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上海市吴淞中学2026届高三上学期第一次学科调研
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2.已知事件和相互独立，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 在到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率
B. 在到之间的平均变化率小于在到之间的平均变化率
C. 对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率
D. 存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率
4.指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知全集的元素个数有限，对于的任意一个子集，定义集合的指示函数，集合、都是的子集．现有以下四个命题：
若，则；
；
；
；
注：表示中所有元素所对应的函数值之和．其中是定义域的子集
上述命题中真命题的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.函数的最小正周期为 ．
6.若其中为虚数单位，则
7.抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为，则 ．
8.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中的值 ．
9.直线，直线，若，则 ．
10.设，则方程的解集为 ．
11.记为数列的前项和，若，则 ．
12.如图所示为函数的图象，则不等式的解集为
13.在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为，则实数的取值范围是
14.随机抽取个同学中，至少有个同学在同一月出生的概率是 默认每月天数相同，结果精确到
15.在中，已知，设为的内心，且则 ．
16.设，任意，都有，则
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，棱锥的底面是矩形，平面，，．
求证：平面
求点到平面的距离．
18.本小题分
已知函数．
求的单调递增区间；
在中，，，为角，，的对边，且满足，且，求角的值，进而再求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若，求的值；
若对于恒成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
设椭圆过点，且直线过的左焦点．
求的方程；
设为上的任一点，记动点的轨迹为，与轴的负半轴、轴的正半轴分别交于点，的短轴端点关于直线的对称点分别为、，当点在直线上运动时，求的最小值；
如图，直线经过的右焦点，并交于两点，且在直线上的射影依次为，当绕转动时，直线与是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由．
21.本小题分
已知函数，满足，．
若为上的增函数，求的取值范围．
证明：与的图象关于一条直线对称．
若，且关于的方程在内有解，求的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.
16.
17.【详解】建系如图所示的空间直角坐标系，
则，，，在中，，，

，，，，，，，即，又，
平面．
由题得，，
设平面的法向量为，则，，
即．
故平面的法向量可取为，
到平面的距离为．

18.【详解】解：由题意，，
由，
解得：，
单调递增区间为．
解：，
由正弦定理，，
在中，则，
，即，
当时，；
当即时，．
，．
由知，则，
，则，
，
，
，
即的取值范围是．
综上知，，的取值范围是．

19.【详解】当时，，舍去；
当时，，即，
令，则，解得：或舍，
所以，可得：．
当时，，即，
即．
当时，，所以对于恒成立，
所以，
当，，，所以
故的取值范围是．

20.【详解】解：由已知得，在直线中，取，得，可得．
，
椭圆的方程为；
由为上的点，得，
：，则，，
：，即．
椭圆的短轴两端点分别为，，
两点关于直线的对称点分别为、，
设，，则，
，，
则，
的最小值为；
当直线斜率不存在时，直线轴，则为矩形，
由对称性知，与相交的中点，
猜想，当直线的倾斜角变化时，与相交于定点．
证明：设直线方程，
直线交椭圆于，，，，则，，
联立，得，
，，
当直线的倾斜角变化时，首先证直线过定点，
：，当时，
，
点在直线上，
同理可证，点也在直线上．
当绕转动时，与相交于定点．

21.【详解】由，可得，
因为为上的增函数，所以对恒成立，
所以对恒成立，所以对恒成立，
因为，所以，
当且仅当，即时取等号，所以，
所以，所以的取值范围为．
因为，，
所以
即，所以，
函数关于对称的函数为，
再把向右方平移个单位得到，
所以函数与关于对称；
由可得，
又因为在内有解，
所以在内有解，
所以在内有解，，
由可知时，为上的增函数，
所以，所以在内有解，
令，求导可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，又，，
所以，
所以的取值范围为．

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