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【秘密】2025年
10月11日前
2025年重庆市杨家坪中学“教共体”第一次月考
九年级（上）数学试题
（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．各题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．考试结束，由监考人员将答题卡收回，试题卷学生保管好，以备老师评讲试卷时用。
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、
C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑.
1．下列方程为一元二次方程的是 ( )
A. B. C. D. xy+1=0
2．二次函数图象的对称轴方程为 ( )
A.2 B. -2 C. x=2 D. x=-2
3．方程的根是 ( )
A. x=0 B. x=1 C. x=0或x=-1 D. x=0或x=1
4．将抛物线的图象通过平移得到的图象，正确的做法是 ( )
A．左移2个单位，再下移6个单位 B．左移2个单位，再上移6个单位
C．右移2个单位，再下移6个单位 D．右移2个单位，再上移6个单位
5．二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ( )
A. x≤-1或x≥3 B. -1C.-13
6．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数y=ax+b的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
7．如图，二次函数的图象经过点（1,0），对称轴是直线x=-1，下列结论：①abc>0 ② ③2a-b=0 ④3a+2c<0中，其中正确结论的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8．进入秋冬季以来，全国流感呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达324人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是 ( )
A. B.
C. D.
9．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC, PF⊥CD, E, F分别为垂足，连接AP，EF，若，则AP=( )
A. B. C. D.5
10．已知整式，其中, 为自然数，为正整数，且满足：,记S=M+N,T=M-N.则下列说法：①当x=1时，若则；②当m=3时，满足条件的整式M共有10个；③不存在任何一个m=n，使得；其中正确的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11．已知关于x的方程的一个根是-1，则k的值是
12．如果的图像是抛物线，那么m=
13．若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 .
14．公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，OA高度为0.8米，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与OA水平距离为1米时，达到距水面最大高度1.44米，（不计其他因素）水池的半径至少 米，才能使喷出的水流不致落到池外.
图1 图2
15．如图，在矩形ABCD中，E为AD边的四等分点，AE>ED，连接BE，将矩形沿BE折叠，点C落在点C＇处，点D落在点D＇处，BC＇与AD交于点F，连接C＇E. 若BC=4， AB=2，则EF= ，点F到C＇E的距离为 ＿ .
16．如果一个四位正整数的各数位上的数字互不相同且均不为0，且满足十位数字比千位数字大6，个位数字比百位数字大4，那么称这个四位数为“清活数”．记“清活数”M的千位数字和个位数字之积与百位数字和十位数字之积的和为F(M)．例如：四位数1276，7=1+6=2+4, ∴ 1276是“清活数”，
F(1276)=1×6+2×7=20；四位数3295, ∵9=3+6，但5≠2+4，∴3295不是“清活数”．若a38b为“清活数”，则.若N为“清活数”，且F(N)能被12整除，则满足条件的N的最大值与最小值的平均数为
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17．解方程： (2)x(x-3)=6-2x.
18．某数学兴趣小组同学发现，任意一个ΔABC（三边均不相等），以一边的端点B为顶点在三角形外作角∠CBF，使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形的内角∠ACB，射线BF与这条边上的中线AD的延长线相交于一点E，则以A、B、C、E四个点为顶点的四边形是平行四边形.如图，在ΔABC中，点D 为BC边上的中点，连接AD.
（1）尺规作图：在BC下方作射线BF，使得∠CBF=∠ACB，且射线BF交AD的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接CE，求证：四边形ABEC是平行四边形．（请补全下面的证明过程）
证明：点D为BC边上的中点，
∴① ,
在ΔADC和ΔEDB中，
∴ΔADC ② (ASA),
∴
∴∠CBF=∠ACB
∴④
.四边形ABEC是平行四边形.
小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题：
以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是⑤
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x<70,，比较满意70≤x<80，满意80≤x<90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息：
抽取对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84,86,86,87,88,89；
抽取对B款AI聊天机器人的评分数据：66,68,69,81,84,85,86,87,87,87,88,89,95,97，98,98,98,98,99,100.
抽取的对A款设备的评分扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 , ,c= ;
（2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写一条理由即可）；
（3）在此次测验中，有240人对A款AI聊天机器人进行评分，300人对B款AI聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？
20．先化简，再求值： ，其中
21．某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月、九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋．
（1）求这批农产品八月、九月这两个月销售量的月平均增长率；
（2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？
22．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC, AB⊥BC, AB=4, AD=3, BC=6．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿折线A→D→C方向匀速运动，到达点C时停止运动，点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→B方向匀速运动，到达点B时停止运动.两点同时出发，设点P运动时间为x秒，ΔCPQ的面积为y.
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式及对应的x的取值范围；
（2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质；
（3）结合你所画的函数图象，当y≤6时，请直接写出x的取值范围 .
图1 图2
23．如图，小明家在A地，小亮家在B地，图书馆在C地，在A处测得图书馆C在A的西北方向上，在B处测得图书馆C在B的北偏东15°方向上，已知CB＝1400米．（参考数据：
（1）求小明家到小亮家的距离；（结果保留根号）
（2）如图M、N分别是AB、BC的中点．某天小明和小亮相约分别同时从自己家出发到图书馆看书，小明沿着AC方向慢跑前进.由于道路有堵塞，小亮沿着B→M→N→C方向慢跑前进．已知小亮的跑步速度是每分钟280米，小明的跑步速度是小亮跑步速度的，两人全程均匀速跑步前进，试通过计算判断小明和小亮谁先到达图书馆？（结果保留小数点后两位）
24．已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中B(-3,0),C(1,0).
（1）求a，b的值；
（2）如图1，连接AB，点P是直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PK／／y轴交AB于点K，过点K作KE⊥y轴，垂足为点E，求PK＋KE的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连PC，将该抛物线向右平移，使得新抛物线y'恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线y'上一点，连接CM，当／MCF＋ 时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标.
图1 图2 备用图
25．在ΔABC中，BAC的角平分线AD交BC于点D，点E在AD延长线上．
图1 图2 图3
（1）如图1，若AD=DE，EF／／AC交CD延长线于点F，延长AB交EF于点G，求证：FG+AG=AC;
（2）如图2，连接BE，过点A作AM⊥BE，交EB延长线于点M，EN⊥BC于点N，若， ，求证：
（3）如图3，在（2）的条件下，当时，连接EC，EK⊥EB交BC于点K，点P、Q分别是BE、EC边上的动点，且BP=EQ，连接KP、KQ，当KP+KQ取最小值时，请直接写出的值.

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