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北京市第一零一中学 2025-2026 学年高三上学期统练一
数学试题
一、单选题
1．已知全集U x Z 3 x 3 ，集合 A 2, 1,0 ，则 U A （ ）
A． 0,3 B． 0,2 C． 1,2,3 D． 1,2
2 2．已知 1 i z 3 2i，则 z的共轭复数 z （ ）
3 3 3 3
A．1 i B．1 i C． i D． i
2 2 2 2
3．设函数 f x 4ln x x x 0 ，则 y f x 满足（ ）
A．在区间 (
1 ,1), 1,e 内均有零点
e
1
B．在区间 ( ,1)内有零点，在区间 1, e 内无零点
e
1
C．在区间 ( ,1)内无零点，在区间 1, e 内有零点
e
1
D．在区间 ( ,1), 1,e 内均无零点
e
x
4．为了得到函数 y log2 的图象，只需把函数 y log2 x的图象上所有点的（ ）2
A 1．横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变） B．横坐标加 1（纵坐标不变）
C 1．纵坐标减 1（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的 2 倍（横坐标不变）
ur uuur r uuur
5．在V ABC中，点D在边 AB上， BD 3DA．记m CA, n CD，则CB （ ）
ur r ur r ur r
A． 4m 3n B． 3m 4n C． 4m 3n D．3m 4n
1 sinC
6．在V ABC中， a 4, b 5, cosC ，则 （ ）
8 sin A
3 3 5
A 46． B． C． D．
2 4 4 4
7．设 an 是等差数列，且公差不为零，其前 n项和为 Sn．则“ n N *，Sn 1 Sn ”是“ an 为
递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．若正实数 a,b满足 2a 22b 2，则（ ）
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1 1 1
A． 有最大值 6 B． ab有最小值
a b 8
C． log2 a log b有最大值 3 D． a2 b2
2
2 有最小值 9
9．自然对数的底数 e与连续复利有关．十七世纪数学家伯努利在研究复利时，设本金是 1，
1
n

银行年利率是 100%， n是计息次数，则一年后本金与利息之和为 1 ，当 n趋于无穷
n
大时，本息和趋于 e．当计息次数 n 8时，一年后本息和约为（ ）
（参考数据： ln3 1.098, ln 2 0.693）
A． e0.82 B． e0.94 C． e6.48 D． e3.24
1 4
10．已知数列 an 满足 an 1 an ,n N ，下面结论成立的是（ ）2 an
A．若存在m N ，使得 am 1 am，则 a1 2
B．若 a1 3，则数列 an 单调递增，且存在常数m 2，使得 an m恒成立
C ．若 a1 0，则存在 n0 N ，当 n n a 2
1
0时，有 n 2026
1
D．若 a1 2 5，则对于任意 n N ，有 an 1 2 an 2 2
二、填空题
11．在平面直角坐标系 xOy中，将点 A 2,1 绕点O顺时针旋转90 到点 B，那么点 B的坐
标是 ，若角 终边过点 A，则 cos2 的值是 ．
x, x 0,
12．已知函数 f x 若关于 x的方程 f x a x 1 的实数根恰有一个，则实数 a
x , x 0．
的取值范围是 ．
r r r r r r r r
13．已知平面向量 a, b, c满足 a b a b 2, c a c b 0，则 c a的最小值
是 ．
14．已知 f x a cos x sin x 0 , f 0 f π 1 f π ，则 ．若 f x
3 2
π , π 在 上单调递减，则 ．
6 2
cos x
15．已知函数 f x ，给出下列四个结论：
x2 1
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①函数 f x 的图象关于原点中心对称；
2
②存在 x0 0，使得 f x0 ；2
③函数 f x 1的图象与函数 y x的图象没有公共点；
④函数 f x 极值点个数为 3．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
16．已知等差数列 an 满足 an 1 an 4n 2．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若数列 bn an 是公比为 3的等比数列，且b1 3，求数列 bn 的前 n项和 Sn，
17．已知函数 f x a sin x cos x a 0, 0 从下列四个条件中选择两个作为已知，使函
数 f x 存在且唯一确定．
(1)求 f x 的解析式；
(2)设 g x f x 2 3 cos2 x 3，求函数 g x 在 0, π 上的单调递增区间．
条件①： f x 的最大值为 1；
条件②： f x 为偶函数；
f π 条件③： 1；
4
π
条件④： f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
2
18 2．已知函数 f x ln x x ax，
(1)若曲线 y f x 在 1, f 1 处的切线方程为 y x b，求 a,b的值；
(2)若 f x 在区间 1,2 上单调递增，求 a的取值范围；
3 1
(3)求证：当 a 3时， f x 存在极大值，且极大值小于 ln 2．
2 2
19．如图，甲船从 A1出发以每小时 15海里的速度匀速向正北方向航行，乙船按固定方向匀
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速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西75 方向的B1处，此时两船相距10 2海
里．当甲船航行 20分钟到达 A2处时，乙船航行到甲船正西方向的 B2处，此时两船相距5 3
海里．（将行驶区域视为平面的一部分）
(1)求乙船的航行速度（单位：海里/小时）；
(2)假设两船一直按照各自现在的方向和速度前行，从甲船到达 A2处开始计时，30分钟内，
当甲乙两船之间的距离最小时，甲船距 A2多少海里？
20．已知函数 f x
a 2x

x 1 2
(1)求函数 f x 的单调区间；
(2)证明：当 f x 有最大值时，存在 x0 1，使得 f x0 ea 3；
(3)当a 4时，过点O 0, 0 , A 0, 1 , B 0,1 分别存在几条直线与曲线 y f x 相切？（只
需写出结论）
21．如图，设 A是由 n n n 2 个实数组成的 n行 n列的数表，其中aij i, j 1,2, ,n 表示
位于第 i行第 j列的实数，且 aij 1, 1 ．
a11 a12 L a1n
a21 a22 L a2n
L
an1 an2 L ann
定义 pst as1at1 as2at2 asnatn s, t 1,2, ,n 为第 s行与第 t行的积．若对于任意
s, t s t ，都有 pst 0，则称数表 A为完美数表．
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(1)当n 4时，试写出一个符合条件的完美数表；
(2)是否存在 2026行 2026列的完美数表，并说明理由；
(3)设 A为 n行 n列的完美数表，且对于任意的 i 1, 2,L , l和 j 1, 2,L , k，都有 aij 1，证明：
kl≤n．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C C B A A C B C
1
11． 1, 2 ； .3
( , 1) 112． ( , ) {0}
2
13．1
3
14．1；
2
15．②③
16．（1）设等差数列 an 的公差为 d．
由 an 1 an 4n 2，可得 a1 nd a1 (n 1)d 2nd 2a1 d 4n 2，
即 2d 4,2a1 d 2 ，解得 d 2,a1 2．
所以 an 2n
（2）若数列 bn an 是公比为 3的等比数列，且 b1 a1 3 2 1，
b a 3n 1则 n n ．
1 b a 3n 1 n 1由（ ）可得 n n 2n 3 ，
n n
Sn (2 4 2n) 1 3 9 3 n 1 1 n(2 2n) 1 3 n n 2 3 1 ．2 1 3 2 2
17．（1）因为 f x asin xcos x a 0, 0 ，
所以 f x 1 a sin 2 x，显然当 a 0时 f x 为奇函数，故②不能选，
2
1 1
若选择①③，即 f x a sin 2 x最大值为1，所以 a 1，解得 a 2，
2 2
所以 f x sin 2 x π ，又 f 1，
4
f π sin 2 π 1 π π所以 4
，即 2kπ， k Z，
4 2 2
解得 1 4k， k Z，故 f x 不能唯一确定，故舍去；
π
若选择③④，即 f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，
2
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则函数周期T 2 ，
2
2π
可得 π
1
，解得 1，得到 f x a sin 2x，
2 2
f π 1 a sin 2 π又
1
1，所以 a 1，
4 2 4 2
解得 a 2，则 f x sin 2x；
若选择①④，即 f x π图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，
2
2π
则 π，解得 1，得到 f x 1 a sin 2x，
2 2
1
又 f x 的最大值为1，所以 a 1，解得 a 2，故 f x sin 2x .
2
2
（2）由（1）可得 g x f x 2 3 cos x 3
sin 2x 2 cos2 x sin 2x (2cos2 x 1) 3 3 3
sin 2x 3 cos 2x 2sin π 2x

，
3
2kπ π 2x π π令 2kπ ， k Z，
2 3 2
kπ π 5π解得 x kπ ， k Z，
12 12
π 5π
则函数的单调递增区间为 kπ ,kπ ， k Z， 12 12
又 x 0, π ，所以 g x 0, π 5π 11π 在 上的单调递增区间为 0, 和 , π12 12 .
18 2．（1）由 f x ln x x ax可得 f (1) 1 a， f (x) 1 2x a，
x
3 a 1 a 4
则 k切 f (1) 3 a ，由题意，可得 ，解得1 a 1 b ， b 2
即 a 4,b 2；
（2）由 f x 在区间 1,2 1上单调递增，可知 2x a 0在区间 1,2 上恒成立，
x
即 2x2
1
ax 1 0在区间 1,2 上恒成立，也即a 2x 在区间 1,2 上恒成立.
x
1 1
因函数 g(x) 2x 2(x ) 在区间 1,2 上为增函数，故 g(x) g(1) 3，
x 2x
则 a的取值范围为 ( ,3]；
2
（3）因 f (x) 2x ax 1 (x 0)，要使 f x 存在极大值，需使关于 x的方程 2x2 ax 1 0有
x
答案第 2页，共 8页
正实根，
2
而当 a 3时， a2 8 0 a a 8，此时方程有两正根为 x ，
4
2 2
由 f (x) 0 0 x a a 8 x a a 8可得 或 ，由 f (x) 0可得
4 4
a a2 8 a a2x 8 ，
4 4
f (x) (0, a a
2 8 ) (a a
2 8 2, ) a a 8 a a
2 8
故函数 在 和 上单调递增，在 ( , )上
4 4 4 4
单调递减，
x a a
2 8
故当 时，函数 f (x)取得极大值.
4
t a a
2 8 2 1
不妨设 ，由 a 3可得 a a24 2 8 3 3
2 1 4，即得0 t ，
a a 8 2
则 f x 的极大值为 f (t) ln t t2 at，且因 a 3，则得 ln t t2 at ln t t2 3t，
3 1 2 3 1
要证函数的极大值小于 ln 2，只需证 ln t t 3t ln 2，
2 2 2 2
2 3 1 2
设 g(t) ln t t 3t ln 2,0 t
1
，则 g (t) 1 2t 3 2 t 3t 1 ( t 1)(2 t 1) ，
2 2 2 t t t
因0 t
1
，则有 g (t) 0，故函数 g (t)
1
在 (0, )上单调递增，
2 2
1
2
1 1 3 3 1 1 1
则 g t g ln ln 2 ln 2
0，
2 2 2 2 2 2 2 2
即 ln t t 2
3 1
3t ln 2，
2 2
故 a 3时，函数 f (x)
3 1
的极大值小于 ln 2 .
2 2
1
19．（1）由题意可得 A1A2 15 5，连接 A1B3 2
，
由题可得 A2B2 5 3， A1A2B2 90 ，
2 2
所以 A1B2 A1A2 A2B2
2
52 5 3 10，且 A2A1B2 60 ，
所以 B1A1B2 180 75 60 45 ，
所以在 B1A B
2 2 2
1 2中由余弦定理可得 B1B2 B1A1 A1B2 2B1A1·B2A1 cos 45 ，
2 2
即 B B 1021 2 10 2 2 10 10 2 2 100，解得 B1B2 10，2
答案第 3页，共 8页
v 10
所以乙船的航行速度 1
30
海里/小时.
3
（2）如图以 B2为坐标原点，以 B2A2及过 B2 与 A1A2平行所在直线为 x，y轴建立平面直角坐
标系，如图，
设甲乙两船之间的距离最小时分别位于 A3， B3位置，且此时的时间为 t 0 t 0.5 小时，
2 2
由（1）可得 B1B2 B2A1 B1A1
2
，则 A1B2B1 90 ，
又因为 A1B2A2 30 ，所以 A2B2B3 60 ，
所以 A3 5 3,15t ， B3 15t ,15 3t ，
2 2
所以 A3B3 15t 5 3 15 3t 15t 225 5 2 3 t 2 150 3t 75 ，
令 f t 225 5 2 3 t 2 150 3t 75 为二次函数，且开口向上，
150 3 5 3 6 1
则在对称轴取到最小值，此时 t 2 225 5 2 3 39 2 ，
所以甲乙两船之间的距离最小时在 30分钟内，
A 15 5 3 6 30 25 3此时甲船距 2： 海里.
39 13
2 x 1 2 2 a 2x x 1 2 x a 1
20．（1） f (x) 4 x 1 ， x 1 x 1 3
答案第 4页，共 8页
2
①当 a 1 1，即 a 2时， f (x) 2 0 x 1 ，
所以 f x 在 , 1 和 1, 上单调递增；
②当 a 1 1，即 a 2时，由 f (x) 0可得 x a 1或 x 1，
由 f (x) 0可得 a 1 x 1，
所以 f x 在 ,a 1 和 1, 上单调递增，在 a 1, 1 上单调递减；
③当 a 1 1，即 a 2时，由 f (x) 0可得 x 1或 x a 1，
由 f (x) 0可得 1 x a 1，
所以 f x 在 , 1 和 a 1, 上单调递增，在 1,a 1 上单调递减；
综上， a 2时， f x 的单调增区间为 , 1 和 1, ，无单调递减区间；
a 2时， f x 的单调增区间为 ,a 1 和 1, ，单调递减区间为 a 1, 1 ；
a 2时， f x 的单调增区间为 , 1 和 a 1, ，单调递减区间为 1,a 1 .
1
（2）由（1）知，若 f x 有最大值时，当且仅当 a 2，且 f x f a 1 max ，a 2
x a 1 1 1 ea 3此时取 0 ，下面证明 即可，a 2
令 t a 2 0，则 a t 2 a 2 ，
1
e t 1 1 et 1则只需证明 t 1 ，即 t t 0 ，t e
设 g(x) ex 1 x, x 0 ，则 g (x) e x 1 1，
当 x 1时， g (x) 0，当0 x 1时， g (x) 0，
所以 g x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，
所以 g x g 1 e0 1 0，即 ex 1 x 0，可得ex 1 x，
所以 et 1 t t 0 成立，
f x x 1 f x ea 3故当 有最大值时，存在 0 ，使得 0 得证.
2x 4 2 x 3
（3）当 a 4时， f x f (x) x 1 x 1 2 ， ，x 1 3
答案第 5页，共 8页
设过点 0,b b 0, 1,1 与曲线 y f x 相切的切线的切点为 m, f m ，
2m 4
f m b 2 b
则由 f m 可得， m 1 2 m 3
m
，
m m 1 3
3 2
化简整理可得关于m的方程：bm 3b 4 m 3 b 4 m b 4 0，
当过点O 0,0 ，即b 0时，方程为m2 3m 1 0，
由 32 4 5 0知，m有两个不等实根，验证m 1不是方程的根，
所以有 2个切点，故有 2条切线；
当过点 A 0, 1 ，即b 1时，方程为m3 m2 9m 3 0，
3
设 k m m m2 9m 3 m 1 ， k m 3m2 2m 9，
由 4 4 3 9 112 0，k m 0有 2个不等实根m1 m2 可知，函数 k m 在 ,m1
和 m2 , 上单调递增，在 m1,m2 上单调递减，故 k m 至多有 3个零点，
又 k 3 12 0,k 1 4 0,k 1 12 0,k(4) 9 0，
由零点存在定理可知， k m 至少有 3个零点，故 k m 有 3个零点，
即方程m3 m2 9m 3 0有 3个不等实根，且都不为 1，
所以有 3个切点，故有 3条切线；
当过点 B 0,1 ，即b 1时，方程为m3 7m2 15m 5 0，
设 m m3 7m2 15m 5，则 m 3m2 14m 15 m 3 3m 5 ，
5
所以m 3或m 时， m 0 5， 3 m 3 时， m 0，3
m , 3 5 所以 在 和 , 上单调递增，在 3,
5
上单调递减，
3 3
所以 m 的极大值 3 4 0，所以 m 至多有 1个零点，
又 0 5 0，由零点存在定理可知， m 在 3,0 上至少有 1个零点，
所以 m 有 1个零点，即方程m3 7m2 15m 5 0只有 1个根且不为 1，
所以有 1个切点，故有 1条切线.
答案第 6页，共 8页
综上，当 a 4时，过点O 0,0 , A 0, 1 ,B 0,1 分别存在 2,3,1条直线与曲线 y f x 相切.
21．（1）由题意， n 4时，数表 A为：
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
要使数表 A为完美数表，
则对于任意 s, t s t ，都有 pst as1at1 as2at2 as3at3 as4at4 0，又 aij 1, 1 ，
显然答案不唯一，如：
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
（2）假设存在 2026行 2026列的完美数表 A，
根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：
①把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即 1均变为 1，而 1均变为 1），得到的新
数表是完美数表；
②交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表.
完美数表 A反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：
1 L 1 1 L 1 1 L 1 1 L 1
1 L 1 1 L 1 1 L 1 1 L 1
1 L 1 1 L 1 1 L 1 1 L 1

答案第 7页，共 8页

共x列 共y列 共z列 共w列
在这个新数表中，设前三行中的数均为 1的有 x列，前三行中“第 1，2行中的数为 1，且第
3行中的数为 1”的有 y列，
前三行中“第 1, 3行中的数为 1，且第 2行中的数为 1”的有 z列，
前三行中“第 1行中的数为 1，且第 2, 3行中的数为 1”的有 w列（如上表所示），
则 x y z w 2026，
由 p 0，得 x y z w12 ，
由 p13 0，得 x z y w，
由 p23 0，得 x w y z ，
1013
解方程组得 x y z w ，这与 x, y, z,w N矛盾，
2
所以不存在 2026行 2026列的完美数表.
（3）记第 1列前 l行中的数的和 a11 a21 al1 X1，
第 2列前 l行中的数的和 a12 a22 al2 X 2 ，……，
第 n列前 l行中的数的和 a1n a2n aln X n，
因为对于任意的 i 1,2,L ,l和 j 1,2,L ,k ，都有 aij 1，
所以 X1 X 2 X k l .
又因为对于任意 s, t（ s t），都有 pst 0，
所以 X 2 21 X 2 X
2
n ln .
又因为 X 2 X 2 X 2≥X 2 X 2 X 2 l 21 2 n 1 2 k k，
所以 ln≥l 2k ，即 kl≤n .
答案第 8页，共 8页

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