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四川省广安中学 2026 届高三上学期高考冲刺月测二
数学试卷
一、单选题：本大题共 8 小题，共 40 分。
1.已知集合 = 2,0,2,4 ， = { ∈ ∣ < 3}，则 ∪ =( )
A. 0,2 B. 2,0,2 C. 2,0,1,2,4 D. 2,0,1,2,3,4
2.已知数列 满足 1 = 2 且 +1 = + 2 ，则“数列 为等差数列”是“ = 1”的( )
A.必要不充分条件 B.充要条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知 ， = ， = ， = ，满足 sin + sin = 2 ，用 表示 的面积，当 2
最大时，tan 的值为( )
A. 1 B. 5+12 C. 2 D. 5
4.设曲线 = +1 ∈ 在点 1,1 处的切线与 轴的交点的横坐标为 ，则 1 2 的值为( )
A. 1 1 B. +1 C. +1 D. 1
5.已知函数 = sin 2 2 1 + 1 + 2, ∈ .若 2 2 + 1 < 4，则实数 的取值范围为
( )
A. 12 , 1 B. ∞,
1
2 ∪ 1, + ∞
C. 1, 12 D. ∞, 1 ∪
1
2 , + ∞
6.下列函数是周期为 的偶函数是( )
A. = sin B. = sin C. = tan D. = cos
47 , ≥ 5.已知函数 = 2 ，数列 满足 = ， ∈
，则“ 为递增数列”是 + 2 19, < 5
“4 ≤ < 5”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
8.若 > 1， ∈ 1，且 + 2ln = ，则( )
A. 2 < B. 2 > C. > 1 D. > 2
二、多选题：本大题共 3 小题，共 18 分。
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3 1, 为奇数
9.已知数列 的通项公式为 = ，前 项和为 ，则( )
2 , 为偶数
A. 6 = 17 B. 4 > 5 C. 5 = 42 D. 6 > 5
10.下列各组函数表示同一函数的是( )
A. = 2 + 1， =
2 + 1
B. = 25 ， = 2 5
C. = 4 2， = 2 2 +
D. = 2 4， = 2 4
11.已知函数 = 4 3 6 2 + 2 ，则下列结论正确的是( )
A.当 = 2 时，则 有三个零点
B.当 = 2 且 ∈ 0,1 时， sin < 2
C. ∈ ， + 1 =
D.若 存在极值点 1, 2和对称中心( 0, 0)( 1 < 0 < 2)，且 4 = 1 , ( 3) = ( 2)，其中 4 ≠
1, 3 ≠ 2，则 4 3, 2 1, 0 1成等比数列
三、填空题：本大题共 3 小题，共 15 分。
12.给出下列命题：
①函数 = 2 与 = 2 互为反函数，其图象关于直线 = 对称；
②已知函数 ( 1) = 2 2 + 1，则 (5) = 26；
③当 > 0 且 ≠ 1 时，函数 ( ) = 2 3 的图象必过定点(2, 2)；
④用二分法求函数 ( ) = ln + 2 6 在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过 3 次二分后精确度达到 0.1；
⑤函数 ( ) = 2 2的零点有 2 个．
其中所有正．确．命．题．的序号是 ．
13.若函数 = 的图象关于点 , 成中心对称的充要条件是函数 = + 为奇函数.则 =
1 1
2 +4的对称中心为 不等式 + 2 < 4的解集为 ．
14.设 , , 是一个三角形的三个内角，则 cos 3sin + 4sin 的最小值为_____ ___．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地
区进行了质量满意调查．现从消费者人群中随机抽取 500 人作为样本，得到下表(单位：人)．
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老年人 中年人 青年人
酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶
满意 100 120 120 100 150 120
不满意 50 30 30 50 50 80
(1)从样本中任意取 1 人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；
(2)试估计该地区青年人对酸奶满意的概率；
(3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升 0.1，使得整体对鲜奶的满意
度提升最大？(直接写出结果即可)
注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值．
16.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 = + 2 cos ．
(1)求 ；
(2)若 3 3的周长为 9，面积为 4 ，求 ．
17.如图，在三棱柱 1 1 1中，所有的棱长均相等， 是 的中点， 在上底面 1 1 1的投影为
1 1 1的重心 ．
(1)证明： ⊥ ；
(2)求平面 与平面 1 1的夹角的正弦值．
18.已知抛物线 : 2 = 2 > 0 的焦点为 .抛物线 上一点 0, 1 满足 = 2， 为直线 : 4 = 0
上的动点，过 作曲线 的两条切线 ， ，其中 , 为切点．
(1)求抛物线 的方程；
(2)求证：直线 恒过定点；
(3)求 面积的最小值．

19 .已知函数 = + ln 1 ∈ ．
(1)当 = 1 时，求函数 在 = 1 处的切线方程；
(2)若函数 有两个零点，记作 1， 2．
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(ⅰ)求参数 的取值范围；
(ⅱ)若 0 < 3 ≤ 31 2，证明： 1 2 ≥ 243．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.①③
13. 2, 18 ；{ ∣ > 3}
14. 125 3108
15.【详解】(1)设“这个人恰好对生产的酸奶质量满意”为事件 ，
样本总人数为 500，其中对酸奶质量满意的人数为 100 + 120 + 150 = 370，
所以 = 370 37500 = 50．
(2) 150 3用样本频率估计总体概率，该地区青年人对酸奶满意的概率 = 150+50 = 4．
(3)青年人消费群体对鲜奶的满意度提升 0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大．
理由如下：
120
老年人满意度为120+30 = 0.8，满意度提高 0.1 后增加的满意人数为 150 × 0.9 150 × 0.8 = 15(人)；
100
中年人满意度为100+50 ≈ 0.67，满意度提高 0.1 后增加的满意人数为 150 × 0.77 150 × 0.67 = 16(人)；
120
青年人满意度为120+80 = 0.6，满意度提高 0.1 后增加的满意人数为 200 × 0.7 200 × 0.6 = 20(人)；
所以青年人总人数最多，对鲜奶的满意度较低，所以青年人对鲜奶的满意度提升 0.1，
人数提高得最多，则整体对鲜奶的满意度提升最大．
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16.【详解】(1)在 中，由 2 = + 2 cos 及正弦定理得 2sin = sin + 2sin cos ，
则 sin + 2sin cos = 2sin( + ) = 2sin cos + 2cos sin ，
因此 2cos sin = sin 1，而 sin > 0，则 cos = 2，又 ∈ (0, )，
= 所以 3．
(2) (1) 1 3 3 3由 及已知得 △ = 2 sin = 4 = 4 ，解得 = 3，
由 + + = 9，得 + = 9 ，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 3 ，则 2 = (9 )2 9，
所以 = 4．
17.【详解】(1) ∵ 在上底面 1 1 1的投影为 1 1 1的重心 ．
∵ 1 1 平面 1 1 1，∴ ⊥平面 1 1 1，∴ ⊥ 1 1，
∵ 1 1// ，∴ ⊥ ，
∵ 是等边三角形， 是 的中点，故 ⊥ ，
∵ ∩ = ， 平面 ， 平面 ，∴ ⊥平面 ，
又因为 平面 ，∴ ⊥ ．
(2)解法一：延长 1 交 1 1于点 1，如图所示，
由(1)知平面 1 1 ⊥ ，故∠ 1 为平面 与平面 1 1的夹角，
∵ 1 1// ，∴ ∠ 1 1 + ∠ 1 =

2，
3
设棱长为 1，则 1 1 = 2 ，∵ 为
3 33
1 1 1重心，∴ 1 = 6 ，∴ =
2
1 1 2 = 6 ，∴ cos∠ 1 =
= 33 ，1 6
∴平面 与平面 1
33
1的夹角的正弦值为 6 ．
解法二：设 = 2，有 = 3 2 3， 1 = 3 ， 1 = 2，可求得 =
33
3 ，
由 = = ， = ，可得 ⊥ ，
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又由 ⊥平面 ，以 为坐标原点，
， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示空间直角坐标系，
有 0,0,0 ， 1,0,0 ， 1,0,0 ， 0, 3, 0 33， 0,0, 3 ，
可得 = 2,0,0 ， 1 = + 1 =
1 33
3 = 0,0, 3
1
3 0, 3, 0 = 0,
3
3 ,
33
3 ，
设平面 1 1的一个法向量为 = , , ，
= 2 = 0
有 ，取 = 0， = 11， = 1，可得 = 0, 11, 1 ， 1 =
3 + 333 3 = 0
又由平面 的一个法向量为 = 0,0,1 ，有 = 1， = 2 3， = 1，
有 cos , = 1 32 3 = 6 ，
3 2 33
故平面 与平面 1 1的夹角的正弦值为 1 6 = 6 ．
18.【详解】(1) 由题意 = 1 + 2 = 2 故 = 2，所以抛物线方程为
2 = 4 ．
(2)设 1, 1 ， 2, 2 ， 0, 0 ，
由 = 14
2得 ′ = 1 1 12 ，故切线 ： 4
2
1 = 2 1 1 ，即 =
1
2 1 1，
同理可得切线 ： = 12 2 2，
0 =
1 1 0 1
1 1在两条切线，则 21 ，所以直线 : 0 = 2 0 ，即 = 0 0， 0 = 2 2 0
2
2
因 0 = 0 4，故 =
1
2 0 + 4 =
1
0 2 0 2 + 4，故直线 恒过定点 2,4 ．
(法二)
当直线 斜率存在时，设 : = + ，
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= +
联立 2 = 4 ，得
2 4 4 = 0 设 1, 1 ， 2, 2 ， 0, 0 ，
= 16 2 + > 0， 1 + 2 = 4 ， 1 + 2 = 4 ，
1 1
由 = 4
2得 ′ = 2 故切线 :
1 2 14 1 = 2 1 1 ，即 =
1 1 2
2 1 4 1
同理切线 : = 12 2
1
4
2
2，
= 1+ 20 2 = 2 联立得 ，故 2 , ， = 1 20 4 =
代入直线 : 4 = 0 得 = 4 2 ，
直线 : = + 2 4 = 2 + 4，所以恒过定点 2,4
当直线 斜率不存在时，由对称性知 0, 4 ，直线 : = 4，也过定点 2,4
综上：直线 恒过定点 2,4 ．
= 1 + 4
(3)联立 2 0 0，得 2 2 0 + 4 0 16 = 0，
2 = 4
由韦达定理可得 1 + 2 = 2 0， 1 2 = 4 0 16，
= 1 + 1 2 2 1 24 0 1 + 2 4 1 2 = 1 + 4 0 4
2
0 4 4 0 16 =
2 1 + 1 2 24 0 0 4 0 + 16
1 2 3
2 0 +4
1 2 2
= 0 0 = 2 0
2 0+8 1 0 4 0+16 1
到直线的距离 = 2 = 2
2
0 4 0 + 16 =
1+1 2 1 2 1 24 0 1+4 0 1+4 0
1 3
2
2
0 2 + 12
当 0 = 2 时， 最小值为 12 3
(法二)
当直线 斜率不存在时，直线 : = 4， = 8， 0, 4 到直线距离为 8，
1 = 2 × 8 × 8 = 32
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当直线 斜率存在时
= 1 + 2 1 2 = 4 1 + 2 2 + ，
2 2+ 1 3
所以 2 , 到直线的距离 = ， = 2 = 4
2 +
1+ 2
2 + = 2 2 + 4 = 1 2 + 3，
当 = 1 时， 2 + 的最小值为 3，故 min = 12 3，
所以 的面积的最小值为 12 3．
19. 【详解】(1)当 = 1 时， = + ln 1，
则 ′ = 1 + 1
1
，∴ ′ 1 = 0．
又∵ 1 = 1 1 ，∴ 在 = 1 处的切线方程为 = ．

(2)( ⅰ)由题知， = + ln 1 = 0 在 0, + ∞ 上有两个根 1， 2，
ln ∴ + ln 1 = 0，即
ln ln 1 = 0．
令 = 1，则 ′ = 1．
当 ∈ ∞,0 时， ′ < 0， 单调递减，
当 ∈ 0, + ∞ 时， ′ > 0， 单调递增，
∴ min = 0 = 0，
所以问题转化为 ln = 0 在 0, + ∞ 上有两个根．
易知 ≠ 0 1 = ln ，故 ，
= ln 令 > 0
1 ln
，则 ′ = 2 ．
∴当 ∈ 0, 时， ′ > 0， 单调递增
当 ∈ , + ∞ 时， ′ < 0， 单调递减．
1
又∵ = ， ∈ 0,1 时， < 0， ∈ 1, + ∞ 时， > 0，
且 →+∞时， → 0； → 0 时， → ∞，
∴ 0 < 1 1 < ，解得 > ，即参数 的取值范围为 , + ∞ ．
ln =
(ⅱ)由(ⅰ) 知， 1 1 2 ln = ，两式相减得 ln = 2 12 2 1
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1 ln
2
∴ =
1
，2 1
要证 31 2 ≥ 243，
即证 ln 1 + 3ln 2 ≥ ln243 = 5ln3，
ln
2
即证 1 +
3 2 = 1 1 + 3
1
2 = 1 + 3 2 ≥ 5ln3，2 1
3 2
+1
即证 1 ln 2 2 ≥ 5ln3，
1 11
令 = 2 ∈ 3, + ∞
3 +1
，即证 1 ln ≥ 5ln3 在 3, + ∞ 上恒成立．1
3 +1
令 = 1 ln ≥ 3 ，
3 +1 3 2 2 1
+3ln 1 3 +1 ln 4ln ∴ ′ = 1 2 = 1 2 ，
= 3
2 2 1
令 4ln ≥ 3 ，
∴ ′ = 3 + 1 4 1 3 1 2 = 2 > 0，
∴ 在 3, + ∞ 上单调递增，
∴ ≥ 3 = 203 4ln3 > 0，
∴ ′ > 0，则 在 3, + ∞ 上单调递增．
∴ ≥ 3 = 3×3+13 1 ln3 = 5ln3，
∴ 3 +1 1 ln ≥ 5ln3，得证，
∴ 31 2 ≥ 243．
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