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2025-2026学年高一数学上学期期中考试卷03（上海专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第一册第一章~第四章。
5．难度系数：0.65。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．方程组的解集为
【答案】
【解析】故所求方程组的解集为；
【考点】集合表示方法：用列举法表示集合；
2．已知集合是单元素集，则实数的取值集合为
【答案】
【答案】因为，集合是单元素集，
所以，方程只有一个实根，
当，即时，方程化为：，，符合题意；
当，即时，则，解得:，
所以，实数的取值集合为；
【考点】集合的表示：描述法，一元二次方程的解，等价转化思想；
3．已知，化简
【答案】
【解析】.故答案为：.
【考点】指数幂运算法则
4．计算： （，，，）．
【答案】1
【解析】由对数的换底公式，可得.
故答案为：；
【考点】对数的换底公式；
5．不等式解集为
【答案】或.
【解析】即，解得或.故答案为：或.
【考点】分式不等式的解法；
6．在对数式中，实数的取值范围是
【答案】且}
【解析】由对数式可知：，解之得：且
故答案为：且．
【考点】对数的定义与不等式组的解法
7．已知；若是的充分条件，则的取值范围是
【答案】
【解析】，，是的充分条件，
则，解得，故答案为：．
【考点】充要条件的判别与不等式组的解法以及求参数；
8．已知正实数、满足，则的最小值为
【答案】
【解析】因为正实数、满足，
等式两边同乘以可得
，
所以，
因为，解得，当且仅当 时，等号成立.
因此，的最小值为.
【考点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式“1”的妙用求最值
9．若不等式的解集是或，则不等式的解集是
【答案】
【提示】由题设可得和是方程的两根，利用韦达定理，求得，把不等式转化为不等式，即可求解.
【解析】由题意，不等式的解集是或，
可得和是方程的两根，
所以，解得，
则不等式可化为，即，
因为，所以不等式等价于，
解得，即不等式的解集为.
故答案为：.
【说明】本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及二次式之间的关系，其中解答中根据三个二次式之间的关系，利用韦达定理求得的关系，结合一元二次不等式的解法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力；
【考点】 解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
10．通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则
【答案】1000
【提示】首先根据题意得到，再作差即可得到答案.
【解析】由题知：.
故答案为：1000
【考点】对数的运算法则与阅读理解；
11．已知二次函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a的取值范围是
【答案】
【解析】由题意，.
若甲正确，则且，即，则；
若乙正确，则且，即，则；
若丙正确，则由二次函数的对称轴为，得，所以.
若，则乙丙两人论述错误，不满足题意；
若，则甲乙两人论述错误；
若，则乙丙两人论述正确，只有甲一人论述错误，满足题意.
综上所述，，即a的取值范围是.
故答案为：.
【考点】不等式性质，一元二次不等式、一元二次函数、综合判别能力；
12．设函数，集合，则下列命题正确的有 .
①当时，集合；②当时，；
③当，则的取值范围是；
④若（其中），则.
【答案】①④
【提示】对于①，画出的图象，当时，解得或，数形结合解得；
对于②，当时，，解得，②错误；
对于③，令，不妨设，此时满足，但，③错误；
对于④，分析出至少一个为负值，不妨令，对应的解只有一个，为，故要对应3个解，故，则，，结合，求出，④正确.
【解析】对于①，画出的图象，如下：
当时，，解得或，
显然由图象可知，需令，解得，
需令，解得，故，①正确；
对于②，当时，，解得，
由图象可知，需令，解得，故，②错误；
对于③，令，则，
，解得，
设的两根分别为，则，不妨设，
当，即，由图象可知，，
当，即，令，解得，
满足，但此时，③错误；
对于④，（其中），
由于，故至少一个为负值，不妨令，
对应的解只有一个，为，故要对应3个解，
故，此时设对应的3个解分别为，
则，，故，
又，故，解得，
则，④正确.故答案为：①④
【考点】指数函数、一次函数的图像与性质，研究函数的方法，数形结合的思想等等；
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选
项)
13．以下图形中，不是函数图象的是（ ）
【答案】A
【解析】根据函数的定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象.
【考点】函数的概念与图像特征；
14．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且在[0，＋∞)上单调递减，对于实数a，b，则“a2f(b)”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由定义在R上的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，得函数f(x)是R上的偶函数，而f(x)在[0，＋∞)上单调递减，因此f(a)>f(b) f(|a|)>f(|b|) |a|<|b| a2f(b)”的充要条件.
【考点】函数性质与等价转化
15．公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（ ）
A．变大 B．变小 C．当时，变大 D．当时，变大
【答案】C
【解析】原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为，
则，
所以扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比的变化情况与，的大小有关，
故，项错误；
当时，，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比变大，
故C项正确；
当时，，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比变小，
故D项错误.
故选：.
【考点】 建模与作差法比较代数式的大小
16．.函数f(x)＝x1－ln x，x∈(1，e)的最大值为（ ）
A．e2 B．e C． D．
【答案】D
【解析】设y＝f(x)＝x1－ln x，x∈(1，e)，
故ln y＝(1－ln x)ln x，x∈(1，e)，
令t＝ln x，x∈(1，e)，∴t∈(0，1)，
则ln y＝－t2＋t＝－t∈(0，1)，
当t＝时，ln y＝－取到最大值
故y的最大值为
即函数f(x)＝x1－ln x，x∈(1，e)的最大值为.
【考点】等价转化，对数运算，一元二次函数性质；
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．已知集合A＝{x|－2＜x≤1}，集合B＝{x|2a－1≤x≤a＋1}；
（1）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围；
（2）若A∩B＝ ，求实数a的取值范围；
【解析】（1） 因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B是A的真子集．①当B＝ 时，由2a－1＞a＋1，解得a＞2；②当B≠ 时，由解得－＜a≤0.综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞).
（2）由A∩B＝ ，则①当B＝ 时，由2a－1＞a＋1，解得a＞2；
②当B≠ 时，或解得a≤－3或1＜a≤2；
综上，实数a的取值范围为(－∞，－3]∪(1，＋∞).
【考点】集合的表示，充要条件的判别与不等式组的解法
18．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.
（1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围；
【解析】（1） 因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，所以实数a的取值范围是[－6，2]；
（2）由题意知原不等式可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2，2]上恒成立，
则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2，2]).令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2，2]，
函数图象的对称轴方程为x＝－.当－＜－2，即a＞4时，g(x)min＝g(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，舍去；当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(x)min＝g＝－－a＋3≥0，解得－6≤a≤2，所以－4≤a≤2；当－＞2，即a＜－4时，g(x)min＝g(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，所以－7≤a＜－4.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2].
（4）令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立，只需即解得x≤－3－或x≥－3＋，所以实数x的取值范围是（－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞）.
【考点】一元二次函数的图像特征与最值
19．已知函数f(x)＝log2(x＋a)(a>0)，设g(x)＝f(4x)．
（1）当a＝1时，解不等式f(x)<－1；
（2）对任意的x∈(0，2)，函数y＝f(x)的图象总在函数y＝g(x)的图象的下方，求a的取值范围．
【解析】（1）由f(x)<－1，a＝1，得log2(x＋1)<－1＝log2，
则0（2）g(x)＝f(4x)＝log2(4x＋a)(a>0)，
因为对任意的x∈(0,2)，函数y＝f(x)的图象总在函数y＝g(x)图象的下方，
则f(x)即log2(x＋a)0)在(0,2)上恒成立，2log2(x＋a)log2(x＋a)2整理得x2＋2(a－2)x＋a2－a<0在(0,2)上恒成立，
设m(x)＝x2＋2(a－2)x＋a2－a，x∈(0,2)，
则只需要即可，可得0≤a≤1,
又因为a>0，
所以0【考点】对数函数的图像特征与恒成立问题的等价；
20．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大 最大利润是多少
【提示】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可；
（2）根据（1）中所求的函数解析式，结合函数单调性和基本不等式，即可直接求得结果；
【答案】（1）；（2）35（台），最大利润为2050（万元）．
【解析】（1）由题意可得，
所以．
（2）当时，，对称轴方程，
且二次函数开口向下，故当时，取最大值，（万元）；
当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，即（万元），
因为，
故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）
【考点】建立二次函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值
21．数学中有一种推理的方法叫“类比推理”，类比推理是根据两个对象有部分属性相同，从而推出其它属性也相同的推理.这是一种特殊到特殊的推理，推理的结果不一定正确，需要证明方可使用.比如：我们可以通过对二元二次不等式：的不同理解，推理出不同的结果：
①如果我们把不等式的右边看成的两个齐次式，那我们可以推理出二元三次不等式：
②如果我们把不等式的右边看成数字2与ab相乘，那我们可以推理出三元三次不等式：
（1）请结合上文中①的推理结果，证明②中的“三元三次不等式”：．
（2）已知函数．
①解不等式；
②利用（1）的结论，对任意恒成立，求实数的取值范围．
【提示】（1）先证明，，，再将三式相加结合基本不等式即可证明；
（2）①移项通分化为整式不等式，解高次不等式即可得出答案；②由三元不等式求出在上的最小值，可以将题意转为在上恒成立，解不等式即可得出答案.
【答案】（1）证明见解析；（2）①；②
【解析】（1）当时，
，当且仅当时等号成立，
得证①的推理结果，
同理有，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
三式相加可得
，
又，，，
所以，
得，当且仅当时等号成立.
（2）①，由得，即，
得，
则有，解得或或，
所以不等式解集为.
②因为当时，，当且仅当，即时等号成立，
所以当时，，
对任意恒成立，则，
所以，解得.
所以实数的取值范围为.
【考点】作差法比较代数式的大小、高次不等式、由基本不等式证明不等关系、基本不等式求和的最小值
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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第一册第一章~第四章。
5．难度系数：0.65。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．方程组的解集为
2．已知集合是单元素集，则实数的取值集合为
3．已知，化简
4．计算： （，，，）．
5．不等式解集为
6．在对数式中，实数的取值范围是
7．已知；若是的充分条件，则的取值范围是
8．已知正实数、满足，则的最小值为
9．若不等式的解集是或，则不等式的解集是
10．通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则
11．已知二次函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a的取值范围是
12．设函数，集合，则下列命题正确的有 .
①当时，集合；②当时，；
③当，则的取值范围是；
④若（其中），则.
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正
确选项)
13．以下图形中，不是函数图象的是（ ）
14．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且在[0，＋∞)上单调递减，对于实数a，b，则“a2f(b)”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为，绿化面积为，现对该公园再扩建面积，其中绿化面积为，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（ ）
A．变大 B．变小 C．当时，变大 D．当时，变大
16．.函数f(x)＝x1－ln x，x∈(1，e)的最大值为（ ）
A．e2 B．e C． D．
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．已知集合A＝{x|－2＜x≤1}，集合B＝{x|2a－1≤x≤a＋1}；
（1）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围；
（2）若A∩B＝ ，求实数a的取值范围；
18．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.
（1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围；
19．已知函数f(x)＝log2(x＋a)(a>0)，设g(x)＝f(4x)．
（1）当a＝1时，解不等式f(x)<－1；
（2）对任意的x∈(0，2)，函数y＝f(x)的图象总在函数y＝g(x)的图象的下方，求a的取值范围．
20．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大 最大利润是多少
21．数学中有一种推理的方法叫“类比推理”，类比推理是根据两个对象有部分属性相同，从而推出其它属性也相同的推理.这是一种特殊到特殊的推理，推理的结果不一定正确，需要证明方可使用.比如：我们可以通过对二元二次不等式：的不同理解，推理出不同的结果：
①如果我们把不等式的右边看成的两个齐次式，那我们可以推理出二元三次不等式：
②如果我们把不等式的右边看成数字2与ab相乘，那我们可以推理出三元三次不等式：
（1）请结合上文中①的推理结果，证明②中的“三元三次不等式”：．
（2）已知函数．
①解不等式；
②利用（1）的结论，对任意恒成立，求实数的取值范围．
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