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天津市第四十三中学 2026 届高三上学期开学考试数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∣ ∈ N，且 ≤ 5}, = 2,4 , = 2,3 ，则 ( ∪ ) =( )
A. 1,5 B. {2} C. 0,1,5 D. 3,4
2 + > 2.设 , ∈ R，则“ > 1”是“ > 1 且 > 1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.函数 ( ) = ( + 1)ln| 1|的大致图像是( )
A. B.
C. D.
4.设 = log50.3, = 30.3, = 0.32，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
5.函数 = sin( + )( > 0, > 0, | | < π2 )的部分图象如图所示，则( )
A. = 2sin 2 π6 B. = 2sin 2
π
3
C. = 2sin + π π6 D. = 2sin + 3
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6.若将函数 ( ) = 1 π π2 sin 2 + 3 图象上的每一个点都向左平移3个单位，得到 ( )的图象，则函数 ( )的对
称中心为( )
A. π + π4 , 0 ∈ Z B.
π
2 , 0 ∈ Z
C. π, 0 ∈ Z D. π + π2 , 0 ∈ Z
7.给出下列有关线性回归分析的四个命题：
①线性回归直线未必过样本数据点的中心( , )；
②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；
③当相关系数 > 0 时，两个变量正相关；
④如果两个变量的相关性越强，则相关系数 就越接近于 1．
其中真命题的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为 5 个区域．现有 6 种不同的
花卉可供选择，要求相邻的区域(有公共边)不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布
置方案有( )
A. 720 种 B. 1440 种 C. 1560 种 D. 2520 种
9.若函数 ( ) = sin + cos 2sin cos + 1 有零点，则实数 的取值范围为
A. [ 2, 94 ] B. [ 2, 2] C. [ 2, 2] D. [ 2,
9
4 ]
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10 2 + . ( )
6的展开式中 3 3的系数为 (用数字作答)．
11 2.甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用 3 局 2 胜制．假设每局比赛中甲获胜的概率为3，乙获胜的概率
1
为3，且各局比赛的结果相互独立，则甲以 2: 1 的比分获胜的概率为 ；在甲获胜的条件下，甲第一局
获胜的概率是 ．
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12 .已知某扇形的圆心角为3，半径为 3，则该扇形的弧长为 ．
2
1 2 13.函数 ( ) = 3 的单调递增区间为 ．
14.已知 > > 0 6 2， + + = 1，则 2 的最小值为 ．
2
15 4 + 1( ≤ 0).已知 ( ) = log ，若方程 ( ) = 有四个不同的解 1, 2, 3, 4，且 ( > 0) 1
< 2 < 3 < 4，
3
则 4 1 + +
3
2 的最大值是 ．3 42
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.化简求值：
23
(1) 3 38 ( 1)
0 + 2lg5 + lg4 e ln3；
sin( )+2sin +
(2)已知 tan 1 24 = 3，求 3 的值．cos( + )+cos 2
17.设函数 ( ) = 3 92
2 + 6 ．
(1)求函数 的单调区间．
(2)若方程 ( ) = 0 有且仅有三个实根，求实数 的取值范围．
18.已知函数 ( ) = 2 3sin cos + 2cos2 1．
(1)求 ( )的最小正周期；
(2)若 6 π π π0 = 5， 0 ∈ 4 , 2 ，求 cos 2 0 + 6 的值．
19.已知函数 ( ) = 3cos2 + sin cos 32 ( > 0)

， ( )图象的相邻对称轴之间的距离为2．
(1)求 ( )的解析式和函数 ( )的单调递增区间；
(2) ( ) 1 将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的2，纵坐标伸长为原来的 2 倍，再向左平移12个单位得
( ) 的图象，若关于 的方程 ( ) = 在 12 , 6 上只有一个解，求实数 的取值范围．

20.已知函数 ( ) = e + ( 1) 2 ( > 0, ∈ R).
(1)当 = e 时，求证： 2 ( ) ≥ e；
(2)讨论 ( )的单调性；
(3)当 ≥ 1 时， ( ) ≥ e，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 25
11. 8 427； 5/0.8
12.
13.( ∞,1](说明写成( ∞,1)也给分)
14.12
15. 11
2
16.(1) 3 3 3 ( 1)08 + 2lg5 + lg4 e
ln3 = 43 1+ 2
1
3 = 2．
(2)tan tan 1 14 = 1+tan = 3 tan = 2，
= sin +2cos tan +2 4原式 cos sin = 1+tan = 3．
17.(1) ′( ) = 3 2 9 + 6，当 ′( ) > 0 时， > 2 或 < 1.当 ′( ) < 0 时，1 < < 2．
(2)由(1)知，函数在( ∞,1)为增，(1,2)为减函数，(2, + ∞)为增函数，根据函数的图像特征，判断 轴应在
(1) > 0 5
极值之间，由{ (2) < 0得，2 < < 2
18.(1)由题意得 ( ) = 3 2sin cos + 2cos2 1
= 3sin2 + cos2 = 2sin 2 + π6 ，
= 2π而 2 = π，故 ( )的最小正周期为π．
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(2)由(1) π可知 0 = 2sin 2 0 + 6 ，
又 0 =
6 π 3
5，所以 sin 2 0 + 6 = 5，
∈ π π由 0 4 , 2 ，得 2 +
π ∈ 2π , 7π0 6 3 6 ，
π
从而 cos 2 0 + 6 = 1 sin
2 2 0 +
π
6 =
4
5．
19.(1) ( ) = 3cos2 + sin cos 32
= 32 1 + cos2 +
1 sin2 3 π2 2 = sin 2 + 3 ，
> 0，因为 ( ) π图象的相邻对称轴之间的距离为2，
所以 ( )的最小正周期为π，
2π
所以2 = π，得 = 1，所以 ( ) = sin 2 +
π
3 ，
令 π2 + 2 π ≤ 2 +
π π
3 ≤ 2 + 2 π, ∈ ，
则 5π12 + π ≤ ≤
π
12 + π, ∈
5π π
，所以 ( )的单调递增区间为 12 + π, 12 + π , ∈ ；
(2)由(1)知 ( ) = sin 2 + π3 ，
将 ( ) 1图象上所有点的横坐标缩短为原来的2，
π
纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到函数 = 2sin 4 + 3 的图象，
π
再向左平移12个单位得 ( ) = 2sin 4 +
π π 2π
12 + 3 = 2sin 4 + 3 的图象．
令 = 4 + 2π3， ∈
π , π π 4π12 6 ，则 ∈ 3 , 3 ，所以 2sin ∈ 3, 2 ，
因为 2sin = 在 ∈ π 4π3 , 3 上只有一个解，由 = 2sin 的图象(如图)可得， 3 ≤ < 3或 = 2，所以
的取值范围是 3, 3 ∪ 2 ．
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20.(1) = e ( ) = 2 ( ) e = 2 × e e( 1)当 时，设 2 e = e
e( 1) e = e e ，
所以 ′( ) = e e 单调递增，
所以当 > 1 时， ′( ) > 0, ( )单调递增；
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0, ( )单调递减；
所以 ( )min = (1)= e1 e = 0，所以 ( ) = 2 ( ) e = e e ≥ 0，
所以 2 ( ) ≥ e；
2
(2)函数 ( ) = e + ( 1) (0, + ∞) ( ) = e + 2 e + = e ( 2) ( 2) 2 的定义域为 ，求导得 ′ 4 3 =
e ( 2)
3 ，
当 ≤ 1 时，e > 1 ≥ ，e > 0, 3 > 0
当 > 2 时， ′( ) > 0, ( )单调递增；当 0 < < 2 时， ′( ) < 0, ( )单调递减；
当 1 < < e2时， 3 > 0，
令 e ( 2) = 0，解得 1 = ln , 2 = 2，
当 > 2 时， ′( ) > 0, ( )单调递增；当 ln < < 2 时， ′( ) < 0, ( )单调递减；当 0 < < ln 时，
′( ) > 0, ( )单调递增；
当 > e2时， 3 > 0，
令 e ( 2) = 0，解得 1 = ln , 2 = 2，
当 > ln 时， ′( ) > 0, ( )单调递增；当 2 < < ln 时， ′( ) < 0, ( )单调递减；当 0 < < 2 时，
′( ) > 0, ( )单调递增；
当 = e2时， 3 > 0，
令 e e2 ( 2) = 0，解得 1 = 2 = 2，
当 > 0 时， ′( ) ≥ 0, ( )单调递增；
综上，当 ≤ 1 时， ( )在(0,2)上单调递减，在(2, + ∞)上单调递增；
当 1 < < e2时， ( )在 0, ln ，(2, + ∞)上单调递增，在 ln , 2 上单调递增；
当 = e2时， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 > e2时， ( )在(0,2)， ln , + ∞ 上单调递增，在 2, ln 上单调递增；
(3)当 = 1 时， ∈ R, (1) = e 符合题意；
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2
当 ≥ 1 时， ( ) ≥ e e + ( 1) e e，则 2 ≥ e 等价于 ≥ 1 恒成立，
2e e
令 ( ) = 1 ( > 1)，

′( ) = e +2 e ( 1) e
+ 2e e e ( 2)
( 1)2 = ( 1)2 ，
由(1)知e e > 0，所以 e e < 0，( 1)2 > 0，
当 > 2 时， ′( ) < 0, ( )单调递减；当 1 < < 2 时， ′( ) > 0, ( )单调递增；
2
则 ( )max = (2) =
4e e 2
2 1 = 4e e ，
2e e
因为 ≥ 1 恒成立，所以 ≥ ( )max，
所以 ≥ 4e e2，
实数 的取值范围为 4e e2, + ∞ ．
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