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陕西省商洛市镇安县陕西省镇安中学 2026届高三上学期 9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ , ln ≥ 0”的否定是( )
A. ∈ , ln ≤ 0 B. ∈ , ln < 0
C. , ln < 0 D. , ln < 0
2.设集合 = {1,2,3,4,5,6}， = {2,3,4}， = {1,3,6}，则 ∩ =( )
A. {1,6} B. {3,6} C. {1,3,5,6} D.
3.已知函数 ( )的定义域和值域均为[0,2]，则函数 = 2 (2 ) + 1 的定义域和值域分别为( )
A. [0,4]和[1,5] B. [0,4]和[1,3] C. [0,1]和[1,5] D. [0,1]和[1,3]
4.若 0 < + < 1， 1 < < 2，则 2 + 4 的取值范围为( )
A. 3,1 B. 4,2 C. 1,3 D. 2,4
5.对于任意的 ∈ ， 表示不超过 的最大整数，例如： 1.2 = 1， 1.2 = 2.十八世纪， = 被“数
学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称其为“取整函数”.已知 , ∈ ，则“ ≤ 1”
是“ = ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2
6.已知函数 = ln 4 + 3 3 ，则 + =( )
A. 2 B. 0 C. 2 D.与 有关
7.若 > > 1，且满足 + = 4 1 2，则 + 1的最小值是( )
A. 6 B. 18 C. 92 D. 9
8 1 1 1.已知 2 = 2 , = 3 3 , = 5 5，则( )
A. > 0 > B. > > 0 C. > > 0 D. > 0 >
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给定数集 = ， = [0, + ∞)，方程①： 2 = 3 ，方程②： 3 = ，则下列说法正确的是( )
A.任给 ∈ ，对应关系 使方程①的解 与 对应，则 = ( )是函数
B.任给 ∈ ，对应关系 使方程②的解 与 对应，则 = ( )是函数
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C.任给 ∈ ，对应关系 使方程①的解 与 对应，则 = ( )是函数
D.任给 ∈ ，对应关系 使方程②的解 与 对应，则 = ( )是函数
10 1 .关于 的不等式 2 ≤ 0 的解集为 2, 1 ∪ 1,2 ∪ 3, + ∞ ，则( )
A. = 1 B. = 2 C. = 3 D. = 1
11.设 min{ , }表示 ， 两者中较小的一个，max{ , }表示 ， 两者中较大的一个．已知函数 ( ) =
min{max{ 2 3 , }, 8 }，且 ( )在( 1, )上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是( )
A. ( )只有一个零点 B. ( )在( 1, )上的最小值为 0
C. ( )在( 1, )上的最大值为 4 D. 的取值范围为[4,8]
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知幂函数 = 2 3 1在 0, + ∞ 上是减函数，则 2 = ．
13.某校共有 40 人参加体育训练，每人至少从足球、排球和游泳这三个项目中选择一个，其中 21 人选择参
加足球，17 人选择参加排球，20 人选择参加游泳，只参加了两个项目的共有 12 人，则三项都参加的学生
数为 ．
14.设函数 = + 1 ，若 ≥ 0，则 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 ： ∈ , 2 + + 1 > 0， ： ∈ 1,1 , 2 ≤ 0．
(1)若 为假命题，求实数 的取值范围；
(2)若 ， 中有且仅有一个为真命题，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知函数 = ln + ．
(1)若 = 1，求 的图象在 = 1 处的切线方程；
(2)讨论 在 0, + ∞ 上的单调性．
17.(本小题 15 分)
2 3
已知集合 = +1 ≤ 1 , =
2 4 + < 0 , = 2 4 + 3 2 < 0 ．
(1)若 ∈ 是 ∈ 的必要不充分条件，求 的取值范围；
(2)若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知函数 = ln 2 + ln 2 + 1, = 2 3 6 + 7．
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(1)求 在 2,3 上的最值；
(2)求 的单调递减区间；
(3)若 ≤ 0，对 1 ∈
1
, + ∞ , 2 ∈ 2,3 , 1 + ln 1 + 2 > 0 成立，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
=1 =1 ( )
定义“下凸函数” 在区间 上，对任意 1, 2, , ∈ ，均有 ( ) ，当且仅当 1 = 2 =
= 时，等号成立．若函数 在区间 上存在二阶可导函数，则 为区间 上的“下凸函数”的充要条
件是 ′′ ≥ 0( ′′ 为 ′ 的导函数)．
(1)若 = 2是 0,2 上的“下凸函数”，求 的取值范围．
(2) ①证明：函数 ( ) = cos 在 0, 2 上为“下凸函数”．

②证明：当 ∈ 6 , 3 时，cos3 3cos ≥ 2 2．
(3)已知正实数 1, 2, , 满足 1 + 2 + + = 1，求 1 1 2 2 的最小值(用 的代
数式表示)．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.18##0.125
13.3
14. 1 , + ∞
15.【详解】(1)若 : ∈ , 2 + + 1 > 0 为真命题，
当 = 0 时，不等式 1 > 0 恒成立；
≠ 0 > 0当 时，有 = 2 4 < 0，解得 0 < < 4，
所以 为真命题 的取值范围是 0,4 ，故 为假命题 的取值范围是 ∞,0 ∪ 4, + ∞ ．
(2) : ∈ 1,1 , 2 ≤ 0 等价于 ∈ 1,1 , ≥ 2 ，
又2 ∈ 12 , 2
1 1
，故 ≥ 2，即 为真命题的 的取值范围是 2 , + ∞ ,
由(1) 为真命题 的取值范围是 0,4 ,
若 ， 中有且仅有一个为真命题，则 真 假或 假 真，
0 ≤ < 4
若 真 假，则 < 1 ，解得 0 ≤ <
1
2，
2
< 0 或 ≥ 4
若 假 真，则 1 ，解得 ≥ 4， ≥ 2
1
综上，实数 的取值范围是 0, 2 ∪ 4, + ∞ ．
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16.【详解】(1)若 = 1 1，则 = ln + ， ′ = + 1，
可得 1 = 1， ′ 1 = 2，即切点坐标为 1,1 ，切线斜率 = 2，
所以所求切线方程为 1 = 2 1 ，即 2 1 = 0．
(2) 1 +1由题意可知：函数 的定义域为 0, + ∞ ，且 ′ = + = ，
当 ≥ 0 时， ′ > 0，可知函数 在 0, + ∞ 上单调递增；
当 < 0 1 1时，令 ′ > 0，解得 0 < < ，令 ′ < 0，解得 > ，
可知 1 1在 0, 单调递增，在 , + ∞ 上单调递减；
综上所述：当 ≥ 0 时，函数 在 0, + ∞ 上单调递增；
< 0 0, 1 1当 时， 在 单调递增，在 , + ∞ 上单调递减．
17.【详解】(1) 2 3 4不等式 +1 ≤ 1 可化为 +1 ≤ 0，所以 4 + 1 < 0 或 = 4，
所以 = | 1 < ≤ 4 ，由于 ∈ 是 ∈ 的必要不充分条件，则集合 是集合 的真子集，
对于集合 = | 2 4 + < 0 ，设 = 2 4 + ，其图像是开口向上的抛物线，要满足集合 是集
合 的真子集，
1 ≤ 0 1 + 4 + ≤ 0
则 4 < 0 ，即 16 16 + < 0，解得： ≤ 5，
所以 的取值范围为： ∞, 5
(2)因为 ∪ = ，则
当 = 0 时， = 2 4 + 3 2 < 0 = ，满足 ；
当 < 0 时， = 2 4 + 3 2 < 0 = 3 < < ，
3 ≥ 1 1
要使 ，则 ≤ 4 ，解得： 3 ≤ < 0；
当 > 0 时， = < < 3 ，
要使 ≥ 1 4，则 3 ≤ 4，解得：0 < ≤ 3；
1 4
综上：实数 的取值范围为： 3 , 3
18.【详解】(1) = 2 3 6 + 7， ′ = 6 2 6，
令 ′ = 0，解得 = 1 或 = 1，
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所以当 ∈ 2, 1 时， ′ > 0， 单调递增；
∈ 1,1 时， ′ < 0， 单调递减；
∈ 1,3 时，， ′ > 0， 单调递增；
所以 极大值 = 1 = 11, 极小值 = 1 = 3，
又 2 = 3, 3 = 43，
所以 在 2,3 上的最大值为 43，最小值为 3．
(2)函数 定义域为 0, + ∞ ，
′ = 2ln + 2 = 2 ln +1 ，
= 2 ln +1令 ′ < 0，解得 0 < <
1
，
1
所以 的单调递减区间为 0, ．
(3)因为 1 ∈
1
, + ∞ , 2 ∈ 2,3 , 1 + ln 1 + 2 > 0,
所以 1 + ln 1 min > 2 max，
由(1)知 2 ∈ 2,3 时， 2 max = 3，
1
即 1 ∈ , + ∞ 时， 1 + ln 1 min > 3，
即 ln 21 + 2ln 1 + ln 1 > 4，
1
当 1 ∈ , 1 时，令 = ln 1 ∈ 1,0 ,
2
2 + 2 > 4 > +2 +4则 ，即 = +
4
+ 2 恒成立，
又 = + 4 + 2 在 1,0 上单调递减，
4
所以 > + + 2 = 3；max
当 1 = 1 时，0 > 4 恒成立，此时 ∈ ，
当 1 ∈ 1, + ∞ 时，令 = ln 1 ∈ 0, + ∞ ，
2
2 + 2 + > 4 > 2 4 = + 4则 ，即 2 恒成立，
又 = + 4 2 ≤ 4 2 = 6，当且仅当 = 2 时取等，
所以 > + 4 2 = 6；max
又 ≤ 0，综上， 3 < ≤ 0．
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19.【详解】(1)由 ( ) = 2，可得 ′( ) = 2 ， ′′( ) = 2，
因为 ( ) = 2是 0,2 上的“下凸函数”，
所以 ′′ ≥ 0 在 0,2 上恒成立，即 2 ≥ 0 恒成立，
≥ 2所以 在 0,2 上恒成立，
令 ( ) = 2，则 ′( ) = 2 ，
当 ∈ 0,2 时， ′( ) < 0，所以 ( )在 0,2 上单调递减，
所以 ( )max = (0) = 2，所以 ≥ 2，
所以实数 的取值范围为 2, + ∞ ．
(2)证明：①由 ( ) = cos ，可得 ′( ) = sin ， ′′( ) = cos ，
∈ 0, 当 2 时，cos ≥ 0，即 ′′( ) ≥ 0，根据下凸函数的充要条件，
可知函数 ( ) = cos 在 0, 2 上为“下凸函数”．
②因为 cos3 = cos + 2 = cos cos2 sin sin2 = cos 2 2 1 2 2 cos
= cos 2 2 1 2 1 2 cos = 4 3 3cos ．
所以 cos3 3cos = 4 3 6cos ．
= cos ∈ , 令 ，因为 6 3 ，所以 ∈
1
2 ,
3
2 ，则 = 4
3 6 ，求导 ′ = 12 2 6，
令 2′ = 0，即 12 2 6 = 0，解得 =± 2 ．
1 2
当 ∈ 2 , 2 时， ′ < 0， 单调递减；当 ∈
2 , 32 2 时， ′ > 0， 单调递增；
= 2 2
3 2
所以 在 2 处取得最小值， min = 4 × 2 6 × 2 = 2 2，即 cos3 3cos ≥ 2 2．
(3)令 = ，则目标为最小化 =1 ( )，

考虑函数 = ln = ln 1 2 1，求导 ′ = ， ′′ = 2 ，
在 ∈ 0,1 内， ′′ > 0，故 在 0,1 上为下凸函数，
1 + 2 + + 所以 ≥
1+ 2+ +
，
1 1
即 ln 1 1 + ln 2 2 + + ln ≥
1
= ln
1 1

= ln ，
1
即 ln 1 1 2 2 ≥ ln
1
，
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1
所以 1 1 2 2 ≥
1
，
当且仅当 1 = 2 = = =
1
时，等号成立，
1
1 1

因此 1 2 2 的最小值为 ．
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