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北京市房山区良乡附中 2025-2026 学年高三上学期 10 月月考
数学试题
一、单选题
1．已知集合 A x x 3 ， B x 1 x 2 ，则 A B等于（ ）
A． ( 3,2) B． ( 1, 3) C． ( 3, 3) D． ( 1, 2)
2．若复数 z满足 (1 i)z 1 2i，则 z （ ）
3 1
A． i
3 1 i 3 1 i 3 1B． C． D． i
2 2 2 2 2 2 2 2
x2 23 y 3．已知双曲线 2 1(m 0)的渐近线方程为 y x，则实数m （ ）4 m 2
A 16． B．3 C．6 D．9
9
y 2cos π 4．函数 2x 的图象的一个对称中心是（ ）
6
π π ,0 ,0 π π A． B． C． ,0 D． ,0
12 6 12 6
5．已知函数 f (x) ex e x ，则 f (x) （ ）
A．是偶函数，且在 (0, )上是增函数
B．是偶函数，且在 (0, )上是减函数
C．是奇函数，且在 (0, )上是增函数
D．是奇函数，且在 (0, )上是减函数
6．已知 a,b,c R ，且 a b,0 c 1，则（ ）
a b
A．a c b 1 B． ac b C． a b 2 ab D．
b a b a
7．已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn， a2 3a4 14，则 S6 （ ）
A．7 B． 21 C． 28 D． 42
8．设函数 f (x) (x a)(x 1)2 ，则“ a 1”是“ f (x)没有极值点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大
速度 v（单位：m / s）和燃料的质量M （单位： kg）、飞行器（除燃料外）的质量m（单
试卷第 1页，共 4页
M
位：kg）的函数关系是 v 2900ln

1

.已知当该飞行器所处高空的音速为 290 m / s，最
m
大速度对应的马赫数分别为 8和 13时，燃料的质量分别为M1和M 2 ，则下列结论一定正确
的是（ ）
M 2 e M 2 e m MA B 2 e
m M
． ． 2 eM1 M
C． m M D．1 1 m M1
10．如图，正方形 ABCD的边长为 6，点 E、F分别在边 AD、BC上，且DE 2AE，CF 2BF ，

如果对于常数 ，在正方形 ABCD的四条边上，有且只有 6个不同的点 P使得 PE PF 成
立，那么 的取值范围是（ ）
A． (0,7) B． (4,7)
C． (0,4) D． ( 5,16)
二、填空题
1
11．函数 f x log x 的定义域为 ．
x 1 2
1
12 2 5．在 (x ) 的展开式中， x4的系数为 ．（用数字作答）
x
13．已知函数 f x 的定义域为 0,1 ．能够说明“若 f x 在区间 0,1 上的最大值为 f 1 ，则
f x 是增函数”为假命题的一个函数是 ．
π 1
14．已知函数 f (x) sin x， x [0,8]， g(x) ， x [0, 4) (4,8]，则
2 x 4
f (3) f (5) ；方程 f (x) g(x)的所有实数解的和为 .
ax 1 , x 1
15．已知函数 f x ，其中 a 0且 a 1．给出下列四个结论：
a 2 x 1 , x 1
①若 a 2，则函数 f x 的零点是0；
②若函数 f x 无最小值，则 a的取值范围为 0,1 ；
试卷第 2页，共 4页
③若存在实数M ，使得对任意的 x R，都有 f x M ，则M 的最小值为 1；
④若关于 x的方程 f x a 2恰有三个不相等的实数根x ，x2，x1 3，则 a的取值范围为 2,3 ，
且 x1 x2 x3的取值范围为 , 2 ．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
16．如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，AA1 平面 ABC，AB AC，AB AC AA1 2，E，
F 分别为 BC， A1B1的中点.
(1)求证：EF //平面 ACC1A1；
(2)求平面CEF与平面 ACC1A1夹角的余弦值.
1
17．在V ABC中， C为钝角， acos B c b．
2
(1)求 A；
(2)若a 7，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得V ABC存
在，求 c．
条件①： cos B
13
；
14
条件②：b c 13；
条件③：V ABC的面积为6 3．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分．
18．为研究某地区 2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区 2021
届大学毕业生中随机选取了 1000人作为样本进行调查，结果如下：
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毕业去向 继续学习深造 单位就业 自主创业 自由职业 慢就业
人数 200 560 14 128 98
假设该地区 2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
(1)若该地区一所高校 2021届大学毕业生的人数为 2500，试根据样本估计该校 2021届大学
毕业生选择“单位就业”的人数；
(2)从该地区 2021届大学毕业生中随机选取 3人，记随机变量 X 为这 3人中选择“继续学习
深造”的人数．以样本的频率估计概率，求 X 的分布列和数学期望 E(X )；
(3)该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的
a (0 a 98)人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为
s2．当 a为何值时， s2最小．（结论不要求证明）
x219 y
2 3
．已知椭圆 E : 2 2 1 a b 0 的一个顶点为 A 0,1 .且过点 1, .a b 2
(1)求椭圆 E的方程及焦距
(2)过点 0,2 的直线与椭圆 E交于不同的两点 B，C .直线 AB, AC的斜率分别记为 k1与 k2，当
k k 21 2 时，求 ABC的面积.3
20．己知函数 f (x)在 R上可导， x R，且 f (x)x f (x) x2 (x 1)ex 1．
(1)当 f (x) x2 2 ex时，求 f (x)的最小值；
(2)设函数 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线为 l，求证：切线 l恒过定点；
(3)若点 A(0,1)，点 B(m, f (m)), f (m) m 1，且当 x (0,1)时， f (x)单调递减，证明：当
x (0,m)时， f (x)图象恒在直线 AB的下方．
21．给定整数 n 3，数列 A : a1 ,a2 ,L ,an满足 a1,a2 , ,an 1,2,3, ,n ．定义数列 B如下：
b1 min a1,a2 ,b2 min a2 ,a3 , ,bn 1 min an 1,an ,bn min an ,a1 ，其中min x1, x2 表示
x1, x2这 2个数中最小的数．记 Sn a1 a2 an, Tn b1 b2 bn，Dn Sn Tn
(1)n 4时， A:1, 4, 2,3，分别写出相应的数列 B和Dn；
1
(2)求证：Tn Sn ；2
(3)求Dn的最小值．
试卷第 4页，共 4页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B D A D B C C C
11． 0,1 1,
12．10
2
13． f x 1 x ， x 0,1 （答案不唯一）
2
14． 0 16
15．①③④
16．（1）取 A1C1的中点G，连接 FG，CG .
因为 F 为 A1B
1
1的中点，所以 FG//B1C1， FG BC .2 1 1
又因为 EC //BC
1 1
1 1， EC BC B1C1，所以 FG //EC，且 FG EC .2 2
所以四边形 CEFG是平行四边形.所以EF //CG .
又因为 EF 平面 ACC1A1，CG 平面 ACC1A1，所以 EF //平面 ACC1A1 .
（2）因为 AA1 平面 ABC，所以 AA1 AB， AA1 AC .
又因为 AB AC，所以如图建立空间直角坐标系 A xyz，

则C(0, 2,0)， E(1,1,0)， F (1,0,2) .所以CE (1, 1,0)， EF (0, 1, 2) .

设平面CEF的一个法向量为m (x, y, z)，

m CE 0, x y 0,
则 即
m EF 0, y 2z 0.
令 z 1，则 x

y 2 .于是m (2, 2,1) .
答案第 1页，共 6页
不妨取平面 ACC

1A1的一个法向量为 n (1,0,0) .
m n

2
设平面CEF与平面 ACC1A1夹角为θ，则 cos θ cosm, n m n 3 .
所以平面CEF与平面 ACC1A
2
1夹角的余弦值为 .3
1
17．（1）在V ABC中，由 a cosB c b及正弦定理，得 sin AcosB sinC
1
sinB，
2 2
则 sin Acos B
1
sin B sin(A B) sin Acos B cos Asin B，
2
1
整理得 sin B cos Asin B
1
，而 sin B 0，则 cos A ，又0 A π，
2 2
A π所以 .
3
13
（2 13）选择条件①： cos B ，则 sin B 1 ( ) 2 3 3 ，
14 14 14
cosC cos(A B) cos Acos B sin Asin B 1 13 3 3 3 1 0 ，
2 14 2 14 7
C为钝角，符合题意，而 a 7 ABC 1 4 3，则V 存在，此时 sinC 1 ( )2 ，
7 7
7 4 3
c a sinC

由正弦定理得 7 8 .
sin A 3
2
选择条件②：b c 13，由余弦定理得 49 a2 b2 c2 2bc cos A (b c)2 3bc 169 3bc，
解得bc 40，由 C为钝角，得b c，于是b 5,c 8，
2 2 2
此时 cosC 7 5 8 0 与 cosC 0矛盾，V ABC不存在，因此②不可选.
2 7 5
1 3
选择条件③：V ABC的面积为6 3，则 SV ABC bc sinA bc 6 3 ，解得bc 24，2 4
由余弦定理得 49 a2 b2 c2 2bc cos A (b c)2 3bc (b c)2 72，则b c 11，
2 2 2
由 C为钝角，得b c，于是b 3, c 8 7 3 8，此时 cosC 0 ，符合题意，V ABC存
2 7 5
在，
所以 c 8 .
18．（1）由题意得，该校 2021 “ ” 2500 560届大学毕业生选择 单位就业 的人数为 =1400．
1000
1000 200 1（2）由题意得，样本中 名毕业生选择“继续学习深造”的频率为 ．
1000 5
用频率估计概率，从该地区 2021届大学毕业生中随机选取 1名学生，估计该生选择“继续学
答案第 2页，共 6页
1
习深造”的概率为 ．
5
随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3．
1
0 1 3 64
所以 P X 0 C 03 5 1 5
，
125
2
P X 1 C1 1 1 483 1 ，
5 5 125
1 2P X 1 12 2 C 2 3 1 ，
5 5 125
3 0
P X 3 C3 1 1 1 1 3 5 5 ． 125
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
64 48 12 1
P
125 125 125 125
E(x) 0 64 1 48 2 12 3 1 3 ．
125 125 125 125 5
（3）易知五种毕业去向的人数的平均数为 200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当
自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以 a 42．
19．（1）由题意，因为椭圆 E的一个顶点为 A(0,1) , 3且过点 (1, )，
2
1
2 1 b
所以 2 2 21 3 ，解得 a 4,b 1， c 3
2 1 a 4a2
x2
所以椭圆 E的方程为 y2 1，焦距为 2 3 .
4
（2）设过点 (0,2)的直线为 y kx 2， B(x1, y1),C(x2 , y2)，
y kx 2

由 x2 ，化简得 (1 4k 22 )x
2 16kx 12 0 ，
y 1 4
3
则 (16k)2 48(1 4k 2 ) 0，即 k 2 ，
4
答案第 3页，共 6页
x 16k 1 x 2 1 4k 2
所以 ，
x1x
12
2 1 4k 2
k k y1 1 y2 1 kx1 1 kx 2 1即 1 2 2k
x1 x2 2k 4k 2k 2
x1 x2 x1 x x x 3 3 3
，
2 1 2
则 k 1，
y x 2 x x 16 12所以直线方程为 ， 1 2 ，x1x2 ，5 5
故 | BC | 1 k 2 (x1 x )
2
2 4x1x2 1 1 (
16
)2 4 12 4 2，
5 5 5
A(0,1) y x 2 d | 0 1 2 | 2且点 到直线 的距离 ，
2 2
1
所以 S ABC | BC | d
1 4
2 2 2 .
2 2 5 2 5
20 1 2 x 2 x．（ ）∵ f x x 2 e ， f x x f x x x 1 e 1，
∴ f x x2 2x ex 1
当 x , 2 时， f x 0， f (x)在 , 2 上单调递增；
当 x 2, 2 时， f x 0， f (x)在 2, 2 上单调递减；
当 x 2, 时， f x 0， f (x)在 2, 上单调递增；
又 x 0时， x2 2x 0， f x x2 2x ex 1 1 2， f 2 2 2 2 e 1 1
所以 f x 的最小值为 2 2 2 e 2 1．
（2）切线 l : y f 1 f 1 x 1 ，∴ y f 1 x f 1 f 1 ，
2 x
∵ f x x f x x x 1 e 1，∴ f 1 f 1 1，∴ y f 1 x 1，
y f x 在 1, f 1 处的切线恒过 0,1
答案第 4页，共 6页
f m 1
（3）由题可得直线 AB方程为： y x 1
m
x 0,m f x f m 1当 时， 是否恒在直线 AB下方转化为说明 f x x 1, 0 x m 是否
m
成立；
①当 x 0,1 时， f x 单调递减，所以 f x f 0 1，
∵ f m 1 0, x 0 f m 1，∴ f x 1 x 1，
m
x 1,m f x 1 f m 1②当 时，只需证： 1 x m ，
x m
g x f x 1 f x x f x 1 x
2 x 1 ex
令 ,x 1,m ，则 g x x 1 ex，
x x2 x2
∵ x 1，∴ g x 0，∴ g x 在 1,m 上单调递增，∴ g x g m ，
f x 1 f m 1
∴ ，
x m
f m

1
f x x 1 1 x m ，
m
f m 1
综合①② f x x 1, 0 x m ，即 x 0,m 时， f x 恒在 AB下方．
m
21．（1）由题意得 B :1,2,2,1,Sn 10,Tn 6, Dn 4；
（2）由题意知， A中元素两两互异，故 A中的任一元素，如 ak ，
在 B中至多在min ak 1,ak 和min ak ,ak 1 中出现两次，
且若出现两次则这两个数处于邻位（b1和bn也视为邻位）．
所以 B的所有项中至多有两个 1，两个 2，依次类推，
n n n n 2 当 为偶数时，Tn b1 b2 bn 2 1 2 3 ，
2 4
当 n为奇数时，
2
T b b b 2 1 2 3 n 1 n 1 n 1 n 1 2 n ，
2 2 4
n n 1
而 Sn a1 a2 an ，2
1
所以总有Tn S ；2 n
（3）不妨设 a1 1,ak n，其中 k 2,3, ,n ，
答案第 5页，共 6页
因为 a1 a2 a2 a3 ak 1 ak ak a1 n 1，
ak ak 1 ak 1 ak 2 an 1 an an a1 ak a1 n 1，
所以 a1 a2 a2 a3 ak 1 ak ak ak 1
ak 1 ak 2 an 1 an an a1 2 n 1
当 ai i时，等号成立
记 ci max ai ,ai 1 ,cn max an ,a1 ，
其中max x1, x2 表示 x1, x2这 2个数中最大的数．
所以 b1 b2 bn c1 c2 cn 2 1 2 n n2 n，
而 c1 c2 cn b1 b2 bn 2 n 1 ，
所以 2 b1 b2 bn n2 n 2 n 1 n2 n 2，
n2 n 2
所以T a in ，且当 i 时，等号成立，2
n n 1 n n 1 2
结合 Sn ，得D
n n 2
n n 1，2 2 2
所以Dn的最小值为 n 1，且当 ai i时取到.
答案第 6页，共 6页

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