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天津市第一0二中学2026届高三上学期开学考试数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数的大致图象如图所示，则可能是( )
A. B. C. D.
4.设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.给出下列说法，其中正确的是( )
A. 某病位患者的潜伏期天分别为，，，，，，，，则它们的第百分位数为
B. 已知数据的平均数为，方差为，那么数据，，的平均数和方差分别为，
C. 在回归直线方程中，相对于样本点的残差为
D. 样本相关系数
6.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知菱形的边长为，，点，分别在边，上，，若，，则等于( )
A. B. C. D.
8.已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是( )
A.
B. 将的图象向右平移个单位，得到的图象
C. ，都有
D. 函数的单调递减区间为，
9.已知函数，若将函数的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的函数图象关于轴对称
C. 当取得最值时，
D. 当时，的值域为
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.是虚数单位，复数，则 ．
11.的二项展开式中，的系数为
12.某校高三班第一小组有男生人，女生人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ．
13.某篮球队对队员进行考核，规则是每人进行个轮次的投篮；每个轮次每人投篮次，若至少投中次，则本轮通过，否则不通过已知队员甲投篮次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲第一轮通过的概率为 ；甲个轮次通过的次数的期望是 ．
14.如图，在平行四边形中，，，分别为，的中点，与交于点已知，，则 ；若，则的余弦值为 ．
15.若不等式对任意的恒成立，则的最大值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在中，角所对的边分别为，且．
求的值；
求的值；
求的值．
17.如图，在多面体中，平面，平面．，，，为的中点．
求证：平面；
求该多面体的体积；
求平面与平面所成的锐二面角的大小．
18.已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为．
求椭圆的方程；
设为坐标原点，点在椭圆上，直线与直线，分别交于点，设与的面积分别为，比较与的大小．
19.已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，，．
求数列和的通项公式；
设数列的前项和为，求证：；
表示不超过的最大整数，；
求；
．
20.已知，
求在处的切线方程；
若不等式对任意成立，求的最大整数解．
的两个零点为，，且为的唯一极值点，求证：．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.
16.解：由题设及正弦边角关系得，又，则，
由余弦定理有，则；
由且，则，
由正弦定理，则；
由上，故为锐角，则，
所以，，
所以．

17.解：因为平面，平面，，，
所以
取的中点，连接，，因为为的中点，
所以，所以，
所以四边形为平行四边形，所以
因为，为的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，所以平面，
因为，所以平面．
，
由知，平面，
，
所以
如图建立空间直角坐标系，则，，，
设平面的一个法向量为，
，，
由，令，则，，
所以
因为平面，所以平面的法向量，
所以，
因为，
所以平面与平面所成的锐二面角为．

18.解：由椭圆可知，，所以，又，所以，，
故椭圆的方程为；
联立，消去得，，
整理得，，
又，所以，，
故式可化简为，即，所以，
所以直线与椭圆相切，为切点．
设，易知，当时，由对称性可知，．
故设，易知，
联立，解得，
联立，解得，
所以
，
，
故．
法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，．
故设，
联立，解得，
联立，解得，
若，则，
由对称性，不妨取，则，
，，所以，
同理，当时，，
当时，则，，，
又，所以，
所以
，
，
则，即，
所以．

19.解：设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
由，
得，解得或舍去；
故，
由知，，，则
证明：
则
；
，
，
所以．
，
则
，
由得：
．

20.解：的定义域为，
，，又，
所以在处的切线方程为，
即；
，，
，
即，
即对任意成立，
令，，则，
令，，
故，所以在上单调递增，
，，
由零点存在性定理得，使得，即，
所以当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，
所以，的最大整数解为；
，定义域为，
当时，在上单调递增，此时不存在两个零点，
所以，，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值，也是最小值，故，
要使得有两个零点，需满足，
即，解得，
因为，所以，
令，由得，
所以，
要证，只需证，
即证，即证，
，只需证，
令，则，
令，则，
当时，，故在上单调递增，，
故在上单调递增，，
所以．

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