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广东省东莞市第一中学 2026 届高三上学期 9 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .若复数 = cos( 4 ) + 3 是纯虚数，则 的值可以为( )
A. 2 B. 5 3 9 4 C. 4 D. 4
2.若条件 : | + 1| ≤ 4, : 2 < 5 6，则 是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若直线 + 2 = 0( > 0, > 0)经过圆 2 + 2 + 4 4 + 4 = 0 1 2的圆心，则 + 的最小值为( )
A. 32+ 2 B. 2 2 + 3 C.
9
2 D.
5
2
4.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用 = 0 表示其总衰减规律，其中
是消光系数， (单位：米)是海水深度， (单位：坎德拉)和 0(单位：坎德拉)分别表示在深度 处和海面的
光强.已知某海域 5 米深处的光强是海面光强的 40%，则该海域消光系数 的值约为( ) (参考数据：ln2 ≈ 0.7，
ln5 ≈ 1.6)
A. 0.2 B. 0.18 C. 0.1 D. 0.14
5.设等差数列{ }的前 项和为 ，若 3 = 9， 6 = 36，则 7 + 8 + 9 =( )
A. 63 B. 36 C. 45 D. 27
6. 中， 、 的对边分别是 、 ，且 A = 60 , = 6, = 4，那么满足条件的 ( )
A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定
7.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法
共有( )
A. 140 种 B. 120 种 C. 35 种 D. 34 种
8.半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某
半正多面体由 4 个正三角形和 4 个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，
若其棱长为 2，点 ， 分别在线段 ， 上，则 + + 的最小值为( )
A. 3 2 B. 19 C. 6 2 D. 2 19
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (1,2)， = ( 2,2)， = (4, )，则下列说法正确的是( )
A. 的相反向量是 B.若( + ) ⊥ ，则 = 2
C. 在 1 1上的投影向量为( , ) D.若( + 2 2 )/ / ，则 = 1
10.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 1, , 分别为 1, 的中点.下列说法正确的是( )
A.异面直线 1 与
π
所成角的大小为3
B.正方体 1 1 1
3π
1外接球的体积为 2
C.平面 1截正方体 1 1 1 1所得截面为五边形
D.若 与 相交于点 ，则直线 与平面 1 1所成角等于45
2 1 , 0 < ≤ 2
11.已知函数 = 2 , ( ) = ( ) ，则( )
2 + 8 11, > 2,
A.若 ( )有 2 个不同的零点，则 2 < < 5
B.当 = 2 时， ( ) 有 5 个不同的零点
C.若 ( )有 4 个不同的零点 1, 2, 3, 4 1 < 2 < 3 < 4 ，则 1 2 3 4的取值范围是(12,13)
D.若 ( ) 4 有 个不同的零点 , , , < < < ，则 + 3+ 41 2 3 4 1 2 3 4 1 2 的取值范围是(6,9)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.( 1)6展开式中 4的系数为 ．
2
13 .过点 3, 5 且与双曲线 23 = 1 有相同的焦点的椭圆的标准方程为 ．
14.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯
曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 ′ 是 ( )的导函数， ′′ 是 ( )的导函数，
| ′′( )|
则曲线 = ( )在点( , ( ))处的曲率 = 3，则曲线 ( ) = 在(1,1)处的曲率为 ;正弦曲线
(1+[ ′( )]2)2
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( ) = ( ∈ )曲率的平方 2的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
如图所示的多面体是由底面为 的长方体被平面 1 所截而得到的，其中 = 4, = 2, 1 =
3, = 1．
(1)求线段 的长；
(2)求二面角 1 的余弦值．
16.(本小题 12 分)
已知 ( ) = log ( > 0 且 ≠ 1)．
(1) = 2 8若 ，解关于 的方程 ( ) (2 ) = 5;
(2)若 (2 1) > ( + 2)，求 的取值范围．
17.(本小题 12 分)
在每年的 1 月份到 7 月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量(单位：台)”与“当年的月份”线性相
关.根据统计得下表：
月份 1 2 3 4 5 6
销量 12 21 33 41 52 63
(1)根据往年的统计得，当年的月份 与销量 满足回归方程 = 10 + .请预测当年 7 月份该品牌的空调可以
销售多少台
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(2)该销售商从当年的前 6 个月中随机选取 3 个月，记 为销量不低于前 6 个月的月平均销量的月份数，求
的分布列和数学期望．
18.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = 2e ，其中 > 0．
(1)求 ( )在(0, (0))处的切线方程；
(2)求函数 ( )的单调区间和极值；
(3) 2若关于 的不等式 ( ) ≤ e 在[ , + ∞)上有解，求实数 的取值范围．
19.(本小题 12 分)
如图 1，在矩形 中， = 1, = 2, 是线段 上(包括端点)的一动点，如图 2，将 沿着
折起，使点 到达点 的位置，满足点 平面 ．
(1)如图 2，当 = 2 时，点 是线段 上的点， //平面 ，求 的值；
(2)如图 2，若点 在平面 内的射影 落在线段 上.
①是否存在点 ，使得 ⊥平面 ，若存在，求 的长；若不存在，请说明理由；
②当三棱锥 的体积最大值时，求点 到平面 的距离．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.15
2 2
13. 10 +

6 = 1
14. 23；1
52
15.【详解】(1)由长方体性质可知，平面 1 //平面 ，
又平面 1 ∩平面 1 = 1，平面 ∩平面 1 = ，
所以 // 1，同理可得 // 1，所以 1 为平行四边形，所以 = 1，
过点 作 ⊥ 1，垂足为 ，则 = = 2, 1 = 2，
所以 = 1 = 22 + 22 = 2 2，所以 = 2 2 = 8 4 = 2，
由长方体性质可知， ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，所以 = 2 + 2 = 2 + 2 + 2 = 16 + 4 + 4 = 2 6．
(2)以 为原点， , , 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 (2,4,1), (0,0,2), 1(0,4,3), (0,0,0), (2,0,0)，
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所以 = ( 2, 4,1), 1 = ( 2,0,2), = (2,0,0)，
设平面 1的法向量为 = ( , , )，
= 2 4 + = 0
则 ，取 = 4，得 = 1, = 4， 1 = 2 + 2 = 0
所以平面 1的一个法向量为 = (4, 1,4)，
易知 = (2,0,0)为平面 1的一个法向量，
cos , =
8 4 33

= 2 33 = 33 ，
cos = 4 33由图可知二面角 1 为锐角，记为 ，则 33 ．
16.解：(1)当 = 2 时， ( ) = log2 .
( 8由 ) (2 ) = 5，得log
8
2 log22 = 5，
化简，得(log28 log2 ) (log22 + log2 ) = 5，
即(3 log2 ) (1 + log2 ) = 5，
即log22 2log2 8 = 0，
即(log2 4)(log2 + 2) = 0，
解得log2 = 4 或log2 = 2，
所以 = 16 1或 = 4．
(2)当 0 < < 1 时，函数 ( ) = log 在(0, + ∞)上单调递减，
由 (2 1) > ( + 2)，得 0 < 2 1 < + 2，
1 1
解得2 < < 3，所以2 < < 1．
当 > 1 时，函数 ( ) = log 在(0, + ∞)上单调递增，
由若 (2 1) > ( + 2)，得 2 1 > + 2 > 0，解得 > 3．
1
综上， 的取值范围为( 2 , 1) ∪ (3, + ∞).
17. 1+2+3+4+5+6解：(1) = 6 = 3.5，
= 12+21+33+41+52+636 = 37，
又回归直线过样本中心点( , )，所以 37 = 10 × 3.5 + ，得 = 2，
所以 = 10 + 2，当 = 7 时， = 72，
所以预测当年 7 月份该品牌的空调可以销售 72 台；
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(2)因为 = 37，所以销量不低于前 6 个月的月平均销量的月份数为 4，5，6，
所以 = 0，1，2，3，
3 1 2 2 1 3
所以 ( = 0) = 3 = 13 20， ( = 1) =
3 3 = 93 20， ( = 2) =
3 3 = 9 3 1
36 6 6 20
， ( = 3) = 3 = 20， 6
所以 的分布列为：
1 9 9 1 3
故数学期望 ( ) = 0 × 20 + 1 × 20 + 2 × 20 + 3 × 20 = 2．
18.【详解】(1)根据题意， ′( ) = 2 e + 2e = e (2 + )，
则 ′(0) = 0，且 (0) = 0，
所以 ( )在(0, (0))处的切线方程为： = 0；
(2)令 ′( ) = 0，得 = 0 2或 = < 0，
∈ ∞, 2则当 和 ∈ (0, + ∞)时，
′( ) > 0，则函数 ( )单调递增，
2
则当 ∈ , 0 时，
′( ) < 0，则函数 ( )单调递减，
2 2 4
所以 = 为函数 ( )的极大值点，极大值为 ( ) = 2e2，
= 0 为函数 ( )的极小值点，极小值为 (0) = 0，
2 2
所以函数 ( )单调递减区间为 , 0 ，单调递增区间为 ∞, 和 ∈ (0, + ∞)，
4
极大值为 2e2，极小值为 0；
(3) 2根据题意关于 的不等式 2e ≤ e 在[ , + ∞)上有解，
即 2 ≤ e ( )在[ , + ∞)上有解，
设 ( ) = 2， ∈ [ , + ∞), ( ) = e ( ), ∈ [ , + ∞)，
由于 > 0， ( ) = 2在[ , + ∞)上单调递增，所以 ( )min = 2，
( ) = e ( )在[ , + ∞)上单调递减，所以 ( )max = 1，
则 2 ≤ 1，解得 0 < ≤ 1．
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19.解：(1)取 的中点 ，连接 , ，
因为 = 2 ，所以 = = ，
因为 // ，所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
因为 //平面 ， ∩ = ， , 平面 ，
所以平面 //平面 ，
因为平面 ∩平面 = ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ，
1
因为 是 的中点，所以 = = 2；
(2)
①存在点 ，当点 与点 重合，即 = 2时， ⊥平面 ，
理由如下：当点 与点 重合时，则 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
即当点 与点 重合， = 2时， ⊥平面 ；
②在矩形 中作 ⊥ 于 ，延长 交 于点 ，折起后得 ⊥ ，
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设 = = ，则 = 1 + 2, = ，
1+ 2
因为∠ + ∠ = 90 , ∠ + ∠ = 90 ，
所以∠ = ∠ ，
因为∠ = ∠ ，所以∠ = ∠ ，
因为∠ = ∠ = 90 ，
所以 ∽ = 1 1，得 ，即 = 1 ，得 = ，
= = 1+ 1 = 1所以 2 ，1+ 2 1+ 2
因为 ⊥ , ⊥ , ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
所以点 与点 重合，
因为要使得点 的射影落在线段 上，所以 > ，
> 1则 ，解得 ∈ (1, 2],
1+ 2 1+ 2
1
在 中， = 1 2，
= = 1所以 3 △
1 1 1 1
= 3 × 2 × × 1 × 1 2
1 1
= 1 1 1 1 1
1 +
2 2 1
6 2 2 ≤ 6 2 = 12，
1 1 = 1 = 2 = 1当且仅当 2 2，即 时， max 12，
当 = 2 = 1 1 = 2时， 2 2 ， = =
2
2 ，则 是 的中点，
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此时由①知 ⊥平面 ，即 ⊥平面 ，
1 1
所以点 到平面 的距离为2 = 2．
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