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2025-2026学年高一上学期期中考试模拟卷02
全解析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第一册第一章~第四章。
5．难度系数：0.65。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．设全集＝{0，1，2，4，6，8}，集合＝{0，4，6}，＝{0，1，6}，则＝
【答案】{0，2，4，6，8}；
【解析】　因为U＝{0，1，2，4，6，8}，M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，所以＝{2，4，8}，
所以＝{0，2，4，6，8}；
【考点】集合的运算；
2．已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是
【提示】根据“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，可得P Q，再建立a的不等式组可求解．
【答案】[﹣1，5]
【解析】因为，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以，P Q，
所以，所以﹣1≤a≤5，
【考点】 充要条件与集合关系的等价
3．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是M N
【答案】M>N
【解析】因为M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，
所以M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－5a＋6)＝a2＋a＋1＝2＋>0，
所以M>N.
【考点】比较法
4．不等式≤1的解集是
【答案】(－2，3].
【解析】 由不等式≤1，可得－1＝≤0，结合分式不等式的解法，可得－2＜x≤3，
即不等式≤1的解集为(－2，3].
【考点】分式不等式的解法
5．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是
【答案】（－2，2] ；
【解析】当a＝2时，原不等式化为－4<0，显然恒成立；
当a≠2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，
则有a－2<0且Δ<0，
即解得－2综上可得，－2【考点】一元二次不等式的解法与含参数讨论；
6．设矩形ABCD(AB>BC)的周长为12＋6，把它沿对角线AC对折后，设AB交DC于点P，此时点B记作B′，如图所示，设AD＝x，DP＝y，则△ADP的面积的最大值为
【答案】；
【解析】由题意知△ADP≌△CB′P，而AD＝x，DP＝y，所以PC＝PA＝，而矩形ABCD(AB>BC)的周长为12＋6，
则AD＋DP＋PC＝x＋y＋＝6＋3≥2＋＝，当且仅当x＝y时等号成立，
又>0，可得0<≤3，
则0【考点】建模与基本不等式求最值
7．已知函数f(x)＝x－2 023x，a＝，b＝－3，c＝，则f(a)、f(b)、f(c)三者的大小关系
为
【答案】f(c)【解析】因为a＝＝－log332＝－2，b＝－3＝－33＝－27，c＝∈(1,2)，所以b因为f(x)＝x－2 023x是R上的减函数，所以f(c)【考点】指数、对数运算与指数函数、一次函数的单调性；
8．若loga<2，则a的取值范围是
【答案】∪(1，＋∞)；
【解析】因为loga<2，所以loga当0所以a2<，可得0当a>1时，y＝logax为增函数，
所以a2>，可得a>1，
综上所述，a的取值范围为∪(1，＋∞)．
【考点】对数与对数函数；
9．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋【答案】{m|m<－1或m>4}；
【解析】因为正实数x，y满足＋＝1，
所以x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝，即y＝8，x＝2时等号成立，x＋取得最小值4，
由x＋4，解得m<－1或m>4.
故实数m的取值范围是{m|m<－1或m>4}．
【考点】基本不等式与恒成立问题
10．某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32 m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5 m，各试验区之间也空0.5 m．则每块试验区的面积的最大值为 m2.
【答案】6；
【解析】设矩形空地中仅与一块试验区相邻的一边的长为x m，则其邻边的长为 m，依题意可得，试验区的总面积S＝(x－0.5×4)－0.5×2＝34－x－≤34－2＝18，当且仅当x＝，即x＝8时等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为＝6(m2).
【考点】建模与基本不等式
11．若函数y＝loga(x－2)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，则点A的坐标为
【答案】(3，4)；
【解析】当x＝3时，y＝loga1＋4＝4，∴函数y＝loga(x－2)＋4的图象恒过点A(3，4).
【考点】对数函数的图像特征；
12．已知命题p：方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m＋1，则实数m的取值范围是
【答案】(0，＋∞)；
【解析】若命题p：方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根为真命题，
当a＝0时，2x＋1＝0，x＝－，符合题意；
当a<0时，Δ＝4－4a>0，且x1＋x2＝－>0，x1x2＝<0，
则此时方程ax2＋2x＋1＝0有一个正根和一个负根，符合题意；
当a>0时，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，
此时方程为x2＋2x＋1＝(x＋1)2＝0，x＝－1，符合题意；
由Δ＝4－4a>0，解得00，
则此时方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根，符合题意．
综上所述，当p为真命题时，a的取值范围是(－∞，1]，
若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m＋1，
则m＋1>1，m>0.
【考点】一元二次方程的解法，命题的判断，充要条件；
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选
项)
13．下列四个命题中正确的是（ ）
A． B．是定义域上的减函数
C．和表示同一个函数 D．幂函数的图象都过点（1，1）
【答案】D
【解析】A，不含任何元素，所以，故A错误；
B，的减区间是和，但不能说在定义域上是减函数，故B错误；
C，的定义域为，而的定义域是，所以两个函数不是同一函数故C错误；
D，根据幂函数的性质可知，幂函数都过点，故D正确.
故选：D
【考点】函数的概念、幂函数图象过定点问题、根据解析式直接判断函数的单调性
14．由于近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区（ ）
A．5千米 B．6千米 C．7千米 D．8千米
【答案】A
【提示】设供热站应建在离社区x千米处，由题意可得自然消费和供热费，根据题中数据，可求得，即可得两项费用之和表达式，结合基本不等式，即可得答案.
【解析】设供热站应建在离社区x千米处，则自然消费，供热费，
由题意得：当时，，，
所以，
所以，
所以两项费用之和，
当且仅当，即时等号成立，
所以要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处.
故选：A
【考点】 基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值
15．若集合具有以下性质:①;②若，则;0③若且，则，则称集合是“好集”.下列命题正确的个数是（ ）
①集合是“好集”；②是“好集”；
③设集合是“好集”，若，，则.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】①中，因为，集合，当，时，，故不是“好集”，即①错误；
②中，因为，，，对任意的，，有，且时，.所以有理数集是“好集”，故②正确；
③中，因为，集合是“好集”，所以.若、，则，即.所以，即，故③正确；故选: C.
【考点】 集合新定义与命题的判别
16．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围.
【解析】对于函数，当时，，当时，，
而，即有，依题意可得，又，解得，
所以；
当时，函数在上的取值集合为，不符合题意，
当，函数在上单调递增，
则，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
【考点】幂函数、一元二次函数的单调性、最值、值域、根据分段函数的值域（最值）求参数；
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．（1）已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
（2） 已知f＝x4＋求f(x)的解析式；
（3）若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式.
【解析】（1） (待定系数法)∵f(x)是一次函数，
可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴解得
∴f(x)＝2x＋7(x∈R).
（2）(配凑法)f＝x4＋－2，
又x2＋≥2＝2，
当且仅当x2＝即x＝±1时等号成立.
设t＝x2＋则t≥2，∴f(t)＝t2－2(t≥2)，
∴f(x)＝x2－2(x≥2).
（3）(解方程组法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2， ①
∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2， ②
由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6，
∴f(x)＝3x－2(x∈R).
【考点】求函数解析式的三种常用方法：（1）待定系数法，（2）配凑法；（3）解方程组法.
18．已知函数f(x)＝2x＋a·2－x是定义在R上的偶函数.
（1）求a的值，并证明函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增；
（2）求函数h(x)＝f(x)＋f(2x)，x∈[0，1]的值域；
【解析】（1）因为函数f(x)在R上为偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，
得2x＋a·2－x＝2－x＋a·2x，(1－a)(2x－2－x)＝0恒成立，即a＝1.
所以f(x)＝2x＋2－x，
对任意的0≤x1因为0≤x11－1>0，
所以f(x1)（2）函数h(x)＝f(x)＋f(2x)＝2x＋2－x＋22x＋2－2x＝＋(2x＋2－x)－2.
令t＝2x＋2－x＝2x＋
因为x∈[0，1]，所以2x∈[1，2]，所以t∈
令φ(t)＝t2＋t－2，
故函数φ(t)在上单调递增，
当t＝2时，h(x)min＝φ(2)＝4；
当t＝时，h(x)max＝φ.
则函数h(x)的值域为.
【考点】指数函数的性质，比较法比较大小，一元二次函数，“双沟函数”的图像与性质；等价转化；
19．已知函数f(x)＝log2(ax2＋2x－1)，a∈R.
（1）若f(x)过定点(1，2)，求f(x)的单调递减区间；
（2）若f(x)值域为R，求a的取值范围；
【解析】（1）由函数f(x)＝log2(ax2＋2x－1)过定点(1，2)，
可得log2(a＋1)＝2，可得a＋1＝4，解得a＝3，所以f(x)＝log2(3x2＋2x－1)，
令3x2＋2x－1>0，解得x<－1或x>即函数的定义域为(－∞，－1)∪
设g(x)＝3x2＋2x－1，则函数g(x)在(－∞，－1)上单调递减，
又由函数y＝log2x在定义域上为增函数，
结合复合函数的单调性可得函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1).
（2）由函数f(x)＝log2(ax2＋2x－1)的值域为R，
即(0，＋∞)为函数h(x)＝ax2＋2x－1值域的子集，
当a＝0时，可得h(x)＝2x－1，此时函数h(x)的值域为R，符合题意；
当a>0时，则满足Δ＝22＋4a≥0，解得a≥－1，所以a>0；
当a<0时，此时函数h(x)＝ax2＋2x－1的图象开口向下，显然不满足题意，
综上可得，实数a的取值范围为[0，＋∞).
【考点】 对数函数与研究函数的方法与过程；
20．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为200元，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元，设矩形的长为，总造价为（元）.
（1）将表示为关于的函数；
（2）当取何值时，总造价最低.
【提示】（1）根据题设先计算出绿化的面积和硬化地面的面积，从而可得表示为关于的函数；
（2）由（1），再利用基本不等式可求何时取最小值即可.
【答案】（1）；（2）当时，总造价最低
【解析】（1）因为矩形区域的面积为，故矩形的宽为，
绿化的面积为，
中间区域硬化地面的面积为，
故，
整理得到，
由可得，
故.
（2）由基本不等式可得
，
当且仅当时等号成立，故当时，总造价最低
【考点】分式型函数模型的应用、基本不等式求和的最小值
21．已知f(x)是定义在D上的函数，对任意的x∈D，存在常数M＞0，使得f(x)≤M恒成立，则称f(x)是D上的受限函数，M为f(x)的限定值．
（1）若函数f(x)＝－x2＋2x＋m在[0，3]上是限定值为8的受限函数，求m的最大值；
（2）若函数f(x)＝＋4，判断f(x)是否是受限函数．若是，求出f(x)的限定值M的最小值；若不是，请说明理由；
（3）若函数f(x)＝ax＋－x2－在上是限定值为11的受限函数，求实数a的取值范围；
【解析】（1） 因为x∈[0，3]，所以f(x)＝－x2＋2x＋m＝－(x－1)2＋m＋1∈[m－3，m＋1]；
因为f(x)在[0，3]上是限定值为8的受限函数，所以m＋1≤8，解得m≤7，则m的最大值为7.
（2）由题意可得9－x2≥0，解得－3≤x≤3.当－3≤x≤3时，0≤9－x2≤9，所以0≤≤3，
所以4≤＋4≤7，即4≤f(x)≤7，所以f(x)是[－3，3]上的受限函数，且f(x)的限定值M满足M≥7，
故f(x)的限定值M的最小值为7.
（3） 因为f(x)在上是限定值为11的受限函数，所以f(x)≤11在上恒成立，
即ax＋－x2－≤11在上恒成立，所以a≤在上恒成立，
即a≤x＋＋在上恒成立．因为≤x≤3，所以x＋＞0，
所以x＋＋≥6，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立，
所以a≤6，即a的取值范围为(－∞，6].
【考点】阅读理解新定义，等价转化；综合性强；
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（上海专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：沪教版2020必修第一册第一章~第四章
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．设全集＝{0，1，2，4，6，8}，集合＝{0，4，6}，＝{0，1，6}，则＝
2．已知P＝{x|a﹣4＜x＜a+4}，Q＝{x|1＜x＜3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是
3．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则M与N的大小关系是M N
4．不等式≤1的解集是
5．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是
6．设矩形ABCD(AB>BC)的周长为12＋6，把它沿对角线AC对折后，设AB交DC于点P，此时点B记作B′，如图所示，设AD＝x，DP＝y，则△ADP的面积的最大值为
7．已知函数f(x)＝x－2 023x，a＝，b＝－3，c＝，则f(a)、f(b)、f(c)三者的大小关系
为
8．若loga<2，则a的取值范围是
9．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋10．某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32 m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5 m，各试验区之间也空0.5 m．则每块试验区的面积的最大值为 m2.
11．若函数y＝loga(x－2)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，则点A的坐标为
12．已知命题p：方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m＋1，则实数m的取值范围是
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选
项)
13．下列四个命题中正确的是（ ）
A． B．是定义域上的减函数
C．和表示同一个函数 D．幂函数的图象都过点（1，1）
14．由于近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区（ ）
A．5千米 B．6千米 C．7千米 D．8千米
15．若集合具有以下性质:①;②若，则;0③若且，则，则称集合是“好集”.下列命题正确的个数是（ ）
①集合是“好集”；②是“好集”；
③设集合是“好集”，若，，则.
A．0 B．1 C．2 D．3
16．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．（1）已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
（2） 已知f＝x4＋求f(x)的解析式；
（3）若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式.
18．已知函数f(x)＝2x＋a·2－x是定义在R上的偶函数.
（1）求a的值，并证明函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增；
（2）求函数h(x)＝f(x)＋f(2x)，x∈[0，1]的值域；
19．已知函数f(x)＝log2(ax2＋2x－1)，a∈R.
（1）若f(x)过定点(1，2)，求f(x)的单调递减区间；
（2）若f(x)值域为R，求a的取值范围；
20．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为200元，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元，设矩形的长为，总造价为（元）.
（1）将表示为关于的函数；
（2）当取何值时，总造价最低.
21．已知f(x)是定义在D上的函数，对任意的x∈D，存在常数M＞0，使得f(x)≤M恒成立，则称f(x)是D上的受限函数，M为f(x)的限定值．
（1）若函数f(x)＝－x2＋2x＋m在[0，3]上是限定值为8的受限函数，求m的最大值；
（2）若函数f(x)＝＋4，判断f(x)是否是受限函数．若是，求出f(x)的限定值M的最小值；若不是，请说明理由；
（3）若函数f(x)＝ax＋－x2－在上是限定值为11的受限函数，求实数a的取值范围；
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