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山东省泰山外国语学校复读部 2026 届高三 10 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( ) = ln(2 ) ′(1) ，则 ′(1) =( )
A. 1 B. 1 C. 12 D. 2
2.已知集合 = 2 2 ≤ 0 , = = ln( 1) ，则 ∩ R ( )
A. [ 1,1) B. [ 1,1] C. (1,2] D. (1, + ∞)
3.已知向量| | = 3, | | = | + 2 |，则| + | =( )
A. 3 B. 2 C. 5 D. 3
4.已知曲线 ( ) = 1 22 2 上一点 1, 0 ，记
′( )为函数 ( )的导数，则 (1) + ′(1) =( )
A. 3 3 1 12 B. 2 C. 2 D. 2
5.已知 ( ) 1 1是奇函数，当 > 0 时， ( ) = 33
2
2 6 ，则 ( )的极大值点为( )
A. 3 B. 2 C. 2 D. 3
6.已知 ( )是定义在 上的奇函数，当 1、 2 ∈ 0, + ∞ 且 1 ≠

2时，都有
2 1 1 2
1 2
> 0 成立，
1 2
(2025) = 2025，则不等式 ( ) > 0 的解集为( )
A. ∞, 2025 ∪ 2025, + ∞ B. 2025, 0 ∪ 2025, + ∞
C. 2025, 2025 D. 1 12025 , 2025
7.已知 = ( )是奇函数， = ( )是偶函数，它们的定义域都是[ 3,3]，且它们在 ∈ [0,3]上的图象如图
所示，则不等式 ( ) ( ) > 0 的解集为( )
A. 3 < < 2 或 1 < < 0 或 1 < < 2
B. 2 < < 1 或 0 < < 1 或 2 < < 3
C. 3 < < 1 或 1 < < 0 或 1 < < 2
D. 3 < < 2 或 1 < < 0 或 0 < < 2
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8.已知菱形 的边长为 2， 为 的中点，则 =( )
A. 32 B.
3
2 C. 3 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (1,3)， = (2, 4)，则下列结论正确的是( )
A. + ⊥ B. 2 + = 10
C.向量 与向量 3 的夹角为 4 D.
在 的投影向量是(1,3)
10.已知定义在 上的奇函数 ( )连续，函数 ( )的导函数为 ′( ).当 > 0 时， ′( ) + ( )
> ′( )，其中 e 为自然对数的底数，则( )
A.当 < 0 时， ( ) > 0 B. ( )在 上有且只有 1 个零点
C. (1) > ( 1) D. ( )在 上为增函数
11.已知函数 ( )是定义在 上的可导函数，其导函数为 ( ), ( + 2)和 ( + 1)都是奇函数， (1) = 1，则
下列说法正确的是( )
A. ( )关于点(1,0)对称 B. ( ) + ( ) = 0
C. (2025) = 1 D. 2024 =0 ( ) = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若向量 1 = (2, )， 2 = (1,3)，能作为平面内所有向量的一组基底，则 的取值范围为 ．
13.幂函数 ( ) = 2 2 2 在(0, + ∞)上单调递增，则 ( ) = + 1( > 1)的图像过定点 ．
14 ( ) = 2 ′(2) = 2 lim (2 ) (2).设函数 在 处的导数存在，且 ，则 = ．
→0 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知命题 ：关于 的方程 2 + 4 + = 0( > 0)有两个不相等的实数根．
(1)若 是真命题，求实数 的取值集合 ；
(2)在(1)的条件下，集合 = 2 1 < < + 1 ，若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
定义域在 的单调函数 ( )满足恒等式 ( ) = ( ) + ( ), ( , ∈ )，且 (1) + (2) = 6．
(1)求 (0)， (1)；
(2)判断函数 ( )的奇偶性，并证明；
(3) ∈ 1若对于任意 2 , 1 都有 (
2 + ) + ( 1) < 0 成立，求实数 的取值范围．
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17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = + 2 ，且 ( 2) = 1．
(1)证明： ( )在区间(0, + ∞)上单调递减；
(2)若 ( ) ≤ 12 +1对 ∈ [1, + ∞)恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市
场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产
品．已知生产该产品的年固定成本为 300 万元，最大产能为 100 台，每生产 台，需另投入成本 ( )万元，
2 2 + 80 , 0 < ≤ 40
且 ( ) = 201 + 3600 2100,40 < ≤ 100，由市场调研知，该产品每台的售价为 200 万元，且全年内生
产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润 ( )万元关于年产量 台的函数解析式(利润=销售收入 成本)；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 + + 3 ， ∈ ．
(1)若 ( )过点 (2,6)，求 ( )解析式；
(2)若 = ( )．
(ⅰ)当 ∈ [ 1,3]函数 ( )不单调，求 的取值范围；
(ⅱ)当 ∈ [0,2]函数 ( )的最小值是关于 的函数 ( )，求 ( )表达式
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( ∞,6) ∪ (6, + ∞)
13.(3,2)
14. 1
15. (1) Δ = 16 4 > 0【详解】 解：若 是真命题，则 > 0，解得 0 < < 4，
则 = 0 < < 4 ；
(2)解：因为 ∩ = ，所以 ，
当 = 时，由 2 1 ≥ + 1，解得 ≥ 2，此时 ，符合题意；
2 1 < + 1
1
当 ≠ 时，则有 2 1 ≥ 0，解得2 ≤ < 2，
+ 1 ≤ 4
1
综上所述， 的取值范围为 ≥ 2 ．
16.【详解】(1)令 = = 0 可得 (0) = 0，令 = 2, = 1 ∴ (2) = 2 (1) ∴ (1) + (2) = 3 (1) = 6 ∴
(1) = 2；
(2)令 = 0 ∴ (0) = ( ) + ( ) = 0 ∴ ( ) = ( )，即 ( ) = ( )
∴函数 ( )是奇函数．
(3) ( ) 1是奇函数，且 2 + + ( 1) < 0 在 ∈ 2 , 1 时恒成立，
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∴ 2 + < (1 ) 1在 ∈ 2 , 1 时恒成立，
又∵ ( )是定义域在 的单调函数，且 (0) = 0 < (1) = 2 ∴ ( )是 上的增函数，∴ 2 + < 1 即 2 <
2 2 2
1 2 在 ∈ 12 , 1
1 1 1 1 1 1
时恒成立，∴ < 2 在 ∈ 2 , 1 时恒成立.令 ( ) = 2 = 1 1，
∵ ∈ 12 , 1 ∴
1
∈ (1,2).由抛物线图象可得 1 < ( ) < 0 ∴ ≤ 1，则实数 的取值范围为( ∞, 1]．
17. 2 2 2【详解】(1)因为 ( ) = + ， ( 2) = 1，所以 2 + 2 = 1，解得 = 1，所以 ( ) = + ，
任取实数 1, 2 ∈ (0, + ∞)
2 2 2
，且 1 < 2，则 1 2 = 1 + 2 + = 2 1 1 + ，1 2 1 2
又 0 < 1 <
2
2，所以 2 1 > 0，1 + > 0，1 2
所以 1 2 > 0，即 1 > 2 ，所以 ( )在区间(0, + ∞)上单调递减；
(2)由(1)知， ( )在[1, + ∞)上单调递减，所以 ( ) max = (1) = 1 + 2 = 1，
1
因为 ( ) ≤ 2 +1对 ∈ [1, + ∞)恒成立，所以 ( )
1
max ≤ 2 +1，
即 1 ≤ 1 +2 12 +1，化简得2 +1 ≤ 0，解得 2 ≤ < 2，
1即实数 的取值范围是 2, 2 ．
18.【详解】(1)当 0 < ≤ 40 时， ( ) = 200 2 2 + 80 300 = 2 2 + 120 300；
40 < ≤ 100 ( ) = 200 201 + 3600当 时， 2100 300 = +
3600
+ 1800，
2 2 + 120 300,0 < ≤ 40
( ) = + 3600 + 1800,40 < ≤ 100
．
(2)若 0 < ≤ 40, ( ) = 2( 30)2 + 1500，当 = 30 时， ( )max = 1500 万元；
若 40 < ≤ 100，
( ) = + 3600 + 1800 ≤ 2
3600
+ 1800 = 120 + 1800 = 1680，
3600
当且仅当 = 时，即 = 60 时， ( )max = 1680 万元，
由于 1680 > 1500，故该产品的年产量为 60 台时，公司所获利润最大，
最大利润是 1680 万元．
19.【详解】(1)因为函数 ( ) = 2 + + 3 过点 (2,6)，
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将点 (2,6)代入函数的解析式，可得 4 + 2 + 3 = 6，解得 = 1，
所以函数 ( )解析式为 ( ) = 2 + 4．
(2)(ⅰ)由函数 ( ) = 2 + + 3 ，

可得其图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为 = 2，
要使得 ∈ [ 1,3]函数 ( ) 不单调，可得 1 < 2 < 3，解得 6 < < 2，
所以实数 的取值范围( 6,2)；
(ⅱ) 由(ⅰ)知，函数 ( )的图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为 = 2，
当 2 < 0 时，即 > 0 时， ( )在[0,2]单调递增，所以 ( )min = (0) = 3 ；
0 ≤ 当 2 ≤ 2 时，即 4 ≤ ≤ 0 时， ( ) [0,

在 2 )单调递减，在( 2 , 2]单调递增，
所以 ( )min = (

2 ) =
1 2
2 + 3；
当 2 > 2 时，即 < 4 时， ( )在[0,2]单调递减，所以 ( )min = (2) = + 7，
3 , > 0
所以 ( )表达式为 ( ) = 1 24 + 3, 4 ≤ ≤ 0
+ 7, < 4
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