资源简介 模块综合检测（时间：120分钟 满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线2x＋y－1＝0的一个方向向量是（ ）A.（1，－2） B.（2，－1）C.（－1，－2） D.（－2，－1）2.圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线x＋y－1＝0的距离为（ ）A.2 B.3C. D.3.从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（ ）A.26 B.60C.18 D.1 0804.已知y与x之间的线性回归方程为＝1.6x＋21，其样本点的中心为（，37），样本数据中x的取值依次为2，6，8，16，m，则m＝（ ）A.12 B.16C.18 D.205.对某市第一次高三统一测试成绩抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩平均分为85分，65分以下的人数占10%，则数学成绩在85分至105分之间的考生人数所占百分比约为（ ）A.40% B.30%C.20% D.10%6.在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，＝2，＋＝0，用向量a，b，c表示，则＝（ ）A.a－b＋c B.－a＋b＋cC.a＋b－c D.a＋b－c7.矿山爆破时，在爆破点处炸开的矿石的运动轨迹可看作是不同的抛物线，根据地质、炸药等因素可以算出这些抛物线的范围，这个范围的边界可以看作一条抛物线，叫“安全抛物线”，如图所示.已知某次矿山爆破时的安全抛物线E：x2＝－2py＋4（p＞0）的焦点为F，则这次爆破时，矿石落点的最远处到点F的距离为（ ）A. B.2C.2 D.8.已知Q为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右顶点，M为双曲线右支上一点，若点M关于双曲线中心O的对称点为N，设直线QM，QN的倾斜角分别为α，β且tan αtan β＝，则双曲线的离心率为（ ）A. B.C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若冬季昼夜温差x（单位：℃）与某新品种反季节大豆的发芽数量y（单位：颗）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到线性回归方程为＝2.5x－3，则下列结论中正确的是（ ）A.y与x具有正相关关系B.回归直线过点（，）C.若冬季昼夜温差增加1 ℃，则该新品种反季节大豆的发芽数约增加2.5颗D.若冬季昼夜温差的大小为10 ℃，则该新品种反季节大豆的发芽数一定是22颗10.如图所示的电路中，A，B，C，D，E表示5只保险匣，图中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是（ ）A.A，B所在线路畅通的概率为B.A，B，C所在线路畅通的概率为C.D，E所在线路畅通的概率为D.当开关合上时，整个电路畅通的概率为11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是（ ）A.A1C1∥平面CEF B.B1D⊥平面CEFC.＝＋－ D.点D与点B1到平面CEF的距离相等三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12.已知某一随机变量X的分布列如下表：X 3 b 8P 0.2 0.5 a且EX＝6，则a＝ ，b＝ .13.若圆x2＋y2＋Dx－4y－4＝0和圆x2＋y2－2x＋F＝0的公共弦所在的直线方程为x－y＋1＝0，则D＋F＝ .14.已知椭圆Γ：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，△ABC的三个顶点都在椭圆Γ上，设它的三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不为0.O为坐标原点，若直线OD，OE，OF的斜率之和为1，则＋＋的值为 .四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）在①若展开式中倒数三项的二项式系数之和为46，②若展开式中的所有项的系数之和为512，③若展开式中第三项与第四项的系数之比为3∶7，这三个条件中任选一个，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.问题：已知二项式（＋）n， ，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中的常数项.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.16.（本小题满分15分）2024年某市开展了“寻找身边的好老师”活动，市六中积极行动，认真落实，通过微信关注评选“身边的好老师”，并对选出的五位“好老师”所担任班主任工作年限和被关注数量进行了统计，得到如下数据：担任班主任工作年限X/年 4 6 8 10 12被关注数量Y/百人 10 20 40 60 50（1）若“好老师”的被关注数量Y与其担任班主任的工作年限X满足线性回归方程，试求线性回归方程Y＝X＋，并就此分析“好老师”担任班主任工作年限为15年时被关注的数量；（2）若用（i＝1，2，3，4，5）表示统计数据时被关注数量的“即时均值”（四舍五入到整数），从“即时均值”中任选2组，求这2组数据之和小于8的概率.17.（本小题满分15分）某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节.已知共有8 000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩（百分制）作为样本，得到频率分布直方图，如图所示.（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，求恰有1人预赛成绩为优良的概率；（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛的学生的预赛成绩Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且σ2＝362.利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩高于91分的人数；（3）预赛成绩高于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.1k；③每答对一题加1.5分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩.已知学生甲答对每道题的概率均为0.7，且每题答对与否都相互独立.若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？参考数据：≈19；若Z～N（μ，σ2），则P（μ－σ≤Z≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ≤Z≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ≤Z≤μ＋3σ）≈0.997 3.18.（本小题满分17分）如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2DE＝2.（1）求证：EF⊥平面BAF；（2）若二面角A-BF-D的余弦值为，求AB的长.19.（本小题满分17分）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y＝kx＋2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和kAD＋kBD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由.模块综合检测1.A 直线2x＋y－1＝0的斜率k＝－2，所以直线2x＋y－1＝0的一个方向向量是（1，－2）.故选A.2.A 圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0圆心坐标为（1，4）.点（1，4）到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝＝2.故选A.3.A 由分类加法计数原理知有5＋12＋3＋6＝26（种）不同走法.故选A.4.C 因为样本中心点在回归直线上，所以37＝1.6＋21，解得＝10，所以2＋6＋8＋16＋m＝50，解得m＝18.故选C.5.A 平均分为85分，所以μ＝85，即正态曲线的对称轴为μ＝85，又P（X＜65）＝0.1，所以P（85＜X＜105）＝＝＝0.4，所以数学成绩在85分至105分之间的考生人数所占百分比约为40%，故选A.6.B ∵＋＝0，∴N为BC中点，连接AN，如图，∴＝（＋）＝（＋＋＋）＝（b＋c－2a），而＝＝a，∴＝＋＝b＋c－a.故选B.7.D 依题意，抛物线E的顶点坐标为，则抛物线的顶点到焦点F的距离为＝＋，p＞0，解得p＝4，于是得抛物线E的方程为x2＝－8y＋4，由y＝0得x＝±2，即抛物线E与x轴的交点坐标为M（±2，0），因此，｜MF｜＝＝，所以矿石落点的最远处到点F的距离为.故选D.8.B 依题意，设M（x0，y0），则N（－x0，－y0），又tan αtan β＝，即直线QM，QN的斜率乘积为，而Q（a，0），于是得·＝＝，又M为双曲线右支上一点，即－＝1，＝（－a2），因此＝，化简得＝，则e＝＝＝，所以双曲线的离心率为.故选B.9.ABC 因为回归直线的斜率为2.5，所以y与x具有正相关关系，A正确；回归直线过点（，），B正确；根据线性回归方程＝2.5x－3得，若冬季昼夜温差增加1 ℃，则该新品种反季节大豆的发芽数约增加2.5颗，所以C正确；若冬季昼夜温差的大小为10 ℃，则可估计该新品种反季节大豆的发芽数约为22颗，但不可确定，所以D错误.故选A、B、C.10.BD 由题意知A，B所在线路畅通的概率为×＝，A错误；A，B，C所在线路畅通的概率为1－（1－×）×＝1－＝，B正确；D，E所在线路畅通的概率为1－×＝1－＝，C错误；根据上述分析可知，当开关合上时，整个电路畅通的概率为×＝，D正确.故选B、D.11.AC 选项A，因为E，F分别是A1D1和C1D1的中点，故EF∥A1C1，且EF 平面CEF，A1C1 平面CEF，故A1C1∥平面CEF成立.选项B，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，则＝（－2，－2，－2），＝（0，1，－2）.故·＝0－2＋4＝2≠0.故，不互相垂直.又CF 平面CEF，故B1D⊥平面CEF不成立；选项C，利用B选项建立的空间直角坐标系有＝（1，－2，2），＋－＝（2，0，0）＋（0，0，2）－（0，2，0）＝（1，－2，2），故＝＋－成立；选项D，若点D与点B1到平面CEF的距离相等，则点D与点B1的中点O在平面CEF上，连接AC，AE易得平面CEF即平面CAEF.又点D与点B1的中点O在A1ACC1上，故点O不在平面CEF上，故D不成立.故选A、C.12.0.3 6 解析：由0.2＋0.5＋a＝1，得a＝0.3.又由EX＝3×0.2＋b×0.5＋8×a＝6，得b＝6.13.－6 解析：由题设，两圆方程相减可得：（D＋2）x－4y－4－F＝0，即为公共弦x－y＋1＝0，∴可得∴D＋F＝－6.14.－2 解析：因为椭圆的离心率为，所以由e2＝＝1－，得＝.设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）.则且①－②，得＋＝0，即＋＝0，所以＝－.因为直线AB的斜率k1＝，直线OD的斜率kOD＝＝，所以k1·kOD＝－＝－.所以＝－2kOD.同理可得＝－2kOE，＝－2kOF.所以＋＋＝－2（kOD＋kOE＋kOF）.又直线OD，OE，OF的斜率之和为1，即kOD＋kOE＋kOF＝1，所以＋＋＝－2.15.解：若选择条件①：因为展开式中倒数三项的二项式系数之和为46，所以＋＋＝＋＋＝1＋n＋＝46，整理得n2＋n－90＝0，即（n＋10）（n－9）＝0.因为n∈N＋，所以n＝9.若选择条件②：因为展开式中的所有项的系数之和为512，所以（1＋1）n＝2n＝512，解得n＝9.若选择条件③：依题意可得＝，即＝，解得n＝9.（1）因为二项展开式共有10项，所以二项式系数最大的项有两项，分别为第五项T5＝·（）5·（）4＝126x－3与第六项T6＝·（）4·（）5＝126.（2）由n＝9得二项展开式的通项为Tk＋1＝·（）9－k·（）k＝·（k＝0，1，2，…，9）.令－9＝0，得k＝6，所以展开式中的常数项为T7＝＝84.16.解：（1）＝8，＝36，＝＝6，＝36－48＝－12，所以Y＝6X－12，当x0＝15时，y0＝6×15－12＝78（百人）.（2）这5组统计数据，被关注数量的“即时均值”分别为3，3，5，6，4.从5组“即时均值”中任选2组，共有＝10种情况，其中2组数据之和小于8的有（3，3），（3，4），（3，4）共3种情况，所以这2组数据之和小于8的概率为.17.解：（1）由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有（0.012 5＋0.007 5）×20×100＝40（人），其中成绩优良的人数为0.007 5×20×100＝15.记C：从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，恰有1人预赛成绩为优良.则P（C）＝＝.（2）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值＝10×0.1＋30×0.2＋50×0.3＋70×0.25＋90×0.15＝53，则μ＝53.又σ2＝362，∴σ≈19，∴P（Z＞91）＝P（Z＞μ＋2σ）＝[1－P（μ－2σ≤Z≤μ＋2σ）]≈0.022 75，∴估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩高于91分的人数为8 000×0.022 75＝182.（3）以随机变量ξ表示甲答对的题数，则ξ～B（n，0.7），且Eξ＝0.7n，记甲答完n题后所加的分数为随机变量X，则X＝1.5ξ，∴EX＝1.5Eξ＝1.05n.为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为0.1×（1＋2＋3＋…＋n）＝0.05（n2＋n）.设甲答完n题的分数为M（n），则M（n）＝100－0.05（n2＋n）＋1.05n＝－0.05（n－10）2＋105，由于n∈N＋，∴当n＝10时，M（n）取最大值105.∴若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量n应该是10.18.解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BA⊥AD，∵平面ABCD⊥平面ADEF，又平面ABCD∩平面ADEF＝AD，BA 平面ABCD，∴BA⊥平面ADEF.又EF 平面ADEF，∴BA⊥EF.又AF⊥EF，且AF∩BA＝A，∴EF⊥平面BAF.（2）设AB＝x（x＞0）.以F为坐标原点，AF，FE所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则F（0，0，0），E（0，，0），D（－1，，0），B（－2，0，x），∴＝（1，－，0），＝（2，0，－x）.由（1）知EF⊥平面ABF，∴平面ABF的一个法向量可取n1＝（0，1，0）.设n2＝（x1，y1，z1）为平面BFD的一个法向量，则即令y1＝1，则n2＝.∵cos＜n1，n2＞＝＝＝，解得x＝（负值舍去），∴AB＝.19.解：（1）由已知可得解得a2＝2，b2＝c2＝1，所以椭圆方程为＋y2＝1.（2）由得（1＋2k2）x2＋8kx＋6＝0，由Δ＝64k2－24（1＋2k2）＝16k2－24＞0，解得k＜－或k＞.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝，设存在点D（0，m），则kAD＝，kBD＝，所以kAD＋kBD＝＝＝.要使kAD＋kBD为定值，只需6k－4k（2－m）＝6k－8k＋4km＝2（2m－1）k的值与参数k无关，故2m－1＝0，解得m＝，当m＝时，kAD＋kBD＝0.综上所述，存在点D，使得kAD＋kBD为定值，且定值为0.2 / 2(共49张PPT)模块综合检测（时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 直线2 x ＋ y －1＝0的一个方向向量是（ ）A. （1，－2） B. （2，－1）C. （－1，－2） D. （－2，－1）解析： 直线2 x ＋ y －1＝0的斜率 k ＝－2，所以直线2 x ＋ y －1＝0的一个方向向量是（1，－2）.故选A.123456789101112131415161718192. 圆 x2＋ y2－2 x －8 y ＋13＝0的圆心到直线 x ＋ y －1＝0的距离为（ ）A. 2 B. 3C. D.解析： 圆 x2＋ y2－2 x －8 y ＋13＝0圆心坐标为（1，4）.点（1，4）到直线 x ＋ y －1＝0的距离 d ＝ ＝ ＝2 .故选A.123456789101112131415161718193. 从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（ ）A. 26 B. 60C. 18 D. 1 080解析： 由分类加法计数原理知有5＋12＋3＋6＝26（种）不同走法.故选A.123456789101112131415161718194. 已知 y 与 x 之间的线性回归方程为 ＝1.6 x ＋21，其样本点的中心为（ ，37），样本数据中 x 的取值依次为2，6，8，16， m ，则 m ＝（ ）A. 12 B. 16C. 18 D. 20解析： 因为样本中心点在回归直线上，所以37＝1.6 ＋21，解得 ＝10，所以2＋6＋8＋16＋ m ＝50，解得 m ＝18.故选C.123456789101112131415161718195. 对某市第一次高三统一测试成绩抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩平均分为85分，65分以下的人数占10%，则数学成绩在85分至105分之间的考生人数所占百分比约为（ ）A. 40% B. 30%C. 20% D. 10%12345678910111213141516171819解析： 平均分为85分，所以μ＝85，即正态曲线的对称轴为μ＝85，又 P （ X ＜65）＝0.1，所以 P （85＜ X ＜105）＝＝ ＝0.4，所以数学成绩在85分至105分之间的考生人数所占百分比约为40%，故选A.123456789101112131415161718196. 在四面体 OABC 中， ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ， ＝2 ，＋ ＝0，用向量 a ， b ， c 表示 ，则 ＝（ ）A. a － b ＋ c B. － a ＋ b ＋ cC. a ＋ b － c D. a ＋ b － c12345678910111213141516171819解析： ∵ ＋ ＝0，∴ N 为 BC 中点，连接AN ，如图，∴ ＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ ＋ ＋）＝ （ b ＋ c －2 a ），而 ＝ ＝ a ，∴＝ ＋ ＝ b ＋ c － a .故选B.123456789101112131415161718197. 矿山爆破时，在爆破点处炸开的矿石的运动轨迹可看作是不同的抛物线，根据地质、炸药等因素可以算出这些抛物线的范围，这个范围的边界可以看作一条抛物线，叫“安全抛物线”，如图所示.已知某次矿山爆破时的安全抛物线 E ： x2＝－2 py ＋4（ p ＞0）的焦点为 F，则这次爆破时，矿石落点的最远处到点 F 的距离为（ ）A. B. 2C. 2 D.12345678910111213141516171819解析： 依题意，抛物线 E 的顶点坐标为 ，则抛物线的顶点到焦点 F 的距离为 ＝ ＋ ， p ＞0，解得 p ＝4，于是得抛物线 E的方程为 x2＝－8 y ＋4，由 y ＝0得 x ＝±2，即抛物线 E 与 x 轴的交点坐标为 M （±2，0），因此，｜ MF ｜＝ ＝，所以矿石落点的最远处到点 F 的距离为 .故选D.123456789101112131415161718198. 已知 Q 为双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的右顶点， M 为双曲线右支上一点，若点 M 关于双曲线中心 O 的对称点为 N ，设直线QM ， QN 的倾斜角分别为α，β且tan αtan β＝ ，则双曲线的离心率为（ ）A. B.C. D.12345678910111213141516171819解析： 依题意，设 M （ x0， y0），则 N （－ x0，－ y0），又tanαtan β＝ ，即直线 QM ， QN 的斜率乘积为 ，而 Q （ a ，0），于是得 · ＝ ＝ ，又 M 为双曲线右支上一点，即 －＝1， ＝ （ － a2），因此 ＝ ，化简得 ＝ ，则 e ＝ ＝ ＝ ，所以双曲线的离心率为 .故选B.12345678910111213141516171819二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 若冬季昼夜温差 x （单位：℃）与某新品种反季节大豆的发芽数量 y（单位：颗）具有线性相关关系，根据一组样本数据（ xi ， yi ）（ i＝1，2，3，…， n ），用最小二乘法近似得到线性回归方程为 ＝2.5 x －3，则下列结论中正确的是（ ）12345678910111213141516171819A. y 与 x 具有正相关关系B. 回归直线过点（ ， ）C. 若冬季昼夜温差增加1 ℃，则该新品种反季节大豆的发芽数约增加2.5颗D. 若冬季昼夜温差的大小为10 ℃，则该新品种反季节大豆的发芽数一定是22颗12345678910111213141516171819解析： 因为回归直线的斜率为2.5，所以 y 与 x 具有正相关关系，A正确；回归直线过点（ ， ），B正确；根据线性回归方程＝2.5 x －3得，若冬季昼夜温差增加1 ℃，则该新品种反季节大豆的发芽数约增加2.5颗，所以C正确；若冬季昼夜温差的大小为10℃，则可估计该新品种反季节大豆的发芽数约为22颗，但不可确定，所以D错误.故选A、B、C.1234567891011121314151617181910. 如图所示的电路中， A ， B ， C ， D ， E 表示5只保险匣，图中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是（ ）A. A ， B 所在线路畅通的概率为B. A ， B ， C 所在线路畅通的概率为C. D ， E 所在线路畅通的概率为D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率为12345678910111213141516171819解析： 由题意知 A ， B 所在线路畅通的概率为 × ＝ ，A错误； A ， B ， C 所在线路畅通的概率为1－（1－ × ）× ＝1－＝ ，B正确； D ， E 所在线路畅通的概率为1－ × ＝1－ ＝，C错误；根据上述分析可知，当开关合上时，整个电路畅通的概率为 × ＝ ，D正确.故选B、D.1234567891011121314151617181911. 在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别是 A1 D1和 C1 D1的中点，则下列结论正确的是（ ）A. A1 C1∥平面 CEFB. B1 D ⊥平面 CEFC. ＝ ＋ －D. 点 D 与点 B1到平面 CEF 的距离相等12345678910111213141516171819解析： 选项A，因为 E ， F 分别是 A1 D1和C1 D1的中点，故 EF ∥ A1 C1，且 EF 平面CEF ， A1 C1 平面 CEF ，故 A1 C1∥平面 CEF成立.选项B，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1棱长为2，则 ＝（－2，－2，－2）， ＝（0，1，－2）.故 · ＝0－2＋4＝2≠0.故 ， 不互相垂直.又 CF 平面 CEF ，故 B1 D ⊥平面 CEF 不成立；选项C，利用B选项建立的空间直角坐标系有 ＝（1，－2，2），12345678910111213141516171819＋ － ＝ （2，0，0）＋（0，0，2）－（0，2，0）＝（1，－2，2），故 ＝ ＋ － 成立；选项D，若点 D 与点 B1到平面 CEF 的距离相等，则点 D 与点 B1的中点 O 在平面 CEF 上，连接 AC ， AE 易得平面 CEF 即平面 CAEF .又点 D 与点 B1的中点 O 在 A1 ACC1上，故点 O 不在平面 CEF 上，故D不成立.故选A、C.12345678910111213141516171819三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）12. 已知某一随机变量 X 的分布列如下表：X 3 b 8P 0.2 0.5 a且 EX ＝6，则 a ＝ ， b ＝ .解析：由0.2＋0.5＋ a ＝1，得 a ＝0.3.又由 EX ＝3×0.2＋ b ×0.5＋8× a ＝6，得 b ＝6.0.3 6 1234567891011121314151617181913. 若圆 x2＋ y2＋ Dx －4 y －4＝0和圆 x2＋ y2－2 x ＋ F ＝0的公共弦所在的直线方程为 x － y ＋1＝0，则 D ＋ F ＝ .解析：由题设，两圆方程相减可得：（ D ＋2） x －4 y －4－ F ＝0，即为公共弦 x － y ＋1＝0，∴可得∴ D ＋ F ＝－6.－6 1234567891011121314151617181914. 已知椭圆Γ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的离心率为 ，△ ABC 的三个顶点都在椭圆Γ上，设它的三条边 AB ， BC ， AC 的中点分别为D ， E ， F ，三条边所在直线的斜率分别为 k1， k2， k3，且 k1，k2， k3均不为0. O 为坐标原点，若直线 OD ， OE ， OF 的斜率之和为1，则 ＋ ＋ 的值为 .－2 12345678910111213141516171819解析：因为椭圆的离心率为 ，所以由 e2＝ ＝1－ ，得＝ .设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， D （ x0， y0）.则且 ①－②，得 ＋ ＝0，即 ＋ ＝0，所以12345678910111213141516171819＝－ .因为直线 AB 的斜率 k1＝ ，直线 OD的斜率 kOD ＝ ＝ ，所以 k1· kOD ＝－ ＝－ .所以 ＝－2kOD . 同理可得 ＝－2 kOE ， ＝－2 kOF . 所以 ＋ ＋ ＝－2（ kOD ＋ kOE ＋ kOF ）.又直线 OD ， OE ， OF 的斜率之和为1，即kOD ＋ kOE ＋ kOF ＝1，所以 ＋ ＋ ＝－2.12345678910111213141516171819四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本小题满分13分）在①若展开式中倒数三项的二项式系数之和为46，②若展开式中的所有项的系数之和为512，③若展开式中第三项与第四项的系数之比为3∶7，这三个条件中任选一个，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.问题：已知二项式（ ＋ ） n ， ，求：12345678910111213141516171819（1）展开式中二项式系数最大的项；解：若选择条件①：因为展开式中倒数三项的二项式系数之和为46，所以 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝1＋ n ＋＝46，整理得 n2＋ n －90＝0，即（ n ＋10）（ n －9）＝0.因为 n ∈N＋，所以 n ＝9.若选择条件②：因为展开式中的所有项的系数之和为512，所以（1＋1） n ＝2 n ＝512，解得 n ＝9.若选择条件③：依题意可得 ＝ ，即 ＝ ，解得 n ＝9.12345678910111213141516171819因为二项展开式共有10项，所以二项式系数最大的项有两项，分别为第五项 T5＝ ·（ ）5·（ ）4＝126 x－3与第六项 T6＝ ·（ ）4·（ ）5＝126 .12345678910111213141516171819（2）展开式中的常数项.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.解：由 n ＝9得二项展开式的通项为 Tk＋1＝ ·（ ）9－k ·（ ） k ＝ · （ k ＝0，1，2，…，9）.令 －9＝0，得 k ＝6，所以展开式中的常数项为 T7＝ ＝84.1234567891011121314151617181916. （本小题满分15分）2024年某市开展了“寻找身边的好老师”活动，市六中积极行动，认真落实，通过微信关注评选“身边的好老师”，并对选出的五位“好老师”所担任班主任工作年限和被关注数量进行了统计，得到如下数据：担任班主任工作 年限X/年 4 6 8 10 12被关注数量Y/百人 10 20 40 60 5012345678910111213141516171819（1）若“好老师”的被关注数量 Y 与其担任班主任的工作年限 X 满足线性回归方程，试求线性回归方程 Y ＝ X ＋ ，并就此分析“好老师”担任班主任工作年限为15年时被关注的数量；解： ＝8， ＝36，＝ ＝6，＝36－48＝－12，所以 Y ＝6 X －12，当 x0＝15时， y0＝6×15－12＝78（百人）.12345678910111213141516171819（2）若用 （ i ＝1，2，3，4，5）表示统计数据时被关注数量的“即时均值”（四舍五入到整数），从“即时均值”中任选2组，求这2组数据之和小于8的概率.解：这5组统计数据，被关注数量的“即时均值”分别为3，3，5，6，4.从5组“即时均值”中任选2组，共有 ＝10种情况，其中2组数据之和小于8的有（3，3），（3，4），（3，4）共3种情况，所以这2组数据之和小于8的概率为 .1234567891011121314151617181917. （本小题满分15分）某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节.已知共有8 000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩（百分制）作为样本，得到频率分布直方图，如图所示.12345678910111213141516171819（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，求恰有1人预赛成绩为优良的概率；解：由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有（0.012 5＋0.007 5）×20×100＝40（人），其中成绩优良的人数为0.007 5×20×100＝15.记 C ：从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，恰有1人预赛成绩为优良.则 P （ C ）＝ ＝ .12345678910111213141516171819（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛的学生的预赛成绩 Z 服从正态分布 N （μ，σ2），其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且σ2＝362.利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩高于91分的人数；12345678910111213141516171819解：由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值＝10×0.1＋30×0.2＋50×0.3＋70×0.25＋90×0.15＝53，则μ＝53.又σ2＝362，∴σ≈19，∴ P （ Z ＞91）＝ P （ Z ＞μ＋2σ）＝ [1－ P （μ－2σ≤ Z ≤μ＋2σ）]≈0.022 75，∴估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩高于91分的人数为8 000×0.022 75＝182.12345678910111213141516171819（3）预赛成绩高于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量 n ，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第 k 题时“花”掉的分数为0.1 k ；③每答对一题加1.5分，答错既不加分也不减分；④答完 n 题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩.已知学生甲答对每道题的概率均为0.7，且每题答对与否都相互独立.若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量 n 应为多少？参考数据： ≈19；若 Z ～ N （μ，σ2），则 P （μ－σ≤ Z≤μ＋σ）≈0.682 7， P （μ－2σ≤ Z ≤μ＋2σ）≈0.954 5， P （μ－3σ≤ Z ≤μ＋3σ）≈0.997 3.12345678910111213141516171819解：以随机变量ξ表示甲答对的题数，则ξ～ B （ n ，0.7），且 E ξ＝0.7 n ，记甲答完 n 题后所加的分数为随机变量 X ，则 X ＝1.5ξ，∴ EX ＝1.5 E ξ＝1.05 n .12345678910111213141516171819为了获取答 n 题的资格，甲需要“花”掉的分数为0.1×（1＋2＋3＋…＋ n ）＝0.05（ n2＋ n ）.设甲答完 n 题的分数为 M （ n ），则 M （ n ）＝100－0.05（ n2＋ n ）＋1.05 n ＝－0.05（ n －10）2＋105，由于 n ∈N＋，∴当 n ＝10时， M （ n ）取最大值105.∴若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量 n 应该是10.1234567891011121314151617181918. （本小题满分17分）如图，平面 ABCD ⊥平面 ADEF ，其中 ABCD为矩形， ADEF 为梯形， AF ∥ DE ， AF ⊥ FE ， AF ＝ AD ＝2 DE＝2.（1）求证： EF ⊥平面 BAF ；12345678910111213141516171819解：证明：∵四边形 ABCD 为矩形，∴ BA ⊥ AD ，∵平面 ABCD ⊥平面 ADEF ，又平面 ABCD∩平面 ADEF ＝ AD ， BA 平面 ABCD ，∴ BA ⊥平面 ADEF .又 EF 平面 ADEF ，∴ BA ⊥ EF .又 AF ⊥ EF ，且 AF ∩ BA ＝ A ，∴ EF ⊥平面 BAF .12345678910111213141516171819（2）若二面角 A - BF - D 的余弦值为 ，求 AB 的长.解：设 AB ＝ x （ x ＞0）.以 F 为坐标原点， AF ， FE 所在直线分别为 x 轴， y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 F （0，0，0）， E （0， ，0），D （－1， ，0）， B （－2，0， x ），∴ ＝（1，－ ，0）， ＝（2，0，－ x ）.由（1）知 EF ⊥平面 ABF ，∴平面 ABF 的一个法向量可取 n1＝（0，1，0）.12345678910111213141516171819设 n2＝（ x1， y1， z1）为平面 BFD 的一个法向量，则 即令 y1＝1，则 n2＝ .∵ cos ＜ n1， n2＞＝ ＝ ＝ ，解得 x ＝ （负值舍去），∴ AB ＝ .1234567891011121314151617181919. （本小题满分17分）已知椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的离心率为 ，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.（1）求椭圆 C 的标准方程；解：由已知可得解得 a2＝2， b2＝ c2＝1，所以椭圆方程为 ＋ y2＝1.12345678910111213141516171819（2）若直线 l ： y ＝ kx ＋2与椭圆 C 相交于 A ， B 两点，在 y 轴上是否存在点 D ，使直线 AD 与 BD 的斜率之和 kAD ＋ kBD 为定值？若存在，求出点 D 坐标及该定值，若不存在，试说明理由.解：由得（1＋2 k2） x2＋8 kx ＋6＝0，由Δ＝64 k2－24（1＋2 k2）＝16 k2－24＞0，解得 k ＜－ 或 k ＞ .12345678910111213141516171819设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2＝－ ， x1 x2＝ ，设存在点 D （0， m ），则 kAD ＝ ， kBD ＝ ，所以 kAD ＋ kBD ＝＝＝ .12345678910111213141516171819要使 kAD ＋ kBD 为定值，只需6 k －4 k （2－ m ）＝6 k －8 k ＋4km ＝2（2 m －1） k 的值与参数 k 无关，故2 m －1＝0，解得m ＝ ，当 m ＝ 时， kAD ＋ kBD ＝0.综上所述，存在点 D ，使得 kAD ＋ kBD 为定值，且定值为0.12345678910111213141516171819谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 模块综合检测.docx 模块综合检测.pptx
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