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上海市浦东新区立信会计金融学院附属高行中学 2026 届高三上学期 9
月教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ， ∈ ，则“ > 0 且 > 0”是“ + > ”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
2 2
2 .若抛物线 2 = 8 的焦点 与双曲线 3 = 1 的一个焦点重合，则 的值为( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 13
3.如图，圆 的半径为 1， 是圆上的定点， 是圆上的动点，角 的始边为射线 ，终边为射线 ，过点
作直线 的垂线，垂足为 ，将点 到直线 的距离表示为 的函数 ( )，则 = ( )在 0, π 上的图象大致
为( )
A. B.
C. D.
4.中国古代数学家用圆内接正 6 边形的周长来近似计算圆周长，以估计圆周率π的值.若据此证明π > 3.14，
则正整数 至少等于( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.已知集合 = 1 < < 2 ， = 0,1,2,3 ，则 ∩ = ．
6.若复数 满足 (1 + ) = 2( 为虚数单位)，则 = ．
7.已知正项等差数列 的前 项和为 2 ， 5 + 7 6 = 0，则 11 = ．
8.已知函数 ( ) = e + ln(1 )，则 = ( )在 0, (0) 处的切线方程为 ．
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9.一个不透明的袋中装有 5 个白球、4 个红球(9 个球除颜色外其余完全相同)，经充分混合后，从袋中随机
摸出 3 球，则摸出的 3 球中至少有一个是白球的概率等于 . (用分数作答)
10.李老师在整理建模小组 10 名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：
5 6 6 7 7 7 8 9 9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第 25 百分位数，则这 10 名学生的
成绩的方差为 ．
11.已知函数 ( )的定义域为 R，函数 ( )是奇函数，且 ( ) = ( ) + 2 ，若 (1) = 1，则 ( 1) = ．
12.方程(log3 )2 + log93 = 2 的解集为 ．
13.设(2 1)8 = 0 + 2 81 + 2 + + 8 ，则 1 + 2 + + 8 = ．
14.已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于 18 cm3 .若该三棱柱的所有顶点都在球 的表面上，则球 的
体积等于 cm3 ．
15.记 ( ) = ln + 2 2 + 2 1，若存在实数 、 ，满足2 ≤ < ≤ 2，使得函数 = ( )在区间[ , ]上
是严格增函数，则实数 的取值范围是 ．
16.若四边形 是边长为 4 的菱形， 为其所在平面上的任意点，则 的取值范围
是 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， 是边长为 2 的正方形， = 4， 为侧棱 的中点．
(1)求四棱锥 的体积；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题 14 分)
1
若数列 是等差数列，则称数列 为调和数列.若实数 、 、 依次成调和数列，则称 是 和 的调和中项．
(1) 1求3和 1 的调和中项；
(2)已知调和数列 ， 1 = 6， 4 = 2，求 的通项公式．
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19.(本小题 14 分)
已知函数 = ( )的表达式 ( ) = 1 +1 ．
(1)若函数 = ( )是奇函数，求实数 的值；
(2)对任意实数 ∈ [ 1,1]，不等式 ( ) ≤ 0 恒成立，求实数 的取值范围．
20.(本小题 14 分)
已知抛物线 : 2 = 4 的焦点为 ，准线为 ；
2
(1) 若 为双曲线 ： 2 2 2 = 1( > 0)的一个焦点，求双曲线 的离心率 ；
(2)设 | | 2与 轴的交点为 ，点 在第一象限，且在 上，若| | = 2 ，求直线 的方程；
(3)经过点 且斜率为 ( ≠ 0)的直线 ′与 相交于 ， 两点， 为坐标原点，直线 , 分别与 相交于点 ，
；试探究：以线段 为直径的圆 是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由；
21.(本小题 14 分)
ln
已知 ( ) = ，
(1)求函数 = ( )的导数，并证明：函数 = ( )在 e, + ∞ 上是严格减函数(常数 e 为自然对数的底)；
(2)根据(1)，判断并证明8999 与9989的大小关系，并请推广至一般的结论(无须证明)；
(3)已知 、 是正整数， < ， = ，求证： = 2, = 4 是满足条件的唯一一组值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.{0,1}
6.1
7.22
8. = 1
9.2021
10.85
11. 32
12. 3, 39
13.0
14.28 73
15. ∞, 94
16.[0,16)
17.【详解】解：(1)因为 ⊥平面 ，则 为棱锥 的高，
又 是边长为 2 的正方形，所以 2 = 2 = 4， = 4，
1 1故 = 3 × × = 3 × 4 × 4 =
16
3；
(2)以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则 (0,0,4)， (2,0,0)， (0,0,2)， (0,2,0)， (2,2,0)，
所以 = (2,0, 4), = (0,2, 2), = (2,2, 2)，
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设平面 的法向量为 = ( , , )，
2 2 = 0
则 = 0 ，即 2 + 2 2 = 0 , = 0
令 = 1，则 = 0， = 1，故 = (0,1,1)，

所以|cos < , > | = | | = 4 10
| || | 2 5× 2
= 5 ，
10
故直线 与平面 所成角的正弦值为 5 ．
18. (1) 1 1 1【详解】 设3和 的调和中项为 ，依题意得：3、 、1 成等差数列，
1 = 3+1所以 2 = 2，解得： =
1
2，
1 1
故3和 1 的调和中项为2；
(2) 1依题意， 是等差数列，设其公差为 ，
3 = 1 1则 2 6 =
1
9，
1 = 1 + ( 1) = 1+ 1 ( 1) = 2 +1所以 1 6 9 18
，
18
故 = 2 +1．
19.【详解】(1)因为函数 = ( )是奇函数， = ( )的定义域( ∞, + ∞)关于原点对称，

由 ( ) = 1 +1 = 1+ ，则 ( ) + ( ) = 1+ +
1
+1 2 = 1 2 = 0，
所以 = 12．
(2) 1对任意实数 ∈ [ 1,1]，不等式 ( ) ≤ 0 恒成立，即 ≥ +1恒成立，
设 ( ) = 1 +1，
对任意实数 1, 2 ∈ [ 1,1]且 1 < 2，

1
1 1 2 1
2 = 1+1 2+1 = ( 1+1)( 2+1)，
因为 1 < 2，所以 1 < 2，所以 1 2 > 0
所以函数 = ( )在[ 1,1]上单调递减；
( ) ≤ ( 1) = +1，所以 ≥ +1．
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20.【详解】(1)抛物线 : 2 = 4 的焦点为 (1,0)，准线为 : = 1，
2 2 2 2 1
双曲线 的方程为双曲线 2 2
2 = 1，即 2 1 = 1，则 = 2 , =
2 + 2，
2
1 2
由题意可知： = 2 + 2 = 1，则 = 2 ，

故双曲线 的离心率 = = 2．
(2)由(1)可知： ( 1,0)，
过点 作直线 的垂线，垂足为 ，则| | = | |，
∵ sin∠ = | | | | 2 π| | = | | = 2 ，且∠ ∈ 0, 2 ，
∴ ∠ = π4，
故直线 π的倾斜角 = 4，斜率 = tan = 1，
∴直线 的方程为 = + 1，即 + 1 = 0．
(3)以线段 为直径的圆 过定点(1,0), ( 3,0)，理由如下：
设直线 ′: = ( 1), 1, 1 , 2, 2 ，
= ( 1)
联立方程 ，消去 可得： 2 2 2 2 = 4 2 + 2 +
2 = 0，
2 2+2 2
则可得： 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 = 1，
∵直线 : = 1 = 1 ，当 时， =
1
，1 1
∴ 1, 1 ，1

同理可得： 1, 2 ，2
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1 + 2 1 1 + 2 1
∵ 1 2 = 1 2 2 1 2
1 + 2
2 2 = 2 1 2
2 2+2
2 2
= 22 = ，
1 1
| | = 1
2 = 1 2 = 1 2 =
2
1 + 2 4 1 22
1 2 1 2 1 2 1 2
2
= | | 2 +2
2
4 = 4
2+1
2 | | ，
2
则线段 2 1为直径的圆 的圆心 1, ，半径 = 2 | | =
2 +1
| | ，
2 2
( + 1)2 + 2 = 4 +1故圆 的方程为 2 ，整理得
2 + 2 + 2 3 4 = 0，
令 = 0，则 2 + 2 3 = 0，解得 = 1 或 = 3，
故以线段 为直径的圆 过定点(1,0), ( 3,0)．
21. (1) = ( ) ′ = 1 ln 1 ln 【详解】 的导函数为 ′ 2 ，令 = 2 = 0，得 = e，
列表：
0, e e , + ∞
′( ) + 0
( ) ↗ ↘
极大值
所以，函数 = ( )在 e, + ∞ 上是严格减函数；
(2)判断得到8999 > 9989，
下面证明：
由(1)， (89) > (99) ln89 ln99，即 9989 > 99 ，所以 ln89 > ln99
89，
由 = ln 的单调递增，得到8999 > 9989．
ln ln
推广：对于实数 , ，若 e < < ，则 > 即
> ，
以下是证明过程：
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由(1)知： ( ) = ln 在 e, + ∞ 上是严格减函数，
ln ln
因为 e < < ，所以 > ，则 ln > ln ，ln
> ln ，
因为 = ln 单调递增，所以 > ．
(3)因为24 = 42 = 16，可见 = 2, = 4 满足
= 1 ≤ < , , ∈ N ，
下面证明唯一性：
①若 ≥ 3，由第二问的结论可知 > ，与 = 矛盾；
②若 = 1，则1 = 1即 = 1，与 < 矛盾；
③若 = 2，则2 = 2 2 < , ∈ N ln2即 2 =
ln
，
显然 ≠ 3 不满足， = 4 成立，
若 ≥ 5 ln4 ln ln2 ln4，由第二问结论可知： 4 > ，则 2 = 4 >
ln
，于是2 > 2，与2 = 2 矛盾．
综上， = 2, = 4 是满足条件的唯一一组值．
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