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天津市武清区黄花店中学 2026 届高三上学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.全集 = 3, 2, 1,1,2 ，集合 = 2, 1 ， = 3, 1,2 ，则 U ∩ =( )
A. 1 B. 3, 1,1,2 C. 3,2 D. 3
2.“ > ”是“lg > lg ”的( )．
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3 2 .函数 ( ) = e +e 的大致图象是( )
A. B.
C. D.
4.设 = log30.4, = log43, = 30.4，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
5.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， π，若 = 3 , = 3, = 1，则角 的大小是( )
A. 5π B. π6 6 C.
π
3 D.
π 5π
6或 6
6.已知函数 ( ) = 12 cos2 +
3
2则下列正确的是( )
A. ( )的最小正周期为 2π B. ( ) π 5π在 12 , 12 上单调递减
C. ( ) 5π , 7π在 12 12 上单调递增 D. ( )的最大值为 3
7.在 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，已知 cos = cos ，且 2 = 2 + 2 ，则
的形状为( )
A.钝角三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
8.将函数 ( ) = sin + 3cos ( > 0) π的图象向右平移3个单位长度，得到的图象关于 轴对称，则 的
最小值为( )
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A. 72 B.
5 3 1
2 C. 2 D. 2
9.已知 1, 2是函数 ( ) = 2cos
π
3 + 1( > 0)
π
的两个极值点，且 2 1 min = 2，则 ( )的图象的一
个对称中心为( )
A. π6 , 0 B.
π
6 , 1 C.
π
12 , 0 D.
π
12 , 1
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10 3+i.已知 i 是虚数单位，复数2 3 i = ．
11 2
5
.在 2 5 的展开式中， 的系数为 . (用数字作答)
12.sin 11π6 = ．
13.已知函数 ( ) = ln + 2 2，则曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程为 ．
sin π+ cos 3π+ cos π+
14.化简： 2 = ．
sin 5π2 sin π
15.将函数 ( ) = 2cos 2 π π π6 的图象向右平移12个单位得到函数 ( )的图象，则函数 ( )在区间 0, 2 上的
值域 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3sin cos + cos2 + 12．
(1)求 ( )的最小正周期，对称轴方程；
(2)求 ( )的对称中心；
(3)求 ( )单调递增区间．
17.(本小题 15 分)
在 中，角 , , 所对的边分别为 , , .满足 3 cos = sin ．
(1)求角 的大小；
(2)若 < , = 2 7, △ 的面积为 3 3．
①求 , 的值；
②求 sin(2 + )的值．
18.(本小题 15 分)
在 1中，角 , , 所对的边分别为 , , ，且 = 3,5 sin = 3 sin , cos = 5．
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(1)求 的值；
(2)求 sin 的值；
(3)求 sin 2 + π6 的值．
19.(本小题 15 分)
π 3
( ) = 3cos 2 3 sin cos + 2 cos
2 sin2
(1)求 ( )的最小正周期 单调递增区间
(2) ( ) = π在区间 2 , 0 有两个不等的实根，求 的范围
20.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 1 + ln(1 + )，
(1)若曲线 = ( )在点(0, 1)处的切线与直线 3 2 + 1 = 0 垂直，求实数 的值；
(2)当 = 4 时，讨论函数单调性
(3)当 = 2 时，若对任意 ∈ ( 1, + ∞)，不等式 ( ) + + 2 ≤ + ln 恒成立，求 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 5 3 313 + 13 i
11.40
12. 12
13.3 4 = 0
14. sin
15.[ 1,2]
16.【详解】(1)因为 ( ) = 3sin cos + cos2 + 1 = 3 1 π2 2 sin2 + 2 cos2 + 1 = sin 2 + 6 + 1，
2π
所以函数 ( )的最小正周期 = 2 = π；
π
令 2 + 6 = π +
π
2 , ∈
π π
，解得 = 2 + 6 , ∈ ，
所以函数 ( ) π π的对称轴方程为 = 2 + 6 , ∈ ．
(2) 2 + π令 6 = π, ∈ =
π π
，解得 2 12 , ∈ ，
π
所以函数 ( )的对称中心为 2
π
12 , 1 , ∈ ．
(3)令 2 π π π π2 ≤ 2 + 6 ≤ 2 π + 2 , ∈
π π
，解得 π 3 ≤ ≤ π + 6 , ∈ ，
所以函数 ( ) π π单调递增区间为 π 3 , π + 6 , ∈ ．
17.【详解】(1)在 中，由 3 cos = sin 及正弦定理，得 3sin cos = sin sin ，
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而 sin ≠ 0，则 tan = 3，又 0 < < π，
π
所以 = 3．
(2)①在 中， = 2 7，
由(1)及余弦定理得 2 + 2 2 cos = 2，即 2 + 2 = 28，
1又 = 2 sin = 3 3，即 = 12，而 < ，
所以 = 2, = 6．
2 2 2
②由余弦定理得 cos = + 4+28 36 12 = 2×2×2 7 = 2 7 =
7
14 ,
而 ∈ 0, π ，则 sin = 1 cos2 = 3 3 = 3 212 7 14 ，
sin2 = 2sin cos = 3 314 , cos2 = 1 2sin
2 = 1314，
sin(2 + ) = sin2 cos + cos2 sin = 3 3 1 13 314 × 2 14 × 2 =
4 3
7 ．
18.【详解】(1)由题设及正弦边角关系得 5 = 3 5 = 3 ，又 = 3，则 = 5，
由余弦定理有 2 = 2 + 2 2 cos = 9 + 25 6 = 28，则 = 2 7；
(2)由 cos = 15且 0 < < π
2 6
，则 sin = 5 ，

由正弦定理sin = sin ，则 sin =
sin = 2 6 = 42 2 7 7 ；
(3)由上 < ，故 为锐角，则 cos = 1 sin2 = 17，
所以 sin2 = 2sin cos = 2 6 57 ，cos2 = 2cos
2 1 = 7，
所以 sin 2 + π = 36 2 sin2 +
1 3 2 6 1
2 cos2 = 2 × 7 + 2 × (
5 ) = 6 2 57 14 ．
19. (1) ( ) = 3 cos2 cos π+ sin2 sin π 1 sin2 + 3【详解】 由题意有 3 3 2 2 cos2 = 3cos2 + sin2 =
2sin 2 + π3 ，
2π 2π
所以 = | | = 2 = π，
所以 ( )的最小正周期为π，
令 2 π π2 ≤ 2 +
π
3 ≤ 2 π +
π
2 , ∈ Z，
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所以 π 5π π12 ≤ ≤ π + 12 , ∈ Z，
5π π
所以 ( )的单调递增区间为 π 12 , π + 12 ∈ Z ；
(2) π ≤ ≤ 0 2π由 2 有 3 ≤ 2 +
π π
3 ≤ 3，
作出 = 2sin , ∈ 2π , π3 3 的图像：
π
由图可知， ( ) = 在区间 2 , 0 有两个不等的实根，
所以 2 < ≤ 3
所以 ∈ 2, 3 ．
20.【详解】(1)由 ( ) = 2 1+ ln(1 + )得 ′( ) = 2 + 1+ ，
则 ′(0) = 3，又由直线 3 2 + 1 = 0 的斜率为2，
3 2
根据题意可知2 = 1，解得 = 3；
2
(2) 4 2 +2 4由(1)可知 ′( ) = 2 + 1+ = 1+ ( > 1)，
令 ′( ) > 0，得 > 1，故函数 ( )在区间(1, + ∞)上单调递增，
令 ′( ) < 0，得 1 < < 1，故函数 ( )在区间( 1,1)上单调递减，
综上，函数 ( )在区间(1, + ∞)上单调递增，在区间( 1,1)上单调递减；
(3)当 = 2 时，不等式可化为 2 1+ 2ln(1 + ) + + 2 ≤ e + ln ，
变形为 2 + 2 + 1 + 2ln(1 + ) ≤ e + ln + ( + 1)2 + ln(1 + )2 ≤ e + ln e ，
同构函数 ( ) = + ln 1，求导得 ′( ) = 1 + > 0，
所以 ( ) = + ln 在(0, + ∞)上是增函数，而原不等式可化为 ( + 1)2 ≤ e ，
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( + 1)2 ≤ e ≥ ( +1)
2
根据单调性可得： e ， ∈ ( 1, + ∞)，
2 2 2
再构造 ( ) = ( +1)e ，则
′( ) = 2( +1)e ( +1) e = +1e 2 e ， ∈ ( 1, + ∞)，
2 2
当 ∈ ( 1,1)时， ′( ) = +1 > 0 ( +1)e ，则 ( ) = e 在 ∈ ( 1,1)上单调递增，
2 2
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) = +1e < 0
( +1)
，则 ( ) = e 在 ∈ (1, + ∞)上单调递减，
2
所以 ( )max = (1) =
(1+1) 4 4
e1 = e，即满足不等式成立的 ≥ e，
4
所以 的最小值为e．
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