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一、数学运算
能够在关联的情境中确定运算对象，提出运算问题.能够针对运算问题，合理选择运算方法、设计运算程序，解决问题.能够理解运算是一种演绎推理；能够在综合运用运算方法解决问题的过程中，体会程序思想的意义和作用.在交流的过程中，能够借助运算探讨问题.
培优一 求离散型随机变量的均值
【例1】　已知随机变量ξ，其中Eξ＝，若ξ的分布列如下表，则m＝ （　　）
ξ 1 2 3 4
P m n
A.　　　　　　　 B.
C. D.
尝试解答
培优二 求离散型随机变量的方差
【例2】　甲、乙两人对目标各射击一次，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，若命中目标的人数为X，则DX＝　　　　.
尝试解答
培优三 条件概率的应用
【例3】　52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为　　　；已知第一次抽到的是A，则第二次抽到A的概率为　　　　.
尝试解答
【例4】　（2022·新高考Ⅱ卷19题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50）的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1）.
尝试解答
培优四 全概率公式的应用
【例5】　轰炸机轰炸某目标，它能飞到距目标400 m、200 m、100 m的概率分别是0.5，0.3，0.2，设它在距目标400 m、200 m、100 m时的命中率分别是0.01，0.02，0.1，求目标被命中的概率为多少.
尝试解答
二、逻辑推理
　　能够在关联的情境中，发现并提出数学问题，用数学语言予以表达；能够理解归纳、类比是发现和提出数学命题的重要途径.能够对与学过的知识有关联的数学命题，通过对其条件与结论的分析，探索论证的思路，选择合适的论证方法予以证明，并能用准确的数学语言表述论证过程；能够通过举反例说明某些数学结论不成立.能够理解相关概念、命题、定理之间的逻辑关系，初步建立网状的知识结构.能够在交流的过程中，始终围绕主题，观点明确，论述有理有据.
培优五 推理与证明
【例6】　证明：当P（AB）＞0时，P（ABC）＝P（A）P（B｜A）·P（C｜AB）.据此你能发现计算P（A1A2…An）的公式吗？
尝试解答
培优六 随机变量与均值、方差的应用
【例7】　（2022·全国甲卷19题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.
尝试解答
【例8】　某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
尝试解答
三、数学建模
　　数学建模是指对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决问题的过程.主要包括在实际情境中，从数学的视角提出问题、分析问题、表达问题、构建模型、求解结论、验证结果、改进模型，最终得到符合实际的结果.具体表现：（1）发现和提出问题；（2）建立模型；（3）求解模型；（4）检验结果和完善模型.
培优七 二项分布模型及应用
【例9】　甲、乙两位同学参加诗词大会，设甲、乙两人每道题答对的概率分别为和.假定甲、乙两位同学答题情况互不影响，且每人各次答题情况相互独立.
（1）用X表示甲同学连续三次答题中答对的次数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）设M为事件“甲、乙两人分别连续答题三次，甲同学答对的次数比乙同学答对的次数恰好多2”，求事件M发生的概率.
尝试解答
培优八 超几何分布模型及应用
【例10】　已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
尝试解答
培优九 正态分布及其有关计算
【例11】　（2021·新高考Ⅱ卷6题）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），下列结论中不正确的是（　　）
A.σ越小，该物理量在一次测量中在（9.9，10.1）的概率越大
B.σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C.σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D.σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等
尝试解答
【例12】　在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N（70，100）.已知成绩在90分以上的学生有12人.试问此次参赛学生的总人数约为多少？
尝试解答
四、数据分析
能够在关联的情境中，识别随机现象，知道随机现象与随机变量之间的关联，发现并提出概率或统计问题.
能够针对具体问题，选择离散型随机变量或连续型随机变量刻画随机现象，理解抽样方法的统计意义，能够运用适当的概率或统计模型解决问题.
　　能够在运用统计方法解决问题的过程中，感悟归纳推理的思想，理解统计结论的意义；能够用概率或统计的思维来分析随机现象，用概率或统计模型表达随机现象的统计规律.
在交流的过程中，能够用数据呈现的规律解释随机现象.
培优十 概率与统计的综合问题
【例13】　为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95　10.12　9.96　9.96　10.01　9.92
9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02
9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得＝xi＝9.97，s＝＝≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（－3，＋3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－3σ＜Z＜μ＋3σ）≈0.997 4.0.997 416≈0.959 2，≈0.09.
尝试解答
章末复习与总结
【例1】　A　因为Eξ＝，即Eξ＝1×＋2m＋3n＋4×＝，又因为＋m＋n＋＝1，解得m＝.
【例2】　　解析：由题意知，命中目标的人数X的所有取值为0，1，2，
则P（X＝0）＝×＝，
P（X＝1）＝×＋×＝，
P（X＝2）＝×＝，
∴EX＝0×＋1×＋2×＝，
DX＝×＋×＋×＝.
【例3】　　　解析：记第一次抽到A为事件A，第二次抽到A为事件B，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，P（B｜A）＝＝＝.
【例4】　解：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄＝10×（5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002）＝47.9.
（2）由于患者的年龄位于区间[20，70）是由患者的年龄位于区间[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70）组成的，且相互独立，
所以所求概率P＝1－（0.001＋0.002＋0.006＋0.002）×10＝0.89.
（3）设从该地区任选一人，年龄位于区间[40，50）为事件A，患这种疾病为事件B，则P（A）＝16%，
由频率分布直方图知这种疾病患者年龄位于区间[40，50）的概率为0.023×10＝0.23，
结合该地区这种疾病的患病率为0.1%，可得P（AB）＝0.1%×0.23＝0.000 23，
所以从该地区任选一人，若年龄位于区间[40，50），则此人患这种疾病的概率为P（B｜A）＝＝≈0.001 4.
【例5】　解：设事件A1表示“飞机能飞到距目标400 m处”，设事件A2表示“飞机能飞到距目标200 m处”，设事件A3表示“飞机能飞到距目标100 m处”.设事件B表示“目标被命中”.
由题意知，P（A1）＝0.5，P（A2）＝0.3，P（A3）＝0.2，且A1，A2，A3构成一完备事件组，
又已知P（B｜A1）＝0.01，P（B｜A2）＝0.02，P（B｜A3）＝0.1，
由全概率公式得到P（B）＝P（B｜A1）P（A1）＋P（B｜A2）P（A2）＋P（B｜A3）P（A3）＝0.01×0.5＋0.02×0.3＋0.1×0.2＝0.031.
【例6】　解：因为P（AB）＞0，所以P（A）≥P（AB）＞0，
所以P（A）P（B｜A）P（C｜AB）＝P（A）××＝P（ABC）.
猜想P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2｜A1）…P（An｜A1A2…An－1），其中P（A1A2…An－1）＞0.
证明：因为P（A1A2…An－1）＞0，所以P（A1）＞0，P（A1A2）＞0，…，P（A1A2…An－2）＞0，
故P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）…P（An｜A1A2…An－1）＝P（A1）×××…×＝P（A1A2A3…An）.
【例7】　解：（1）设甲学校获得冠军的事件为A，则甲学校必须获胜2场或者3场.
P（A）＝0.5×0.4×0.8＋（1－0.5）×0.4×0.8＋0.5×（1－0.4）×0.8＋0.5×0.4×（1－0.8）＝0.6.
故甲学校获得冠军的概率为0.6.
（2）X的取值可以为0，10，20，30.
P（X＝0）＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
P（X＝10）＝（1－0.5）×0.4×0.8＋0.5×（1－0.4）×0.8＋0.5×0.4×（1－0.8）＝0.44，
P（X＝20）＝（1－0.5）×（1－0.4）×0.8＋0.5×（1－0.4）×（1－0.8）＋（1－0.5）×0.4×（1－0.8）＝0.34，
P（X＝30）＝（1－0.5）×（1－0.4）×（1－0.8）＝0.06.
所以X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
所以EX＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.
【例8】　解：（1）由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，
P（X＝0）＝1－0.8＝0.2，
P（X＝20）＝0.8×（1－0.6）＝0.32，
P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
（2）当小明先回答A类问题时，由（1）可得EX＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P（Y＝0）＝1－0.6＝0.4，
P（Y＝80）＝0.6×（1－0.8）＝0.12，
P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
EY＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为57.6＞54.4，即EY＞EX，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.
【例9】　解：（1）由题意知X～B，
P（X＝0）＝＝；
P（X＝1）＝＝；
P（X＝2）＝＝；
P（X＝3）＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望EX＝3×＝2.
（ 或EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.）
（2）设Y为乙同学连续3次答题中答对的次数，
由题意知Y～B，
P（Y＝0）＝＝，
P（Y＝1）＝＝，
所以P（M）＝P（X＝3且Y＝1）＋P（X＝2且Y＝0）
＝×＋×＝.
【例10】　解：（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.
（2）①随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝（或EX＝＝）.
②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A＝B∪C，且B与C互斥.
由①知P（B）＝P（X＝2），P（C）＝P（X＝1），
故P（A）＝P（B∪C）＝P（X＝2）＋P（X＝1）＝.
所以事件A发生的概率为.
【例11】　D　对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确；对于B、C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B、C正确.D显然错误.故选D.
【例12】　解：设参赛学生的成绩为X，因为X～N（70，100），所以μ＝70，σ＝10.
则P（X＞90）＝P（X≤50）＝[1－P（50＜X≤90）]＝[1－P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）]≈×（1－0.954 4）＝0.022 8，12÷0.022 8≈526（人）.
因此，此次参赛学生的总人数约为526.
【例13】　解：（1）抽取的一个零件的尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的概率为0.002 6，故X～B（16，0.002 6）.因此P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－0.997 416≈0.040 8.
X的数学期望为EX＝16×0.002 6＝0.041 6.
（2）①如果生产状态正常，一个零件尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.
②由＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为＝9.97，σ的估计值为＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在（－3，＋3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除（－3，＋3）之外的数据9.22，剩下数据的平均数为（16×9.97－9.22）＝10.02，
因此μ的估计值为10.02.
＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，
剔除（－3，＋3）之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为（1 591.134－9.222－15×10.022）≈0.008，
因此σ的估计值为≈0.09.
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章末复习与总结
一、数学运算
能够在关联的情境中确定运算对象，提出运算问题.能够针对运算
问题，合理选择运算方法、设计运算程序，解决问题.能够理解运算是
一种演绎推理；能够在综合运用运算方法解决问题的过程中，体会程
序思想的意义和作用.在交流的过程中，能够借助运算探讨问题.
培优一 求离散型随机变量的均值
【例1】　已知随机变量ξ，其中 E ξ＝ ，若ξ的分布列如下表，则 m ＝
（　　）
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
解析：　因为 E ξ＝ ，即 E ξ＝1× ＋2 m ＋3 n ＋4× ＝ ，又因为
＋ m ＋ n ＋ ＝1，解得 m ＝ .
培优二 求离散型随机变量的方差
【例2】　甲、乙两人对目标各射击一次，甲命中目标的概率为 ，乙
命中目标的概率为 ，若命中目标的人数为 X ，则 DX ＝ 　 　.
　
解析：由题意知，命中目标的人数 X 的所有取值为0，1，2，
则 P （ X ＝0）＝ × ＝ ，
P （ X ＝1）＝ × ＋ × ＝ ，
P （ X ＝2）＝ × ＝ ，
∴ EX ＝0× ＋1× ＋2× ＝ ，
DX ＝ × ＋ × ＋ × ＝ .
培优三 条件概率的应用
【例3】　52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都
抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽到A的概率
为 .
　
　
解析：记第一次抽到A为事件 A ，第二次抽到A为事件 B ，则 P （ A ）
＝ ＝ ， P （ AB ）＝ ＝ ， P （ B ｜ A ）＝ ＝ ＝
.
【例4】　（2022·新高考Ⅱ卷19题）在某地区进行流行病学调查，随
机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分
布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组
区间的中点值为代表）；
解：估计该地区这种疾病患者的平均年龄 ＝10×
（5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋
55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002）＝47.9.
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的
概率；
解：由于患者的年龄位于区间[20，70）是由患者的年龄位
于区间[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，
70）组成的，且相互独立，
所以所求概率 P ＝1－（0.001＋0.002＋0.006＋0.002）×10＝
0.89.
（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间
[40，50）的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，
若此人的年龄位于区间[40，50），求此人患这种疾病的概率
（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄
位于该区间的概率，精确到0.000 1）.
解：设从该地区任选一人，年龄位于区间[40，50）为事件
A ，患这种疾病为事件 B ，则 P （ A ）＝16%，
由频率分布直方图知这种疾病患者年龄位于区间[40，50）的概
率为0.023×10＝0.23，
结合该地区这种疾病的患病率为0.1%，可得 P （ AB ）＝
0.1%×0.23＝0.000 23，
所以从该地区任选一人，若年龄位于区间[40，50），则此人患
这种疾病的概率为 P （ B ｜ A ）＝ ＝ ≈0.001 4.
培优四 全概率公式的应用
【例5】　轰炸机轰炸某目标，它能飞到距目标400 m、200 m、100 m
的概率分别是0.5，0.3，0.2，设它在距目标400 m、200 m、100 m时的
命中率分别是0.01，0.02，0.1，求目标被命中的概率为多少.
解：设事件 A1表示“飞机能飞到距目标400 m处”，设事件 A2表示“飞机
能飞到距目标200 m处”，设事件 A3表示“飞机能飞到距目标100 m处”.
设事件 B 表示“目标被命中”.
由题意知， P （ A1）＝0.5， P （ A2）＝0.3， P （ A3）＝0.2，且 A1，
A2， A3构成一完备事件组，
又已知 P （ B ｜ A1）＝0.01， P （ B ｜ A2）＝0.02，
P （ B ｜ A3）＝0.1，
由全概率公式得到 P （ B ）＝ P （ B ｜ A1） P （ A1）＋ P （ B ｜ A2） P
（ A2）＋ P （ B ｜ A3） P （ A3）＝0.01×0.5＋0.02×0.3＋0.1×0.2＝
0.031.
二、逻辑推理
　　能够在关联的情境中，发现并提出数学问题，用数学语言予以表
达；能够理解归纳、类比是发现和提出数学命题的重要途径.能够对与
学过的知识有关联的数学命题，通过对其条件与结论的分析，探索论
证的思路，选择合适的论证方法予以证明，并能用准确的数学语言表
述论证过程；能够通过举反例说明某些数学结论不成立.能够理解相关
概念、命题、定理之间的逻辑关系，初步建立网状的知识结构.能够在
交流的过程中，始终围绕主题，观点明确，论述有理有据.
培优五 推理与证明
【例6】　证明：当 P （ AB ）＞0时， P （ ABC ）＝ P （ A ） P （ B ｜
A ）· P （ C ｜ AB ）.据此你能发现计算 P （ A1 A2… An ）的公式吗？
解：因为 P （ AB ）＞0，所以 P （ A ）≥ P （ AB ）＞0，
所以 P （ A ） P （ B ｜ A ） P （ C ｜ AB ）＝ P （　 A 　）× ×
＝ P （　 ABC 　）.
猜想 P （ A1 A2… An ）＝ P （ A1） P （ A2｜ A1）… P （ An ｜ A1 A2… An－
1），其中 P （ A1 A2… An－1）＞0.
证明：因为 P （ A1 A2… An－1）＞0，所以 P （ A1）＞0， P （ A1 A2）＞
0，…， P （ A1 A2… An－2）＞0，
故 P （ A1） P （ A2｜ A1） P （ A3｜ A1 A2）… P （ An ｜ A1 A2… An－1）＝
P （ A1）× × ×…× ＝ P （ A1
A2 A3… An ）.
培优六 随机变量与均值、方差的应用
【例7】　（2022·全国甲卷19题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比
赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个
项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中
获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.
（1）求甲学校获得冠军的概率；
解：设甲学校获得冠军的事件为 A ，则甲学校必须获胜2场
或者3场.
P （ A ）＝0.5×0.4×0.8＋（1－0.5）×0.4×0.8＋0.5×（1－
0.4）×0.8＋0.5×0.4×（1－0.8）＝0.6.
故甲学校获得冠军的概率为0.6.
（2）用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望.
解：X 的取值可以为0，10，20，30.
P （ X ＝0）＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
P （ X ＝10）＝（1－0.5）×0.4×0.8＋0.5×（1－0.4）×0.8＋
0.5×0.4×（1－0.8）＝0.44，
P （ X ＝20）＝（1－0.5）×（1－0.4）×0.8＋0.5×（1－0.4）
×（1－0.8）＋（1－0.5）×0.4×（1－0.8）＝0.34，
P （ X ＝30）＝（1－0.5）×（1－0.4）×（1－0.8）＝0.06.
所以 X 的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
所以 EX ＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.
【例8】　某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A ， B 两类问
题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机
抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答
正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答
正确与否，该同学比赛结束. A 类问题中的每个问题回答正确
得20分，否则得0分； B 类问题中的每个问题回答正确得80
分，否则得0分.
已知小明能正确回答 A 类问题的概率为0.8，能正确回答 B 类问
题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分
布列；
解：由题意得， X 的所有可能取值为0，20，100，
P （ X ＝0）＝1－0.8＝0.2，
P （ X ＝20）＝0.8×（1－0.6）＝0.32，
P （ X ＝100）＝0.8×0.6＝0.48，
所以 X 的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说
明理由.
解：当小明先回答 A 类问题时，由（1）可得 EX ＝0×0.2＋
20×0.32＋100×0.48＝54.4.
当小明先回答 B 类问题时，记 Y 为小明的累计得分，
则 Y 的所有可能取值为0，80，100，
P （ Y ＝0）＝1－0.6＝0.4，
P （ Y ＝80）＝0.6×（1－0.8）＝0.12，
P （ Y ＝100）＝0.6×0.8＝0.48，
所以 Y 的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
EY ＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为57.6＞54.4，即 EY ＞ EX ，所以为使累计得分的期望最大，
小明应选择先回答 B 类问题.
三、数学建模
　　数学建模是指对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决问题
的过程.主要包括在实际情境中，从数学的视角提出问题、分析问题、
表达问题、构建模型、求解结论、验证结果、改进模型，最终得到符
合实际的结果.具体表现：（1）发现和提出问题；（2）建立模型；
（3）求解模型；（4）检验结果和完善模型.
培优七 二项分布模型及应用
【例9】　甲、乙两位同学参加诗词大会，设甲、乙两人每道题答对
的概率分别为 和 .假定甲、乙两位同学答题情况互不影响，且每人
各次答题情况相互独立.
（1）用 X 表示甲同学连续三次答题中答对的次数，求随机变量 X 的分
布列和数学期望；
解：由题意知 X ～ B ，
P （ X ＝0）＝ ＝ ；
P （ X ＝1）＝ ＝ ；
P （ X ＝2）＝ ＝ ；
P （ X ＝3）＝ ＝ .
X 0 1 2 3
P
数学期望 EX ＝3× ＝2.

所以 X 的分布列为
（2）设 M 为事件“甲、乙两人分别连续答题三次，甲同学答对的次数
比乙同学答对的次数恰好多2”，求事件 M 发生的概率.
解：设 Y 为乙同学连续3次答题中答对的次数，
由题意知 Y ～ B ，
P （ Y ＝0）＝ ＝ ，
P （ Y ＝1）＝ ＝ ，
所以 P （ M ）＝ P （ X ＝3且 Y ＝1）＋ P （ X ＝2且 Y ＝0）
＝ × ＋ × ＝ .
培优八 超几何分布模型及应用
【例10】　已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为
24，16，16.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时
间的调查.
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为
3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，因此应
从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随
机抽取3人做进一步的身体检查.
①用 X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的
分布列与数学期望；
②设 A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不
足的员工”，求事件 A 发生的概率.
解：①随机变量 X 的所有可能取值为0，1，2，3.
P （ X ＝0）＝ ＝ ， P （ X ＝1）＝ ＝ ，
P （ X ＝2）＝ ＝ ， P （ X ＝3）＝ ＝ ，
所以随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量 X 的数学期望 EX ＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝
（或 EX ＝ ＝ ）.
②设事件 B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足
的员工有2人”；
事件 C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员
工有1人”，
则 A ＝ B ∪ C ，且 B 与 C 互斥.
由①知 P （ B ）＝ P （ X ＝2）， P （ C ）＝ P （ X ＝1），
故 P （ A ）＝ P （ B ∪ C ）＝ P （ X ＝2）＋ P （ X ＝1）＝ .
所以事件 A 发生的概率为 .
培优九 正态分布及其有关计算
【例11】　（2021·新高考Ⅱ卷6题）某物理量的测量结果服从正态分
布 N （10，σ2），下列结论中不正确的是（　　）
A. σ越小，该物理量在一次测量中在（9.9，10.1）的概率越大
B. σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C. σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D. σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.2）与落在（10，
10.3）的概率相等
解析：　对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中
在对称轴附近，故A正确；对于B、C，由于正态分布图象的对称轴为
μ＝10，显然B、C正确.D显然错误.故选D.
【例12】　在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似
地服从正态分布 N （70，100）.已知成绩在90分以上的学生有12人.试
问此次参赛学生的总人数约为多少？
解：设参赛学生的成绩为 X ，因为 X ～ N （70，100），所以μ＝70，σ
＝10.
则 P （ X ＞90）＝ P （ X ≤50）＝ [1－ P （50＜ X ≤90）]＝ [1－ P （μ
－2σ＜ X ≤μ＋2σ）]≈ ×（1－0.954 4）＝0.022 8，12÷0.022 8≈526
（人）.
因此，此次参赛学生的总人数约为526.
四、数据分析
能够在关联的情境中，识别随机现象，知道随机现象与随机变量
之间的关联，发现并提出概率或统计问题.
能够针对具体问题，选择离散型随机变量或连续型随机变量刻画
随机现象，理解抽样方法的统计意义，能够运用适当的概率或统计模
型解决问题.
　　能够在运用统计方法解决问题的过程中，感悟归纳推理的思想，
理解统计结论的意义；能够用概率或统计的思维来分析随机现象，用
概率或统计模型表达随机现象的统计规律.
在交流的过程中，能够用数据呈现的规律解释随机现象.
培优十 概率与统计的综合问题
【例13】　为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天
从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据
长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服
从正态分布 N （μ，σ2）.
（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的16个零件中其尺
寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的零件数，求 P （ X ≥1）及 X 的
数学期望；
解：抽取的一个零件的尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之内的概率为
0.997 4，从而零件的尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的概率为0.002
6，故 X ～ B （16，0.002 6）.因此 P （ X ≥1）＝1－ P （ X ＝0）＝1－
0.997 416≈0.040 8.
X 的数学期望为 EX ＝16×0.002 6＝0.041 6.
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外
的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异
常情况，需对当天的生产过程进行检查.
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95　10.12　9.96　9.96　10.01　9.92　9.98　10.04　10.26　9.91　
10.13　10.02　9.22　10.04　10.05　9.95
经计算得 ＝ xi ＝9.97， s ＝ ＝
≈0.212，其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸， i ＝
1，2，…，16.
用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差 s 作为σ的估计值
，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ －
3 ， ＋3 ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量 Z 服从正态分布 N （μ，σ2），则 P （μ－3σ＜ Z ＜μ
＋3σ）≈0.997 4.0.997 416≈0.959 2， ≈0.09.
解：①如果生产状态正常，一个零件尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）
之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（μ
－3σ，μ＋3σ）之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小.因
此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过
程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述
监控生产过程的方法是合理的.
②由 ＝9.97， s ≈0.212，得μ的估计值为 ＝9.97，σ的估计值为 ＝
0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在（ －3 ， ＋3
）之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除（ －3 ， ＋3
）之外的数据9.22，剩下数据的平均数为 （16×9.97－9.22）＝
10.02，
因此μ的估计值为10.02.
＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，
剔除（ －3 ， ＋3 ）之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为
（1 591.134－9.222－15×10.022）≈0.008，
因此σ的估计值为 ≈0.09.
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