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天津南开中学滨海生态城学校 2026 届高三上学期 9 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = 2 ≤ ， = = 2 , > 0 ，则 ∪ = ( )．
A. B. 0, + ∞ C. 0,1 D. 0,1
2.若数列 各项均为正数，则“ ln 为等差数列”是“ 为等比数列”的( )．
A.充分不必要条件． B.必要不充分条件．
C.充要条件． D.既不充分又不必要条件．
3.已知 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = 30 ， = 1， = 3，则角 的值为( )
A. 2 2 3 B. 3 C. 3或 3 D.

2
4.下列命题中错．误．的是( )
A.在回归分析中，相关系数 的绝．对．值．越大，两个变量的线性相关性越强
B.若变量 与 之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为 = 2 + ，样本点中心
为 3,6.5 ，则样本点 2.5,7 的残差为 1.5
C.在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
D.对分类变量 与 ，它们的随机变量 2的观测值 越小，说明“ 与 有关系”的把握越大

5 1.5.函数 = 1.5 1 1.5的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知等差数列 的前 项和为 ，若 3 + 10 = 6 + 4，则 13 =( )
A. 4 B. 60 C. 68 D. 52
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7.已知函数 满足 + = 0，且当 ∈ ∞,0 时， + ′ < 0 恒成立．若 =
30.2 30.2 , = ln2 ln2 , = 1 13 27 3 27 ，则 , , 的大小关系是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
8.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0,0 < < )的部分图象如图所示， 是等腰直角三角形， , 为
图象与 轴的交点， 为图象上的最高点，且| | = 3| |，则( )
A. (2) + (5) = 2 B. ( )在(3,7)上有 3 个零点
C. ( )在(1,2) 3上单调递减 D.函数 ( )的图象关于直线 = 2对称
9. ( ) = sin( + )( > 0, < < ) 5 ，在 12 , 12 上单调递增，且 = 12为它的一条对称轴， 3 , 0
是它的一个对称中心，当 ∈ 0, 2 时， ( )的最小值为( )
A. 3 B. 12 2 C. 1 D. 0
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10.27
2
3 + 5 12 + 102lg2 lg38 = ．
5
11.在等比数列 中，前 项和 = 7 2 ，则实数 的值为 ．
12.钝角 能使得等式 sin (1 + 3tan10 ) = 1 成立，则该钝角 的值等于 ．
13.甲、乙两人的口袋中均装有 3 个球，甲的 3 个球为 2 个黑球和 1 个白球，乙的 3 个球均为黑球(黑球和
白球的大小，材质一样).两人决定玩一场游戏：两人各从口袋中任取 1 个球与对方交换，重复进行这样的操
作．第 1 次交换后，甲的口袋中黑球的个数为 3 的概率为 ；第 2 次交换后，甲的口袋中依然只有 1
个白球的概率为 ．
14.设 > 1，若仅有一个常数 使得对于任意的 ∈ , 2 ，都有 ∈ , 2 满足方程 + = ，这
时， 的取值的集合为 ．
1
15.已知定义在 上的奇函数 ，满足 = 2 ，当 0 ≤ ≤ 1 时， = 2 ，则 的最小正周
期为 ；若关于 的方程 + = 有 4 个不同实根，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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16.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， 3sin + cos = 2，sin : sin = 3: 5， = 19.
(1)求角 的大小；
(2)求 的值与 的面积；
(3)求 sin 2 的值．
17.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足 2 = 3 + 2 cos ．
(1)求角 ；
(2)若 cos = 14，求 sin 2 + 的值；
(3)若 = 7, sin = 3，求 的值．
18.记数列 是公差不为 0 的等差数列， 1 = 2，且 2是 1和 4的等比中项．
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足： 1 = 1 1， 2 = 3 + 3， +2 = 3 +1 2 10，
(ⅰ)求证： +1 10 为等比数列；
(ⅱ)求 取最大值时 的值．
19.已知无穷等差数列 的首项 1 = 3，公差 = 5，依次取出序号为被 4 除余 3 的项组成数列 ．
(1)求 1和 2；
(2)求 的通项公式；
(3) 中的第 110 项是 中的第几项？
20.已知函数 = 2 2 ln ∈ ．
(1)令 = ′ ，讨论 的单调性并求极值；
(2)令 = + 2 + 2 ，若 有两个零点；
( )求 的取值范围：
( )若方程 ln + = 0 有两个实根 1， 2， 1 ≠ 2，证明： + 21 2 1 2 > ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.109 /1
1
9
11.12/0.5
12.130
13.1 53； 9
14. 2
15.4；( 2 , 2 ) ∪ ( 2 5 9 9 ,
2
5 )
16.1)由 3sin + cos = 2 可得 2sin + 6 = 2，可得 sin + 6 = 1，
因为 0 < < 7 ，则6 < + 6 < 6，所以 + 6 = 2，解得 = 3．
(2) = = sin = 3 = = 5由正弦定理sin sin sin ，有sin 5 ，所以 3 ，
由(1)知 = 3，由余弦定理得
2 = 19 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 = 34 2 5 2 19 29 3 = 9 ，
解得 = 3， = 5，
所以 1的面积为 = 2 sin =
1
2 × 3 × 5 ×
3 = 15 32 4 ．
2 2 2
(3)由余弦定理可得 cos = + 19+9 25 192 = 2 19×3 = 38 ，
19 2 5 57
所以 sin = 1 2 = 1 38 = 38 ，
所以 sin 2 = sin 2 3 = sin cos
2
3 cos sin
2
3
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= 5 57 × 1 19 3 3 5738 2 38 × 2 = 38 ．
17.(1) ∵ 2 = 3 + 2 cos ，由正弦定理得，2sin = 3sin + 2sin cos ，
∴ 2 sin cos + cos sin = 3sin + 2sin cos ，
即 2sin cos = 3sin ，
∵ 0 < < , ∴ sin ≠ 0，∴ cos = 32 ，
又 0 < < ，∴ = 6．
(2)由已知 cos = 14得 sin = 1
2 = 154 ，
∴ sin2 = 2sin cos = 158 ，
cos2 = 2 2 1 = 78，
∴ sin 2 + = sin 2 + 6 = sin2 cos
3 5 7
6 + cos2 sin 6 = 16 ．
(3) sin 由正弦定理sin = sin ，得 = sin ，
由(1) = 知 6，结合 sin = 3，∴ = 2 3，
= 7，由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 cos = 19，∴ = 19．
18.(1)设 的公差为 ，则 21 + = 1 1 + 3 ，
所以 2 1 = 0 即 2 2 = 0，而 ≠ 0，故 = 2，
故 = 2 + 1 × 2 = 2 ．
(2)(ⅰ) 1 = 1 1 = 1， 2 = 3 + 3 = 9，
而 +2 = 3 +1 2 10，故 +2 +1 10 = 2 +1 10 ，
而 2 1 10 = 2 ≠ 0， +1 10 ≠ 0

，所以 +2
+1 10
+1 10
= 2
所以 +1 10 为等比数列且公比为 2，首项为 2．
(ⅱ)由(ⅰ)可得 +1 10 = 2 × 2 1，所以 +1 = 10 2 ，
故当 1 ≤ ≤ 3 时， +1 > 0，当 ≥ 4 时， +1 < 0，
故 1 < 2 < 3 < 4 > 5 > > > ，
故 取最大值时 = 4．
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19.(1)因为 1 = 3， = 5，
所以 = 3 + 1 × 5 = 8 5 ，
因为数列 中序号能被 4 除余 3 的项依次是第 3 项，第 7 项，第 11 项，…，
所以 1 = 3 = 7， 2 = 7 = 27；
(2)设 中的第 项是 的第 项，
即 = ，则 = 3 + 4 1 = 4 1( ∈ )，
所以 = = 4 1 = 8 5 4 1 = 13 20 ，
所以 的通项公式为 = 13 20 ( ∈ )；
(3)因为 110 = 13 20 × 110 = 2187，
设它是 中的第 项，
则 2187 = 8 5 ，则 = 439，
所以 110是 中的第 439 项．
20.(1)因为 2ln ′ = 1 ，
所以 = ′ = 2ln ， ∈ 0, + ∞
则 ′ = 2 ， 在区间 0,2 , ′ < 0；在区间 2, + ∞ , ′ > 0，
所以 单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为 2, + ∞ ，
极小值为 2 = 2 2ln2 ，无极大值．
(2)( ) = ln 有两个零点．
因为 ′ = 1 =

，
①当 ≤ 0 时， ′ > 0， 单调递增，不可能有两个零点；
②当 > 0 时，令 ′ < 0，得 0 < < ， 单调递减；
令 ′ > 0，得 > ， 单调递增，所以 min = = ln
要使 有两个零点，即使 < 0， ln < 0, ln > 1，得 > ，
又因为 1 = 1 > 0， = < 0，所以 在( , )上存在唯一一个零点，
且 > ，由(1)可知， 2ln ≥ 2 2ln2 ，
所以 2ln ≥ 2 2ln2 > 0，即有 2ln > 0 2 > 0，即
= 2 > 0，所以 在 , 上存也唯一一个零点，符合题意．
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综上，当 > 时，函数 有两个零点．
( ) ln + = ln = 0 > 0 有两个实根，令 = ，
= ln 有两个零点 1， 2，
1 = 1 1； 2 = 2

2，所以 1
ln 1 = 0
2 ln 2 = 0
,
所以 ln 2 ln 1 = 2 1( )，
ln 2 + ln 1 = 2 + 1( )，
要证 + 21 2 1 2 > ，只需证 1 1 22 2 > ，
即证 ln 1 + ln 1 2 2 > 2，所以只需证 ln 1 + ln 2 > 2．
2+1 ln 2
由( )( )可得 ln 2 + ln =
2+ 1 ln ln = 1 11 2 1 2 1 2
，
11
2
+1 ln
2

只需证 1 1 > 22 ，
11
设 0 < 2 1 41 < 2，令 = ，则 > 1，所以只需证 ln > 21 +1
，即证 ln + +1 2 > 0，
2
令 = ln + 4 +1 2
1 4 1
， > 1，则 ′ = +1 2 = +1 2 > 0， 在 1, + ∞ 上递增，
所以 > 1 = 0 4，即当 > 1 时，ln + +1 2 > 0 成立．
所以 ln + ln 2 + 21 2 > 2，即 1 1 2 2 > ，即 1 2 1 2 > ．
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