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宁夏银川一中 2026 届高三上学期第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 = 1,2, 2 , = 2, 1 ，若 ∪ = ，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 3
2.已知复数 满足 2 + = 3 ，则 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. D.
3 .已知反比例函数 = ( ≠ 0)在第一象限内的图象与一次函数 = + 的图象如图所示，则函数 =
2 + 1 的图象可能为( )
A. B.
C. D.
4 sin110
cos250
.cos225 sin2155 的值为( )
A. 12 B.
1
2 C.
3
2 D.
3
2
5.已知定义域为 的奇函数 ( )在( ∞,0)单调递增，且 (5) = 0，则满足(2 ) ( ) ≥ 0 的 的取值范围是
( )
A. ( ∞, 5] ∪ [5, + ∞) B. [ 5,2]
C. [ 5,0) ∪ [0,2) D. [ 5,0] ∪ [2,5]
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6.已知 3， 为锐角，tan = 4，cos( + ) =
2
10，则 2 + 的值为( )
A. 3π 5π 7π4 B. π C. 4 D. 4
7.已知 = 2sin1, = log2 3, = log92，则实数 , , 的大小关系是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
2 log2 1 , ∈ (1,4]
8.定义在( ∞,4]上的函数 ( )满足： ( ) = 1
2 ( + 3), ∈ ( ∞,1]
，若函数 ( ) = ( ) (4 )恰有
3 个零点，则实数 的取值范围是( )
A. 1 , 1 B. 1 , 16 3 6 3 C.
1 , 2 D. 1 , 23 3 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设正实数 , 满足 + = 1，则( )
A. 1 1有最大值为 B. 2 + 22 有最小值为2
C. 4 +
1
有最小值为 5 D. + 1 + + 2有最大值为 2 2
10.已知函数 ( )的定义域为 ，若 , ∈ ，有 ( + ) + ( ) = 2 ( ) ( ), (1) = 0， (0) ≠ 0，则( )
A. (0) = 1 B. 12 =
2
2
C. ( )为偶函数 D. 4 为函数 ( )的一个周期
11.函数 ( ) = sin( + ) > 0, > 0, | | < π2 的部分图象如图所示，则( )
A. ( )的图象关于直线 = 4π3对称
B. π 5π 11π12 的单调递增区间为 12 + π, 12 + π ( ∈ )
C. ( ) π的图象向左平移3个单位长度后得到函数 ( ) = 3cos2
D.若方程 ( ) = 3 10π2在(0, )上有且只有 6 个根，则 ∈ 3π, 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.已知一扇形的圆心角为 2，周长为 8，则该扇形的面积为
13.已知曲线 = 2e ，过点(0,2)作切线 ，则 的方程为 ．
14 π.设函数 ( ) = cos 4 ( > 0)在 0,
π π
2 内有且只有两个极值点，且对任意实数 、 ( )在 , + 3
上存在零点，则 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3sin2 + 2cos2 1．
(1)求函数 ( ) π的单调递增区间及在[0, 2 ]上的值域；
(2) 2若 为锐角且 ( ) = 5，求 cos2 的值．
16.(本小题 15 分)
某大学一兴趣小组为探究“是否定期锻炼”与“睡眠质量”之间的关系，随机选取了 50 名同学做调查问卷，
得到如下数据(其中睡眠质量得分满分为 100 分)：
睡眠质量得分是否定
高于 85 分 不高于 85 分 合计
期锻炼
定期锻炼 15 5 20
不定期锻炼 5 25 30
合计 20 30 50
(1)依据小概率值 = 0.001 的独立性检验，能否认为“定期锻炼”和“睡眠质量得分高于 85 分”有关联？
(2)从睡眠质量得分高于 85 分的 20 人中随机抽取 2 人，求这 2 人中“定期锻炼”的人数 的分布列．
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
2独立性检验中 5 个常用的小概率值和相应的临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.(本小题 15 分)
在锐角 中，内角 , , 的对边分别为 , , , 8sin sin cos = 2 + 2 2且 = 3．
(1)求角 ；
(2)求 的面积的取值范围．
18.(本小题 17 分)
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已知 ( ) = ln ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若 ( )在 0, e2 有两个零点，求 的取值范围；
(3)若 2sin cos ln ≥ ( )在 ∈ 0, π2 上恒成立，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
若函数 ( )对其定义域内任意 1, 2 1 ≠ 2 满足：当 1 = 2 时，恒有 1 2 = ，其中常数 ，则称
函数 ( )具有性质 ( )．
(1)函数 ( ) = 2 + 1 具有性质 ( )，求 ．
(2)设函数 ( ) = ln , 1 = 2 2 > 1 > 0 ，
(ⅰ)判断函数 ( )是否具有性质 ( )，若有，求出 ，若没有，说明理由；
(ⅱ)证明： 21 2 < 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13. = 2 + 2
14. 3, 92
15.解：(1)依题意，函数 ( ) = 3sin2 + cos2 = 2sin(2 + π6 )
由 π2 + 2 π ≤ 2 +
π π π π
6 ≤ 2 + 2 π, ∈ ，解得 3 + π ≤ ≤ 6 + π, ∈ ，
π π
所以函数 ( )的单调递增区间为[ 3 + π, 6 + π]( ∈ )；
π π π 7
由 0 ≤ ≤ 2，得6 ≤ 2 + 6 ≤ 6π， ( )min = 2sin
7π
6 = 1, ( )max = 2sin
π
2 = 2，
所以当 ∈ [0, π2 ], ( )的值域为[ 1,2]．
(2)由(1)知， ( ) = 2sin(2 + π 26 )，由 ( ) = 5，得 sin(2 +
π 1
6 ) = 5 < 0，
由 ∈ (0, π2 )，得 2 +
π π 7π π 7π π
6 ∈ ( 6 , 6 )，所以 2 + 6 ∈ (π, 6 )，cos(2 + 6 ) = 1 (
1
5 )
2 = 2 65 ，
所以 cos2 = cos[(2 + π π6 ) 6 ] = cos(2 +
π
6 )cos
π
6 + sin(2 +
π
6 )sin
π
6
= 2 6 3 1 1 6 2+15 × 2 + ( 5 ) × 2 = 10 ．
16.解：(1)零假设 0：“定期锻炼”和“睡眠质量得分高于 85 分”没有关联，
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2 = 50×(15×25 5×5)
2
经计算得 20×30×20×30 ≈ 17.014 > 10.828 = 0.001，
根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，推断 0不成立，
即认为“定期锻炼”和“睡眠质量得分高于 85 分”有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.001．
(2)依题意， 的所有可能取值为 0，1，2，
0 C2 1 1 C2 0
( = 0) = C15 52 =
1
19 , ( = 1) =
C15C5 = 15 , ( = 2) = 15C5 = 21，
C20 C
2
20 38 C
2
20 38
所以 的分布列为

0 1 2
1 15 21
19 38 38
2
17. (1) cos = +
2 2 2 2 2
解： 因为 2 ，所以 8sin sin ×
+ = 2 + 2 22 ，
又 为锐角三角形，即 2 + 2 2 > 0，所以 4sin sin = ，
2 3
由正弦定理sin = sin ，所以sin sin = sin = 4，因为 = 3，所以 sin = 2 ，
π
又因为 为锐角，所以 = 3；
(2) 3由正弦定理有sin = sin = sin = sinπ = 2，所以 = 2sin , = 2sin ，3
所以 1 3的面积 = 2 sin = 4 2sin 2sin =
2π 3 1
3 sin sin 3 = 3sin 2 cos + 2 sin
3 3 2 3 3 1 cos2 = 2 sin cos + 2 sin = 4 sin2 + 2 × 2
= 34 sin2
3
4 cos2 +
3 = 34 2 sin 2
π 3
6 + 4 ，
π 0 < <
π
2 , π π
因为是锐角 ，所以 0 < , < 2，即 解得 < < ，0 < 2π3 <
π , 6 22
π
所以6 < 2
π < 5π 1 π 3 3 36 6 ，所以2 < sin 2 6 ≤ 1，所以 2 < ≤ 4 ，
则 3 3 3的面积的取值范围为 2 , 4 ．
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18.解：(1) ∵ ( ) = ln ，∴ ′( ) = 1 =
1
( > 0)，
当 ≤ 0 时， ′( ) < 0 恒成立， ( )在 0, + ∞ 上递减，
当 > 0 时，令 ′( ) < 0 得，0 < < 1 ，∴ ( )
1
在 0, 上递减，
令 ′( ) > 0 1 1得， > ，∴ ( )在 , + ∞ 上递增．
(2)由(1)可知 ≤ 0 时，不合题意；
> 0 时， ( ) 0, 1 1在 上递减，在 , + ∞ 上递增，
1 1
若 ( )在 0, e2 有两个零点，则定有 = 1 + ln < 0，解得 0 < < e，
此时 1 = e e + 1 > 0，所以 ( )
1
在 e ,
1
上一定有一个零点，
当 e2 = e2 2 ≥ 0, ≥ 2 1 2e2时， ( )在 , e 上一定有一个零点，
2 1
综上：e2 ≤ < e．
(3)由 2sin cos ln ≥ ( )，得 2sin cos ≥ 0，
故 2sin cos ≥ 0 π在 ∈ 0, 2 上恒成立，
设 ( ) = 2sin cos , ∈ 0, π2 ,
则 ′( ) = 2cos cos + sin = cos + sin ，
设 ( ) = cos + sin ，则 ′( ) = cos ，
π
当 ∈ 0, 2 时，
′( ) > 0, ∴ ( )单调递增；
∴ ′( ) π在 ∈ 0, 2 上单调递增．
π π π
所以在 ∈ 0, 2 上，
′( ) ≤ ′ 2 = 2 ，且
′(0) = 1 ，
π π π
当 ′2 ≤ 0，即 ≥ 2时， ( ) ≤ 0, ( )在 0, 2 上单调递减，
则 ( ) < (0) = 0，不符合题意，舍去，
π > 0 π当2 ，即 < 2时，
( )若 1 < 0 1 < < π，即 2，
0 ∈ 0,
π ′
2 ，使得 0 = 0，当 0 < < 0时，
′( ) < 0， ( ) < 0 在 0, 0 内单调递减，
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( ) < (0) = 0，不符合题意，舍去，
( )若 1 ≥ 0，即 ≤ 1, ′( ) > 0 恒成立，
( )在 ∈ 0, π2 上单调递增，则 ( ) > (0) = 0，符合题意，
综上，实数 的取值范围为 ∞, 1 ．
19.解：(1) ( ) = 2 + 1 定义域为( ∞,0) ∪ (0, + ∞)，
对任意的 1, 2 ∈ ( ∞,0) ∪ (0, + ∞)且 1 ≠ 2，
有 2 1 +
1 1
= 2 2 + ，1 2
即 2 1 2 +
1 12 = 2 1 +
2 1 1
2
1 2 1
= 1 2 2
2 1
= 0，
2
因为 1 ≠ 2，所以 1 2 ≠ 0
1
，故 = 2，1 2
故 1 =
1 1
2 2，故 = 2；
(2) ( )不具有性质 ( )，理由如下：
( ) = ln 的定义域为(0, + ∞)，
′( ) = 1 1 = 1 ，
当 > 1 时， ′( ) > 0，当 0 < < 1 时， ′( ) < 0，
故 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
又 2 > 1，故 0 < 1 < 1 < 2，

假设函数 ( )具有性质 ( )，即 2 1 = ，所以 2 = ，1
因为 1 ln 1 = 2 ln

2，所以 1 ln 1 = ln = ln + ln 1，1 1 1
故 1 2ln 1 + ln = 0 对于任意的 1 ∈ (0,1)恒成立，1
即 1

2ln 1 + ln 恒为 0，显然不可能，故假设不成立，1
故 ( )不具有性质 ( )；
(ⅱ)因为 1 ln 1 = 2 ln 2，所以 ln 2 ln 1 = 2
2 1
1，ln ln = 1，2 1
2 下面证明 1ln 2 ln
> 1 2，
1
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即证 2
1 2 2
> ln
1
> ln
2
1 2 1 1 2
，
1

令 2 2 1 = > 1，则 > ln
2

1
> 2ln
1
1 1 2 1
2ln > 0，
令 ( ) = 1 2ln ， > 1，
2 2
则 ′( ) = 1 + 1 2 = 2 +1 ( 1) 2 2 = 2 > 0，
1
故 ( ) = 2ln 在 ∈ (1, + ∞)上单调递增，
故 ( ) > (1) = 0， 1 2ln > 0，

所以 2 1ln ln > 1 2，即 1 > 1 2，所以 1 2 < 1，2 1
当 1 < 2 ≤ 2 时， 21 2 = 1 2 2 < 2，
当 2 > 2
2 2 2
时，令 1 2 = 1 ln 1 2 + ln 2 = 1 ln 1
2 + ln2 2ln
2 2 2
2 2
2
= 2 ln 2
2
2 + ln2 2ln 2 = 2 3ln 2
2 + ln2，
2
2
2
令 ( ) = 3ln 2 2 + ln2， > 2，
3 4 3 3 2+4 ( 2)2 ′( ) = 1 + = = ( +1) 3 3 3 > 0，
故 ( ) = 3ln 2 2 + ln2 在(2, + ∞)上单调递增，
3 3
又 (2) = 32 2ln2 = lne2 ln4，其中e
3 16 > 0，故e2 > 4，
2 2
所以 (2) > 0，故 1 = 3ln 2 2 2 2 + ln2 > 0，2 2
21 > 2 ，其中 1 ∈ (0,1),
2
2 ∈ (0,1)，而 ( )在(0,1)上单调递减， 2 2
2
故 1 < 2， 1 22 < 2， 2
综上， 21 2 < 2．
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