方程 x2＋4 x ＋ξ＝0无实数根的概率为 ，由Δ＝16
－4ξ＜0，得ξ＞4，即 P （ξ＞4）＝ ＝1－ P （ξ≤4），故 P
（ξ≤4）＝ ，所以μ＝4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. （多选）若随机变量ξ～ N （0，1），φ（ m ）＝ P （ξ≤ m ），其中
m ＞0，则下列等式成立的是（　　）
A. φ（－ m ）＝1－φ（ m ）
B. φ（2 m ）＝2φ（ m ）
C. P （｜ξ｜＜ m ）＝2φ（ m ）－1
D. P （｜ξ｜＞ m ）＝2－φ（ m ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　∵随机变量ξ服从标准正态分布 N
（0，1），∴正态曲线如图所示.∵φ（ m ）＝
P （ξ≤ m ）， m ＞0，∴φ（－ m ）＝ P （ξ≥
m ）＝1－φ（ m ），∴A正确；φ（2 m ）＝ P
（ξ≤2 m ），2φ（ m ）＝2 P （ξ≤ m ），∴φ（2m ）≠2φ（ m ），故B错误； P （｜ξ｜＜ m ）＝ P （－ m ＜ξ＜ m ）＝1－2φ（－ m ）＝1－2[1－φ（ m ）]＝2φ（ m ）－1，∴C正确； P （｜ξ｜＞ m ）＝ P （ξ＞ m 或ξ＜－ m ）＝1－φ（ m ）＋φ（－ m ）＝1－φ（ m ）＋1－φ（ m ）＝2－2φ（ m ），∴D错误.故选A、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 对一个物理量做 n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的
最后结果.已知最后结果的误差ε n ～ N ，为使误差ε n 在（－
0.5，0.5）的概率不小于0.954 4，至少要测量 次（若 X ～ N
（μ，σ2），则 P （｜ X －μ｜＜2σ）＝0.954 4）.
解析：根据正态曲线的对称性知：要使误差ε n 在（－0.5，0.5）的
概率不小于0.954 4，则（μ－2σ，μ＋2σ） （－0.5，0.5）且μ＝
0，σ＝ ，所以0.5≥2 n ≥32.
32　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 已知随机变量 X ～ N （μ，σ2），且其正态曲线在（－∞，80）上上
升，在（80，＋∞）上下降，且 P （72＜ X ≤88）＝0.682 6.
（1）求参数μ，σ的值；
解：由于正态曲线在（－∞，80）上上升，在（80，＋
∞）上下降，所以正态曲线关于直线 x ＝80对称，即参数μ＝
80.又 P （72＜ X ≤88）＝0.682 6.
结合 P （μ－σ＜ X ≤μ＋σ）＝0.682 6，可知σ＝8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）求 P （64＜ X ≤72）.
解：因为 P （μ－2σ＜ X ≤μ＋2σ）＝ P （64＜ X ≤96）＝0.954 4.
又因为 P （ X ≤64）＝ P （ X ＞96），所以 P （ X ≤64）＝ ×
（1－0.954 4）＝ ×0.045 6＝0.022 8.
所以 P （ X ＞64）＝0.977 2.
又 P （ X ≤72）＝ [1－ P （72＜ X ≤88）]＝ ×（1－0.682
6）＝0.158 7，所以 P （ X ＞72）＝0.841 3，
P （64＜ X ≤72）＝ P （ X ＞64）－ P （ X ＞72）＝0.135 9.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 已知随机变量 X 服从正态分布 X ～ N （10，σ2）， P （ X ＞12）＝
m ， P （8≤ X ≤10）＝ n ，求 ＋ 的最小值.
解：依题意，知μ＝10，根据正态曲线的对称性及 X 在区间（－
∞，＋∞）上的概率为1，知2× P （ X ＞12）＋2× P （8≤ X ≤10）
＝2 m ＋2 n ＝1，又 m ＞0， n ＞0，所以 ＋ ＝ ×（2 m ＋
2 n ）＝2 ≥6＋4 ＝6＋4 ，当且仅当 ＝
，即 n ＝ m 时，等号成立.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！

展开更多......

收起↑