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安溪八中2025年秋季高二年第一次质量检测
数学试题 2025.10.11
一、选择题：
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形
C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等
3．某县有高中生2000人，初中生3000人，小学生4000人，幼儿园学生1500人，为了解该县学生的健康情况，采用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取样本，若抽出的初中生为30人，则抽出的幼儿园学生人数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．40
4．如图，在中，点是的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．已知正四棱台的上、下底边长分别为和，高为，则该棱台外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
二、选择题：
9．某影院连续天的观影人数（单位：百人）依次为，，，，，，，，，，则下列关于这天观影人数的结论正确的是（ ）
A．众数为 B．平均数为
C．中位数为 D．第百分位数为
10．掷一枚骰子，记事件为掷出的点数小于4，事件为掷出奇数点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．事件与事件对立 D．事件与事件不相互独立
11．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，很多人的童年都少不了折纸的乐趣，同时，折纸活动也蕴含着丰富的数学内容，例如：中，，，将三角形沿着翻折至三角形，则下列数量积可能为零的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：
12．已知向量与共线，则实数 ．
13．已知正四棱柱，，，点为中点，则点到平面的距离为 ．
14．在中随机选出一个数，在中随机选出一个数，则被3整除的概率为 .
四、解答题：
15．（本小题满分13分）
已知复数，，是虚数单位．
(1)若复数是纯虚数，求的值；
(2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．
16．（本小题满分15分）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
17．（本小题满分15分）
从安溪县某高中学校1200名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为3.
(1)求第六组的频率；
(2)估计该校男生身高的中位数；
(3)从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为，记为事件，求事件的概率.
18．（本小题满分17分）
如图,在四棱锥中，底面，．
(1)证明：平面平面；
(2)设，且点，，，均在球的球面上．
（i）证明：点在平面内；
（ⅱ）求直线与所成角的余弦值．
19．（本小题满分17分）
已知正方体的棱长为2．
(1)证明：平面；
(2)动点满足，且点，，，在同一球面上．设该球面的球心为，半径为．
①求的取值范围；
②当最大时，求二面角的余弦值．
安溪八中2025年秋季高二年第一次质量检测
数学试题参考答案
1．A【详解】若，则，
则.故选：A
2．B【详解】解：对于A，由由斜二测画法可知，矩形的直观图为平行四边形，故A错误；
对于B，由斜二测画法可知，三角形的直观图是三角形，故B正确；对于C，由A可知，矩形的四个角都为直角，但其直观图是平行四边形，只有对角才相等，故C错误；对于D，正方形的四条边相等，但其直观图是平行四边形，只有对边才相等，故D错误.故选：B.
3．A【详解】分层抽样的抽取比例为，所以幼儿园应抽取的学生人数为：人，故选：A.
4．D【详解】点是的中点，，．故选：D．
5．B【详解】
A， 若，则或，故该选项错误；
B，若，则，故该选项正确；
C，若，不能得出，故不能得出，故该选项错误；
D，若，还需要加上相交才能得出，如果不一定平行，故该选项错误.故选：B.
6．D【详解】因为已知正四棱台的上、下底边长分别为和，
所以上下底面正方形外接圆半径依次为，
根据对称性可知，该棱台外接球的球心在棱台上下底面外接圆的圆心的连线上，
设该棱台外接球的球心到上底面的距离为，该棱台外接球的半径为，
所以，解得，故所求为.故选：D.
7．A【详解】
，
，，.故选：A.
8．B【详解】 ，
故选：B
9．BC【详解】这10个数从小到大排列为：80，90，120，120，130，160，160，160，180，200，众数为160，
平均数为，中位数为，
，因此第百分位数为第8个数160，故选：BC.
10．AC【详解】由题意，
对于A，，故A错误；对于B，，，故B正确；
对于C，，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确.故选：AC.
11．ABD
【详解】由题意如图所示：

A中，由于，所以当平面平面时，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，此时，所以A正确；
B中，因为，，，
可得，则在翻折过程中，会超过（原因：点翻折后，，）
故存在，因为，故直线与直线有可能垂直，此时，所以B正确；
C中，在中，，所以为锐角，故不可能为0，所以C不正确；
D中，易知，将三角形沿着翻折时，
，，三点共线，且四边形为矩形，所以，此时，所以D正确．
故选：ABD．
12．【详解】因为向量与共线，所以，解得.故答案为：
13./
【详解】在正四棱柱中，以点为原点，建立空间直角坐标系，如图： ，
则，，
设平面的法向量为，则，故可取，
则点到平面的距离.
14．【详解】由题意，数组共有种不同的选法，
若能被整除，则也能被整除，此时各有种选法，即这样的有组；
若不能被整除，即从中选1个数，此时除以余数为1，即，
要使得被整除，则除以余数为，即，
所以从中选1个数，所以有种选法，有种选法，
则这样的有组，所以共有中不同的选法，所以被3整除的概率为.故答案为：.
15．【详解】（1）由题可得，，且，
由得或，由，得，故．
（2）当时，，代入关于的方程，得，
整理得，，因为为实数，所以，
解得，故实数的值分别为4，13.
16．【详解】（1）因为第七组的人数为3，所以第七组的频率为：，
则第六组的频率为
（2）由图知：身高在的频率为，
身高在的频率为，
身高在的频率为，
因为，
所以设这所学校男生的身高中位数为，则，
由，得，
所以这所学校男生身高的中位数为174.5.
（3）样本身高在第六组的人数为，设为，
样本身高在第六组的人数为，设为，
则从中随机抽取两名男生有：共15种情况，即，当且仅当随机抽取的两名男生不在同一组时，事件发生，
所以事件包含的基本事件为共8种情况，即，
根据古典概型概率公式得.
17．【详解】（1）由可得，即，
由于，故，解得
（2）由题设条件和正弦定理，
又，则，进而，得到，
于是，，
由正弦定理可得，，即，
解得，故的周长为
18．【详解】（1）由题意证明如下，在四棱锥中，⊥平面，，
平面，平面，∴，，
∵平面，平面，，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
（2）（i）由题意及（1）证明如下，
法一： 在四棱锥中，，，，∥，
，，建立空间直角坐标系如下图所示，
∴，
若，，，在同一个球面上，
则，在平面中，∴
在立体几何中，，
∵
解得：，∴点在平面上.
（ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得，
，
设直线与直线所成角为，
∴.
19【详解】（1）
解法二：以为原点，的正方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系：
则，，，，，
，，．
因为，所以．
又因为，平面，平面，所以平面．
（2）解法一：①如图所示：
，
取中点，取中点，依题意得：球心在直线上．
因为，所以，即，
延长至，使得，连结．
因为，，所以四边形是平行四边形，所以，．
同理得：，，所以，，故，
所以点在线段上．设，则，
则．
易得，则有，所以，故有．
所以，整理得：，
由，得：．
所以，所以的取值范围是．
②当最大时，，，此时点与点重合．
因为，，，，平面，
所以平面．
因为，平面，所以，，
所以即为二面角的平面角．
在中，，，，，
所以，所以二面角的余弦值为0．
解法二：①以为原点，的正方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系：
取中点，中点，依题意得：球心在直线上．设，
因为，
，
则，即，化简得：．
因为，所以．所以，
故该球半径的取值范围是．
②当最大时，点坐标为．．
由（1）得平面的一个法向量是．
设平面的一个法向量是，，，
，取得：，
因为，所以二面角的余弦值为0．安溪八中2025年秋季高二年第一次质量检测
数学试题参考答案
1．A【详解】若，则，
则.故选：A
2．B【详解】解：对于A，由由斜二测画法可知，矩形的直观图为平行四边形，故A错误；
对于B，由斜二测画法可知，三角形的直观图是三角形，故B正确；对于C，由A可知，矩形的四个角都为直角，但其直观图是平行四边形，只有对角才相等，故C错误；对于D，正方形的四条边相等，但其直观图是平行四边形，只有对边才相等，故D错误.故选：B.
3．A【详解】分层抽样的抽取比例为，所以幼儿园应抽取的学生人数为：人，故选：A.
4．D【详解】点是的中点，，．故选：D．
5．B【详解】
A， 若，则或，故该选项错误；
B，若，则，故该选项正确；
C，若，不能得出，故不能得出，故该选项错误；
D，若，还需要加上相交才能得出，如果不一定平行，故该选项错误.故选：B.
6．D【详解】因为已知正四棱台的上、下底边长分别为和，
所以上下底面正方形外接圆半径依次为，
根据对称性可知，该棱台外接球的球心在棱台上下底面外接圆的圆心的连线上，
设该棱台外接球的球心到上底面的距离为，该棱台外接球的半径为，
所以，解得，故所求为.故选：D.
7．A【详解】
，
，，.故选：A.
8．B【详解】 ，
故选：B
9．BC【详解】这10个数从小到大排列为：80，90，120，120，130，160，160，160，180，200，众数为160，
平均数为，中位数为，
，因此第百分位数为第8个数160，故选：BC.
10．AC【详解】由题意，
对于A，，故A错误；对于B，，，故B正确；
对于C，，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确.故选：AC.
11．ABD
【详解】由题意如图所示：

A中，由于，所以当平面平面时，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，此时，所以A正确；
B中，因为，，，
可得，则在翻折过程中，会超过（原因：点翻折后，，）
故存在，因为，故直线与直线有可能垂直，此时，所以B正确；
C中，在中，，所以为锐角，故不可能为0，所以C不正确；
D中，易知，将三角形沿着翻折时，
，，三点共线，且四边形为矩形，所以，此时，所以D正确．
故选：ABD．
12．【详解】因为向量与共线，所以，解得.故答案为：
13./
【详解】在正四棱柱中，以点为原点，建立空间直角坐标系，如图： ，
则，，
设平面的法向量为，则，故可取，
则点到平面的距离.
14．【详解】由题意，数组共有种不同的选法，
若能被整除，则也能被整除，此时各有种选法，即这样的有组；
若不能被整除，即从中选1个数，此时除以余数为1，即，
要使得被整除，则除以余数为，即，
所以从中选1个数，所以有种选法，有种选法，
则这样的有组，所以共有中不同的选法，所以被3整除的概率为.故答案为：.
15．【详解】（1）由题可得，，且，
由得或，由，得，故．
（2）当时，，代入关于的方程，得，
整理得，，因为为实数，所以，
解得，故实数的值分别为4，13.
16．【详解】（1）因为第七组的人数为3，所以第七组的频率为：，
则第六组的频率为
（2）由图知：身高在的频率为，
身高在的频率为，
身高在的频率为，
因为，
所以设这所学校男生的身高中位数为，则，
由，得，
所以这所学校男生身高的中位数为174.5.
（3）样本身高在第六组的人数为，设为，
样本身高在第六组的人数为，设为，
则从中随机抽取两名男生有：共15种情况，即，当且仅当随机抽取的两名男生不在同一组时，事件发生，
所以事件包含的基本事件为共8种情况，即，
根据古典概型概率公式得.
17．【详解】（1）由可得，即，
由于，故，解得
（2）由题设条件和正弦定理，
又，则，进而，得到，
于是，，
由正弦定理可得，，即，
解得，故的周长为
18．【详解】（1）由题意证明如下，在四棱锥中，⊥平面，，
平面，平面，∴，，
∵平面，平面，，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
（2）（i）由题意及（1）证明如下，
法一： 在四棱锥中，，，，∥，
，，建立空间直角坐标系如下图所示，
∴，
若，，，在同一个球面上，
则，在平面中，∴
在立体几何中，，
∵
解得：，∴点在平面上.
（ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得，
，
设直线与直线所成角为，
∴.
19【详解】（1）
解法二：以为原点，的正方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系：
则，，，，，
，，．
因为，所以．
又因为，平面，平面，所以平面．
（2）解法一：①如图所示：
，
取中点，取中点，依题意得：球心在直线上．
因为，所以，即，
延长至，使得，连结．
因为，，所以四边形是平行四边形，所以，．
同理得：，，所以，，故，
所以点在线段上．设，则，
则．
易得，则有，所以，故有．
所以，整理得：，
由，得：．
所以，所以的取值范围是．
②当最大时，，，此时点与点重合．
因为，，，，平面，
所以平面．
因为，平面，所以，，
所以即为二面角的平面角．
在中，，，，，
所以，所以二面角的余弦值为0．
解法二：①以为原点，的正方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系：
取中点，中点，依题意得：球心在直线上．设，
因为，
，
则，即，化简得：．
因为，所以．所以，
故该球半径的取值范围是．
②当最大时，点坐标为．．
由（1）得平面的一个法向量是．
设平面的一个法向量是，，，
，取得：，
因为，所以二面角的余弦值为0．

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