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广东省部分中学 2026届高三上学期 9月质量检测数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 ≤ 4}， = { | ≤ 3 ≤ }，若 = ，则 =( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
2.若抛物线 的焦点为 ，准线方程为 3 + 4 = 5，且 经过点 (0,0)，则| | =( )
A. 5 B. 5 C. 1 D. 55
3.已知 ∈ 1，从 1，2，…， 中随机取出两个数，若两数之和为 3 的概率为21，则 =( )
A. 6 B. 7 C. 20 D. 21
4 .在( 2 )10的展开式中， 17 的系数为 ；在( 2 )9的展开式中， 17的系数为 .则 =( )
A. 10 B. 10 C. 110 D.
1
10
5.设大于 1 的实数 ， 满足 = 2，(2 )2 = ，则( )
A. 4 < < 8 B. 8 < < 16 C. 16 < < 32 D. 32 < < 64
6.设 ∈ ，若 2的实部为 1，则 + 2i 的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
7.已知 为无穷数列，若 + 1 是递增数列， 3 是递减数列，则( )
A. ∈ ， 3 B. ∈ ， 1
C. ∈ ， > 3 D. ∈ ， < 1
8.设 (0,0)， ( , 0)，0 < < 1，动点 在圆 2 + 2 = 1 上.若∠ 的最大值为 30°，则 =( )
A. 12 B.
1
3 C.
1 1
4 D. 6
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1.设函数 ( ) = 3+ ，则( )
A. ( )有最大值 B.曲线 = ( )有对称中心
C. ( )有最小值 D.曲线 = ( )有对称轴
2 2
10 .设椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左右焦点分别为 1， 2，过 2的直线与 交于 ， 两点.若 1垂直于
轴， 2 = 2 2 ， 为 中点，则( )
2
A. = 2 51 B. 的离心率为 5
C. 1 2平分∠ 1 D. ∠ 1 2 = 120°
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11.在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 1 = 1， = 1，过 1 且平行于 的平面记为 .下
列说法正确的是( )
A. 3若棱 与 交于点 ，则 = 4
B. 1若棱 1 1与 交于点 ，则 1 = 1 14
C. 截正方体所得截面是五边形
D. 9截正方体所得截面的面积为4 5
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 4 .设 ， > 0，当 + + 取最小值时， = ．
13.已知 1， 2均为单位向量，且 1和 2的夹角为 120°，若 1+ 2和 2 + 1的夹角为 60°，则 = ．
14.在 中， = 3, = 62 ，将 绕 所在直线旋转一周，所得几何体体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
:
2 2 3
已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的渐近线方程为 =± 3 ，且过点 (0, 1)．
(1)求 的方程；
(2)过 的上焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两点，证明： ⊥ ．
16.(本小题 15 分)
某咖啡店想了解顾客性别与喜欢的咖啡口味是否有关，随机调查了 300 名顾客，得到如下的 2 × 2 列联表：
喜欢拿铁 喜欢美式
男性顾客 70 80
女性顾客 90 60
(1)根据 = 0.01 的独立性检验，分析顾客性别与喜欢的咖啡口味是否有关；
(2)从这 300 名顾客中随机选择 2 名，已知其中至少有 1 名女性顾客，求这 2 名顾客都喜欢拿铁的概率．
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )，
2 ≥ 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
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17.(本小题 15 分)
设 > 1，函数 ( ) = ( 1) + 1．
(1)当 > e 时，求 ( )的单调递减区间；
(2)当 > 0 时， ( ) ≥ ，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知 为 的边 上一定点，动点 沿 → → 运动.如图为 的长 与 的运动路程 的函数图像，该
图像由两段曲线构成，其中 和 为两段曲线的最低点， ， ， 为两段曲线的端点.部分点的纵坐标值如表
所示．

点
2 10
纵坐标 10 6 6
(1)直接写出 ， ， 的长；
(2)求 的面积；
(3)求点 的坐标．
19.(本小题 17 分)
(1)已知数列 的各项均大于 0， 1 = 1， +1 = + ，其中 > 0.证明：
( ) < +1；
( )设 > 1 = + 1 1满足 ，则 < +1
2 +
< ；
2 1+
(2) 5求所有满足3 < 1 + 2+ 3 + + <
16
9的正整数 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.2 1或2
14. π4 3
2
15. 【详解】(1)由已知得 = 1， =
3
3 ，故 = 3， 的方程为
2 3 = 1．
(2)证明：由(1)得双曲线 的上焦点，设直线 : = + 2， 1, 1 ， 2, 2 1(0,2)，根据题意作图如
下．
= + 2
联立
2
2 ，得 3 2 1 2 + 12 + 9 = 0，
3 = 1
所以 12 1 + 2 = 3 2 1， 1 =
9
2 3 2 1，
所以直线 和直线 的斜率之积为
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21+1 2+1 1 2+3 1+ 2 +9 3
2+3 ( 4 )+9 2 1
= =
3
3 = 1，1 2 1 2
因此 ⊥ ．
16.【详解】(1)设 0：顾客性别与喜欢的咖啡口味无关．
2 = 300×(70×60 90×80)
2
= 75因为 150×150×160×140 14 ≈ 5.357 < 0.01，
故依据 = 0.01 的独立性检验，认为顾客性别与喜欢的咖啡无关．
(2)设事件 =“所选的 2 名顾客至少有 1 名女性顾客”，事件 =“所选的 2 名顾客都喜欢拿铁”．
( ) = 1 = 1
2
由列联表知 150 = 2245 = 449
2300 2990 598
；
2
( ) = C160 C
2
70 = 160×159 70×69 = 687，
C2300 300×299 2990
( ) 687
所以 ( | ) = ( ) = 2245．
17.【详解】(1) ′( ) = 1 ln + ln ．
ln 1
令 ′( ) < 0，得 < ln ，故 ( )的单调递减区间是 ∞,
ln 1
ln ．
(2)记 ( ) = ( ) ， ′( ) = 1 ln + ln 1．
( )由(1)，若 > e ln 1，则当 ∈ 0, ln 时， ( ) < (0) = 0 <
，不合题意．
( 1) ( )若 1 < ≤ e，则 ( ) ≥ 0 +1等价于 ≥ 1．

设 ( ) = ( 1) +1 ，

′( ) = 1 ln + ln ( 1) +1 +1 ．
设 ( ) = +1 ′( )，则
′( ) = 2ln2 + 3ln ln ln2 + ( 1) ln 1 ．
= e 时， ′( ) = e 2 + 2 e ，恰有一个大于 0 的零点 e 2．
′1 < < e ( )时，因为( 1) ln 1 < 0，所以 ′ 是二次项系数为正，常数项为负的二次函数，故 ( )
有且仅有一个大于 0 的零点．
总之，记 0为 ′( )的唯一正根，则 ( )在 0, 0 单调递减，在 0, + ∞ 单调递增．
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又因为 (0) = (1) = 1，所以当 0 < < 1 时， ( ) < 0, ( )单调递减；当 > 1 时， ( ) > 0, ( )单调
递增.因此 ( ) ≥ (1) = 1，符合题意．
综上所述， 的取值范围是 1, e ．
18.【详解】(1)根据题意作图如下，结合题中函数图像， 等于点 的纵坐标， 等于点 的纵坐标，
等于点 的纵坐标．
综上， = 2 10， = 10， = 6．
(2)由图象可知点 在 ， 的射影均在对应的线段上，分别记为 ， ，
连接 , , ，如图所示．
记 ， 的面积分别为 1， 2，且由已知 = 6．
因此 = + = 2 2 + 2 2 = 10，
1
所以 1 = 2 = 30，
又 ， 1 5的高相等，所以 = = 3，所以 2 = 18，2
故 的面积 = 1 + 2 = 48．
(3)在直角 中，cos∠ = 4 = 5，又 = + = 16，
所以在 中，由余弦定理，
= 2 + 2 2 cos∠ = 10，
= 1 = 18又因为 2 2 ，故 5．
因此 = 2 2 = 40 324 2625 = 5，
76 18 76 18
则点 的横坐标为 + = 5，纵坐标为 = 5，所以点 的坐为 5 , 5 ．
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19.【详解】解：(1)( )因为 +1 = + + =
1
1 ， + + 1+

所以 +1


> 0．
1
1 > 0 3 同理可得 2 1
， ， > 0．
2 2 1

将以上 1 个式子相乘，可得 +1 > 0．2 1
又因为 2 1 = 1+ 1 > 0，所以 +1 > ．
( )由已知得 +1 = + = + + =
，
+ + +
1
所以 +1 = ， + + +
由( )， ≥ 1 = 1；而 2 = > 12 1，所以 > 1
1
，故 +1 < ， 2 1+
同( )可知， 与
+1 1
1同号，而 > 1，所以 > ，故 > ． 2 +
(2)记 = 1 + 2 + 3 + + ，则 < +1．
5
一方面，由于 2 = 1+ 2 < 3，
3 = 1+ 2 + 3 = 1 +
6+ 2
2 > 1 +
2.4+1.4 5
2 > 3，
所以 ≥ 3．
另一方面，由于
2 + 3 + + = 2 1 + 3 22 + + 22 2，
且当 ≥ 3 3时， 2 ≤ 4，故 2 + 3 + + < 2 22 1
，
3
其中 为(1)中满足 = 4的数列 的第 项.
令 = + 34，解得 =
3
2 .故由(1)可知，
3 < 2， < 1 + 2 < 1+
3
2 2
1 + 3 2 256 < 3×1.42而 2 81 2 2.16 < 0，故对所有 ≥ 3
16
，都有 < 9．
综上所述，满足题意的所有正整数 所构成的集合为{ ∈ | ≥ 3}．
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