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山西省山西大学附属中学校 2026 届高三上学期 10 月模块诊断
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1.已知集合 = 1,2,3,4,5 , = 2 ∈ ，则 ∩ =( )
A. 5 B. 3,5 C. 1,3,5 D. 2,4
2.已知命题 : > 0，使得( + 1)e > 1，则 为( )
A. 0 ≤ 0，使得 0 + 1 e 0 ≤ 1 B. 0 > 0，使得 0 + 1 e 0 ≤ 1
C. 0 > 0，使得 0 + 1 e 0 < 1 D. 0 ≤ 0，使得 0 + 1 e 0 ≤ 1
3.在复平面内，复数 = 1 + i，则 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.将六位数“124057”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为( )
A. 152 B. 180 C. 216 D. 312
5.在等比数列 中， 26， 10是方程 + 6 + 2 = 0 的两个实数根，则 8的值为( )
A. 2 B. 2或 2 C. 2 D. 2
6 4π.已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图是一个圆心角为 3的扇形，则该圆锥的侧面积为( )
A. 6π B. 8π C. 10π D. 12π
2
7.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，点 在 上，且 2 1| = | 2 ， 1 2
的面积为 2 3.若∠ 1 2为钝角，则 的焦距为( )
A. 7 B. 2 7 C. 7 D. 14
8.已知函数 ( ) = 2sin π π π6 ( > 0)，对任意 ∈ ，恒有 ( ) ≤ 3 ，且 ( )在 0, 4 上单调递增，
则下列选项中不．正．确．的是( )
A. = 2
B. = + π12 为奇函数
C. ( ) π 1函数 图像向左平移6个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的2得到函数 ( )，函数 ( )的对称轴方
= π π程为 12 + 4 ， ∈
D. ( )在 π π4 , 4 上的最小值为 3
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于概率统计说法中正确的是( )
A.两个变量 , 的相关系数为 ，则 越小， 与 之间的相关性越弱
B.设随机变量 (2,1)，若 ( > 3) = 1，则 (1 < < 2) = 2
C.在回归分析中， 2为 0.89 的模型比 2为 0.98 的模型拟合得更好
D.某人解答 10 个问题，答对题数为 , (10,0.8)，则 ( ) = 8
10.设函数 ( ) = ( )2( 2)( ∈ )，则( )
A.当 = 0 时， ( )在 = 0 处取极大值
B.当 = 0 时，方程 ( ) + sin1 = 0 有 3 个实根
C.当 ≥ 2 时， 是 ( )的极大值点
D.存在实数 ， ( ) < ( + 1)恒成立
11.已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 边上的高为 ，若 = ， 2 2 = ，则( )
A. 1 1sin sin = 1 B. = 2
C. + = 2 D. tan = 2cos
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = ( 1,2)， = (5,1)，则 + = ．
13 sin + π 2 2π.已知 6 = 3 ，则 cos 2 3 = ．
1 14.已知数列 中， 1 = 1，且 2 +1 + = 2 , = +

( 2) ，若存在正整数 ，使得 + +1 +
+1 < 0 成立，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知等差数列 的前 项和为 ，公差 为整数， 3 = 21，且 1， 2 + 1， 7成等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2) 5求数列 的前 项和 ． +1
16.(本小题 15 分)
如图，圆柱 1 2中， 是底面圆 2上的一条直径， ， 分别是底面 2， 1圆周上的一点， // 1 2， =
2 ，且点 不与 ， 两点重合．
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(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)若二面角 1 2 为 60°，求直线 与平面 1所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
2 2
已知椭圆 : 2 +

2 = 1( > )的左、右焦点分别为 1, 2，点 在椭圆上， 1 2的周长为 6，椭圆的离心
1
率为2．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 2的直线 交椭圆于 , 两点，交 轴于 点，设 = 1 2, = 2 2，试判断 1 + 2是否为定值？
请说明理由．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = (1 ) ln 1．
(1)当 = 2 时，求曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程；
(2)若 ( )的极小值小于 1，求 的取值范围；
(3)讨论 ( ) = ( ) + e 的零点个数．
19.(本小题 17 分)
一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过 1 分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动
到另一房间的概率为 0.6，留在该房间的概率为 0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老
鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为 0.5，已知在第
0 分钟时，猫在 0 号房间，老鼠在 1 号房间.设在第 分钟时，猫和老鼠在 0 号房间的概率分别为 ， ．
(1)求第 1 分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为 1 的概率；
(2) { 1 } { + 5 4求证： 2 ， 3 3 }均为等比数列；
(3)在第几分钟时，老鼠在 0 号房间的概率最大？
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.5
13. 59
14. 12 ,
1
4
15.【详解】(1)因为 3 = 3 1 + 3 = 21，所以 1 + = 7，
又因为 1， 2 + 1， 7成等比数列，所以 2 + 1 2 = 1 7，
即 1 + + 1 2 = 12 + 6 1 ，所以 12 + 6 1 = 64，
1 + = 7 1 = 2联立 2 + 6 = 64解得1 1 = 5
,
所以 = 1 + 5( 1) = 5 3．
(2)由(1) 5 5 1 1可得 = +1 (5 3)(5 +2)
= 5 3 5 +2，
= 1 1 + 1 1 + 1 1所以 2 7 7 12 12 17 + +
1 1 1 1 5
5 3 5 +2 = 2 5 +2 = 10 +4．
16.【详解】(1)因为 是底面圆 2上的一条直径，
所以 ⊥ ，
因为 1 2 ⊥底面圆 2， // 1 2，
所以 ⊥底面圆 2，
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因为 底面圆 2，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ；
(2)因为 1 2 ⊥底面圆 2， , 2 圆 2，
所以 1 2 ⊥ 2， 1 2 ⊥ 2，
所以∠ 2 为二面角 1 2 的平面角，
故∠ 2 = 60°，又 2 = 2，所以 2为等边三角形，
以 为坐标原点， , , 所在直线分别为 , , 轴，建立空间直角坐标系，
= 2 ，设 = 2，故 = 2 22 = 2 = = 1， = = 3，
3, 0,0 , (0,0,1), (0,0,0), 3 11 2 , 2 , 1 ，
= 3, 0, 1 ， = (0,0,1), 3 11 = 2 , 2 , 1 ，
设平面 1的法向量为 = ( , , )，
= ( , , ) (0,0,1) = = 0
则 ,
1 = ( , , )
3 , 12 2 , 1 =
3 + 12 2 + = 0
解得 = 0，令 = 1，得 = 3，故 = 1, 3, 0 ，
设直线 与平面 1所成角的大小为 ，

则 sin = cos , = = 3,0, 1 1, 3,0 3

= ，
3+0+1× 1+3+0 4
3
直线 与平面 1所成角的正弦值为 4 ．
2 + 2 = 6
17. (1) 1 = 2【详解】 由题意 = ，可得 = 1，又
2 = 2 2 = 4 1 = 3，
2
2 2
所以椭圆 的方程为 4 + 3 = 1；
(2)
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由题，得直线斜率存在，由(1)知 2(1,0)，设直线 的方程为 = ( 1)，
= ( 1)
则联立 2 2 ，消去 ，整理得 3 + 4 2 2 8 2 + 4 2 12 = 0， > 0，
4 + 3 = 1
8 2 4 2 12
设 1, 1 , 2, 2 ，则 1 + 2 = 3+4 2， 1 2 = 3+4 2 ，
又 2(1,0), (0, )，则 = 1, 1 + , 2 = 1 1, 1 ，
由 = 1 2

得 1
2
1 = 1 1 1 ，所以 1 = 1 ，同理得 2 = ，1 1 2
+ = 1 + 2 = 1+ 2 2 所以 1 2 1+ 2 2 1 21 2 1 1 1 2 1 1 1
=
2 1 1+ 2 + 1 2
8 2 4 2 12
= 3+ 4
2 2× 3+ 4 2 8
8 2 2
=
1 4 12 33+ 4 2 + 3+ 4 2
所以 1 + 2为定值
8
3．
18.【详解】(1)当 = 2 时， ( ) = 1 2 ln ，则 ′( ) = 2 1 ，
所以 (1) = 1， ′(1) = 3，
则曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程为 + 1 = 3( 1)，
整理得：3 + 2 = 0．
(2)函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，且 ′( ) = 1 +1 = ，
当 ≥ 0 时，易得 ′( ) < 0， ( )在(0, + ∞)上单调递减，则 ( )无极小值，不符合；
当 < 0 时，
′( ) > 0 > 1 ( ) 1由 ，得 ，即 在 , + ∞ 上单调递增；
由 ′( ) < 0，得 0 < < 1 1 ，即 ( )在 0, 上单调递减，
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1
所以 ( )的极小值为 ( ) = + ln( )，而 ( )的极小值小于 1，
所以 + ln( ) < 1，即 1 + + ln( ) < 0，
1 +1
令 ( ) = 1 + + ln( )( < 0)，则 ′( ) = 1 + = ，
所以当 ∈ ( ∞, 1)时， ′( ) > 0，当 ∈ ( 1,0)时， ′( ) < 0，
则 ( )在( ∞, 1)上单调递增，在( 1,0)上单调递减，
因为 ( 1) = 0，所以 ( ) < 0 可得 ∈ ( ∞, 1) ∪ ( 1,0)
(3) ( ) = ( ) + e = e ln 1, ∈ (0, + ∞)．
ln +1
令 ( ) = 0，得e = 0，
令 ( ) = e ln +1 , ∈ (0, + ∞)，则 ( )与 ( )有相同的零点，
′( ) = e 1 ln +1
2e +ln
且 2 = 2 ．
令 ( ) = 2e + ln , ∈ (0, + ∞) 1，则 ′( ) = 2 + 2 e + ，
因为 > 0，则 ′( ) > 0，所以 ( )在区间(0, + ∞)上单调递增，
1
1
又 e = ee
2 1 < 0， (1) = e > 0，所以 10 ∈ e , 1 ，使得 0 = 0，
当 ∈ 0, 0 时， ( ) < 0，即 ′( ) < 0；当 ∈ 0, + ∞ 时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0，
ln +1
所以 ( )在 0, 0 单调递减，在 0, + ∞ 单调递增，最小值为 = e 0 0 0 ．0
1
由 2
ln
0 = 0，得 0e 0 + ln 0 = 0 e 0 =
1
0 ln
1 1
0 = ln ，即 0e
0 = ln 1 e
0，
0 0 0 0
令 ( ) = e ， ∈ (0, + ∞)，则 ′( ) = ( + 1)e > 0，则 ( )在(0, + ∞)单调递增，
1
因为e <
1
0 < 1，所以 ln > 0，则 0 = ln
1
，0 0
1 1
所以 0 = ln ，从而e
0 = ， 0 = ln 0，0 0
( ) = e 0 ln 0+1 = 1 +1所以 的最小值 00 = 1 ，0 0 0
又当 趋近于 0 时， ( )趋近于+∞，当 趋近于+∞时， ( )趋近于+∞，
①若 1 > 0，即 < 1， ( )无零点，故 ( )无零点；
②若 1 = 0，即 = 1， ( )有 1 个零点，故 ( )有 1 个零点；
③若 1 < 0，即 > 1， ( )有 2 个零点，故 ( )有 2 个零点．
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19.【详解】(1)在第 0 分钟时，猫在 0 号房间，老鼠在 1 号房间，
设 , 为第 1 分钟时，猫在 号房间，老鼠在 号房间，
则 ( 0,0) = 0.4 × 0.5 = 0.2, ( 0,1) = 0.4 × 0.5 = 0.2， ( 1,0) = 0.6 × 0.5 = 0.3, ( 1,1) = 0.6 × 0.5 = 0.3，
设第 1 分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为 ，则 ( = 1) = ( 0,1) + ( 1,0) = 0.5，
所以第 1 分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为 1 的概率 0.5．
(2)依题意， 0 = 1,
2 1
0 = 0， 1 = 5 , 1 = 2，
当 ≥ 1 时，猫在第 分钟时位于 0 号房间包含两种情况：
2
上一分钟在 0 号房间，继续保持在 0 号房间的概率为5 1；
3
上一分钟在 1 号房间，转移到 0 号房间的概率为5 (1 1)，
2
由全概率公式，得 = 5
3
1 + 5 (1
3 1 1 1 1
1) = 5 5 1，则 2 = 5 ( 1 2 )，
1 1 1 1 1而 1 2 = 10，因此数列{ 2 }是首项为 10，公比为 5的等比数列，
1 = ( 1 2 10 )(
1 1 1 1 1
5 ) ， 0 = 1 满足上式也满足题意，则 = 2 ( 5 )
+ 2，
老鼠第 分钟在 0 号房间包含 3 种情况：
上一分钟猫和老鼠都在 1 号房间，老鼠转移到 0 号房间的概率为(1 1)(1 1)，
上一分钟猫在 0 1号房间，老鼠在 1 号房间，老鼠转移到 0 号房间的概率为 1(1 1) 2，
1
上一分钟猫在 1 号房间，老鼠在 0 号房间，老鼠仍在 0 号房间的概率为 1(1 1) 2，
1 1
由全概率公式，得 = (1 1)(1 1) + 1(1 1) 2+ 1(1 1) 2，
即 = 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1，则 = 1 [ ( ) 1 + ] 1 = ( ) 1 1 2 2 2 2 5 2 2 4 4 5 2 ，
1 1 1 1 1 1 1
即 ( ) 1 2 6 5 = 2 [ 1 2 6 ( 5 )
2] 1 1 1，而 1 2 6 = 6，
1 1 1 1 1
因此数列{ 1 2 6 ( 5 ) }是首为 6，公比为 2的等比数列，
1 1 ( 1 ) 1 = 1 2 6 5 6 (
1 ) 1 1 1 1 1 12 ，而 0 = 0 满足上式也满足题意，则 = 2 + 6 ( )
1
5 + 3 ( 2 )
，
又 5 + 3
4 = 1 + 1 ( 1 ) 1 + 1 ( 1 ) + 5 [ 1 ( 1 1 4 1 1 3 2 6 5 3 2 3 2 5 ) + 2 ] 3 = 3 ( 2 ) ，
{ 5 4所以 + 3 3 }为等比数列．
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(3) 1 1由(2)知 = 2 + 6 [(
1
5 )
1 ( 1 ) 12 ]
1 1
，显然 0 = 0 不是其最大值，设 = ( 5 )
1 ( ) 12 ，
当 = ( 1为奇数时， ) 1 5 (
1 1
2 ) ≤ 0，当且仅当 = 1 时取等号， 最大值为 0；
当 为偶数且 ≥ 2 = 1 1 = 3 1时， 3 12 2 5 10，当 ≥ 4 时， < ( 2 ) = 8 < 2， 最大值为 2，
= 1 + 1 3 11则 的最大值为 2 2 6 × 10 = 20，所以在第 2 分钟时，老鼠在 0 号房间的概率最大．
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