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天津市小站第一中学 2026 届高三上学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.cos 5π3 =( )
A. 32 B.
3 1 1
2 C. 2 D. 2
2.要得到函数 = 2sin 2 3 的图象，只需将 = 2sin2 的图象( )
A. 向左平移3长度 B.向右平移3长度 C.向左平移6长度 D.向右平移6长度
3.若 都是锐角，且 sin = 513，cos( + ) =
4
5，则
的值是
A. 56 B. 16 C. 33 D. 6365 65 65 65
4 π.已知函数 ( ) = 3sin + 3 ( > 0)的最小正周期为π.则 ( )
π π
在区间 12 , 6 上的最小值是( )
A. 3 3 B. 32 2 C. 0 D.
3
2
5 ( ) = sin(2 + ) .将函数 3 的图象向右平移6个单位长度，得到函数 ( )的图象，则下列说法不正确的是( )
A. ( ) 3的最小正周期为 B. 6 = 2
C. = 6是 ( )图象的一条对称轴 D. ( )为奇函数
6.已知函数 = ( )的图象关于直线 = 2 对称，且 ( )的一个周期为 4，则 ( )的解析式可以是( )
A. sin 2 B. cos

2 C. sin

4 D. cos

4
7.已知函数 ( ) = sin( + ) > 0, > 0, | | < 是奇函数，且 ( )的最小正周期为 ，将 = ( )的

图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为 ( ).若 4 = 2，则
3 8 =( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
8.关于函数 ( ) = 12 sin2 ，给出下列结论：
① ( )的最小正周期为 2π；
② ( ) [ π在 4 ,
π
4 ]上单调递增；
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∈ π , π 3 3③当 6 3 时， ( )的取值范围为 4 , 4 ；
④ ( ) ( ) = 1的图象可由 2 sin(2 +
π π
4 )的图象向左平移8个单位长度得到．
其中正确结论的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.已知函数 ( ) = sin 2 π6 ，关于该函数有下列四个说法：
(1)函数 ( ) 5π的图象关于点 12 , 0 中心对称
(2)函数 ( ) π的图象关于直线 = 8对称
(3)函数 ( )在区间 π, π 内有 4 个零点
(4)函数 ( ) π在区间 2 , 0 上单调递增
以上四个说法中，正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.函数 ( ) = 2cos2 + 3sin2 π在区间 2 , π 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围是( )
A. ( 2, 1] B. [ 2,1] C. ( 1,0] D. [ 1,0]
11. ( ) = sin( + ) > 0, π < < π 5π π π π，在 12 , 12 上单调递增，且 = 12为它的一条对称轴， 3 , 0
π
是它的一个对称中心，当 ∈ 0, 2 时， ( )的最小值为( )
A. 32 B.
1
2 C. 1 D. 0
12.设函数 ( ) = 2sin( + )， ∈ ，其中 > 0，| | < . ( 5 若 8 ) = 2 (
11
， 8 ) = 0，且 ( )的最小正
周期大于 2 ，则
A. = 2 2 11 3， = 12 B. = 3， = 12
C. = 1 11 1 7 3， = 24 D. = 3， = 24
二、解答题：本题共 6 小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题 15 分)
在 中，角 , , 的对边分别为 , , .已知 = 1, = 2, sin = 2sin ．
(1)求 cos 的值；
(2)求 sin 的值；
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(3)求 sin(2 )的值．
14.(本小题 15 分)
π
已知函数 ( ) = cos 2 + 2 3sin26 3， ∈ ．
(1)求 ( )的最小正周期和单调递增区间；
(2)求 ( ) π π在区间 4 , 4 上的最大值和最小值．
15.(本小题 15 分)
在△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 3( )2 = 3 2 2
(1)求 的值
(2)若 5 = 3
( )求 sin 的值
( ) 求 sin 2 + 6 的值．
16.(本小题 15 分)
在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ， sin = cos π6 ， = 2， = 3．
(1)求角 的大小：
(2)求 的值；
(3)求 sin(2 )的值．
17.(本小题 15 分)
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， . 3已知 = 4，cos = 4，sin + sin = 2sin ．
(1)求 的值；
(2)求 cos 的值；
(3) tan π求 4 的值．
18.(本小题 15 分)
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 = 4 3sin , = 2π3．
(1)求 的值；
(2)若 2 + 2 2 = 2 33 ．
( )求 cos 的值：
( )求 cos(2 )的值．
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参考答案
1.
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3.
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6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.【详解】(1)由 sin = 2sin 及正弦定理得： = 2 ，
∴ = 2，
2+ 2 2 1
由余弦定理得 cos = 2 = 4．
(2)由(1)知：sin = 1 cos2 = 154 ，
15
由正弦定理sin = sin ，得 sin = 8 ．
(3)由 sin2 = 2sin cos = 158 ，且 cos2 = 2cos
2 1 = 78，
∵ < ，即 < ，∴ cos = 1 sin2 = 78，
∴ sin(2 ) = sin2 cos cos2 sin = 7 1532 ．
14.【详解】解： ( ) = cos2 cos π6 + sin2 sin
π
6 + 2 3sin
2 3
3 1
= 2 cos2 + 2 sin2 + 3 1 cos2 3
1 3
= 2 sin2 2 cos2
π
= sin 2 3
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(1) = 2π2 = π，所以 ( )的最小正周期为π．
由 2 π3 ∈ 2 π
π
2 , 2 π +
π
2 ， ∈
可得 ∈ π π12 , π +
5π
12 ， ∈
∴ ( ) π 5π的单调递增区间为 π 12 , π + 12 ( ∈ )；
(2) π π因为 ( )在区间 4 , 12 上单调递减，

在区间 12 , 4 上单调递增，
π = 1 π π 1又 4 2， 12 = 1， 4 = 2．
( ) π , π 1所以 在区间 4 4 上的最大值为2，最小值为 1．
15.
2+ 2 2 2
【详解】(1) 在 中，由 3( )2 = 3 2 2 ，整理得 2 = 3，
2
又由余弦定理，可得 cos = 3；
(2)( ) (1) 5 由 可得 sin = 3 ，又由正弦定理sin = sin ，
sin
及已知 5 = 3 ，可得 sin = =
3 × 55 3 =
5
5 ；
( )由( )可得 cos2 = 1 2sin2 = 35，由已知 5 = 3 ，可得 < ，故有 < ，
∴ 5为锐角，故由 sin = 5 ，可得 cos =
2 5
5 ，从而有 sin2 = 2sin cos =
4
5，
∴ sin 2 + 6 = sin2 cos

6 + cos2 sin
= 4 × 3 3 1 4 3+36 5 2 + 5 × 2 = 10 ．
16.【详解】(1)在 中，由正弦定理sin = sin ，可得 sin = sin ，
又由 sin = cos π6 ，得 sin = cos
π
6
即 sin = cos π6 ，
∴ sin = 32 cos +
1
2 sin
1 3
，∴ 2 sin = 2 cos ，∴ tan = 3．
π
又因为 ∈ 0, π ，可得 = 3；
(2)在 π中，由余弦定理及 = 2， = 3， = 3，
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有 2 = 2 + 2 2 cos = 7，故 = 7；
(3)由 sin = cos π 36 ，可得 sin = 7，
因为 < ，所以 < ，故 为锐角，故 cos = 27，
因此 sin2 = 2sin cos = 4 37 ，cos2 = 2cos
2 1 = 17．
所以，sin(2 ) = sin2 cos cos2 sin = 4 3 1 17 × 2 7 ×
3 = 3 32 14 ．
17.【详解】(1)因为 sin + sin = 2sin ， = 4，所以 + = 2 ，即 = 2 4，
3
又因为 cos = 4，
所以 16 = 2 + (2 4)2 2 (2 4) × 34 = 2
2 10 + 16，解得 = 5．
(2)由(1)得 = 4， = 5，所以 = 2 4 = 6，
2 2 2
所以 cos = 4 +5 6 12×4×5 = 8．
2
(3)由(2)得，cos = 1 sin > 0 sin = 1 1 = 3 7 tan = sin 8，又 ，所以 8 8 ， cos = 3 7，
2
所以 tan π = 63 1 63 1 64 2 63 32 3 74 1+ 63 = 63 1 × 63+1 = 62 = 31 ．
18. 2π【详解】(1)由正弦定理sin = sin 及 = 4 3sin , = 3 ，
得 = 4 3 × 32 = 6.
2 2 3
(2)( ) cos = +
2 2 3 3由余弦定理有 2 = 2 = 3 ，
( )因为 ∈ (0, π)，所以 sin > 0，
2
从而 sin = 1 cos2 = 1 3 = 63 3 ，
则 sin2 = 2sin cos = 2 × 6 3 2 23 × 3 = 3 ，
3 2 1
cos2 = 2cos2 1 = 2 × 3 1 = 3 ,
1 1 2 2 3 2 6 + 1
cos(2 ) = cos2 cos + sin2 sin = 3 × 2 + 3 × 2 = 6 .
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