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北京市第一七一中学 2025-2026 学年高三上学期 10 月练习
数学试题
一、单选题
1．已知集合 A x N | 1 x 3 ，U = {-2,-1,0,1, 2}，则 UA为（ ）
A． 0,1,2 B． 1,2 C． 2, 1,0 D． 2, 1
2i
2．在复平面内，复数 z 对应的点位于（ ）
1 i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列函数中，既是奇函数又在 0, 上为增函数的是（ ）
A． y x2
1
= B． y cos x C． y x D． y ex+e x
x
4． (2 x )4的展开式中常数项是（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
5．在平面直角坐标系 xOy中，角 与角 均以Ox为始边，它们的终边关于直线 y x对称．若
sin 3 ，则 cos （ ）
5
4 4 3 3
A． B． C．- D．
5 5 5 5
y x
6．若 xy 0，则“ x y 0”是“ 2x y ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

M 3

7．已知集合 sin | sin , R ,则集合 M的元素个数为（ ）
2 2
A．2 B．4
C．6 D．8
2 2
8．已知圆C : x2 (y 5)2 1 x y与双曲线 2 2 1 a 0,b 0 的渐近线相切，则该双曲线的a b
离心率是（ ）
1 5
A． B． C．5 D． 5
5 2
9．已知 x1,y1 , x2 ,y2 是函数 y log2x的图象上两个不同的点 则下面结论正确的是（ ）
试卷第 1页，共 4页
y1 y2 x x y1 yA． 1 2 B． 2 x1 x2 2 2
C． y1 y2 x1 x2 D． y1 y2 x1 x2
10．在企业生产经营过程中，柯布-道格拉斯生产函数有着广泛的应用，其表达式为：
Q AL K ，其中自变量 L，K分别表示生产过程中劳动要素和资本要素的投入，函数值 Q
表示产量，常数 A是代表生产技术水平的参数，常数 , 分别表示劳动和资本的产出弹性
系数.已知在某企业中，K 1，且 L1 2时Q1 10，L2 3时Q2 20，则当Q3 30时，对应
的 L3约为（ ）
参考数据： log2 3 1.60， log2 3.2 1.65， log2 3.4 1.75， log2 3.6 1.85， log2 3.8 1.95
A．3.2 B． 3.4 C．3.6 D． 3.8
二、填空题
1
11．函数 f x ln x的定义域是 .
x 1
12．在V ABC π中，已知 a 7， c 5，C .则cos2A 4 .
13．设抛物线C : y2 4x的焦点为 F，准线 l与轴的交点为 M，P是 C上一点.若 PF 4，
则 PM .
14．设函数 f x sin π x ( 0)．
3
π
①给出一个 的值，使得 f x 的图像向右平移 后得到的函数 g x 的图像关于原点对称，
6
；
②若 f x 在区间 0, π 上有且仅有两个零点，则 的取值范围是 ．
ln x 115 ．已知函数 f x ，其定义域记为集合 D， a,b D，给出下列四个结论：
ln x
①D x x 0且x 1 ；
②若 ab 1，则 f a f b 1；
③存在 a b，使得 f a f b ；
④对任意 a，存在 b使得 f a f b 1．
试卷第 2页，共 4页
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
π
16．已知函数 f x sin 2x 2cos2x .
6
(1)求 f x 的最小正周期和单调递增区间；
(2)求 f x π 在区间 0, 上的最大值和最小值. 2
17．某老师为了解班里甲、乙两位同学的数学学习情况，从他们的数学小练习成绩中各随机
抽取 10份，.获得数据如下表：
甲同
8 6.5 6 6 7.5 8 8 5.5 9 7.5
学
乙同
6 7 7 7.5 7.5 8.5 9 7 9.5 9
学
已知数学小练习满分为 10分，最低分为 0分.若小练习得分不低于 7.5分视为“得分达到良好”，
若小练习得分不低于 8.5分视为“得分达到优秀”. 假设用频率估计概率，且甲和乙小练习成
绩相互独立.
(1)从甲同学的样本中随机抽取 1个，求“得分达到良好”的概率；
(2)从乙同学的所有数学小练习成绩中随机抽取 3 份，记随机变量 X为“得分达到优秀”的次
数.估计 X的分布列和期望：
(3) 2 2 2 2样本中，甲、乙两位同学小练习成绩的方差分别为记为 S1 和 S2 ，试比较 S1 和 S2 的大小
（结论不要求证明）.
18．在△ABC中,a2 b2 ab c2 , sinC 3 sin B.
(1)求∠B；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，
求△ABC的周长.
条件①: a b；
3 3
条件②：△ABC的面积为 ；
4
试卷第 3页，共 4页
3
条件③：AC边上的高等于 .
2
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分.
x2 y2 3 19．已知椭圆C : 1 a b 0 ，其中a2 b2 5，点 1, 2 2 2 在椭圆C上．a b
(1)求椭圆C的方程及上顶点 A的坐标；
(2)过点T 2,1 的直线交椭圆C于 P,Q两点，直线 AP, AQ与 x轴的交点分别为M ，N，证明：
线段MN的中点为定点．
20 ax．已知函数 f x x 2 e b，曲线 y f x 在 0, f 0 处的切线方程为 y 3x 3 .
(1)求 a，b的值；
(2)①求证： f x 只有一个零点；
②记 f x 的零点为 x0，曲线 y f x 在 u, f u 处的切线 l与 x轴的交点横坐标为x1，若
x1 x0，求 u的取值范围.
21．设 A xA ,yA ， B xB , yB 为平面直角坐标系上的两点，其中 xA , yA , xB , yB Z ，令
x xB xA， y yB yA，若 Δx Δy 3，且 Δx , Δy 0，则称点 B为点 A的“相关点”，
记作： B T A .已知 P0 x0 ,y0 （ x0 , y0 Z）为平面上一个定点，平面上点列 Pi 满足：
Pi T Pi 1 ，且点 Pi的坐标为 xi , yi ，其中 i 1, 2,3, ,n .
(1)请问：点 P0的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，
写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；
(2)求证：若 P0与Pn重合， n一定为偶数；
n
(3)若P0 1,0 ，且 yn 100，记T xi ，求 T的最大值.
i 0
试卷第 4页，共 4页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B D C B C C D
11． 0,1 1，+ .
24
12． /0.96
25
13． 2 7
5 , 8 14． 2（答案不唯一）；
3 3
15．①②④.
16．（1）因为 f x sin 2x π
2
2cos x，
6
f x sin 2x cos π cos 2x sin π 1 cos 2x 3所以 2 sin 2x 3 cos 2x 1
6 6 2 2 2
所以 f x 3 sin 2x π

1，
3
所以函数 f x 2π的最小正周期T π，
2
π
由 2kπ 2x
π π π 5π
2kπ, k Z得， kπ x kπ， k Z，
2 3 2 12 12
f x π 5π 所以函数 的最小正周期为 π，单调增区间为 kπ, kπ (k Z) . 12 12
（2）由于 f x 3 sin 2x
π
1，
3
π π 3π 5π 11π
令 2kπ 2x 2kπ k Z ，解得： kπ x kπ k Z ,
2 3 2 12 12
f x 5π 11π 所以函数 的单调递减区间为 kπ, kπ k Z ， 12 12
结合（1）可得，函数 f x 5π 5π π 在区间 0, 12 上单调递增，在区间 , 上单调递减， 12 2
f x f 5π 所以 3 sin
π
1 3 1
max ， 12 2
又 f 0 3 sin π 5 1 f π 2π 1 ， 3 sin 1 ，
3 2 2 3 2
所以 f x f 0min
5
,
2
所以函数 f x 0, π 5在区间 2 上的最大值为 3 1，最小值为 ． 2
17．（1）根据题意甲同学“得分达到良好”的有：8，7.5，8，8，9，7.5共 6个，
答案第 1页，共 7页
6 3
所以从甲同学的样本中随机抽取 1个，求“得分达到良好”的概率为 10 5 .
（2）乙同学“得分达到优秀”的有：8.5，9，9.5，9共 4个，
4 2
所以乙同学所以数学小练习中“得分达到优秀”的概率为 ，
10 5
从中随机抽取 3份，随机变量 X服从二项分布，
0 3 1 2
P X 0 C0 2 3 27 2 3 543 ， P X 1 C1

5 5 125 3
，
5 5 125
P X 2 C2 2
2
3
1
36 2
3
3 3
0 8
3 5
， P X 3 C
5 125 3
，
5 5 125
所以分布列为
X 0 1 2 3
27 54 36 8
P
125 125 125 125
E X 0 27期望 1 54 2 36 8 150 6 3 .
125 125 125 125 125 5
（3）根据题意样本中甲同学成绩的均值
x 8 6.5 6 6 7.5 8 8 5.5 9 7.51 7.2，10
x 6 7 7 7.5 7.5 8.5 9 7 9.5 9乙同学成绩的均值 2 7.8，10
S 2 0.8
2 0.72 1.22 1.22 0.32 0.82 0.82 1.72 1.82 0.32
所以甲同学成绩的方差 1 1.16，10
1.82 0.82 0.82 0.32 0.32 0.72 1.22 0.82 1.72 1.22
乙同学成绩的方差 S 22 1.16，10
所以甲、乙两位同学小练习成绩的方差相等.
18．（1）由 a2 b2 ab c2 ,可得 a 2 b 2 c 2 ab，
a2 b2 c2 ab 1
由余弦定理可得： cosC ，
2ab 2ab 2
因为C 0, π 2π，所以C ，
3
sinC 3sin B sinC 3 , 3又因为 ，所以 3 sin B ，
2 2
π
所以 sin B
1
，因为 B 0,
π
，所以 B .2 3 6
答案第 2页，共 7页
2π π π 2π π
（2）若选择①：因为C ， B ，所以 A π ，所以 B A，
3 6 6 3 6
则 a b，不知道三条边的边长，所以△ABC的周长不唯一，故不能选择①.
A π若选择②：由（1）可得 ，即 a b，
6
1 1 3 3 3
则 S ABC ab sinC a
2 ，解得 a 3，
2 2 2 4
再代入 a2 b2 ab c2可得： c 3，
所以△ABC的周长为： a b c 2 3 3 .
π
若选择③：由（1）可得 A ，即 a b，
6
由 a2 b2 ab c2可得： c 3a，
S 1 1 3 3所以 ABC ab sinC a
2 a 2 ，
2 2 2 4
3 1 3 3
又因为 AC边上的高等于 ， S
2 ABC
b a，
2 2 4
3 3
所以 a a 2，解得： a 3，所以b 3，c 3，
4 4
所以△ABC的周长为： a b c 2 3 3 .
a2 b2 5
a2 4
19．（1）由题意可得 1 3 ，解得 .
2 2 1 b
2 1
a 4b
x2
所以椭圆方程为 y2 1.
4
上顶点 A的坐标为 0,1 ；
（2）由题意可知：直线 PQ的斜率存在且不为 0，
设 PQ : x 2 m y 1 ,P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，
x m y 1 2
2 m y 1 2
联立方程 x2 2 ，消去 x得： y2
y 1
1
4 4
m2 y2 2y 1 4m y 1 4y2 0，
m2 4 y2 4m 2m2 y m2 4m 0
2
则Δ 4m 2m2 4 m2 4 m2 4m 64m 0，解得m 0，
答案第 3页，共 7页
y 2m
2 4m m2 4m
可得 1 y2 2 ,y ym 4 1 2

m2
，
4
A 0,1 y1 1因为 ，则直线 AP : y x 1x ，1
x x1 x1 令 y 0，解得 M ,01 y ，即 ,1 1 y

1
x
同理可得 N 2 ,01 y
，
2
x1 x 2
1 y1 1 y2 1 m y1 1 2 m y2 1 2
2 2

1 y

1 1 y2
1 m y1 1 2 m y1 1 y2 2y2 m y2 1 2 m y2 1 y1 2y 1
2 1 y1 y2 y1y2
2m2 m 1 4m m
2 4m
m 1 y m1 y2 my1y2 2 m m2 4 m2 2 m 4
1 y1 y 2 22 y1y2 1 2m 4m m 4m
m2 4 m2 4
m 1 2m 2 4m m m 2 4m 2 m m 2 4

m2 4 2m2 4m m2 4m
8
2
4
所以线段MN的中点是定点 2,0 .
20．（1）由题意知， f (x) eax aeax (x 2) eax (ax 1 2a)，
所以曲线 y f (x)在 x 0处的切线的斜率为 f (0) 1 2a ，
又曲线 y f (x)在 x 0处的切线方程为 y 3x 3，
f (0) 1 2a 3 a 2
所以 ，解得 ；
f (0) 2 b 3

b 1
（2）①：由（1）知， f (x) (x 2)e2x 1, f (x) e2x (2x 3)，
令 f (x) 0 x
3
, f (x) 3 0 x ，
2 2
答案第 4页，共 7页
f (x) , 3 3 , 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
2 2
所以 f (x)min f (
3) ( 3 2)e 3 1 1 e 3 1 0 ，
2 2 2
4.2
且当 x 2时， f (x) 0，当 x 2.1时， f (2.1) e 1 0 ，
10
所以函数 f (x)在R 上存在唯一 x0，使得 f (x0) 0，
即函数 f (x)在R 上存在唯一零点.
②：由①知，切线 l的斜率为 f (u) e2u (2u 3)，又 f (u) (u 2)e 2u 1，
所以 l : y (u 2)e2u 1 e2u (2u 3)(x u)，
y 0 x 1 (u 2)e
2u
u 1 2u
2 4u 2
令 ，得 1 2u e (2u 3) e2u (2u 3) 2u ， 3
g(u) 1 2u
2 4u 2 4(u 1)[(u 2)e 2u 1] 4(u 1) f (u)
设 2u g (u) e (2u 3) 2u 3 ，则 e2u (2u ， 3)2 e2u (2u 3)2
令 g (u) 0 1 u
3 3
或 u x 0， g (u) 0 u 1或 u x2 2 0
，
g(u) 1, 3 3 , x 所以函数 在 和2 2 0
上单调递减，在 ( ,1)和 (x0 , )上单调递增，

1
当 u
3
时， g(u) g(1) 2 0 ，即 x1 0，由①知 x0 (2, 2.1)，故不符合题意；2 e
3
当u 时，由 (x 2)e 2x0 1 0 ，得
2 0
1 2x20 4x 2 x 2 2x
2 4x 2
g(u) g(x 0 00)
0 0 x
(2x 3)e 2x00 2x0 3 2x0 3 2x
，
0 3
0
即 x1 x0，符合题意，
3
故实数u的取值范围为 , 2
.

21．（1） P0的“
2 2
相关点”有8个，且都在圆 x x0 y y0 5上，理由如下：
由 Δx Δy 3，且 Δx , Δy 0， xA , yA , xB , yB Z ，
则 Δx 1， Δy 2或 Δx 2， Δy 1，故 P0的“相关点”有8个，
又因为 Δx 2 Δy 2 5 x x 2，即有 0 y y
2
0 5，
“ ” x x 2 y y 2故这些 相关点 在圆 0 0 5上；
（2）若 P0与 Pn重合，则 xn x0、 yn y0，
令 xi xi xi 1、 yi yi yi 1，
答案第 5页，共 7页
n n
则 xi 0， yi 0，
1 1
n n n
则 Δxi Δyi Δxi Δ yi 0，
1 1 1
由（1）知 Δxi 1， Δyi 2或 Δxi 2， Δyi 1，
则 xi yi必为奇数，即有 n个奇数相加为0，
因为奇数个奇数的和为奇数，故 n必为偶数；
（3）由题意可得 yn yn yn 1 yn 1 yn 2 y1 y0 y0 100，
又 Δyi 2或 Δyi 1，则 yn yn 1 2， yn 1 yn 2 2，L ， y1 y0 2，
则 yn 2n y0 2n，故 n 50，
n
T xi x0 x1 xn 1 1 Δ x1 1 Δ x1 Δ x2 1 Δ x1 Δ x2 Δ x n
i 0
n 1 nΔx1 n 1 Δx2 Δxn，
由 Δxi 1， Δyi 2或 Δxi 2， Δyi 1，
则 xi 2的个数越多，则T 的值越大，
而且在序列 x1, x2 , , xn中，数字 2的位置越靠前，则相应的T 的值越大，
则 Δyi 1的次数最多时， xi取 2的次数才能最多，相应的T 的值最大；
①当50 n 100时，令 yp 1， p 2n 100，
Δyq 2， 2n 100 q n， p,q N ，
则相应的取 xp 2， p 2n 100， xq 1，2n 100 q n，
则T n 1 2 n n 1 101 n 100 n 99 n 2 1
n 101 n 2n 100 100 n 1 100 n
n 1 2
2 2
1
n2 205n 10098 ；2
②（i） n 100且 n为偶数时，设 n 2k，此时 yi 可取 k 50个1， k 50个 1，
则所有的 Δxi 都为 2，为使T 最大，则所有 xi都取 2，
答案第 6页，共 7页
n 1 n
且T n 1 2 n n 1 2 1 n 1 2 n
2 2n 1 ；
2
（ii）当 n 100且 n为奇数时，设 n 2k 1，
令 yn 2，则其余的 yi 中取 k 49个1， k 49个 1，
则相应的 xn 1，其余的 xi 2时，T 最大，
n 2 n 1
此时T n 1 2 n n 1 2 1 n 2 2 n
2 2n；
2
1 n2 205n 10098 ,50 n 100
2

2
综上所述：Tmax n 2n 1,n 100且n为偶数 .

n
2 2n,n 100且n为奇数

答案第 7页，共 7页

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