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章末检测（五）　概率
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知10件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用X表示，那么X的所有可能取值为（　　）
A.0，1 B.0，2
C.1，2 D.0，1，2
2.已知离散型随机变量ξ的分布列为
ξ 1 3 5
P 0.5 m 0.2
则均值Eξ＝（　　）
A.1 B.0.6
C.2＋3m D.2.4
3.设X～B（n，p），EX＝12，DX＝4，则n，p的值分别为（　　）
A.18， B.36，
C.36， D.18，
4.设随机变量X等可能地取值1，2，3，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P（Y＜6）＝（　　）
A.0.3 B.0.5
C.0.1 D.0.2
5.甲、乙两人参加心理健康知识考试，考试以现场答题的方式进行.已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则X＝2时的概率为（　　）
A. B.
C. D.
6.（2023·全国甲卷6题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（　　）
A.0.8 B.0.6
C.0.5 D.0.4
7.节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价是每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理.根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布列：
X 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
若进这种鲜花500束，则利润的均值为（　　）
A.706元 B.690元
C.754元 D.720元
8.已知随机变量ξ～N（μ，σ2），有下列四个命题：
甲：P（ξ＜a－1）＞P（ξ＞a＋2）. 乙：P（ξ＞a）＝0.5.
丙：（ξ≤a）＝0.5. 丁：P（a＜ξ＜a＋1）＜P（a＋1＜ξ＜a＋2）.
如果只有一个假命题，则该命题为（　　）
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列说法正确的是（　　）
A.某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B（10，0.6）
B.某彩票的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B（8，p）
C.从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B
D.超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
10.随着社会经济的不断发展，电子商务平台使人们购物更加方便快捷，假设电商平台的市场占有率和产品优质率的信息如下表：
电商平台 甲 乙 其他电商平台
市场占有率 50% 40% 10%
产品优质率 90% 90% 80%
用A1，A2，A3分别表示某网民使用甲、乙、其他电商平台购物，B表示买到优质产品，若该网民在市场中随机选择一个电商平台购物，则（　　）
A.P（｜A1）＝0.1 B.P（B｜A2）＝0.36
C.P（B）＝0.9 D.P（A3｜B）＝
11.设某车间的A类零件的质量m（单位：kg）服从正态分布N（10，σ2），且P（m＞10.1）＝0.2，则下列说法正确的是（　　）
A.若从A类零件中随机选取2个，则这2个零件的质量都大于10 kg的概率为0.25
B.若从A类零件中随机选取3个，则这3个零件的质量恰有1个小于9.9 kg的概率为0.4
C.若从A类零件中随机选取100个，则零件质量在9.9 kg～10.1 kg的个数的期望为60
D.若从A类零件中随机选取100个，则零件质量在9.9 kg～10.1 kg的个数的方差为24
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.随机掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为m，已知向量＝（m，1），＝（2－m，－4），设X＝·，则X的均值EX＝　　　　.
13.随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制订学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30 000名高中男生的身高ξ（单位：cm）服从正态分布N（172，σ2），且P（172＜ξ≤180）＝0.4，那么该市高中男生的身高高于180 cm的人数大约为　　　　.
14.某学校选拔新生补进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，根据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2022年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知这三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则m＋n＝　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）某种疾病能导致心肌受损害，若第一次患该病，则心肌受损害的概率为0.3，第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时，心肌受损害的概率为0.6，试求某人患病两次心肌未受损害的概率.
16.（本小题满分15分）某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P＝0.2，若从该批产品中任意抽取3件，设X表示取出的3件产品中次品的件数.
（1）求恰好有一件次品的概率；
（2）求X的分布列与均值.
17.（本小题满分15分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2023年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示.
（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（14.55，38.45）内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和均值.
附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ＝≈11.95；
②若Z～N（μ，σ2），则P（μ－σ＜Z≤μ＋σ）≈0.682 6，P（μ－2σ＜Z≤μ＋2σ）≈0.954 4.
18.（本小题满分17分）某技术部门招工需经过四项考核，设能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9和0.65，各项考核是相互独立的.每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰.
（1）求该部门招工的淘汰率；
（2）求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率；
（3）假设考核按第一项到第四项的顺序进行，应聘者一旦某项考核不合格即被淘汰（不再参加后面的考核），求这种情况下的淘汰率.
19.（本小题满分17分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得－200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓是否出现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
章末检测（五）　概率
1.D　由于次品有2件，从10件产品中任取3件，则次品数可以是0，1，2，即X的所有可能取值为0，1，2.
2.D　因为m＝1－0.5－0.2＝0.3，所以Eξ＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.
3.D　由EX＝np＝12，DX＝np（1－p）＝4，得n＝18，p＝.
4.A　由Y＝2X－1＜6，得X＜3.5，∴P（Y＜6）＝P（X＜3.5）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝0.3.
5.D　随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝6，n＝3，则P（X＝2）＝＝.
6.A　法一　如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为＝＝0.8，故选A.
法二　令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，P（AB）＝P（A）＋P（B）－0.7＝0.4，所以P（C）＝P（A｜B）＝＝＝0.8，故选A.
7.A　因为EX＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝340，所以利润的均值为340×（5－2.5）－（500－340）×（2.5－1.6）＝706（元），故选A.
8.D　由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故a＝μ，根据正态分布的对称性可知：P（ξ＜μ－1）＞P（ξ＞μ＋2），即甲为真命题，并且P（μ＜ξ＜μ＋1）＞P（μ＋1＜ξ＜μ＋2），所以假命题是丁，故选D.
9.ABD　选项A、B显然满足二项分布的条件，故A、B均正确；而选项C虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说，前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义，故C错误；选项D显然正确.故选A、B、D.
10.AD　依题意P（A1）＝0.5，P（A2）＝0.4，P（A3）＝0.1，P（B｜A1）＝0.9，P（B｜A2）＝0.9，P（B｜A3）＝0.8，B错误；P（｜A1）＝0.1，A正确；P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋P（A3）P（B｜A3）＝0.5×0.9＋0.4×0.9＋0.1×0.8＝0.89，C错误；P（A3B）＝P（B｜A3）P（A3）＝0.1×0.8＝0.08，所以P（A3｜B）＝＝＝，D正确.故选A、D.
11.ACD　因为m～N（10，σ2），所以P（m＞10）＝0.5，若从A类零件中随机选取2个，则这2个零件的质量都大于10 kg的概率为0.52＝0.25，故A正确；因为P（m＞10.1）＝0.2，所以P（m＜9.9）＝0.2，若从A类零件中随机选取3个，则这3个零件的质量恰有1个小于9.9 kg的概率为×0.2×（1－0.2）2＝0.384，故B错误；P（9.9＜m＜10.1）＝1－2×0.2＝0.6，若从A类零件随机选取100个，则零件质量在9.9 kg～10.1 kg的个数X～B（100，0.6），则EX＝100×0.6＝60，DX＝100×0.6×（1－0.6）＝24，故C、D正确；故选A、C、D.
12.4　解析：∵＝＋＝（2，－3），∴X＝·＝2m－3，∴X的分布列为
X －1 1 3 5 7 9
P
∴EX＝×（－1＋1＋3＋5＋7＋9）＝4.
13.3 000　解析：因为ξ～N（172，σ2），且P（172＜ξ≤180）＝0.4，所以P（ξ＞180）＝＝0.1，故该市高中男生的身高高于180 cm的人数大约为30 000×0.1＝3 000.
14.　解析：因为通过考核选拔进入三个社团的概率依次为m，，n，且相互独立，所以0≤m≤1，0≤n≤1，又因为三个社团他都能进入的概率为，所以mn＝， ①
因为至少进入一个社团的概率为，所以一个社团都不能进入的概率为1－＝，所以（1－m）（1－n）＝，即1－m－n＋mn＝， ②
联立①②，得m＋n＝.
15.解：设A1表示“第一次患病心肌受损害”，A2表示“第二次患病心肌受损害”，则所求概率为P（）.
由题意可知，P（A1）＝0.3，P（A2｜）＝0.6，
又P（）＝1－P（A1）＝0.7，
P（｜）＝1－P（A2｜）＝0.4，
所以P（）＝P（）P（｜）＝0.7×0.4＝0.28.
16.解：设该批产品中次品有x件，
由已知＝0.2，∴x＝2.
（1）恰好有一件次品的概率为P（X＝1）＝＝.
（2）∵X可能为0，1，2，
∴P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝，
P（X＝2）＝＝.
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
则EX＝0×＋1×＋2×＝.
17.解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.
（2）①∵Z服从正态分布N（μ，σ2），且μ＝26.5，σ≈11.95，
∴P（14.55＜Z＜38.45）＝P（26.5－11.95＜Z＜26.5＋11.95）≈0.682 6，∴Z落在（14.55，38.45）内的概率是0.682 6.
②根据题意得X～B，
P（X＝0）＝×＝；
P（X＝1）＝×＝；
P（X＝2）＝×＝；
P（X＝3）＝×＝；
P（X＝4）＝×＝.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
∴EX＝4×＝2.
18.解：设B表示最终通过考核，Ai（i＝1，2，3，4）表示分别通过第一、二、三、四项考核.
（1）因为各项考核是相互独立的，所以该部门招工的通过率为P（B）＝0.6×0.8×0.9×0.65＝0.280 8，
因此该部门招工的淘汰率为P（）＝1－P（B）＝1－0.280 8＝0.719 2.
（2）在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为P（B｜A1A3）＝＝＝0.52，
因此，通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为1－P（B｜A1A3）＝1－0.52＝0.48.
（3）在考核按第一项到第四项的顺序进行的情况下，淘汰率为P＝0.4＋0.6×（1－0.8）＋0.6×0.8×（1－0.9）＋0.6×0.8×0.9×（1－0.65）＝0.719 2.
19.解：（1）X可能的取值为10，20，100，－200.
根据题意，有P（X＝10）＝××＝，
P（X＝20）＝××＝，
P（X＝100）＝××＝，
P（X＝－200）＝××＝.
所以X的分布列为
X 10 20 100 －200
P
（2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai（i＝1，2，3），则P（A1）＝P（A2）＝P（A3）＝P（X＝－200）＝.
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1－P（A1A2A3）＝1－＝1－＝.
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.
（3）X的均值为EX＝10×＋20×＋100×－200×＝－.
这表明，获得分数X的均值为负，
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.
3 / 3(共43张PPT)
章末检测（五）　概率
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知10件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机
变量，用 X 表示，那么 X 的所有可能取值为（　　）
A. 0，1 B. 0，2
C. 1，2 D. 0，1，2
解析：　由于次品有2件，从10件产品中任取3件，则次品数可以
是0，1，2，即 X 的所有可能取值为0，1，2.
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2. 已知离散型随机变量ξ的分布列为
ξ 1 3 5
P 0.5 m 0.2
则均值 E ξ＝（　　）
A. 1 B. 0.6
C. 2＋3 m D. 2.4
解析：　因为 m ＝1－0.5－0.2＝0.3，所以 E ξ＝1×0.5＋3×0.3＋
5×0.2＝2.4.
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3. 设 X ～ B （ n ， p ）， EX ＝12， DX ＝4，则 n ， p 的值分别为
（　　）
解析：　由 EX ＝ np ＝12， DX ＝ np （1－ p ）＝4，得 n ＝18， p
＝ .
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4. 设随机变量 X 等可能地取值1，2，3，…，10.又设随机变量 Y ＝2 X
－1，则 P （ Y ＜6）＝（　　）
A. 0.3 B. 0.5
C. 0.1 D. 0.2
解析：　由 Y ＝2 X －1＜6，得 X ＜3.5，∴ P （ Y ＜6）＝ P （ X ＜
3.5）＝ P （ X ＝1）＋ P （ X ＝2）＋ P （ X ＝3）＝0.3.
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5. 甲、乙两人参加心理健康知识考试，考试以现场答题的方式进行.已
知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8
道题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答
对的试题数为 X ，则 X ＝2时的概率为（　　）
解析：　随机变量 X 服从超几何分布，其中 N ＝10， M ＝6， n ＝
3，则 P （ X ＝2）＝ ＝ .
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6. （2023·全国甲卷6题）某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，
50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中
学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑
冰的概率为（　　）
A. 0.8 B. 0.6
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解析：　法一　如图，左圆表示爱好滑
冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的
学生所占比例， A 表示爱好滑冰且不爱好
滑雪的学生所占比例， B 表示既爱好滑冰
又爱好滑雪的学生所占比例， C 表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－ B ＝0.7，所以 B ＝0.4， C ＝0.5－0.4＝0.1.所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为 ＝ ＝0.8，故选A.
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法二　令事件 A ， B 分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事
件 C 表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则 P （ A ）＝0.6， P
（ B ）＝0.5， P （ AB ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）－0.7＝0.4，所以 P
（ C ）＝ P （ A ｜ B ）＝ ＝ ＝0.8，故选A.
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7. 节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价是每束5元；节日
卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理.根据前五年销售情况预测，
节日期间这种鲜花的需求量 X 服从如表所示的分布列：
X 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
若进这种鲜花500束，则利润的均值为（　　）
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解析：　因为 EX ＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝
340，所以利润的均值为340×（5－2.5）－（500－340）×（2.5－
1.6）＝706（元），故选A.
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8. 已知随机变量ξ～ N （μ，σ2），有下列四个命题：
甲： P （ξ＜ a －1）＞ P （ξ＞ a ＋2）.
乙： P （ξ＞ a ）＝0.5.
丙：（ξ≤ a ）＝0.5.
丁： P （ a ＜ξ＜ a ＋1）＜ P （ a ＋1＜ξ＜ a ＋2）.
如果只有一个假命题，则该命题为（　　）
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解析：　由于乙、丙的真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故 a
＝μ，根据正态分布的对称性可知： P （ξ＜μ－1）＞ P （ξ＞μ＋
2），即甲为真命题，并且 P （μ＜ξ＜μ＋1）＞ P （μ＋1＜ξ＜μ＋
2），所以假命题是丁，故选D.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对
的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（　　）
A. 某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数 X 是一个随机
变量，且 X ～ B （10，0.6）
B. 某彩票的中奖概率为 p ，某人一次买了8张，中奖张数 X 是一个随机
变量，且 X ～ B （8， p ）
D. 超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
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解析：　选项A、B显然满足二项分布的条件，故A、B均正
确；而选项C虽然是有放回地摸球，但随机变量 X 的定义是直到摸
出白球为止，也就是说，前面摸出的一定是红球，最后一次是白
球，不符合二项分布的定义，故C错误；选项D显然正确.故选A、
B、D.
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10. 随着社会经济的不断发展，电子商务平台使人们购物更加方便快
捷，假设电商平台的市场占有率和产品优质率的信息如下表：
电商平台 甲 乙 其他电商平台
市场占有率 50% 40% 10%
产品优质率 90% 90% 80%
用 A1， A2， A3分别表示某网民使用甲、乙、其他电商平台购物，
B 表示买到优质产品，若该网民在市场中随机选择一个电商平台购
物，则（　　）
B. P （ B ｜ A2）＝0.36
C. P （ B ）＝0.9
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解析：　依题意 P （ A1）＝0.5， P （ A2）＝0.4， P （ A3）＝
0.1， P （ B ｜ A1）＝0.9， P （ B ｜ A2）＝0.9， P （ B ｜ A3）＝
0.8，B错误； P （ ｜ A1）＝0.1，A正确； P （ B ）＝ P （ A1） P
（ B ｜ A1）＋ P （ A2） P （ B ｜ A2）＋ P （ A3） P （ B ｜ A3）＝
0.5×0.9＋0.4×0.9＋0.1×0.8＝0.89，C错误； P （ A3 B ）＝ P
（ B ｜ A3） P （ A3）＝0.1×0.8＝0.08，所以 P （ A3｜ B ）＝
＝ ＝ ，D正确.故选A、D.
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11. 设某车间的 A 类零件的质量 m （单位：kg）服从正态分布 N （10，
σ2），且 P （ m ＞10.1）＝0.2，则下列说法正确的是（　　）
A. 若从 A 类零件中随机选取2个，则这2个零件的质量都大于10 kg的概
率为0.25
B. 若从 A 类零件中随机选取3个，则这3个零件的质量恰有1个小于9.9
kg的概率为0.4
C. 若从 A 类零件中随机选取100个，则零件质量在9.9 kg～10.1 kg的个
数的期望为60
D. 若从 A 类零件中随机选取100个，则零件质量在9.9 kg～10.1 kg的个
数的方差为24
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解析：　因为 m ～ N （10，σ2），所以 P （ m ＞10）＝0.5，
若从 A 类零件中随机选取2个，则这2个零件的质量都大于10 kg的
概率为0.52＝0.25，故A正确；因为 P （ m ＞10.1）＝0.2，所以 P
（ m ＜9.9）＝0.2，若从 A 类零件中随机选取3个，则这3个零件的
质量恰有1个小于9.9 kg的概率为 ×0.2×（1－0.2）2＝0.384，
故B错误； P （9.9＜ m ＜10.1）＝1－2×0.2＝0.6，若从 A 类零件随
机选取100个，则零件质量在9.9 kg～10.1 kg的个数 X ～ B （100，
0.6），则 EX ＝100×0.6＝60， DX ＝100×0.6×（1－0.6）＝24，
故C、D正确；故选A、C、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 随机掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为 m ，已知向量 ＝
（ m ，1）， ＝（2－ m ，－4），设 X ＝ · ，则 X 的均值
EX ＝ .
解析：∵ ＝ ＋ ＝（2，－3），∴ X ＝ · ＝2 m －3，
∴ X 的分布列为
X －1 1 3 5 7 9
P
∴ EX ＝ ×（－1＋1＋3＋5＋7＋9）＝4.
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13. 随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较
新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合
理制订学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男
生身高统计调查，数据显示全市30 000名高中男生的身高ξ（单
位：cm）服从正态分布 N （172，σ2），且 P （172＜ξ≤180）＝
0.4，那么该市高中男生的身高高于180 cm的人数大约为 .
解析：因为ξ～ N （172，σ2），且 P （172＜ξ≤180）＝0.4，所以 P
（ξ＞180）＝ ＝0.1，故该市高中男生的身高高
于180 cm的人数大约为30 000×0.1＝3 000.
3 000　
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14. 某学校选拔新生补进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，根据资料
统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2022
年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”“电子竞
技”“国学”三个社团的概率依次为 m ， ， n ，已知这三个社团他都
能进入的概率为 ，至少进入一个社团的概率为 ，则 m ＋ n
＝ .
　
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解析：因为通过考核选拔进入三个社团的概率依次为 m ， ， n ，
且相互独立，所以0≤ m ≤1，0≤ n ≤1，又因为三个社团他都能进入
的概率为 ，
所以 mn ＝ ， ①
因为至少进入一个社团的概率为 ，所以一个社团都不能进入的概
率为1－ ＝ ，所以 （1－ m ）（1－ n ）＝ ，即1－ m － n ＋ mn
＝ ， ②
联立①②，得 m ＋ n ＝ .
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）某种疾病能导致心肌受损害，若第一次患该
病，则心肌受损害的概率为0.3，第一次患病心肌未受损害而第二
次再患该病时，心肌受损害的概率为0.6，试求某人患病两次心肌
未受损害的概率.
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解：设 A1表示“第一次患病心肌受损害”， A2表示“第二次患病心肌
受损害”，
则所求概率为 P （ ）.
由题意可知， P （ A1）＝0.3， P （ A2｜ ）＝0.6，
又 P （ ）＝1－ P （ A1）＝0.7，
P （ ｜ ）＝1－ P （ A2｜ ）＝0.4，
所以 P （ ）＝ P （ ） P （ ｜ ）＝0.7×0.4＝0.28.
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16. （本小题满分15分）某批产品共10件，已知从该批产品中任取1
件，则取到的是次品的概率为 P ＝0.2，若从该批产品中任意抽取3
件，设 X 表示取出的3件产品中次品的件数.
（1）求恰好有一件次品的概率；
恰好有一件次品的概率为 P （ X ＝1）＝ ＝ .
解：设该批产品中次品有 x 件，
由已知 ＝0.2，∴ x ＝2.
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解： ∵ X 可能为0，1，2，
∴ P （ X ＝0）＝ ＝ ， P （ X ＝1）＝ ，
P （ X ＝2）＝ ＝ .
∴ X 的分布列为
（2）求 X 的分布列与均值.
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X 0 1 2
P
则 EX ＝0× ＋1× ＋2× ＝ .
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17. （本小题满分15分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一
大习俗.2023年春节前夕， A 市某质检部门随机抽取了100包某种品
牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方
图所示.
（1）求所抽取的100包速冻水饺该项
质量指标值的样本平均数 （同一组
中数据用该组区间的中点值作代表）；
解：所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 ＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.
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（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值 Z 服从正
态分布 N （μ，σ2），利用该正态分布，求 Z 落在（14.55，
38.45）内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的
速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，
30）内的包数为 X ，求 X 的分布列和均值.
附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准
差为σ＝ ≈11.95；
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②若 Z ～ N （μ，σ2），则 P （μ－σ＜ Z ≤μ＋σ）≈0.682 6， P
（μ－2σ＜ Z ≤μ＋2σ）≈0.954 4.
解：①∵ Z 服从正态分布 N （μ，σ2），且μ＝26.5，σ≈11.95，
∴ P （14.55＜ Z ＜38.45）＝ P （26.5－11.95＜ Z ＜26.5＋
11.95）≈0.682 6，∴ Z 落在（14.55，38.45）内的概率是0.682 6.
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②根据题意得 X ～ B ，
P （ X ＝0）＝ × ＝ ；
P （ X ＝1）＝ × ＝ ；
P （ X ＝2）＝ × ＝ ；
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P （ X ＝3）＝ × ＝ ；
P （ X ＝4）＝ × ＝ .
∴ X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
∴ EX ＝4× ＝2.
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18. （本小题满分17分）某技术部门招工需经过四项考核，设能够通
过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9和0.65，各
项考核是相互独立的.每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项
考核不通过即被淘汰.
（1）求该部门招工的淘汰率；
解：设 B 表示最终通过考核， Ai （ i ＝1，2，3，4）表示分
别通过第一、二、三、四项考核.
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因为各项考核是相互独立的，所以该部门招工的通过
率为 P （ B ）＝0.6×0.8×0.9×0.65＝0.280 8，
因此该部门招工的淘汰率为 P （ ）＝1－ P （ B ）＝1－
0.280 8＝0.719 2.
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（2）求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率；
解：在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率
为 P （ B ｜ A1 A3）＝ ＝ ＝0.52，
因此，通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为1－ P
（ B ｜ A1 A3）＝1－0.52＝0.48.
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（3）假设考核按第一项到第四项的顺序进行，应聘者一旦某项考
核不合格即被淘汰（不再参加后面的考核），求这种情况下
的淘汰率.
解：在考核按第一项到第四项的顺序进行的情况下，淘汰
率为 P ＝0.4＋0.6×（1－0.8）＋0.6×0.8×（1－0.9）＋
0.6×0.8×0.9×（1－0.65）＝0.719 2.
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19. （本小题满分17分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需
击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘
游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20
分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获
得－200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓是否出
现音乐相互独立.
（1）设每盘游戏获得的分数为 X ，求 X 的分布列；
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解：X 可能的取值为10，20，100，－200.
根据题意，有
P （ X ＝10）＝ × × ＝ ，
P （ X ＝20）＝ × × ＝ ，
P （ X ＝100）＝ × × ＝ ，
P （ X ＝－200）＝ × × ＝ .
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X 10 20 100 －200
P
所以 X 的分布列为
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（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
解：设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai （ i ＝1，
2，3），则 P （ A1）＝ P （ A2）＝ P （ A3）＝ P （ X ＝－
200）＝ .
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为
1－ P （ A1 A2 A3）＝1－ ＝1－ ＝ .
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 .
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（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分
数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知
识分析分数减少的原因.
解：X 的均值为 EX ＝10× ＋20× ＋100× －200× ＝－ .
这表明，获得分数 X 的均值为负，
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.
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谢 谢 观 看！

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