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吉林省吉林市第一中学 2026 届高三上学期第一次质量检测
数学试卷（创新班）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 = 5 3 2在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列 2025 年我国暑期档票房前三名．高一(1)班
共有 28 名同学，有 15 人观看了《南京照相馆》，有 8 人观看了《浪浪山小妖怪》，有 14 人观看了《长
安的荔枝》，有 3 人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有 3 人同时观看了《南京照相馆》
和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为( )
A. 6 人 B. 7 人 C. 8 人 D. 9 人
3.已知等差数列 的公差为 3，且 2, 4, 9成等比数列，则 6 =( )
A. 16 B. 17 C. 19 D. 20
4.如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ， ，若 =
, = , > 0, > 0, 2 8则 + 的最小值为( )
A. 2 B. 9 C. 10 D. 18
5.如图，下列函数的图象和下图最接近的是( )

A. = 2 2 1 B. = 2 2 C. = 2 sin 4 2+1 D. = ln
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6 1.已知函数 = +1 + ，满足 3 + 2 + < 1，则实数 的取值范围是( )
A. ∞, 1 B. 1, + ∞ C. ∞, 12 D.
1
2 , + ∞
7.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 2 cos + 2 cos = 2， cos + 3 sin = + ，
为 的外心，则 的值为( )
A. 2 3 B. 2 33 3 C.
2 D. 23 3
8.已知 为正数，sin2 + = 2sin(ln ) + 1 ，则( )
A. + ≤ 1 B. + ≥ 1 C. ≤ D. ≥
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列论述正确的是( )
A.若事件 ，则 <
B.必然事件 与任意事件相互独立
C.若事件 ， 互斥，且 > 0， > 0，则 ∪ = 1
D.若事件 ， 相互独立，且 > 0， > 0，则事件 ， 不互斥
10.(多选)已知函数 ( ) = sin( + ) + ( > 0, > 0, < < 0)，其部分图象如图所示， ， 分
别为最高点、最低点，则下列结论正确的是( )
A.函数 ( )图象的对称中心为点(6 + 5,0)， ∈
B.函数 ( )的单调递减区间为(12 + 8,12 + 14)， ∈
C.将函数 ( )的图象向左平移 4 个单位长度得到一个偶函数
D.不等式 ( ) ≥ 4 的解集为[12 + 6,12 + 10]， ∈
11.已知定义域为 , + ∞ 的函数 ( ) = sin 的所有单调增区间，从左往右排列可以表示为 , ， ∈
，
= 令 ，且数列 的前 项和为 ，则( )
A. 4 2 = 4 + 2 B. 是递增数列 C. ≤ 1 3 +1 D. < + 3 +1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.已知点 在函数 = 2ln 的图象上，则 点到直线 2 + 8 = 0 的距离的最小值为 ．
13.在 中，若 cos2 + cos2 = 2cos2 ，则 sin 的取值范围为 ．
14.在平面内，定点 , , , 满足 = = ， = = = 2，动点 , 满足
= 1， = ，则 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，规定按照成绩由高到低取前 10%进入决赛．为了了解本次竞赛
成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 (单位：分，得分取正整数，40 ≤ ≤ 100)作为样本进行统计，将
成绩进行整理后，分为六组(如图)：
(1)求 的值并估计进入决赛的最低分数：
(2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为[60,70)和[70,80)的学生中共抽取 6 人，再从 6 人中选 2 人，
求 2 人中有来自[60,70)组的学生的概率；

(3)学校在此次竞赛成绩中抽取了 10 名学生的成绩： 1, 2, 3, , 10，已知这 10 个成绩的平均数 = 90，
标准差 = 5，若剔除其中的 94 和 86 两个成绩，求剩余 8 个成绩的平均数与方差．
16.(本小题 15 分)
在 中，角 , , 所对的边分别是 , , .已知 sin = sin + 2 , = 5， 的面积为 10 3．
(1)求 , ；
(2) 为边 上一点，
①若 是∠ 的平分线，求线段 的长；
②若 = 2 ，求 tan∠ ．
17.(本小题 15 分)
将函数 = sin 2 1 53 2 > 0, > 0 的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列 ，且 1 = 6．
(1)求 ；
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(2)求数列 的前 项和 ．
18.(本小题 17 分)

设 > 0，函数 = ( > 0)．
(1)若曲线 在 = 0处的切线恒过原点，求 0的值；
(2)若存在一组 , ( > > 0)，使得 的定义域和值域均为 ,
(ⅰ)求 的取值范围；
(ⅱ)若 ≤ 2 ，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
∈ ，都存在唯一的实数 ，使得 = ，则称函数 存在“源数列” .已知 = ln , ∈
0,1 ．
(1)证明： 存在源数列；
(2) ①若 ≤ 0 恒成立，求 的取值范围；
7
②记 的源数列为 ，前 项和为 .证明： < 4．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 5
13. 0, 32
14.72
15.【详解】(1)由图可知：10 × 0.010 + 0.015 + 0.015 + + 0.025 + 0.005 = 1，解得 = 0.030，
因 0.005 × 10 = 0.05，10 × 0.005 + 0.025 = 0.3，
则成绩由高到低的前 10%分数线必在 80,90 之间，
设分数线为 ，则 10 × 0.005 + 0.025 90 = 0.1，得 = 88，
则进入决赛的最低分数为 88 分.
(2)样本成绩位于 60,70 和 70,80 0.015×10 1的比例为0.030×10 = 2，
6 1故所抽取的 个人中，来自 60,70 的人数为 6 × 3 = 2，设这两个人为 1,2,
来自 70,80 2的人数为 6 × 3 = 4，设这 4 个人为 , , , ，
则从 6 个人中随机抽取 2 个人的所有情况有：
12 , 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 2 , , , , , , ，
2 人中有来自 60,70 组情况有 12 , 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 2 ，
2 9 3故 人中有来自 60,70 组的学生的概率为15 = 5；
(3)由 = 90，可得 1 + 2 + 3 + + 10 = 90 × 10 = 900，
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则剔除其中的 94 和 86 900 94 86两个分数，剩余 8 个数平均数为 8 = 90，
= 5 2 = 1又标准差 ，则 10 1
2 + 2 2 + + 10 2
1
= 10
2
1 + 22 + 2 23 + + 10 2 1 + 2 + + 10 + 10
2
= 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 210 1 + 2 + 3 + + 10 10 = 10 1 + 2 + 3 + + 10 ，
1
故 2 = 210 1 +
2 2 2
2 + 3 + + 10 902 = 52，
则 21 + 2 2 22 + 3 + + 10 = 81250，
1
则剩余的 8 个数的方差为8 81250 94
2 862 902 = 27.25．
16. + 【详解】(1)因为 sin = sin 2 ，所以 2sin 2 cos 2 = sin 2 = cos 2，
1
因为 0 < 2 < 2，则 cos 2 ≠ 0，故由 sin 2 = 2，可得 = 3．
1因为 = 2 sin = 10 3， = 5，解得 = 8，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 64 + 25 2 × 8 × 5 × 12 = 49，解得 = 7．
(2)
1
①因 = + = 2 × × × sin∠ +
1
2 × × × sin∠ ，
5 40 3
依题意有2 sin 6 + 4 sin 6 = 10 3，解得 = 13 ．
②设∠ = ，所以∠ = 3 , 0 < < 3．
在 中，由正弦定理得，sin∠ = sin ，即 sin∠ = 5sin ，
在 中，由正弦定理得，sin∠ = ，即 sin∠ = 8sin(
)
sin( ) 3 ，3
因 = 2 , sin∠ = sin∠ ，代入化简得 4sin( 3 ) = 5sin ，
即 2 3cos 2sin = 5sin ，解得 tan = 2 3 2 37 ，即 tan∠ = 7 ．
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17. 5 5【详解】(1) ∵ 1 = 6，∴ 6 = sin
5 2 16 3 2 = 0，
即 sin 56
2 = 13 2
∵ > 0 ∴ 5 2 ， 6 3 >
2
3，
5 2 2
因为 1是最小的正零点，所以6 3应该取大于 3的最小值，
∴ 5 2 6 3 =

6，
解得 = ；
(2)由(1)知 = ， = sin 2 3
1
2，
2 1
令 = sin 3 2 = 0，
则 sin 2 3 =
1
2，
∴ 2 3 = 2 +

6 , ∈
2
或 3 = 2 +
5
6 , ∈ ，
解得 = 2 + 5 36 , ∈ 或 = 2 + 2 , ∈ ，
5
数列 的奇数项是首项为6，公差为 2 的等差数列，
3
数列 的偶数项是首项为2，公差为 2 的等差数列，

5 2 2 1

= × + × 2 + × 3
1
所以当 为偶数时， 2 2 2 6 2 2 2 + 2 × 2 =
1
2
2 + 16 ；
+1 +1 1 1 1 1
所以当 为奇数时， =
+1 × 5 + 2 22 6 2 × 2+
1 × 3 2 22 2 + 2 × 2 =
1 2 12 + 6 +
1
6；
1 2 + 1 + 1 , 为奇数
所以 = 2 6 61 ．
2
2 + 16 , 为偶数
18.【详解】(1)因为 = ，所以 ′ =
1
2 ，
0 0
故 在 处的切线方程为 = 0 10 2 00 0
0 =
0 0 1因为其过原点，所以 0 0
解得： 0 = 2．
(2)(ⅰ)由(1)知 在 0,1 上单调递减，在 1, + ∞ 上单调递增．
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=
①当 < ≤ 1 时，函数 在 , 上单调递减，有 = ,
即 = ， = ，所以 = ，不符合题意；
=
②当 1 ≤ < 时，函数 在 , 上单调递增，有 = ,
2
即 = 在 1, + ∞ 上有两个根．
=
2
∈ 1, + ∞ = 2
2 1
设 ， ，由 ′ 知 在 1,2 上单调递增，在 2, + ∞ 上单调递减，所以 ≤ <
4
2；
③当 < 1 < 时，函数 在 ,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，
所以 min = 1 = = < 1, max = max , = ．
< 1所以 ．

= =

又因为 =
1 < 1 < ，
< 1

所以只需证 时， = = 有大于 1 的根即可．
2
由 = ( > 1)的单调性知其成立．
4
综上：0 < < 2．
(ⅱ)由(ⅰ)知当 < 1 < 1 ，即 0 < < 时， < 1, > 2 时，此时 > 2 不合题意；
2 2
当 1 ≤ < 时，有 、 满足 = =

(1 ≤ < 2 < )，
2 2 2 2ln
设 = (1 < ≤ 2)，所以 = = ，则 1．
= 2ln 令 1，(1 < ≤ 2),则 ′ =
2 1
1 2 1 ln ，
1
设 = 1 ln ，由 ′ =
1 1 2 < 0 知 在 1,2 单调递减，
于是 < 1 = 0，
所以 ′ < 0， 在 1,2 单调递减，
因为 2 = 2ln2，所以 的取值范围为 2ln2,2 ．
19.【详解】(1)由 = ln , ∈ 0,1 = 1 1 2，得 ′ 2 = 2 < 0，即 在 0,1 上单调递减，
又 1 = 1，当 > 0 且 无限趋近于 0 时， 趋向于正无穷大，即 的值域为 1, + ∞ ,
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对于 可以取到任意正整数，且在 ∈ 0,1 上都有存在唯一自变量与之对应，
故对于 ∈ ，令 = ，其在 0,1 上的解必存在且唯一，
不妨设解为 ，即 ∈ ，则都存在唯一的实数 ∈ 0,1 ，使得 = ，
即 存在源数列．
(2) ① ≤ 0 恒成立，即 ≥ ln 恒成立，
令 = ∈ 0,1 ，即 ≥ 2 2 ln 恒成立，
令 = 2 2 ln ，则 ′ = 2 2ln 2，
令 = ′ = 2 2ln 2, ∈ 0,1 ，则 ′ = 2 2 ≤ 0，仅在 = 1 时取等号，
即 在 0,1 上单调递减，故 ≥ 1 = 0，即 在 0,1 上单调递增，
故 max = 1 = 1，故 ≥ 1；
②由①得 ≤ 1 1 1 1 ，故 ≤ ，即 ≤ ，则 ≤ ， 2
≥ 2 1 1 1 1 1 1当 时， ≤ 2 < 2 1 = 1 +1 = 2 1 +1 ．
当 = 1 时， 1 71 = 1 ≤ 12 = 1 < 4；
当 = 2 时， = +
1 1 4 7
1 2 < 1 + 2 1 3 = 3 < 4
当 > 2 时， = 1 + 2 + 3 + 1 +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
< 1 + 2 1 3 + 2 4 + 3 5 + + 2 + 1 + 1
= 1 + 1 3 1 1 7 2 +1 72 2 +1 = 4 2 +1 < 4，
7
综上： < 4．
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