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广西示范性高中2026届高三上学期9月联合调研测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，，若函数在处取得最小值，则( )
A. B. C. D.
4.若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的前项和为，满足，则( )
A. B. C. D.
6.设为双曲线的右焦点，，分别为的两条渐近线的倾斜角，且满足，已知点到其中一条渐近线的距离为，则双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
7.已知的展开式中项的系数为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8.若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为等比数列的前项和，为的公比，，，则( )
A. B. C. D.
10.函数是定义域为的奇函数，当时，，下列结论正确的有( )
A. 当时， B. 方程有个不等实根
C. 函数有最大值 D.
11.若正四棱柱的底面棱长为，侧棱长为，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，下列结论正确的是( )
A. 点形成的轨迹长度为
B. 有且仅有一个点使得
C. 四面体的体积取值范围为
D. 线段长度最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一组数据，则这组数据的分位数是 ．
13.已知非零向量在向量上的投影向量为，，则
14.机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
已知函数的图象在处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为．
求的值
记的极大值点为，证明：．
17.本小题分
由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面．
求证：平面；
若，求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知点在抛物线：上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直作下去，设
求抛物线的方程；
求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围；
求的面积．
19.本小题分
某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为例如：表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由个元件组成时设备正常运行的概率．
若，当时，
求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望；
求；
升级后的设备控制系统原有个元件，若将该设备的控制系统增加个相同的元件，请分析是否能够提高设备正常运行的概率．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以．
又，所以，
则，因为，所以，
即．
由，可得．
因为的面积为，所以，得．
由余弦定理可知，
则，
所以，故的周长为．

16.解：，
故
，所以切线方程为，它与坐标轴的交点分别为，则，
由知，解得．
证明：由知，定义域，
令，则在上单调递减
由，知存在，使得
当时，，单调递增当时，，单调递减
故即为的极大值点
由，知，
故，故，结论成立．
17.解：如图所示，取中点，连接，，
则由题意且，故四边形是平行四边形，
所以且，故且，
所以四边形是平行四边形，则．
又平面平面，所以平面．
由题意可知两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则由题意．
又，
，
，
即，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，则
所以，则，取，则．
设与平面所成角，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．

18.解：因为点在抛物线：上，则，
解得，所以抛物线的方程为；
由可知，，
因为点在抛物线：上，
则，且，过，，

且斜率为的直线：．
联立方程，消去得，
解得或，
因为，故，即，
故数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
又，所以，
所以，所以，
又是关于的递增函数，故，的取值范围是；
由知：，，，
直线的方程为，
即，
点到直线的距离为
，
，
所以的面积为．

19.解：因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为，，，，
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以．
所以，，
，．
所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为：
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为．
．
若控制系统增加个元件，则至少要有个元件正常工作，设备才能正常工作，
设原系统中正常工作的元件个数为，
第一类：原系统中至少有个元件正常工作，
其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件中至少有个正常工作，
其概率为；
第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增个元件全部正常工作，
其概率为．
所以
．
所以，
所以当时，，单调递增，
即增加个相同元件，设备正常工作的概率变大，即能提高设备正常运行的概率；
当时，，即增加个相同元件，设备正常工作的概率没有变大．

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