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苏教版（新课标）选择性必修第一册第三章圆锥曲线与方程
一、单选题
1.设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为( )
A. B. C. D.
2.若双曲线的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则椭圆的焦点到双曲线的渐近线的距离是( )
A. B. C. D.
3.若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，若椭圆离心率，则双曲线的离心率( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于，两点，若，则的面积是( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则( )
A. B. C. D.
7.椭圆的焦点到双曲线的渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于，两点，设的中点为，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
9.已知，椭圆：和双曲线：的焦点相同，且公共右焦点为，设两曲线在第一、三象限的交点分别为，两点，则的值是( )
A. B. C. D.
10.已知抛物线：的焦点与双曲线的右焦点重合，斜率为的直线与的两个交点为，若，则的取值范围是
A. B.
C. D.
11.已知椭圆右顶点为，上顶点为，该椭圆上一点与的连线的斜率，的中点为，且满足，若分别是轴轴负半轴上的动点，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
12.已知，是双曲线的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多选题
13.在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线，则( )
A. 存在实数，使得曲线上所有的点到点的距离大于
B. 存在实数，使得曲线上有两点到点与的距离之和为
C. 存在实数，使得曲线上有两点到点与的距离之差为
D. 存在实数，使得曲线上有两点到点的距离与到直线的距离相等
14.在平面直角坐标系中，，，动点满足，则( )
A. 的轨迹方程为 B. 的轨迹关于直线对称
C. 的面积的最大值为 D. 的横坐标的取值范围为
15.已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的取值可以为( )
A. B. C. D.
16.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是( )
A. 的准线方程：
B. 若直线过点，则
C. 若，则线段的中点到轴的距离为
D. 若，则
17.在圆锥中，已知高，底面圆的半径为，为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，则( )
A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为
C. 双曲线两渐近线的夹角正切值为 D. 抛物线的焦点到准线的距离为
三、填空题
18.与双曲线的焦点相同，且离心率为的椭圆的标准方程为______________________．
19.已知曲线：与直线有个公共点，点、是曲线上关于轴对称的两动点点在第一象限，点、是轴上关于原点对称的两定点点在轴正半轴上，若为定值，则该定值为 ．
20.已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，且两曲线在第一象限的交点为，若，且，则双曲线的离心率为
21.已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线的右顶点，直线过点且与轴垂直，点为直线上异于点的任意一点，以点为圆心，线段长为半径作圆，过点、分别作圆的切线和、与轴不重合，切线和相交于点，则点到直线的最小距离为 ．
四、解答题
22.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上
求点的坐标和抛物线的准线方程；
过点的直线与抛物线交于两个不同点，若的中点为，求的面积．
23.
已知椭圆：的左、右焦点分别为、，且为抛物线：的焦点，的准线被和圆截得的弦长分别为和．
求和的方程；
直线过且与没有交点，直线过且与平行，若交于，，交于，，且，在轴的上方，求四边形的面积的取值范围．
24.已知椭圆：，点在椭圆上，不过原点的直线与椭圆交于，两点，且线段被直线平分．
求椭圆方程；
设是抛物线上动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，，求的面积的最大值．
25.如图，椭圆：的离心率为， 轴被曲线：截得的线段长等于的长半轴长．
求的方程；
设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点、，直线，分别与相交于，
证明：；
记，的面积分别是，问：是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
26.已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的一点，若，且的三边长成等差数列又一椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，短轴的一个端点到其右焦点的距离为，双曲线与该椭圆离心率之积为．
求椭圆的标准方程；
设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由曲线：的方程可得 、，
由椭圆的定义可得．
又曲线：的焦点和曲线的焦点相同，
不妨设在双曲线右支上，
由双曲线的定义可得．
，，
在中，由余弦定理可得 ，
，
的面积为，故选A．
2.【答案】
【解析】椭圆的焦点为，
所以其离心率为，
由题意，双曲线的离心率为，
即，所以，
从而双曲线的渐近线为，
所以椭圆的焦点到双曲线的渐近线的距离为，故选A．
3.【答案】
【解析】抛物线的焦点为，双曲线的焦点坐标为，，
所以椭圆过，且椭圆的焦距，即，
则，即，
所以设椭圆的方程为：，
把代入得：，即，
则该椭圆的方程是：．故选D．
4.【答案】
【解析】椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，若椭圆离心率，则双曲线的离心率。故选C．
5.【答案】
【解析】由题意可得，，则，．
因为，所以，，
所以为等腰三角形，其面积是，
由对称性可知的面积等于的面积，
所以的面积是，故选B．
6.【答案】
【解析】抛物线：的焦点为，准线为：，
设，，由抛物线的定义可知，，
于是．
，
直线的斜率为，
直线的方程为，
将，代入方程，得得，
，
于是．故选B．
7.【答案】
【解析】因为椭圆的焦点为，
双曲线的渐近线为，
而点到渐近线的距离为，
所以椭圆的焦点到双曲线渐近线的距离为．故选：．
8.【答案】
【解析】设，则，
将，两点代入椭圆得，
作差得，即，
因为直线的斜率为，即，
所以，即直线的斜率为．故选B．
9.【答案】
【解析】因为，椭圆：和双曲线：的焦点相同，
所以，解得，
故椭圆：，双曲线：，．
设椭圆与双曲线的左焦点为，连接，，故四边形为平行四边形．
所以
．
10.【答案】
【解析】双曲线，
双曲线的标准方程是：，
其右焦点是．
抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，
所以，，
抛物线的方程是．
联立，消去，化简整理得：．
由得，，解得．
因为，
所以，即．
而，即，
解得．
代入得到，，
解得或．
即的取值范围是．故选A．
11.【答案】
【解析】设，，中点，
因为椭圆，
则有，，两式相减得，
即，即，
由为椭圆右顶点，所以，
又，，得到，．
设，，，，
则由四边形的面积为，又为上顶点，有，即，
由基本不等式得，解不等式得，
所以三角形的面积，
当且仅当，即，时取等号．
故选C．
12.【答案】
【解析】根据题意设 ，
设椭圆长半轴长为 ，短半轴长为 ，双曲线实半轴长为 ，虚半轴长为，设的中点为，
则由椭圆及双曲线定义可得 ，
又因为 ，且 分别为 ，的中点，所以 ，
所以 到渐近线 的距离为 ，
所以 ， ，
结合 ，可得
因为 ，所以 即 ，
整理得，将代入得 ，
又，所以椭圆的离心率是．故选A．
13.【答案】
【解析】设点，由，得，即，所以点的轨迹为斜率为的直线．
对于由点到直线的距离为，故A错误；
对于设点满足到点与点的距离之差为，由双曲线的定义与性质得点的轨迹为一双曲线的右支，且该双曲线满足，其渐近线的斜率为，所以直线与双曲线的一条渐近线平行或重合，则直线与该双曲线的右支的交点个数不超过个，故C错误；
对于设点满足到点与点的距离之和为，由椭圆的定义与性质得点的轨迹为一椭圆，且该椭圆满足，故存在实数，使得直线：与该椭圆存在两个不同交点，故B正确；
对于取，设点到点的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线，该抛物线方程为，联立直线与抛物线的方程得：，消去得，则，故此时直线与抛物线有两个不同交点，故D正确．
故本题选BD．
14.【答案】
【解析】对于，设，则，得到，故 A错误．
对于，由椭圆定义知的轨迹是以为焦点的椭圆，故所在直线是椭圆的对称轴，故 B正确．
对于，因为长半轴，半焦距，所以短半轴，
当点在短轴顶点上，，此时的面积最大，最大值为，故C正确．
对于，联立方程，得，
由，得，故 D正确．
故选：．
15.【答案】
【解析】如下图，
抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，
所以过焦点作直线的垂线，
则到直线的距离为的最小值，，
所以，选项ABD均大于或等于．
故选ABD．
16.【答案】
【解析】因为抛物线的准线方程：，故A正确；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
与抛物线联立可得，
故得，故B错；
因为，设线段的中点，
故得，
解得，
即线段的中点到轴的距离为，故C正确；
若，则直线过焦点，设直线的方程为，
代入抛物线方程可得，
故可得，当时等号成立，故D正确．
故选ACD．
17.【答案】
【解析】对于由题图及已知：截面圆的半径为底面圆半径的一半，
故圆的面积为，对
对于如下图

轴截面中，作于，则长轴长，
又，，则，对
对于如下图，

与面垂直且过的平面内，建立平面直角坐标系，
坐标原点、点与底面距离相等，均为，则，双曲线与底面一个交点，
设双曲线为，且，则 ，
所以其中一条渐近线为，若其倾斜角为，则，
故两条渐近线夹角正切值为，C错误
对于如下图，

建立平面直角坐标系，设抛物线与底面圆的一个交点为，
则，故H，
设抛物线方程为，则，
所以抛物线的焦点到准线的距离为，对．
18.【答案】
【解析】由双曲线，可得焦点，
设要求的椭圆的标准方程为：．
由，，，
解得，，．
椭圆的标准方程为：．
故答案为．
19.【答案】
【解析】曲线表示抛物线与，
联立，消去整理得，
因为，所以，
可得抛物线与直线有两个交点，
已知曲线与直线有个公共点，
则直线与抛物线相切，
联立，消去整理得，
则，解得，
由对称性可知，设与轴的交点为，
则，
若为定值，则为定值，
则点，分别为抛物线与的焦点，
此时为抛物线上一点到轴距离与其焦点距离差的倍，
由抛物线的定义可得，
所以．
故答案为：．
20.【答案】
【解析】设，，，
则
，则，则，
，则，
则，
即双曲线的离心率为．
故答案为．
21.【答案】
【解析】设切线、与圆相切的切点分别为、，
当点在第一象限时，由，故点在双曲线右支上，
同理可得在双曲线上．
设与直线平行的直线方程为，
联立方程，消去后整理为，
，
解得，
所以与直线平行且与圆相切的直线方程为，
则点到直线的最小距离为．
故答案为 ．
22.【解析】在抛物线上，
，
，
点的坐标为，抛物线的准线方程为；
设，的坐标分别为，，则，
，直线的方程为，
点到直线的距离，
；

23.【解析】由题意可知：
抛物线的准线方程，，
的准线被和圆截得的弦长分别为：
和，，
解得，
和的方程分别为．
由题意，的斜率不为，设直线的斜率为，
直线过，直线过且与平行，
，．
由，得，
与不相交，，得，
由，得，
设，，
则，，
，，
与间的距离为，
由椭圆的对称性，为平行四边形，
，
设
四边形的面积的取值范围．
24.【解析】Ⅰ椭圆：，点在椭圆上，
不过原点的直线：与椭圆交于，两点，且线段被直线平分，
设，，，的中点坐标，
则有
两式作差整理可得，
又，
解得，，
椭圆的方程为：
Ⅱ设抛物线在点的切线方程为，
由，得，
，，
又，，
则
由
得，
设，，
则，，
，
点到切线距离，
，
令
，
，
，
在上递增，
，即时，取最大值．
25.【解析】由题意可得：，，，
联立解得：，，，
故C的方程为：．
由题得，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为：，
由，得设，，
于是，，又点的坐标为．
所以．
故，即．
设直线的斜率为，则直线的方程为，
由，解得，或，则点的坐标为．
又直线的斜率为，同理可得点的坐标为，
于是，
由，得，
解得，或，
则点的坐标为．
又直线的斜率为．
同理可得点的坐标为．
于是．
故，解得，或．
又由点，的坐标得，．
所以．
故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为
26. 【解析】设，
不妨在第一象限，则由已知得
，化简得，
，解得舍去，
设椭圆离心率为，则，，
可设椭圆的方程为，半焦距为，
，解得
椭圆的标准方程 为；
当轴时，，，
当与轴不垂直时，
设直线的方程为，
由已知得，
将代入椭圆方程，整理得

， ，


当且仅当，即时等号成立，此时
综上所述：，
此时面积取最大值
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