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北京市北京大学附属中学预科部 2025-2026 学年高三上学期十
月阶段练习数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合U 1, 2,3, 4,5,6 , A 1,3,5 ,B 2,5,6 ，则集合 U A B （ ）
A． 2,4,6 B． 1,3,4 C． 1,2,3,5,6 D． 4
2．在复平面内，复数 z i 1 2i 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知定义在R 上的函数 f (x)满足 f (x 2) f (x) ，且 f (1) 8，则 f (7) （ ）
A．2 B． 8 C．8 D． 2
4．已知函数 f x 的图象如图所示，则 f x 的解析式可能是（ ）
A． f x x2 cosx B． f x x2 sinx
C x． f x 2 cosx D． f x 2x sinx
5．已知角 的顶点与坐标原点重合，始边落在 x轴的正半轴上，终边上有一点 tan ,3 ，
则 sin （ ）
1 1A 3 3． 2 B． C． D． 2 2 2
4 5
6．已知函数 f x x 1，设 a f log3 ，b f log3 ， c f 31.1 ，则（ ）
3 3
A．a b c B．b a c
C． c b a D． c a b
7．若函数 f x 的定义域为D，则“ f x 的最小值为 0”是“对任意 t 0，存在 x0 D，使得
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f x0 t ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
8 x．已知 y f x 的图象连续不间断，根据下表中的数据，可以判定方程 f x e 2 0的
一个根所在区间为（ ）（此处 ex取近似值）
x 1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
f x 1 2.5 5 8.5 13
A． 1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2,3
三、单选题
9．在声学中，人们用分贝dB来描述声音的强弱等级．分贝数 dB由声音强度 I（单位：W /m2）
与基准声强 I0（通常取10 12W / m2，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式
dB 10 lg I为： I ．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度
Ic是基准声强 I 90的10 倍，而
0
Ic
普通交谈时的声音分贝约为60dB．记普通交谈时的声音强度为 It，则 I （ ）t
A．102 B．10 2 C．103 D．10 3
2 x 1, x 0
10．已知函数 f x ，则下列选项中正确的是（ ） f x 1 , x 0
A． f x 既有最大值也有最小值
B．存在实数 x0，使得 f x0 0
C．对任意正整数M , f x 在区间 M ,M 1 上均单调递增
1 1
D．若0 a 1且关于 x的方程 f x loga x 2 有且只有两个实根，则 a , 3 2
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四、填空题
11 f x 2 x2．若 2，则 f 3 ．
12．在V ABC中，已知 A
π
，b 2，a m，若V ABC存在且唯一，则m的一个整数取值
5
为 ．
π
13．已知 0且函数 f x sin x 的图象恰有三条对称轴在 0, π 上，则其在 0, π 上
4
共有 个极大值点．
14．如图，已知函数 y f x 的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，则不等式
f x f x x的解集为 ．
15．已知函数 f x 的定义域为R ，给出下列四个结论：
①存在周期函数 f x ，使得函数 g x f x f x 不是周期函数；
②对任意 a 0，函数 f x 与函数 h x f x a不可能都是奇函数；
③若 f xy f x f y 恒成立且函数 f x 不是常值函数，则 f x 的图象过定点 1,1 ；
④存在无穷多个周期函数 f x ，使得 f x f x sin x恒成立．
其中所有正确结论的序号是 ．
五、解答题
16．已知函数 f x 2cosx sinx 3cosx 3．
(1)求 f x 的最小正周期；
(2)求 f x 的单调递增区间．
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17．在钝角V ABC中，已知 3sinC sinB,a2 b2 c2 3ab．
(1)求 B；
(2)若V ABC的周长为 4 2 3，求V ABC的面积．
18 2．设函数 f x Asin x 3sin2 x 1 0 , f x 的最大值为 2.
(1)求 A的值；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得 f x 存在且唯一，若
f x 在 0,m 上有且仅有 3个零点，求m的取值范围：
π
条件①： f 0；
12
x R, f x f π 条件②： ；
3
条件③：函数 f x π 在区间

0, 上是增函数．
4
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分．
19．已知函数 f x ae2x x a．
(1)求曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
(2)若 f x 0恒成立，求 a的值．
20．已知函数 f (x) (x2 a)ln(x 1)，曲线 y f (x)在点 (0, f (0)) 处的切线经过点 (1, 1)．
(1)求 a的值；
(2)求 f (x)的极值点个数；
(3)是否存在负数 t，使得曲线 y f (x)在点 (t, f (t))处的切线与 y f (x)有且只有一个公共
点？如果存在，求所有符合条件的 t的个数；如果不存在，说明理由．
21．已知整数数列 A : a1,a2 ,...,an 1 n 3 满足0 ai i 1 i 1,2,...,n 1 ．定义数列
t A :b1,b2 , ,bn 1，其中 b1 0，对 2 i n 1，bi表示集合 j | j 1, 2,..., i 1,a j ai 的元素
个数．
(1)对于下列数列 A，分别写出其对应的 t A ：
① A : 0,1, 2,3；② A : 0,1,0,1；
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(2)记 t t A : c1,c2 , ,cn 1，证明：若 a4 b4，则b4 c4；
(3) 0 记 t A A * t k A t t k 1k N A n 1 n 为 ，当 时，记 为 ．证明：t A 与 t A 的各项对
应相等．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D C D A BC C D
11． 1
12． 2（答案不唯一，满足m 2,3, 即可）
13．2

14． x
2 5 x 0 2 5 或 x 1

5 5


15．②③④
16．（1）因为 f x 2cosx sinx 3cosx 3 2cosxsinx 2 3cos2x 3
sin2x 3cos2x 2sin

2x
π

3
2π
所以最小正周期T π；
2
π π
（2）函数 y sinx的单调递增区间为 2kπ , 2kπ , k Z．
2 2
π π π 5π π
由 2kπ 2x 2kπ ,k Z，得 kπ x kπ ,k Z
2 3 2 12 12
f x 5π π 所以 的单调递增区间为： kπ ,kπ ,k Z． 12 12
17．（1）由余弦定理可知 a2 b2 c2 2abcosC，所以2abcosC 3ab，
故 cosC 3 ，
2
C 0, π ， C π ，
6
则 sinB 3sinC 3 ，
2
B 0, π ，
B 2π 或 B
π
．
3 3
B π π当 时， A ，V ABC不为钝角三角形，舍去，
3 2
B 2π 时，满足要求．
3
π
（2）由（1）可得 A π B C ，6
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由正弦定理 a :b :c sinA : sinB : sinC 1: 3 :1，即b 3a,c a．
周长 a b c 2 3 a 4 2 3，所以a 2．
则V ABC S 1的面积 acsinB 1 2 2 3 3 ．
2 2 2
A 1 cos2 x18．（1 ）由题可知， f x Asin 2 x 3sin2 x 1 3sin2 x 1
2
3sin2 x A cos2 x A 1，
2 2
2
因为函数 f x 2 A A的最大值为 2，所以 3 2 1 2，解得 A 2． 2
（2）选择①③：
当 A 2时， f x 3sin2 x cos2 x 2sin 2 x π ．
6
f π 2sin π π 因为 12
0，
6 6
π π所以 kπ,k Z ，
6 6
即 6k 1,k Z．
0 x π π 2 x π π π当 时， ；
4 6 6 2 6
π π π π 4
因为函数 f x 在区间 0, 上是增函数，所以 ，即 ． 4 2 6 2 3
π
综上， 1．此时， f x 2sin 2x 6 ．
π 2x π 2m π当0 x m时， ；
6 6 6
若 f x 在 0,m π上有且仅有 3个零点，则 2π 2m 3π，
6
13π m 19π得 ．
12 12
13π 19π
因此m的取值范围是 ,
12 12
．

选择②③：
f x 3sin2 x cos2 x 2sin 2 x π当 A 2时， ．
6
因为 x R, f x f π π ，所以当 x 时 f x 2sin

2 x
π

3 取得最大值， 3 6
2π π π因此 2kπ, k Z，即 1 3k,k Z．
3 6 2
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0 x π π 2 x π π π当 时， ；
4 6 6 2 6
π π π π 4
因为函数 f x 在区间 0, 上是增函数，所以 ，即 ． 4 2 6 2 3
π
综上， 1．此时， f x 2sin 2x
6
．

π 2x π π当0 x m时， 2m ；
6 6 6
π 13π
若 f x 在 0,m 上有且仅有 3个零点，则 2π 2m 3π，得 m 19π ．
6 12 12
13π 19π
因此m的取值范围是 , ．
12 12
选择①②不符合要求，理由如下：
π
当 A 2时， f x 3sin2 x cos2 x 2sin 2 x ．
6
f π 因为 2sin
π π
0
π π
，所以 kπ,k Z，即 6k 1,k Z．
12 6 6 6 6
π π π
因为 x R, f x f ，所以当 x 时 f x 2sin 2 x

3 取得最大值， 3 6
2π
因此
π π
2k1π,k1 Z，即 1 3k1, k3 6 2 1
Z．
结合这两个条件，不能得到唯一的 ，即 f x 不唯一．
19 2x 2x．（1）由已知，函数 f x ae x a，则 f x 2ae 1，
又 f 0 a a 0， f 0 2a 1，
所以点 0,0 处的切线方程为 y 0 2a 1 x 0 ，即 y 2a 1 x．
2 2x（ ）方法一：由（1）可得 f x 2ae 1， x R ．
当 a 0时， f x 0 1 1 0恒成立，因此 f x 在定义域内单调递减，
而当 x 0时 f x f 0 0，与题意不符；
当 a 0 f x 0 x 1时，令 ，解得 ln 1 1 ln2a，
2 2a 2
则 x, f x , f x 变化如下表．
x , 1 ln2a 1 1 ln2a

ln2a,

2 2 2
f x － 0 ＋
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f x ↘ 极小值 ↗
要使 f x 0 1 恒成立，只需 f x f ln2a 0min ， 2
g a f 1 ln2a ae ln2a 1 ln2a a 1 1令 ln2a a ,a 0 ，
2 2 2 2
g a 1 1则 2 1 1 1 2a 1 ，令 g a 0，解得 a 1 ，
2 2a 2a 2a 2
则 a, g a , g a 变化如下表．
a 1 1 1 0, ,
2 2 2
g a ＋ 0 －
g a ↗ 极大值 ↘
1
因此 g a g 0且 f x g a 0可得 g a 0 g
1
0
2 min
，又由上表 是唯一的最大
2
1
值，因此 a ．
2
方法二：由（1）可得 f 0 0，因此 f x 0恒成立，即 f x f 0 恒成立，
又 f x 在 x 0处有导数，因此 f x 在 x 0处取到最小值，亦是极小值，
从而 f 0 2a 1 0 a 1，解得 ，
2
a 1当 时， f x 1 e2x 1 x ， f x e2x 1，
2 2 2
令 f x 0，解得 x 0，则 x, f x , f x 变化如下表．
x ,0 0 0,
f x － 0 ＋
f x ↘ 极小值 ↗
1
因此 f x f x f 0 0min ，即当 a 时， f x 0恒成立．2
2
20．（1）函数 f (x) (x2 a)ln(x 1)，求导得 f (x) 2xln(x x a 1) ，则 f (0) a，而
x 1
答案第 4页，共 7页
f (0) 0，
于是曲线 y f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程为 y ax，
又曲线 y f (x)在点 (0, f (0))处的切线经过点 (1, 1)，解得 a 1，
所以 a的值为 1.
（2）由（1）知 f (x) (x2 1)ln(x 1)，其定义域为 ( 1, )，求导得 f (x) 2xln(x 1) x 1，
令 g(x) 2xln(x 1) x 1，求导得 g (x) 2ln(x
2x
1) 1 2ln(x 1) 2 3，
x 1 x 1
y 2ln(x 1), y 2函数 3在 ( 1, )上都单调递增，则函数 g (x)在 ( 1, )上单调递
x 1
增，
而 g (
1
) 1 2ln 2 0, g (0) 1 0 1，则存在 x0 ( , 0)，使得 g (x ) 0，2 2 0
当 1 x x0 时， g (x) 0；当 x x0时， g (x) 0，
函数 g (x)，即 f (x)在 (-1, x0 )上单调递减，在 (x0 , )上单调递增，
f ( 1 3 1 2 ) 2 2 0, f (x0 ) f (0) 1 0, f (1) 2ln 2 0，e e
f (x) ( 1 1函数 在 2 ,xe 0
)和 (x0 ,1)上各有唯一零点 x1, x2，
当 1 x x1, x x2时， f (x) 0；当 x1 x x2 时， f (x) 0，
函数 f (x)在 ( 1, x1), (x2 , )上单调递增，在 (x1, x2)上单调递减，
因此函数 f (x)在x1处取得极大值，在 x2处取得极小值，
所以函数 f (x)有 2个极值点.
（3）曲线 y f (x)在点 (t, f (t))处的切线方程为 y f (t)(x t) f (t)，
由曲线 y f (x)在点 (t, f (t))处的切线与 y f (x)有且只有一个交点，
得函数 h(x) f (x) f (t)(x t) f (t)有唯一零点，求导得 h (x) f (x) f (t)，
由（2）知， f (x) f (x0 )，则当 t x 0时， h (x) 0在 ( 1, )恒成立，
函数 h(x)在 ( 1, )上单调递增，又 h(t) 0，因此函数 h(x)有唯一零点，符合题意；
当 t x0时，由（2）知 h (x) f (x) f (t) 0在 (t, x0 )恒成立，
函数 h(x)在 (t, x0 )单调递减，则 h(x0 ) h(t) 0，而当 x 时， h(x) ，
因此存在 x3 x0，使得 h(x3) 0，则函数 h(x)在 (x0 , x3)上存在零点，此时 h(x)至少两个零
答案第 5页，共 7页
点，不合题意；
当 x0 t 0时，由（2）知 h (x) f (x) f (t) 0在 (x0 , t)恒成立，
函数 h(x)在 (x0 , t)上单调递减， h(x0 ) h(t) 0，由（2）知 f (x)在 (t , 0 ) 上单调递增，
于是 f (t) f (0) 1， f (t)( 1 t) 0，
由（2）知 f (x)在 (t , 0 ) 上单调递减， f (t) f (0) 0，
因此当 x 1时， h(x) [ f (t)( 1 t) f (t)] 0，
存在 x4 ( 1, x0 )，使得h(x4 ) 0，
函数 h(x)在 (x4 , x0 )上存在零点，函数 h(x)至少两个零点，不合题意，
所以 t的所有取值个数为 1.
21．（1）根据题意可得
① t A : 0,1,2,3；② t A : 0,1,1,2．
（2）因0 ai i 1 i 1,2,...,n 1 ，且数列 A为整数数列，
所以 a2 0,1 ， a3 0,1,2 ， a4 0,1,2,3 ，而 a1 0 .
若 a4 b4 0，则 a1,a2 ,a3 均等于 a4，于是b1 b2 b3 0，故 c4 0．
若 a4 b4 1，则 a1,a2 ,a3 中恰有一个不等于 a4，由于a1 0，所以 a2 a3 1，
于是 b1 0，b2 b3 1，故 c4 1．
若 a4 b4 2，则 a1,a2 ,a3 中恰有两个不等于 a4，而 a1 0， a2 0,1 ，故 a3 2，
于是 b1 0，b2 0或 1，b3 2，故 c4 2 .
若 a4 b4 3，由b1,b2 ,b3 3，故 c4 3．
综上，b4 c4 .
（3）先证明引理 1：对任意 2 i n 1,bi ai．
设 ai j 0 j i 1 ．因为0 ak k 1 k 1,2, , j ，所以a1,a2 , ,a j均不等于 j．
所以bi j．故对任意 2 i n 1，bi ai．
再证明引理 2：记数列 t t A : c1,c2 , ,cn 1，对任意 2 i n 1，若bi ai，则 ci bi．
答案第 6页，共 7页
设 ai j 0 j i 1 ．因为0 ak k 1 k 1,2, , j ，所以 a1,a2 , ,a j均不等于 j．而bi j，
所以 a1,a2 , ,ai 1中恰有 j项不等于 j，于是 a j 1 a j 2 ai j，
进而bj 1 bj 2 bi j．易见0 bk k 1 k 1,2, , j ，所以 ci j．
以下证明题目命题.
当 n 1时， A : 0,0或 A : 0,1，两种情况下都有 t A 与 A的各项对应相等．
n 1
假设使得结论不成立的最小 n m 1 m 1 ，即当 n m时均有 t A 与 t n A 的各项对应
相等，
t m 1 A t m A m 1 2 t m A t m 1 所以 与 的前 项对应相等．根据引理 ， 与 A 的前m 1项
分别相等．
t m A t m 1 A m 2 1 t m 1 A , t m A , t m 1 假设 与 的第 项不相等，根据引理 ， A 的第m 2
项依次是m 1,m,m 1．
（ⅰ m 1 ）假设 t A 的第m 1项是m 1 t m ，则 A 的第m 2项也是m 1，矛盾；
ⅱ m 1 m （ ）假设 t A 的第m 1项是m时，则 t A 的第m 1项也是m，
t m 1 于是 A 的第m 2项也是m，矛盾；
（ⅲ m 1 ）假设 t A 的第m 1项小于m 1 2 t m 1 ，根据引理 的证明， A 的第m项与第m 1
项相等．
于是 t m 1 A m 的前m 1项均小于m 1，则 t A 的第m 2项是m 1，矛盾.
故原命题成立．
答案第 7页，共 7页

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