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成都七中高 2026届高三上期数学试题（参考答案）
一、单项选择题：
BBCA DABA
8. 解：连接 DO1 ，连接 AO1 并延长交 BC 于点 P ，
因另一小球在该半球正上方，且与正三棱锥D ABC 的三个侧面均相切，故其球心O 在线段DO1 上，连接PD，则球O
必与PD相切，设切点为 E ，连接OE .
球O 的半径为 r ，半球O r1 的半径为 1 .
3 3 2 1
因 AP = AB = 6 2 = 3 6 ， AO = AP = 2 6, PO = AP = 6 1 1 ，
2 2 3 3
∴ DO = 2 3 ，
1 PD = 3 2 ，
OE DO
易得△DOE 与△PDO1 相似，故有 = ，即得DO = 3r ，
O P PD
1
因 DO +OO = DO1 1，即 r = 2 3 3r r ， 1
由题意， 2 2 2 2 2r + 2r = (2 3 3r r) + 2r = (6 + 2 3)r (12 + 4 3)r +12 ，
1
该二次函数的开口向上，对称轴为 r =1，
2 2
故 r =1时, r + 2r .1 最小故选：A.
二、多项选择题：
9. ABC 10． CD 11.AD
11. 解：对于函数 2f (x) = sin(x 1)， x 1,1 ，
令 2t = x 1 ,则 t 1,0 , sin t sin ( 1) , 0 ,所以 A 选项正确.
B 选项：因为 y = f (x) 为偶函数,所以 B 选项错误.
2 2 2 2
C 选项： f ( x ) = 2x cos ( x 1) , f ( x ) = 2 cos ( x 1) 4x sin ( x 1) 0 ,
所以 f ( x)单调递增， f ( 1) = 2, f (0) = 0, f (1) = 2 .
所以当 x 1,0 时， f ( x) 2,0 ， f ( x)单调递减,且减小速度逐渐变慢；
当 x (0,1 时， f ( x) (0, 2 ， f ( x)单调递增，且增长速度逐渐变快,
( ( 2 )) ( ) 2 2 2 ( 2设 P x, sin x 1 1 x 1 为曲线上任意一点，则OP = x + sin x 1)，
∵ t 1,0 ，易得 t sin t 0 ,则 2 2sin t t
2
2 2 2 4 2 3
∴OP x + ( x 1) = x x +1 ,1 ，当且仅当 x = 1时，
2
OP =1，
4
设M ( 1,0) , N (1,0)，故曲线上除点M , N 外,始终在圆 2 2x + y = 1的内部，
π π
故当 MBN ，结合曲线的凹凸性可得 ABC MBN ，
2 2
π
所以 ABC 大于 ,所以 C 选项错误.
2
3
D 选项：设点P ( x, y )是函数 f ( x)图象上一点，且 1 x 1 ,易知F (0, )
4
2
2 3 2 2 3 9 2 3 9
PF = ( x 0) + y + = x + y + y + = t +1+ sin t + sin t +
4 2 16 2 16
而 t 1,0 , t sin t （证明略）,
3 9 5 25
所以 2 2PF sin t +1+ sin t + sin t + = sin t + sin t +
2 16 2 16
2
5 5 5 5
= sin t + = sin t + = sin t + = y + ，
4 4 4 4
15
所以， AF + BF + CF y + y + y + y + y + y + 4 .所以 D1 2 3 1 2 3 选项正确.
4
故选： AD.
1
（3）以 C 为原点,以CA ，CB ，CF 分别为 x，y，z轴建立直角坐标系如图，
C (0,0,0)， B (0,1,0)，
3 1
F (0,0,1)，D , , 0 ，E ( 3,0,1)，………10 分
2 2
3 1
所以EF = ( 3,0, 0)， BF = (0, 1,1)，DF = , ,1 .
2 2


分别设平面BEF 与平面DEF 的法向量为n =1 ( x , y , z1 1 1 )，
n =
2 ( x , y , z2 2 2 )，
n EF = 3x = 0, x = 0,1 1 1
由 解得 令z = 1,则n = (0,1,11 1 )， …………11 分
n BF = y + z = 0, y = z ,1 1 1 1 1
n EF = 3x = 0，
2 2
x = 0,2
由 3 y 解得 取z = 1,则n = (0, 2,12 2 ) .…13 分
n DF = x +
2 + z = 0， y = 2z ,2 2
2 2 2
2 2
n n 10
∴ cos n，n = 1 2 = 1 2 ，
| n | | n | 10
1 2
10
设二面角为 ，由图知 为锐角，所以 cos = ．…………………………15 分
10
2 sin C sin B a 2sin C sin B sin A
17．解：（1）因为 = ,由正弦定理可得： = .
sin 2B b 2sin B cos B sin B
由于B (0,π)，则sin B 0， 所以2sin C sin B = 2sin Acos B ,………3 分
由于在△ABC 中，sin C = sin[ (A+ B)] = sin(A+ B) = sin Acos B + cos Asin B,
1
带入上式化简得：2 cos Asin B = sin B ,则 cos A = ,
2
π
由于 A (0,π)，所以 A = , ………………………………………6 分
3
π 3π
（2）①由于 ADC = ,则 ADB = ,
4 4
AD b
=
在 ADC 中，由正弦定理可得 sin C π ,
sin
4
AD c
=
在 ADB 中，由正弦定理可得 sin B 3π , …………8 分
sin
4
2
AD bc bc
= =
所以 sin C sin B π 3π 1 ,由于满足
2
AD = bc，
sin sin
4 4 2
1
所以 sin B sin C = ， ………………………………………10 分
2
②法 1.由于在△ABC 中， sin C = sin (A+ B ) ,
π 1 3 1 1
所以 sin B sin + B = ,即 sin B cos B + sin B = ，
3 2 2 2 2
3 1 cos2B π 1
所以 sin 2B + =1，所以sin 2B = ,
2 2 6 2
2π π π 7π
由于 B 0, ，则 2B , ，
3 6 6 6
3
π π 5π π π
所以则 2B = 或 ,解得 B = 或B = ，………………………………………12 分
6 6 6 6 2
π π b sin B 1
当 B = 时，C = ，所以 = = ，……………………………………13 分
6 2 c sin C 2
π
当 B = 时，2B = π ,则sin 2B = 0 ，与已知矛盾。…………………………14 分
2
b 1
综上， = . ………………………………………15 分
c 2
1 π
法 2.由①知 sin B sin C = ，又由（1）知 A =
2 3
且 cos(B +C) = cos B cosC sin B sinC ，在△ABC 中， cos(B +C) = cos A ,…12 分
1
∴ cos B cos C sin B sin C = cos A = ,…………………………………13 分
2
π π
∴ cos B cos C = 0 又 ADC = B 故C = ，又 A = ∴B = ,………14 分
4 2 3 6
b sin B 1
所以 = = . ………………………………………15 分
c sin C 2
1 1 ax
18.解：（1）①由题可得 g ( x) = ln x ax的定义域为 (0,+ )， g (x) = a = …1 分
x x
当 a 0 时， g ( x) 0 恒成立， g ( x )单调递增， ………2 分
1
当 a 0时，令 g ( x ) = 0，得 x = ，
a
1 1
当 x 0, 时， g ( x) 0 ，当 x ,+ 时， g ( x) 0，
a a
1 1
所以 g ( x )在 0, 上单调递增，在 ,+ 上单调递减; ……………………3 分
a a
综上,当 a 0 时, g ( x )单调递增区间为 (0,+ ) ,无减区间;
1 1
当 a 0时, g ( x )单调递增区间为 0, ,单调递减区间为 ,+ . ………4 分
a a
②由①可知，
当 a = 0 时， g(x) = ln x 在 (0,+ )单调递增，只有一个零点 1， ………5 分
当 a aa 0 时， g(x) 在 (0,+ )单调递增，又 g (1) = a 0, g (e ) = a(1 e ) 0.
∴由零点存在定理知， g(x) 在 (0,+ )只有一个零点； …………………6 分
1
当 a 0 时， g (x) = g ( ) = ln a 1 . max
a
1
在 ln a 1 0,即0 a 时， g(x) 有两个不同零点;
e
1
在 ln a 1= 0,即 a = 时， g(x) 只有一个零点;
e
1
在 ln a 1 0,即 a 时， g(x) 无零点;
e
1
综上，当 a 时， g(x) 零点个数为 0；
e
1
当 a = 或 a 0 时， g(x) 零点个数为 1；
e
1
当0 a 时， g(x) 零点个数为 2. ……………………………………9 分
e
2
（2）函数 h ( x ) = x ln x ax ， x (1,e)
1
若 f ( 21) f (e ) = a (e e a ) 0 ,得0 a
e
4
从而 f ( x)在 (1, e)上存在零点，故h ( x)在 (1, e)上有最小值 0. ……………11 分
1
若 a ，则 f ( x) = ln x +1 2ax ，
e
1 1 2ax
设m(x) = f ( x) = ln x +1 2ax ，则m (x) = 2a = (a 0)，
x x
1
当 a 时, m (x) 0，即m ( x)在 (1, e)单调性递减，
2
而m(1) =1 2a 0， f ( x) 0在 (1, e)上恒成立，故 f ( x)在 (1, e)上为减函数，
故 f ( x) f (1) = a 0 ，故h ( x)在 (1, e)上无最小值. …………13 分
1 1 1 1
当 a 时，在1 x 时，m (x) 0 ，在 x e 时，m (x) 0，
e 2 2a 2a
1 1
故 f ( x)在 1, 上为增函数，在 , e 为减函数
2a 2a
又 f (1) =1 2a 0 ， f (e) = 2 2ae<0 ，
故 f ( x)在 (1, e)上存在唯一零点 x 1 x x 0 ，当 0 时， f ( x) 0，
当 x x e0 时， f ( x) 0，故 f ( x)在 (1, x0 )上为增函数，在 ( x , e0 )为减函数，
故 f ( x) = f ( x
max 0
) .
若 f ( x ) 0，则h ( x) = f0 ( x)，此时h ( x) = f ( x0 )，符合题意； min
若 f ( x 0 f 1 = a 0 f x 1, x h x = 0 . …………15 分 0 ) ，则 ( ) ，故 ( )在 ( 0 )存在零点，故 ( ) ，符合题意min
1 1 2 e e e
当 a = 时，m ( x) = (1 x),由m ( x) 0, 得1 x ,由m ( x) 0,得 x e,∴ f ( x)在 (1, ) 递增，在
e x e 2 2 2
e
( , e) 递减，且 f (1) 0，f (e) = 0
2
∴ f ( x) 0在 (1, e)上恒成立，故 f ( x)在 (1, e)上为增函数，而 f (1) 0， f (e) = 0 ，
故此时h ( x)在 (1, e)上无最小值. …………16 分
1 1 1
综上，0 a 或 a .
e e 2
1 1 1
∴正实数 a 的取值范围是 (0, ) ( , ) . ………………………………………17 分
e e 2
19. 解：(1)①当 n = 2 时，范数为奇数，则 xi = 0 的个数 1，
1 1
根据乘法原理 A = C C = 4 , 2 2 2 ………………………………2 分
当 n = 3时，范数为奇数，则 xi = 0 的个数为偶数，即0 的个数为0, 2 ，
0 3 2 3 2
根据乘法原理和加法原理得到 A = C 2 + C 2 = 143 3 3 . ……………………4 分
②当 n 为偶数时，范数为奇数，则 xi = 0 的个数为奇数，即0 的个数为1,3,5, ,n 1，
1 n 1 3 n 3 n 1
根据乘法原理和加法原理得到 A = C 2 + C 2 + + C 2n n n n ，
n n( ) 0 n 1 n 1 n 1 n3 = 2 +1 = C 2 + C 2 + + C 2 + Cn n n n，
n
( ) 0 n 1 n 1 n 1 n1 = 2 1 = C 2 C 2 + C 2 + Cn n n n ，
n
两式相减得到 3 1A =n ； 2
当 n 为奇数时，范数为奇数，则 xi = 0 的个数为偶数，即0 的个数为0,2,4,6, ,n 1，
0 n 2 n 2 n 1
根据乘法原理和加法原理得到 A = C 2 + C 2 + + C 2n n n n ，
n n( 0 n 1 n 1 n 1 n3 = 2 +1) = C 2 + C 2 + + C 2 + Cn n n n，
n
n
( ) 0 n 1 n 1 n 1 n
3 +1
1 = 2 1 = C 2 C 2 + + C 2 C
n n n n ，两式相加得到 A = . n
2
n n
3 ( 1)
综上所述： A = . ………………………………………10 分
n
2
5
（2）若a b = n ，则a = (1,1,1, ,1)，b = (1,1,1, ,1)，与 a ,b 为不相等的向量矛盾，
所以随机变量 X 的可能取值有0,1,2,3, ,n 1，
对于 X = k 的随机变量，在坐标 (a ,a ,a , , a )与 (b ,b ,b , ,b1 2 3 n 1 2 3 n )中有 k 个对应位置上的值均为 1，剩下 n k 个对应位
置上的值有 3 种对应关系，
且 n k 个对应位置上的值不能同时为 0，否则，两个向量相等，
k 1
此时所对应情况数为C n (
n k
3 1) 种.
2
k ( n k
1
C 3 1 k n k
n ) C 3 1
P n
n 中元素的个数为 2 个，所以 2
n ( )
P ( X = k ) = = .…………12 分
2
C n
2 (
n n
2 1) 2
所以随机变量 X 的分布列为：
X 0 1 2 3 n 1
n 1 ( n 1 ) 2 ( n 2 3 n 33 1 C 3 1 C 3 1) C (3 1 n 1n n n ) 2Cn
P n n (2 1) 2 ( n n n n2 1) 2 (2 1) 2 ( n ) n2 1 2 (
n
2 1) n 2
k n k
n 1 k C
n (3 1)
所以随机变量 X 的数学期望为 E ( X ) = ， …………14 分 n n
k =0 (2 1) 2
n t t
令 k = n t ，因为C = Cn n ，可得：
k n k
n 1 k C (3 1) n ( ) t tn t C (3 1n n )
E ( X ) = =
n n n n
k =0 (2 1) 2 t=1 (2 1) 2
1 n n n nt t t t t t
= n 3 C t 3 C n C + t Cn n n n n n (2 1) 2 t=1 t=1 t=1 t=1
n
n
其中 t t n 3 C = (1+ 3) 1 = 4 1n ，
t=1
t n! (n 1)! t 1
因为 tC = t = n = nCn n 1，
t !(n t )! (t 1)! (n 1) (t 1) !
n n
所以 t t t 1 t 1
n 1 n 1
t 3 C = 3n 3 C = 3n (1+ 3) = 3n 4n n 1 ，
t=1 t=1
t=1 n n
t n
n C = n 2 1
n ( )，
t t 1 n 1
tC = n C = n 2
n n 1 ，
n t=1 t=1
( n ) n 1 ( n ) n 1 ( n 1n 4 1 3n 4 n 2 1 + n 2 n 2 1)
所以 E ( X ) = = .………………………17 分
( n2 1) n 2 2 ( n2 1)
6成都七中高 2026届高三上期数学试题
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．复数 (1 i)4 2i （ i 为虚数单位）的实部为（ ）
A． 4i B． 4
C． 2i D． 2
2．已知集合M x Z 2 x 4 , N x y x 2 ，则M N （ ）
A． x 2 x 4 B． 2, 3
C． 1, 2, 3 D． 1, 2, 3, 4
3．等差数列{an}的公差d 0，a1 1，若a1,a2 ,a5成等比数列，以下正确的是（ ）
A．a2 2 B．a2 4 C．a3 5 D．a3 6
1
4．已知直线 y kx 是曲线 y x ln x的切线，则 k （ ）
e
2 4
A． B．2e C． D．4e
e e
5．已知两个非零向量m,n满足 m 2n m 4n ，则向量m 在向量 n 上的投影向量为（ ）
A．3n B．2n
C．5n D． n
6．若 1 x (1 2x)7 a0 a1x a
2
2x a x
8
，则a2 a4 a6 a8 8 的值是（ ）
A． 2 B． 1 C．1 D．2
7．若过圆C : x2 y2 6x 0内不同于圆心C 的点 P 恰好可以作 5 条长度为正整数的弦，则点
C 到点 P 的距离 | CP |的范围是( )
3 3 3 3
A． (0, 5) B． ( 5, ) C． (0, 5] D．[ 5, )
2 2
8.四面体D ABC 为正三棱锥，其侧棱DA 6，底面边 AB 6 2 ，底面 ABC 的中心为
O1，将一半径为 r1 的半球放于棱锥内部，半球的底面与棱锥底面 ABC 重合，且半球底面圆
心与点O1重合，将另一半径为 r 的小球放置于该半球正上方且该球与三棱锥的三侧面都相
2
切，当 r1 2r
2
最小时， r 的值为（ ）
2
A．1 B． C． 2 D． 3
3
二、多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错得 0分.
9．已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，则以下说法正确的是（ ）
2
A．直线 A1C与平面 ABCD 所成角的正切值为
2 D1 C1

B．二面角 A1 DC B所成角的大小为 A
B
1 1
4

C．直线 AB1与直线BC1所成的角为
3 D C
3
D．点 A 到平面BC D 的距离为 A1 1 B
3
1
16．等腰梯形 ABCD中，AB//CD，AD CD CB，矩形 ACFE满足：平面 ACFE 平面 ABCD，
1
AE AD AB ，如图所示．
2
（1）求证：BC 平面 ACFE；
（2）求直线 FB 与平面 ACFE 所成的角的大小；
（3）求二面角B EF D的余弦值．
2sinC sin B a
17．在 ABC 中，a,b,c分别是角 A,B,C 所对的边，且满足 .
sin 2B b
(1)求 BAC 的大小；
2
(2)点D是边BC上一点，且满足 AD bc, ADC ，
4
①求sin BsinC的值；
b
②求 的值.
c
3
18.已知函数 f x x ln x ax2 .
f (x)
(1)若 g x ，
x
①求 g x 的单调区间；
②讨论 g x 的零点个数；
(2)若函数h x | f (x) |在区间 1,e 上有最小值，求正 a．实．数． 的取值范围.
19.我们称n n N* 元有序实数组 x1, x2 , , xn 为 n 维向量， x1 x2 xn 为该向量的范
数．
（1）已知 n维向量a x , x , , x ，其中 xi { 1,0,1}, i 1,2, n1 2 n ，记范数为奇数的 a 的个
数为 An ，
①求 A2 ， A3;
②求 An （用含 n的式子表示，n N
*）;
（2）设集合Pn x | x x1, x2 , x3, , xn , xi 0,1 ,1 i n,i *N ，若
n
a a1,a2 ,a3, ,an Pn ,b b1,b2 ,b3, ,bn Pn ，定义a b aibi .记a b X ( a b )，求 X
i 1
的分布列与数学期望(用含n 的式子表示).
4

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