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山西省朔州市怀仁大地高中学校 2026届高三上学期第一次月考
数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( ) = 2 3 3 2 + 在 = 1 处取得极小值 1，则 ( )在区间[ 1,2]上的最大值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2 .已知函数 ( ) = e + ln 有唯一的极值点 ，则 ( )的取值范围是( )
A. [ 2, + ∞) B. [ 3, + ∞) C. [2, + ∞) D. [3, + ∞)
3 1.已知函数 ( ) = 2 ′ 3 + ln 9，则函数在 = 1 处的切线方程是( )
A. = 92 9 B. = 19 19 C. = 19
29
2 D. =
9
2 +
47
2
4.函数 ( ) = cos2 cos 在 π, π 上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5 ln7.已知： = ln2， = 2.8， = e
1.02，那么 , , 三者的关系是( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.若函数 ( ) = 12
2 + 4 2ln 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是( )
A. (0,2) B. (0,1) C. ( ∞,1) D. (2, + ∞)
7.已知函数 ( )是定义在 R 上的偶函数，其导函数为 ′( )，且当 < 0 时，2 ( ) + ′( ) < 0，则不等
式( 2026)2 ( 2026) ( 1) > 0 的解集为
A. ( ∞,2025) B. (2025,2027)
C. ( ∞,2025) ∪ (2027, + ∞) D. (2027, + ∞)
8 1 1.若 ln ln < ln ln ( > 1, > 1)，则( )
A. e > 1 B. e < 1 C. e 1 > 1 D. e 1 < 1
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 = ( )，其导函数 = ′( )的部分图象如图，则对于函数 = ( )的描述正确的是( )
A.在( 2, 1)上单调递增 B.在(1,2)上单调递增
C. = 1 为极值点 D. = 1 为极值点
10.已知函数 ( ) = 3 + 1，则( )
A. ( )的值域为 R
B. ( )图象的对称中心为(0,1)
C.当 < 0 时， ( )无极值
D.当 3 > 0 时， ( )在区间( 1,1)内单调递减
11.(多选)已知函数 ( ) = e ( ∈ )，则( )
A.当 = e 时， ( )在( ∞,1)上单调递减
B.当 = e 时， ( ) > 0 在 上恒成立
C. ( )有 2 个零点，则 > e
D. ( )有极值，则 > e
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 ln + .已知函数 ( ) = ，若
′(1) = 2，则 = ．
13.若正实数 ， 满足条件：e + = e( + )(e 是自然对数的底数)，则 的最大值是 ．
14.已知 = eπ 3, = ln eπ 2e , = π 2，则 , , 的大小关系为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 2 7 + 6ln + 10．
(1)求曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)求 ( )的单调区间和极小值．
16.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = 2 ln ( ∈ )．
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(1)若 ( )在点 e, e 处的切线为 e + = 0，求 ， 的值；
(2)求 ( )的单调区间．
17.(本小题 15 分)
1
已知函数 ( ) = 22 ln + ．
(1)当 = 1 时，判断 ( )的单调性；
(2)若 ( )有两个极值点，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = e + ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)证明：当 > 0 时， ( ) > 2ln + 32．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2(ln 1) 2 ．
(1)当 = 0 时，求 ( )的极小值；
(2)若函数 ( ) = e + ( )有 2 个零点，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13.14
14. < <
15.【详解】(1)因为 ( ) = 2 7 + 6ln + 10，定义域为(0, + ∞)，
′( ) = 2 7 + 6所以 ，( > 0)，
则 ′(1) = 2 7 + 6 = 1，又 (1) = 1 7 + 0 + 10 = 4，
所以曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程为 4 = 1，即 = + 3，
令 = 0 得 = 3，令 = 0 得 = 3，
1 9
故所求三角形的面积为2 × 3 × 3 = 2．
(2) ′( ) = 2 7 + 6 = 2
2 7 +6 = (2 3)( 2)因为 ，( > 0)，
令 ′( ) = 0 得 = 32或 = 2，
3 3
令 ′( ) > 0 得 < ′2或 > 2，令 ( ) < 0 得2 < < 2，
又函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，
所以 ( )的增区间为(0, 32 )，(2, + ∞)
3
，减区间为 2 , 2 ，
所以 ( )的极小值为 (2) = 22 7 × 2 + 6ln2 + 10 = 6ln2．
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16.【详解】(1) ( ) = 2 ln ( ∈ )的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = 1 ，
因为 ( )在点 e, e 处的切线为 e + = 0，
所以 ′ e = 1 1 2e = e，所以 = ；所以 e = 1
把点 e, 1 代入 e + = 0 得： = 2e．
即 ， 的值为： = 2e， = 2e．
(2)由(1)知： ′( ) = 1 = 1 ( > 0)．
①当 ≤ 0 时， ′( ) < 0 在(0, + ∞)上恒成立，所以 ( )在(0, + ∞)单调递减；
②当 > 0 时，令 ′( ) = 0 1，解得： = ，
列表得：
1
0, 1 1

, + ∞
′( )
0 +
= ( )
单调递减 极小值 单调递增
1 1
所以， > 0 时， ( )的递减区间为 0, ，单增区间为 , + ∞ ．
综上所述：当 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)单调递减；
当 > 0 时， ( ) 1 1的递减区间为 0, ，单增区间为 , + ∞ ．
17.【详解】(1)当 = 1 时， ( )的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = ln ，
( ) = ln ′( ) = 1 1令 ，则 =
1
，
当 ′( ) < 0 0 < < 1，当 ′( ) > 0 > 1，
所以 ′( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
∴ = 1 为 ′( )的极小值点，且 ′( ) ′(1) = 1 > 0，
∴ ( )在(0, + ∞)单调递增．
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(2)问题转化为方程 ln = 有两个不相等的实根，
当 ln = 0，即 = 1 时， ln = 不成立；

当 > 0 且 ≠ 1 时， = ln ，
令 ( ) = ln ，则 = 与 ( ) =

ln 的图象有两个交点，
∵ ′( ) = ln 1(ln )2，
′( ) < 0 0 < < 1 或 1 < < ； ′( ) > 0 > ，
∴ ( )在(0,1), (1, )单调递减，在( , + ∞)单调递增，
又当 ∈ (0,1), ( ) < 0， ∈ (1, + ∞), ( ) > 0，
且 ( )在(1, + ∞)的最小值为 ( ) = ，
∴当 > 时，直线 = 与 ( ) = ln 的图象有两个交点，
∴实数 的取值范围( , + ∞)．
18.【详解】(1)因为 ( ) = e + ，定义域为 R，所以 ′( ) = e 1，
当 ≤ 0 时，由于e > 0，则 e ≤ 0，故 ′( ) = e 1 < 0 恒成立，
所以 ( )在 R 上单调递减；
当 > 0 时，令 ′( ) = e 1 = 0，解得 = ln ，
当 < ln 时， ′( ) < 0，则 ( )在 ∞, ln 上单调递减；
当 > ln 时， ′( ) > 0，则 ( )在 ln , + ∞ 上单调递增；
综上：当 ≤ 0 时， ( )在 R 上单调递减；
当 > 0 时， ( )在 ∞, ln 上单调递减， ( )在 ln , + ∞ 上单调递增．
(2)方法一：
由(1)得， ( )min = ln = e ln + + ln = 1 + 2 + ln ，
要证 ( ) > 2ln + 3 22，即证 1 + + ln > 2ln +
3
2，即证
2 12 ln > 0 恒成立，
2
令 ( ) = 2 12 ln ( > 0)，则
′( ) = 2 1 2 1 = ，
令 ′( ) < 0，则 0 < < 2 ′ 22 ；令 ( ) > 0，则 > 2 ；
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2 2
所以 ( )在 0, 2 上单调递减，在 2 , + ∞ 上单调递增，
( ) 2 2
2 1 2
所以 min = 2 = 2 2 ln 2 = ln 2 > 0，则 ( ) > 0 恒成立，
所以当 > 0 时， ( ) > 2ln + 32恒成立，证毕．
方法二：
令 ( ) = e 1，则 ′( ) = e 1，
由于 = e 在 R 上单调递增，所以 ′( ) = e 1 在 R 上单调递增，
又 ′(0) = e0 1 = 0，
所以当 < 0 时， ′( ) < 0；当 > 0 时， ′( ) > 0；
所以 ( )在( ∞,0)上单调递减，在(0, + ∞)上单调递增，
故 ( ) ≥ (0) = 0，则e ≥ + 1，当且仅当 = 0 时，等号成立，
因为 ( ) = e + = e + 2 = e +ln + 2 ≥ + ln + 1 + 2 ，
当且仅当 + ln = 0，即 = ln 时，等号成立，
所以要证 ( ) > 2ln + 32，即证 + ln + 1 +
2 > 2ln + 3 12，即证
2 2 ln > 0，
1 2
令 ( ) = 2 2 ln ( > 0)
1 2 1
，则 ′( ) = 2 = ，
′( ) < 0 0 < < 2 ′( ) > 0 > 2令 ，则 2 ；令 ，则 2 ；
所以 ( )在 0, 2 22 上单调递减，在 2 , + ∞ 上单调递增，
2
所以 ( )min =
2
2 =
2 1 2
2 2 ln 2 = ln 2 > 0，则 ( ) > 0 恒成立，
所以当 > 0 时， ( ) > 2ln + 32恒成立，证毕．
19.【详解】(1)当 = 0 时，函数 ( ) = 2(ln 1)定义域为(0, + ∞)，求导得 ′( ) = 2 (ln 1) + =
2 (ln 12 )，
当 0 < < e时， ′( ) < 0；当 > e时， ′( ) > 0，函数 ( )在(0, e)上递增，在( e, + ∞)上递减，
e
所以当 = e时， ( )取得极小值 ( e) = 2．
(2)依题意，函数 ( ) = e + 2(ln 1) 2 的定义域为(0, + ∞)，
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由 ( ) = 0 e，得 2 = + ln ( ) =
e
，令函数 + ln , > 0，

求导得 ′( ) = e ( 1) 2 + ln ，当 0 < < 1 时，
′( ) < 0，当 > 1 时， ′( ) > 0，
函数 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增， ( )min = e 1，
当 从大于 0 的方向趋近于 0 时， ( ) →+∞；当 →+∞时， ( ) →+∞，
则当 2 > e 1，即 > e 12 时，直线 = 2 与函数 = ( )的图象有两个交点，即 ( )有两个零点，
所以 e 1的取值范围是 > 2 ．
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