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江西省部分学校2026届高三上学期九月调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，一个正方形的个顶点对应的复数分别是，，，则第个顶点对应的复数为( )
A. B. C. D.
3.已知、是互相垂直的两个单位向量，若向量与的夹角为，则实数( )
A. B. C. D.
4.在等比数列中，，记，则数列( )
A. 无最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 有最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
5.年，生物学家发表了一篇题为的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即，其中为基础代谢率，为体重若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的倍，则基础代谢率为原来的 参考数据：
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象与轴的交点为，与轴正半轴最靠近轴的交点为，轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为位于与之间，若的面积为其中为坐标原点，则函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
8.设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 残差的平方和越小，模型的拟合效果越好
B. 若随机变量，则
C. 数据，，，，，，的第百分位数是
D. 一组数，，，的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差不变
10.已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则( )
A. 函数的一个对称中心为
B.
C. 函数为周期函数，且一个周期为
D.
11.如图，已知圆锥的轴与母线所成的角为，过的平面与圆锥的轴所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为，短轴为，长半轴长为，短半轴长为，椭圆的中心为，再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于，则下列说法正确的是( )
A. 当时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆
B.
C. 平面截这个圆锥所得椭圆的离心率
D. 平面截这个圆锥所得椭圆的离心率
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数的图象在点处的切线与直线垂直，则的值等于 ．
13.展开式中的常数项为 ．
14.正方体棱长为，，分别是棱，的中点，是正方体的表面上一动点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，某线下家电商场为提升人气和提高营业额也开通了在线直播，下表统计了该商场开通在线直播的第天的线下顾客人数单位：百人的数据：
根据第至第天的数据分析，计算变量与的相关系数，并用判断两个变量与相关关系的强弱精确到小数点后三位；
根据第至第天的数据分析，可用线性回归模型拟合与的关系，试求出该线性回归方程并估计该商场开通在线直播的第天的线下顾客人数．
参考公式：相关系数，参考数据：
回归方程：，其中，
16.本小题分
如图四棱锥，，，且，平面平面，且是以为直角的等腰直角三角形，其中为棱的中点，点在棱上，且．
求证：，，，四点共面；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知数列的前项和为，．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数，．
求的最小值
若曲线和直线交于，两点，设为坐标原点．
(ⅰ)证明：
(ⅱ)若，讨论与的大小关系，并说明理由．
19.本小题分
已知为坐标原点，点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，点的轨迹为曲线．
求的轨迹方程；
过点作斜率分别为的直线，其中交于点，两点，交于点，两点，且，分别为的中点，直线与直线交于点，若的斜率为，证明为定值，并求出该定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】依题意可得，
，
，
，
，
，，
两个变量与相关关系很强．
因为，
，
，
，所以时百人，
故预估该商场开通在线直播的第天的线下顾客人数为百人．

16.解：因为，，且，
取边的中点，连接，则，且，
所以．
又是为直角的等腰直角三角形，所以．
过点作，交于点，则为的中点，且．
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，而，平面，
故，，
故以，所在的直线分别为轴，轴，
过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示．
则，，，，，
而为棱的中点，所以，又点在棱上，且．
故F，
证明：，，，令
则，解得，，故，
则向量，，共面，且向量，，有公共点，
所以、、、四点共面．
因为，，，
令平面的一个法向量为，
则，即，所以可以取
令平面的一个法向量为，
则，即所以可以取
于是．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.【详解】由题得，
当时，，得，
当时，，
两式作差得，即，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
由得．
．

18.解：单调递增，且，
单调递减；单调递增；
所以；
证明：令函数，则，
若，则，在上单调递增，至多有一个零点，矛盾，故舍去；
当，，单调递减；
单调递增；
若，即，此时至多一个零点，矛盾，舍去；
所以，即；
(ⅱ)此时，，
不妨设，，，
又在上单调递减，在上单调递增，
因此在和上各有一零点，
所以或，即；
令，，所以在上单调递减，
所以时，，即，
时，，即，
若，则，，所以；同理，，，
所以时，；
时，，
综上所述，时，；时，．

19.【详解】设点，根据题意，得到，化简得，
即的轨迹方程为．
设，联立
化简得，
设，依题意，
则为的中点，所以，
设，同理可得，
因为直线与直线交于点，设，所以，
即，化简得，
，所以，所以，
故为定值，并该定值为．

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